高中数学--条件概率与独立事件二项分布
条件概率与独立事件、二项分布练习题及答案
4 B.B.223 C.C.335 D.123．(2011·湖北高考)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为() A ．0.960 B ．0.864 C ．0.720 D ．0.576 4．(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( ) A.18B.14C.25D.125．(2012·山西模拟)抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是12，构造数列{a n }，使得a n ＝îïíïì1 (第n 次抛掷时出现正面)，－1 (第n 次抛掷时出现反面)，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为( ) A.116 B.18 C.14D.126．高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是( ) A.12B.13C.14D.257．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________． 8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于条件概率与独立事件、二项分布1．(2012·广东汕头模拟)已知某射击运动员，已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为( ) A ．0.85B ．0.819 2 C ．0.8 D ．0.75 2．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.A.33________．9．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率概率为________．10．(2012·厦门质检)从装有大小相同的3个白球和3个红球的袋中做摸球试验，每次摸出一个球．如果摸出白球，则从袋外另取一个红球替换该白球放入袋中，则从袋外另取一个红球替换该白球放入袋中，继续做下一次摸球继续做下一次摸球试验；如果摸出红球，则结束摸球试验．试验；如果摸出红球，则结束摸球试验．(1)求一次摸球后结束试验的概率P 1和两次摸球后结束试验的概率P 2； (2)记结束试验时的摸球次数为X ，求X 的分布列．的分布列．11．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，以提高下岗人员的再就业能力，以提高下岗人员的再就业能力，每名下每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X 为3人中参加过培训的人数，求X 的分布列．的分布列．12．学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率；个白球的概率；②获奖的概率； (2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列．的分布列．2；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为P 1＋P 2＝34. 3．选B 可知K 、A 1、A 2三类元件正常工作相互独立．所以当A 1，A 2至少有一个能正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2＝0.96，所以系统能正常工作的概率为P K ·P ＝0.9×0.96＝0.864. 4．选B P (A )＝C 23＋C 2C 25＝410＝25，P (A ∩B )＝C 2C 25＝1)＝110410＝14. 5．选C 依题意得知，“S 4＝2”表示在连续四次抛掷中恰有三次出现正面，因此“S 4＝2”的概率为C 34èæøö123·12＝14. 6．选C 设“甲、乙二人相邻”为事件A ，“甲、丙二人相邻”为事件B ，则所求概率为P (B |A )，由于P (B |A )＝P (AB )P (A )，而P (A )＝2A 44A 55＝25，AB 是表示事件“甲与乙、丙都相邻”，故P (AB )＝2A 33A 5＝110，于是P (B |A )＝11025＝14. 7．解析：设该队员每次罚球的命中率为p ， 则1－p 2＝1625，p 2＝925.又0＜p ＜1.所以p ＝35. 答案：358．解析：此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128. 答案：0.128 9．解析：设种子发芽为事件A ，种子成长为幼苗为事件B .出芽后的幼苗成活率为P (B |A )＝0.8，P (A )＝0.9. 故P (AB )＝0.9×0.8＝0.72. 答案：0.72 10．解：(1)一次摸球结束试验的概率P 1＝36＝12；两次摸球结束试验的概率 P 2＝36×46＝13. 1．选B P ＝C 34×0.83×0.2＋C 44×0.84＝0.819 2. 2．选A 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率概率P 1＝110. 由条件概率计算公式，得P (B |A )＝P (A ∩B )P (A1，＝1，＝3×2×5＝5，＝3×2×1×6＝1X 1 2 3 4 P1213536136X 0 1 2 3 P0.0010.0270.2430.729 ＝C 3C 2·C 2C 2＝15. ＝C 3C 2·C 2C 2＋C 3C 2C 2·C 2C 2＝12，且＝12＋15＝710. øö，710øö－7102＝9100；C 12710×øö－710＝2150；èæøö710＝49100. X 0 1 2 P9100215049100(A B )(A )·(B )。
【优化方案】2012高考数学总复习 第10章§10.7条件概率与独立事件、二项分布精品课件 理 北师大版
(1)求p； 求 ； (2)求电流能在 与N之间通过的概率． 求电流能在M与 之间通过的概率 之间通过的概率． 求电流能在 【思路点拨】 思路点拨】 利用事件的相互独立性求解． 利用事件的相互独立性求解．
【解】 记 Ai 表示事件： 表示事件： 电流能通过 Ti，＝1,2,3,4. i＝ A 表示事件：T1，T2，T3 中至少有一个能通过电 表示事件： 流， B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过． 表示事件： 之间通过． 相互独立， (1)由题知 A ＝ A 1 A 2 A 3，A1，A2，A3 相互独立， 由题知 又 P( A )＝P( A 1 A 2 A 3)＝P( A 1)P( A 2)P( A 3) ＝ ＝ ＝(1－p)3， －
条件概率与独立事件、 §10.7 立事 件、 二项 分布
双基研习• 双基研习•面对高考
考点探究•挑战高考 考点探究•
考向瞭望• 考向瞭望•把脉高考
双基研习• 双基研习•面对高考
基础梳理 1．条件概率及其性质 ． (1)条件概率的定义 条件概率的定义 设A、B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝______ 、 为两个事件， ， ＝ 为两个事件 为在事件A发生的条件下，事件 发生的条件概率 发生的条件概率． 为在事件 发生的条件下，事件B发生的条件概率． 发生的条件下 (2)条件概率的求法 条件概率的求法 求条件概率除了可借助定义中的公式， 求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助 古典概型概率公式， 古典概型概率公式，即P(B|A)＝_______. ＝
A、B 有怎样的关系，选取怎样的表达符号和计算 、 有怎样的关系， 公式． 公式．A 发生的条件下 B 发生的概率公式 P(B|A) P(AB) n(AB) ( ) ( ) ＝ ＝ 是实际应用中一种重要的求条件 P(A) n(A) ( ) ( ) 概率的方法依据． 概率的方法依据．
高考数学一轮复习6 第6讲 二项分布及其应用
