入门级数学建模练习题

入门级数学建模练习题

2. 假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？

3. 一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？

4. 如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？

5. 兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？

6. 甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？

7. 设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至少存在两人他们认识的人一样多。

8. 一角度为60度的圆锥形漏斗装着10

端小孔的

面积为0.59. 假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是

由东驶上一个1/100的斜

坡，计算这种情

下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？

10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。

:顶=1：a:b，选坐v>0,而设语雨速

L,v≤x vv+1),v>x.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周

收回书的1/10，设教授已借出书的册数是时间t的函数小x的函数，则它应满足

其中初始条件表示开始时教授借出数的册数为0。

解该线性问题得X=70[1-e?t]

由于当∞时，其极限值为70,故在充分长的时间内，一位普通教授大约已借出70本书。

3.解：我们从山脚A点为始点记路程，设从A到B路程函数为f,

即t时刻走的距离为f;同样设从B点到A点的路程为函数g。由题意有 f=0,f=|AB|，g=|AB|，g=0；

令h= f--g，则有h= f -- g=-- |AB||0 又注意f，g

都是时刻t的连续函数，因此h也是时刻t的连续函数，由连续函数的介质定理，一定存在某时刻t。使h=0，即f=g 所以存在一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点。

4.解：设I为平面上任一封闭曲线，p为平面上一点，则存在已过点p的直线，将I所围的面积二等

分，如下图

设l为过点p的一条直线，若S1= S1，则得证，否则设S1 >S2,l与x轴夹角为a，让l逆时针绕p旋转S，S2，则S1，S2随a的变化连续的变化，记其面积为S1a），S2,则记S1= S1, S2= S2, f 5．解：哥哥与妹妹的速度分别为3公里/小时及2公里/小时，因此一小时后，哥哥与妹妹都已到家，而狗一直在二者之间，因此狗已到家。

6．解：设甲乙两人分别在12点x分及y分等可能到达到达约定地点，显然0≤x≦60,0≦y≦60，若两人相遇则有|x-y|≦10，这是一个几何概率问题，其中样本空间为A={|≤x≦60,0≦y≦60} 它构成了空间直角标系中的正方形，相遇空间为

G={, |x-y|≦10}

其图形见上图阴影部分，Sa，Sg分别表示正方形、阴影部分的面积，从而相遇的概率为P=Sa/Sg=/≈0.306

7. 证明：设第i个人认识的人为s，则s∈{0.1.2.3……N-1} 设没有两个人认识的人一样多，则s，

s，……互不相等，则s取遍集合{0、1、2……N-1}中的一个值，即至少存在某两个人k1，k2使s=N-1，s=0，而对第ki个人，由于=N-I，故他必然认识第k2人，故s至少为1，与s=0矛盾，得证。

8．解：由水力学定律可知Q=dv/dt=0.62S2gh，其中0.62为流量系数S为空口横截面，g为重力加速度，h为从从空口到水面的高度，故有dv=0.312ghdt，

另一方面，在△t时间内，水面由h降至h+dh,则仅有

《数学建模入门》练习题

练习题1：发现新大陆！

发现新大陆！人人都能做到，可是最终哥伦布做到了。为什么哥伦布能做到呢？有兴趣、能想到、去做了、坚持到底。

练习题2：棋盘问题

有一种棋盘有64个方格，去掉对角的两个格后剩下62个格，给你31块骨牌，每块是两个格的大小。问能否用这些骨牌盖住这62个方格？

不能，如图所示。

图中共有32个黄格,30个红格,而每张骨牌必定盖住一红一黄

两格,那么最后两个黄格用一个骨牌无论如何也盖不上.

练习题3：硬币游戏

如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢？

答：决定先放。第一枚硬币放在桌子中心，随后自己放置的硬币总与对方上次放置的硬币成中心对称，如果对方能放得下，那么己方的硬币必然可以放下。所以己方放置的硬币必然为最后一枚。

练习题4：高速问题

一个人从 A 地出发，以每小时30公里的速度到达 B 地，问他从 B 地回到 A 地的速度要达到多少？才能使得往返路程的平均速度达到每小时60公里？

解：设A,B两地距离为S，则有：2S/=60.t为从A地到B地的时间，T为从B地到A地的时间。即有

12S/=60 ○

2S=30t ○

得出：T=0.即速度v=+∞

但是这是不可能达到的速度。所以此题无解。

练习题5：登山问题

某人上午八点从山下的营地出发，沿着一条山间小路登山，下午五点到达山顶；次日上午八点又从山顶开始下山