第6讲二项分布及其应用最新考纲考向预测1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率，了解条件概率与独立性的关系．2.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.命题趋势条件概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复事件、二项分布和正态分布仍是高考考查的热点，三种题型均有可能出现．核心素养数据分析、数学建模1．条件概率(1)定义设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝P（AB）P（A）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．(2)性质①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1；②如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．事件的相互独立性(1)定义设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立．3．独立重复试验与二项分布独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的n在n次独立重复试验中，用X表示事件A次试验称为n次独立重复试验发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率计算公式用A i(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…A n) ＝P(A1)P(A2)…P(A n)在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ck n p k(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)常用结论1．相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．两个概率公式(1)在事件B发生的条件下A发生的概率为P(A|B)＝P（AB）P（B）.注意其与P(B|A)的不同．(2)若事件A1，A2，…，A n相互独立，则P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．常见误区运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时，一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．()(2)相互独立事件就是互斥事件．()(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．()(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.()(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B 同时发生的概率．()答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2．(易错题)天气预报，在元旦假期甲地降雨的概率是0.2，乙地降雨的概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.38D ．0.56解析：选C.设甲地降雨为事件A ，乙地降雨为事件B ， 则两地恰有一地降雨为A B －＋A －B ， 所以P (A B －＋A －B )＝P (A B －)＋P (A －B ) ＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B ) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3 ＝0.38.3．先后掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点)两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，设事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数，且x ≠y ”，则概率P (B |A )＝( )A.13B.14C.15D.16解析：选A.因为P (A )＝2×3×336＝12，P (AB )＝3×236＝16，所以P (B |A )＝1612＝13.4．设随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)＝________．解析：因为X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，所以P (X ＝3)＝C36⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516. 答案：5165．(2020·高考天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为12×13＝16，甲、乙两球都不落入盒子的概率为(1－12)×(1－13)＝13，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－13＝23.答案：16 23条件概率(1)某道数学试题含有两问，当第一问正确做对时，才能做第二问，为了解该题的难度，调查了100名学生的做题情况，做对第一问的学生有80人，既做对第一问又做对第二问的学生有72人，以做对试题的频率近似作为做对试题的概率，已知某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率为( )A ．0.9B ．0.8C ．0.72D ．0.576(2)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12【解析】 (1)做对第一问的学生有80人，则做对第一问的频率为80100＝0.8.既做对第一问又做对第二问的学生有72人，则两问都做对的频率为72100＝0.72.设“做对第一问”为事件A ，“做对第二问”为事件B ，则P (A )＝0.8，P (AB )＝0.72，某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的概率P(B|A)＝P（AB）P（A）＝0.720.8＝0.9，故选A.(2)P(A )＝C23＋C22C25＝410＝25，P(AB)＝C22C25＝110，由条件概率公式，得P(B|A)＝P（AB）P（A）＝11025＝14.【答案】(1)A(2)B【引申探究】(变条件)将本例(2)中的“和”改为“积”，求P(B|A)．解：事件A：“取到的2个数之积为偶数”所包含的基本事件有：(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，所以P(A)＝710.事件B：“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2，4)，所以P(AB)＝110，所以P(B|A)＝P（AB）P（A）＝110710＝17.条件概率的两种求解方法1．(2021·云南师大附中月考)小明早上步行从家到学校要经过有红绿灯的两个路口，根据经验，在第一个路口遇到红灯的概率为0.4，在第二个路口遇到红灯的概率为0.5，在两个路口连续遇到红灯的概率是0.2.某天早上小明在第一个路口遇到了红灯，则他在第二个路口也遇到红灯的概率是()A．0.2 B．0.3C．0.4 D．0.5解析：选 D.记“小明在第一个路口遇到红灯”为事件A ，“小明在第二个路口遇到红灯”为事件B ，“小明在第一个路口遇到了红灯，在第二个路口也遇到红灯”为事件C ，则P (A )＝0.4，P (B )＝0.5，P (AB )＝0.2，则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝0.20.4＝0.5.故选D.2．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P (A |B )的值为( )A.14B.34C.29D.59解析：选C.因为P (B )＝3344，P (AB )＝A3344，所以P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝29.相互独立事件的概率(2020·高考全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为12. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率．【解】 (1)甲连胜四场的概率为116.(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛．比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为116； 乙连胜四场的概率为116； 丙上场后连胜三场的概率为18.所以需要进行第五场比赛的概率为1－116－116－18＝34. (3)丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18.比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18，18.因此丙最终获胜的概率为18＋116＋18＋18＝716.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．1．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为23和34，两个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( )A.12B.512C.14D.16解析：选 B.因为两人加工零件成一等品的概率分别为23和34，且相互独立，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P ＝23×14＋13×34＝512.2．(2021·沈阳市教学质量检测(一))在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼．排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并超过对方2分时，才胜1局；在决胜局(第5局)采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并超过对方2分为胜．在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分．现有甲、乙两支球队进行排球比赛：(1)若前3局比赛中甲已经赢2局，乙赢1局，接下来两队赢得每局比赛的概率均为12，求甲队最后赢得整场比赛的概率．(2)若前4局比赛中甲、乙两队已经各赢2局，在决胜局(第5局)中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一球的发球权．若甲发球时甲赢1分的概率为25，乙发球时甲赢1分的概率为35，得分者获得下一球的发球权．设两队打了x (x ≤4)个球后甲赢得整场比赛，求x 的取值及相应的概率P (x )．解：(1)依题意，若甲队赢得整场比赛，则甲队将以3∶1或3∶2的比分赢得比赛．若甲队以3∶1的比分赢得比赛，则第4局甲赢，若甲队以3∶2的比分赢得比赛，则第4局乙赢，第5局甲赢． 故甲队最后赢得整场比赛的概率为12＋12×12＝34.(2)依题意，每次发球，发球队得分的概率为25，接球队得分的概率为35.甲接下来可以以16∶14或17∶15赢得比赛，故x 的取值为2或4.若甲、乙比分为16∶14，则x 的取值为2，其赢球顺序为“甲甲”，对应发球顺序为“甲甲”，所以P (x ＝2)＝25×25＝425.若甲、乙比分为17∶15，则x 的取值为4，其赢球顺序为“甲乙甲甲”或“乙甲甲甲”，对应发球顺序为“甲甲乙甲”和“甲乙甲甲”，所以P (x ＝4)＝25×35×35×25＋35×35×25×25＝72625.独立重复试验与二项分布(2021·合肥第一次教学检测)“大湖名城，创新高地”的合肥，历史文化积淀深厚，民俗和人文景观丰富，科教资源众多，自然风光秀美，成为中小学生“研学游”的理想之地．为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位实习生，在某旅行社实习期间，把“研学游”分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在前几年该旅行社接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：研学游类型 科技体验游民俗人文游自然风光游学校数404020校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响)．(1)若这3所学校选择的研学游类型是“科技体验游”和“自然风光游”，求这两种类型都有学校选择的概率；(2)设这3所学校中选择“科技体验游”的学校数为随机变量X ，求X 的分布列． 【解】 (1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为25，选择“自然风光游”的概率为15，若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为P ＝C23⎝ ⎛⎭⎪⎫252×15＋C23⎝ ⎛⎭⎪⎫152×25＝18125.(2)X 的可能取值为0，1，2，3.则P (X ＝0)＝C03⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125，P (X ＝1)＝C13×25×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝54125，P (X ＝2)＝C23⎝ ⎛⎭⎪⎫252×35＝36125，P (X ＝3)＝C33⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125，所以X 的分布列为X 0 1 2 3 P 2712554125361258125(1)独立重复试验的特点①每次试验中，事件发生的概率是相同的；②每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例． (2)判断随机变量X 服从二项分布的条件(X ～B (n ，p )) ①X 的取值为0，1，2，…，n ；②P (X ＝k )＝Ck n p k (1－p )n －k (k ＝0，1，2，…，n ，p 为试验成功的概率)． [提醒] 在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．为了拓展网络市场，某公司为手机客户端用户推出了多款APP 应用 ，如“农场”“音乐”“读书”等．市场调查表明，手机用户在选择以上三种应用时，选择农场、音乐、读书的概率分别为12，13，16.现有甲、乙、丙三位手机客户端用户独立任意选择以上三种应用中的一种进行添加．(1)求三人所选择的应用互不相同的概率；(2)记ξ为三人中选择的应用是农场与音乐的人数，求ξ的分布列．解：记第i 名用户选择的应用是农场、音乐、读书分别为事件A i .B i ，C i ，i ＝1，2，3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1，2，3且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13，P (C i )＝16.(1)他们选择的应用互不相同的概率P ＝3！·P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝16.(2)设3位用户选择的应用是“读书”的人数是η，由已知得η～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，16，且ξ＝3－η，所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C33×⎝ ⎛⎭⎪⎫163＝1216，P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C23×⎝ ⎛⎭⎪⎫162×56＝15216＝572， P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C13×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝75216＝2572，P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C03×⎝ ⎛⎭⎪⎫563＝125216.故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P12165722572125216[A 级 基础练]1．先后抛掷硬币三次，则至少一次正面向上的概率是( ) A.18 B.38 C.58D.78解析：选D.硬币正面向上的次数服从二项分布，即X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，12，由二项分布概率公式知，三次均反面向上的概率是⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，所以至少一次正面向上的概率是1－18＝78.故选D 项．2．一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为( )A.23B.512C.59D.79解析：选C.记“第i (i ＝1，2)支晶体管是好的”为事件A i (其中i ＝1，2)，依题意知，要求的概率为P (A 2|A 1)．由P (A 1)＝35，P (A 1A 2)＝6×510×9＝13， 所以P (A 2|A 1)＝P （A1A2）P （A1）＝1335＝59.3．(2021·山东烟台第一中学联考)首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为12，13，14，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有一家购买该机床设备的概率是( )A.2324B.524C.1124D.124解析：选 C.记“甲企业购买该机床设备”为事件A ，“乙企业购买该机床设备”为事件B ，“丙企业购买该机床设备”为事件C ，则P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝14，所以P (A －)＝1－P (A )＝12，P (B －)＝1－P (B )＝23，P (C －)＝1－P (C )＝34.记“三家企业中恰有一家购买该机床设备”为事件D ，则P (D )＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝12×23×34＋12×13×34＋12×23×14＝1124.故选C.4．(多选)(2020·山东潍坊临朐模拟)下列说法正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式中含x 2y 3项的二项式系数为20B ．事件A ∪B 为必然事件，则事件A 、B 是互为对立事件C ．am 2>bm 2是a >b 的充分不必要条件D ．甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点各不相同”，事件B ＝“甲独自去一个景点”，则P (A |B )＝29解析：选CD.A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2y 5的展开式的通项为T k ＋1＝Ck 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 5－k·(－2y )k ，要求含x 2y 3项的二项式系数，则k ＝3，所求二项式系数为C35＝10，故A 错误；B.事件A ∪B 为必然事件无法说明事件A 、B 是互为对立事件，缺少A ∩B 为不可能事件的条件，故B 错误；C.因为am 2>bm 2，所以a >b ，但a >b 且m ＝0时有am 2＝bm 2，所以a >b 时，am 2>bm 2不一定成立，故C 正确．D.P (A )＝4！44＝332，P (B )＝4×3344＝2764，P (AB )＝4×3！44＝332，则P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝29，故D 正确．5．(2021·江西五校联考)非洲成员代表团团长及相关的人员参加了中非合作论坛北京峰会，会后某记者在场地外随机进行采访，假设第一次采访到的人恰好是参会的代表团团长的概率为0.7，连续两次采访到的人都是代表团团长的概率为0.6，则在第一次采访到的人是代表团团长的条件下，第二次采访到的也是代表团团长的概率为________．解析：记“第一次采访到的人是代表团团长”为事件A ，“第二次采访到的人是代表团团长”为事件B ，则P (A )＝0.7，P (AB )＝0.6，则P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝67.答案：676．一个口袋内有n (n >3)个大小相同的球，其中3个红球和(n －3)个白球，已知从口袋中随机取出1个球是红球的概率为p ，6p ∈N ，若有放回地从口袋中连续4次取球(每次只取1个球)，在4次取球中恰好2次取到红球的概率大于827，则n ＝________．解析：由题设知，C24p 2(1－p )2>827，因为p (1－p )>0，所以不等式化为p (1－p )>29，解得13<p <23，故2<6p <4.又因为6p ∈N ，所以6p ＝3，即p ＝12，由3n ＝12，得n ＝6.答案：67．为了促进学生的全面发展，某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设，2019年该市某中学的某新生想通过考核选拔进入该校的“电影社”和“心理社”，已知该同学通过考核选拔进入这两个社团成功与否相互独立．根据报名情况和他本人的才艺能力，两个社团都能进入的概率为124，至少进入一个社团的概率为38，并且进入“电影社”的概率小于进入“心理社”的概率．(1)求该同学分别通过选拔进入“电影社”的概率p 1和进入“心理社”的概率p 2； (2)学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分，对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分，求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率．解：(1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧p1p2＝124，1－（1－p1）（1－p2）＝38，p1<p2，所以p 1＝16，p 2＝14.(2)设该同学在社团方面获得校本选修课学分分数为ξ，则P (ξ＝1)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－14×16＝18，P (ξ＝1.5)＝14×16＝124，所以该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率为P ＝18＋124＝16.8．(2021·湖北省部分重点中学10月联考)某中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，才能取得参加数学竞赛复赛培训的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学的这四门课程考试是否合格相互独立，每门课程考试合格的概率均相同(见下表)，且各个同学每一门课程考试是否合格相互独立．(2)记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛培训的资格的人数，求ξ的分布列． 解：(1)分别记甲初等代数课程、初等几何课程、初等数论课程、微积分初步课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ，则“甲能取得参加数学竞赛复赛培训的资格”的概率为P (ABCD )＋P (ABC D －)＋P (AB C －D )，事件A ，B ，C ，D 相互独立，故P (ABCD )＋P (ABC D －)＋P (AB C －D )＝34×23×23×12＋34×23×23×12＋34×23×13×12＝512. (2)ξ的所有可能取值为0，1，2，3.由(1)可得，每位同学取得参加数学竞赛复赛培训资格的概率为512，且ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，512，P (ξ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7123＝3431 728，P (ξ＝1)＝C13×512×⎝ ⎛⎭⎪⎫7122＝245576，P (ξ＝2)＝C23×⎝ ⎛⎭⎪⎫5122×712＝175576，P (ξ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5123＝1251 728.因此，ξ的分布列为9．博彩公司曾经对当年NBA 总决赛做了大胆地预测和分析，预测西部冠军是老辣的马刺队，东部冠军是拥有詹姆斯的年轻的骑士队，总决赛采取7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间的结果互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛，前4场，马刺队胜利的概率为12，第5，6场马刺队因为平均年龄大，体能下降厉害，所以胜利的概率降为25，第7场，马刺队因为有多次打第7场的经验，所以胜利的概率为35.(1)分别求马刺队以4∶0，4∶1，4∶2，4∶3胜利的概率及总决赛马刺队获得冠军的概率；(2)随机变量X 为分出总冠军时比赛的场数，求随机变量X 的分布列．解：(1)设“马刺队以4∶0胜利”为事件A ，“马刺队以4∶1胜利”为事件B ，“马刺队以4∶2胜利”为事件C ，“马刺队以4∶3胜利”为事件D ，“总决赛马刺队获得冠军”为事件E ，则P (A )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116，P (B )＝C34×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×25＝110，P (C )＝C34×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×35×25＋C24×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝325，P (D )＝C34×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×⎝ ⎛⎭⎪⎫353＋C24×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×C12×25×35×35＋C14×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×25×25×35＝93500.所以P (E )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝9372 000.(2)随机变量X 的可能取值为4，5，6，7，P (X ＝4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124×2＝18，P (X ＝5)＝C34×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×⎝ ⎛⎭⎪⎫25＋35＝14，P (X ＝6)＝2C34×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×25×35＋C24×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×⎝ ⎛⎭⎪⎫425＋925＝63200，P (X ＝7)＝1－P (X ＝4)－P (X ＝5)－P (X ＝6)＝31100.所以随机变量X 的分布列为地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片．为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为12，游客之间选择意愿相互独立．(1)从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X ，求X 的分布列；(2)(i)若从游客中随机抽取m 人，记总得分恰为m 的概率为A m ，求数列{A m }的前10项和；(ii)在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n 的概率为B n ，探讨B n 与B n －1之间的关系，并求数列{B n }的通项公式．解：(1)X 的可能取值为3，4，5，6.P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (X ＝4)＝C13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝5)＝C23⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝6)＝C33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.所以X 的分布列为(2)(i)总得分恰为m 的概率A m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以数列{A m }是首项为12，公比为12的等比数列， 前10项和S 10＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12101－12＝1 0231 024. (ii)已调查过的累计得分恰为n 的概率为B n ，得不到n 分的情况只有先得(n －1)分，再得2分，概率为12B n －1，B 1＝12.所以1－B n ＝12B n －1，即B n ＝－12B n －1＋1， 所以B n －23＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫Bn －1－23.所以B n －23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫B2－1－23·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，所以B n ＝23－16⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝23＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.[C 级 创新练]11．(2020·武汉部分学校质量检测)同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1，2，3，4的正四面体一次，记事件A ＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}；事件B ＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；事件C ＝{两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现偶数}．给出下列说法：①P (A )＝P (B )＝P (C )；②P (AB )＝P (AC )＝P (BC )；③P (ABC )＝18；④P (A )P (B )P (C )＝18.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选D.由古典概型的概率计算公式，得P (A )＝P (B )＝24＝12，P (C )＝84×4＝12，所以P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，①正确；P (A )P (B )P (C )＝18，④正确；而事件A ，B ，C 不可能同时发生，故P (ABC )＝0，所以③不正确；又P (AB )＝2×24×4＝14，P (AC )＝2×24×4＝14，P (BC )＝2×24×4＝14，所以P (AB )＝P (AC )＝P (BC )，②正确．故选D.12.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由落下，小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率分别为23，13，求小球落入A 袋中的概率．解：方法一：由题意知，小球落入A 袋中的概率为：P (A )＝1－P (B )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13×13×13＋23×23×23＝23. 方法二：因为小球每次遇到障碍物时有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时，小球将落入A 袋，所以小球落入A 袋中的概率为C13·23·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C23·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝23.。
2023年高考数学(理科)一轮复习——二项分布与正态分布
5.(2021·天津卷)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一
方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的
概率分别为65和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影 2
响，则一次活动中，甲获胜的概率为____3____，3 次活动中，甲至少获胜 2 次 20
1 式，得 P(B|A)＝PP（（AAB））＝120＝14.
5
索引
法二 事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)＝1. 故由古典概型概率 P(B|A)＝nn（（AAB））＝41.
索引
2.有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机
②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝__0_._9_5_4_5____；
③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝___0_.9_9_7__3___.
索引
常用结论
1.相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个试验中，两个事件发生的概率互不影响，计算式为 P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计 算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
次数的概率分布.( √ )
(3)n 次独立重复试验要满足：①每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别 称为“成功”和“失败”；②每次试验“成功”的概率为 p，“失败”的概率
为 1－p；③各次试验是相互独立的.( √ )
(4)正态分布中的参数 μ 和 σ 完全确定了正态分布，参数 μ 是正态分布的期望，
2.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称 和曲线与x轴之间的面积为1解题.
高考理科第一轮复习课件(10.8条件概率与独立事件)
2.判断相互独立事件的三种常用方法 (1)利用定义: 事件A，B相互独立 P(AB)=P(A)·P(B). (2)利用性质:A与B相互独立,则A与 B, A 与B, A 与 B 也都相互独立. (3)具体背景下: ①有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的. ②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.
P(A1)P(A2)„P(An) _________________.
3.二项分布
进行n次试验，如果满足以下条件：
(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”
和“失败”.
(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为
1-p.
(3)各次试验是相互独立的. 用X表示这n次试验中成功的次数，则
)
(5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，
P(BA)表示事件A，B同时发生的概率.(
)
(6)X服从正态分布，通常用X～N(μ ,σ 2)表示，其中参数μ 和
σ 2分别表示正态分布的均值和方差.( )
【解析】(1)错误.当A,B为相互独立事件时P(B|A)=P(B).因此
该说法错误. (2)错误.两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事 件相互独立是指一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没 有影响，两个事件相互独立不一定互斥. (3)错误.因为只有两个事件是相互独立事件时，公式P(AB)= P(A)P(B)才成立.
5 4 2 8 P X 2 P(A1 A 2 ) P A1 P(A 2 ) ， 5 5 25
4 3 12 P X 3 P(A1A 2 ) P(A1 )P(A 2 ) . 5 5 25
∴X的分布列为
二项分布公开课课件
包含了n个相同的试验； 每次试验相互独立； 5次、10次、6次、5次
创设情景
创设情景
投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5。 某同学玩射击气球游戏,每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个。 某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次。 口袋内装有5个白球、3个黑球，放回地抽取5个球。 问题 上面这些试验有什么共同的特点？ 每次试验只有两种可能的结果：A或
请举出生活中碰到的独立重复试验的例子。
2).某人射击,击中目标的概率P是稳定的,他连续射击 了10次,其中6次击中; (YES)
3).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次 抽取5个球,恰好抽出4个白球; (NO)
4).口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回 的抽取5个球,恰好抽出4个白球. (YES)
某射手每次射击击中目标的概率是0.8. 求这名射手在10次射击中， 恰有8次击中目标的概率； 至少有8次击中目标的概率。 （结果保留两个有效数字）
01
某气象站天气预报的准确率为80％，计算（结果保留两个有效数字）： 5次预报中恰有4次准确的概率； 5次预报中至少有4次准确的概率
02
跟踪练习：
变式5.填写下列表格：
2.2.3独立重复试验与二项分布
添加副标题
汇报人姓名
复习旧知识
1、条件概率： 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率。 2、条件概率的概率公式： P(B|A)= = 3、相互独立事件： 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这时我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。 4、相互独立事件的概率公式： P（AB）=P（A）P（B）
高三理科数学一轮复习讲义：第十一章计数原理概率随机变量及其分布11.8条件概率n次独立重复试验与二项分布
§11.8 条件概率、n 次独立重复试验与二项分布考纲展示►1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2．理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．考点1 条件概率条件概率 (1)定义设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P ABP A为在事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率．(2)性质①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．条件概率的性质．(1)有界性：0≤P (B |A )≤1.( )(2)可加性：如果B 和C 为互斥事件，则P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )．( )[典题1] (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12(2)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )A.1127B.1124C.827D.924[点石成金] 条件概率的两种求解方法 (1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P ABP A求P (B |A )．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n ABn A.考点2 事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝________，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立，P (B |A )＝________，P (A |B )＝________.[典题2] 为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表：的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为12，13.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．[点石成金] 1.利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；2．正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算.在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．考点3 独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布(1)[教材习题改编]某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是12，构造数列{a n }，使得a n＝⎩⎪⎨⎪⎧第n 次出现正面，－第n 次出现反面， 记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为________．(2)[教材习题改编]小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．二项分布：P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)的值是________．[典题3] [2019·湖南长沙模拟]博彩公司对2019年NBA 总决赛做了大胆地预测和分析，预测西部冠军是老辣的马刺队，东部冠军是拥有詹姆斯的年轻的骑士队，总决赛采取7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间的结果互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．前4场，马刺队胜利的概率为12，第5,6场马刺队因为平均年龄大，体能下降厉害，所以胜利的概率降为25，第7场，马刺队因为有多次打第7场的经验，所以胜利的概率为35.(1)分别求马刺队以4∶0,4∶1,4∶2,4∶3胜利的概率及总决赛马刺队获得冠军的概率； (2)随机变量X 为分出总冠军时比赛的场数，求随机变量X 的分布列．[点石成金] 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率.某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9,11.4)的频数是4.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列．[方法技巧] 1.古典概型中，A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为P (B |A )＝P ABP A＝n AB n A ，其中，在实际应用中P (B |A )＝n ABn A是一种重要的求条件概率的方法．2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．3．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看作是C k n个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k个A事件与n－k个A事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为C k n p k(1－p)n－k.[易错防范] 1.相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立．真题演练集训1．[2018·重庆模拟]投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.3122．[2018·天津模拟]某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A．0.8 B．0.75C．0.6 D．0.45课外拓展阅读误用“二项分布与超几何分布”二项分布和超几何分布是两类重要的概率分布模型，这两种分布存在着很多的相似之处，在应用时应注意各自的适用条件和情境，以免混用出错．[典例1] 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．现在在总共8小块地中，随机选4小块地种植品种甲，另外4小块地种植品种乙．种植完成后若随机选出4块地，其中种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望．[思路分析]判断分布的类型→确定X的取值及其概率→列出分布列并求数学期望易错提示本题容易错误地得到X 服从二项分布，每块地种植甲的概率为12，故X ～B (4,0.5)．错误的根源在于每块地种植甲或乙不是相互独立的，它们之间是相互制约的，无论怎么种植都要保证8块地中有4块种植甲，4块种植乙，事实上X 应服从超几何分布．如果将题目改为：在8块地中，每块地要么种植甲，要么种植乙，那么在选出的4块地中种植甲的数目为X ，则这时X ～B (4,0.5)(这时这8块地种植的方法总数为28，会出现所有地都种植一种作物的情况，而题目要求4块地种植甲，4块地种植乙，其方法总数为C 48)．[典例2] 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；(2)试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．易错提示本题容易错误地得到甲、乙两考生正确完成的题数均服从二项分布，实际上题目中已知甲、乙两考生按照题目要求独立完成全部实验操作，甲考生正确完成的题数服从超几何分布，乙考生正确完成的题数服从二项分布．。
126条件概率与独立事件、二项分布
P(X=k)= Pk(1-p)n-k(k=0,1,2,3,…,n)
若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n,p的二项分布，简记X~B(n,p).
主要方法：
(1)对照互斥事件、对立事件的定义进行判断，哪些是互斥事件，哪些是对立事件，是解好题目的关键.“正难则反”，一个事件的正面包含基本事件个数较多，而它的对立事件包含基本事件个数较少，则用公式P（A）=1-P（A）计算.
例题分析：
例1：三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5,丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局甲队对乙队，第二局是第一局中的胜者对丙队；第三局是第二局中的胜者对第一局中的败者；第四局为第三局中的胜者对第二局中的败者，则乙队连胜四局的概率是________________.
例2：某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(相互独立).
(1)求至少3人同时上网的概率;
(2)至少几人同时上网的概率小于0.3?
巩固练习：教师用书【399】即时巩固：4,5
课后作业：对应课后提升：填空题
教
后
反
思
备课组长签字：年月日
富县高级中学集体备课教案
年级：高三科目：数学授课人：
课题
条件概率与独立事件、二项分布
第126课时
教学
目标
了解条件概率的概念,了解两个事件相互独立的概念;理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题.
重点
审题应注意关键的词句，例如“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”中心发言人 Nhomakorabea难点
复杂问题可考虑拆分为等价的几个事件的概率问题，同时结合对立事件的概率求法进行求解
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【规范解答】 (1)设：“至少有一个系统不发生故障” 为事件 C，那么
1－P(C)＝1－110P＝4590，解得 P＝51， (2)由题意，P(ξ＝0)＝C03(110)＝10100， P(ξ＝1)＝C13(110)2(1－110)＝120070， P(ξ＝2)＝C23(110)(1－110)2＝1204030， P(ξ＝3)＝C33(110)0(1－110)3＝1702090.
P(A)＝P(B CD ＋ B C D ＋ BC D)＝P(B CD )＋P( B C D ) ＋P( BC D)
＝34×(1－32)×(1－23)＋(1－34)×32×(1－32)＋(1－34)×(1 －23)×23
＝376.
(2)根据题意，X 的所以可能取值为 0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得 P(X＝0)＝P( B C D )＝(1－34)×(1－32)×(1－23)＝316， P(X＝1)＝P(B CD )＝43×1－23×1－23＝112， P(X＝2)＝P( B C D )＋P( B C D)＝ (1－34)×23×(1－23)×2＝19， P(X＝3)＝P(BC D )＋P(B C D)
• 【答案】 D
(2012·山东高考改编)现有甲、乙两个靶，某射 手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得 1 分，没有命 中得 0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中 一次得 2 分，没有命中得 0 分．该射手每次射击的结果相互 独立．假设该射手完成以上三次射击．
(1)求该射手恰好命中一次的概率； (2)求该射手的总得分 X 的分布列．
• 【【思尝路试点解答拨】】(1)记分“清该射命手中恰一好命次中的一三次”种为情事况件 A，； “根该射据手相设互计甲独靶立命事中”件为的事概件 率B；公“式该射计手算第一次射击乙
靶命中”为事件 C；“该射手第二次射击乙靶命中”为事件 D.
由题意知，P(B)＝43，P(C)＝P(D)＝32， 由于 A＝B CD ＋ B C D ＋ BC D，根据事件的独立性与互 斥性得
• A．0.12
B．0.42
• C．0.46
D．0.88
• 【思路点拨】 准确把握“至少”与“恰” 等字眼的意义，从而借助于独立事件的的 概率知识求解．
• 【尝试解答】 由题意知，甲、乙都不被 录取的概率为(1－0.6)(1－0.7)＝0.12.
• ∴至少有一人被录取的概率为1－0.12＝ 0.88.
• A．0.960 • C．0.720
B．0.864 D．0.576
• 【解析】 P＝0.9×[1－(1－0.8)2]＝0.864. • 【答案】 B
4．如果 X～B15，14，则使 P(X＝k)取最大值的 k 值为
() A．3
B．4
C．5
D．3 或 4
【解析】 采取特殊值法．
∵P(X＝3)＝C3151433412，P(X＝4)＝C415144·3411，P(X＝5)
(2)由题意知，X～B(3,0.1)
因此 P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，
P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，
P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，
P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001. 故随机变量 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P 0.729 0.243 0.027 0.001
第 7 节 条件概率与独立事件二项分布
• 1．(2011·广东高考)甲、乙两队进行排球
决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就 获冠A.34军，乙队需要再赢B.23两局才能得冠 军．3若两队胜每局的概1率相同，则甲队获 得冠C.5军的概率为( D).2
【解析】 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其 概率 P1＝12；第二类，需比赛 2 局，第一局甲负，第二局甲 赢，其概率 P2＝12×12＝14.故甲队获得冠军的概率为 P1＋P2＝ 3 4.
数的概率为 P(X＝3)＋P(X＝4)＝19.
(3)ξ 可取 0,2,4.
P(ξ＝0)＝P(X＝2)＝287，
P(ξ＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝4801，
P(ξ＝4)＝P(X＝0)＋P(X＝4)＝1871，
随机变量 ξ 的分布列为
ξ
0
2
4
P
8 27
40 81
17 81
• 【归纳提升】 独立重复试验是相互独立 事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立 事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰 好”字样的用独立重复试验的概率公式计 算更简单，就像有“至少”或“至多”字 样的题用对立事件的概率公式计算更简单 一样．
• 【答案】 A
2．(2013·临沂模拟)小王通过英语听力测试的概率是13，
他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过的概率是( )
4
2
A.9
B.9
4
2
C.27
D.27
【解析】 所求概率 P＝C13·131·1－133－1＝49.
• 【答案】 A
• 3．(2011·湖北高考)如图，用K、A1、A2三 类不同的元件连接成一个系统，当K正常工 作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统 正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率 依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率 为( )
(2)借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件 数 n(A)，再求事件 A 与事件 B 的交事件中包含的基本事件数， 即 n(AB)，得 P(B|A)＝nnAAB.
•
甲、乙两人同时报考某一所
大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的
概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则
其中至少有一人被录取的概率为( )
• 预测2014年高考，相互独立事件的概率和 n次独立重复试验仍然是考查的重点，同时
• ●命题新动向●
• 二项分布及其应用
• 二项分布及其应用的综合性强，涉及排列、 组合、二项式定理和概率．将是近几年高 考的一个新热点，成为新增内容的重点考 查内容．独立重复试验要从三个方面考虑： (1)每次试验是在同条件下进行；(2)各项试 验中的事件是相互独立的；(3)每次试验都 只有两种结果，即事件要么发生，要么不 发生．
• P(A|B)是在B发生条件下A发生的概率，不 一样.
• 2．“相互独立”与“事件互斥”有何不同？
• 提示：两事件互斥是指两个事件不可能同 时发生，两事件相互独立是指一个事件发 生与否对另一事件发生的概率没有影 响．两事件相互独立不一定互斥.
•
如图，EFGH是以O为圆心，
半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随
＝34×23×(1－32)×2＝31， P(X＝4)＝P( B CD)＝(1－43)×23×23＝19， P(X＝5)＝P(BCD)＝34×23×23＝13， 故 X 的分布列为
X0 1 2345
1 1 1111 P 36 12 9 3 9 3
• 【归纳提升】 相互独立事件的概率通常 和互斥事件的概率综合在一起考查，这类 问题具有一个明显的特征，那就是在题目 的条件中已经出现一些概率值，解题时先 要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)， 再选择相应的公式计算求解.
机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在
正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在
扇形OHE(阴影部分)内”，则
• (1)P(A)＝__________；(2)P(B|A)＝
__________.
【尝试解答】 圆的面积是 π，正方形的面积是 2，扇
形• 的【面思积路是4π点，根拨据】几何概分型清的是概率随计机算事公式件得的P概(A)率＝2π还，根
＝C5151453410， 从而易知 P(X＝3)＝P(X＝4)>P(X＝5)．
• 【答案】 D
5．(2013·济南模拟)位于直角坐标原点的一个质点 P 按
下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或
向右，并且向左移动的概率为13，向右移动的概率为23，则质 点 P 移动五次后位于点(1,0)的概率是______________
• 所以，随机变量ξ的概率分布列为：
• ●针对训练●
• 下图是某城市通过抽样得到的居民某年的 月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．
• (1)求直方图中x的值； • (2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽
取【3解位】居民(1)依(看题作意及有频放率回分布的直抽方样图知)，，求月均用 水0量．0在2＋30至.1＋4x吨＋0的.37居＋0民.39数＝X1，的解分得布x＝列0.1．2.
•
(2012·天津高考)现有4个人去参加
某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可
供参加者选择．为增加趣味性，约定：每
个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己
去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去
参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙
游戏．
• (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概 率；
• (2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于 去参加乙游戏的人数的概率；
PA
利用条件概率的计算公式 P(B|A)＝
【尝试解答】 P(A)＝C23＋C25C22＝140＝52，P(A∩B)＝CC2225＝
1
10.
1
由条件概率计算公式，得 P(B|A)＝PPA∩AB＝140＝14.
10
• 【答案】 B
【归纳提升】(1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A) ＝PPABA.这是通用的求条件概率的方法．
• (3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、
【尝试解答】 (1)每个人参加甲游戏的概率为 P＝13，
• 【思路点拨】 参加后乙对游应戏的求概解率．为
1－准p＝确23. 判断分布的类型，然
这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为