固体理论讲义二-声子
固体物理学中的晶格振动和声子
固体物理学中的晶格振动和声子晶体是由原子、离子或分子组成的三维周期性结构，在固体物理学中起着重要的作用。
而晶体中的晶格振动是指晶体中原子的振动行为，它是固体物理学中的一个重要研究领域。
在这个领域中，声子是一种非常重要的概念，它可以用来描述晶体中各个原子的振动状态。
晶格振动是由于晶格结构的周期性而出现的。
当我们把晶体简化成最简单的一维线性链结构来研究，就可以更好地理解晶格振动的性质。
假设晶体中的原子按照一定的规则排列，形成一个周期性的结构。
当晶体中的原子发生微小的振动时，它会传递给相邻的原子，从而引起整个晶体的振动。
声子是晶体中的一种元激发，它描述了晶体中各个原子的振动状态，并且可以传递能量和动量。
在一维线性链结构中，我们可以通过人为设定边界条件来研究声子的行为。
假设链的两端被固定住，这意味着链中的第一个和最后一个原子不能移动。
在这种情况下，我们称之为固定边界条件。
根据固定边界条件，声子的振动模式可以分为两种类型，即长波动和短波动。
在长波动中，链中的每个原子振动的幅度大致相同，而在短波动中，链中的原子振动的幅度逐渐减小，直到最后一个原子完全不振动。
在晶体中，声子的振动模式可以更加复杂。
由于晶体的周期性结构，声子的能量和动量也有一定的限制。
根据晶体的对称性和周期性，声子的振动模式可以分为不同的类型，称之为晶格振动模式。
在固体物理学中，研究晶体中声子的行为是非常重要的，因为声子的能量影响了晶体的热传导性能，而声子的动量则影响了晶体的电导性能。
在研究晶体中的声子时，科学家们发现了一些有趣的现象。
例如，在一些特殊的晶体结构中，声子的能带结构会出现禁带。
这意味着在某些能量范围内，声子是无法存在的。
这种现象与电子在固体中的行为非常相似，因为晶体中的声子和电子都具有波粒二象性。
这种禁带结构对于理解固体的热传导性和光学性质都是非常重要的。
此外，声子还可以与其他凝聚态物理中的激发类似，例如声子与电子之间的相互作用。
固体物理学第二章
k : 简约波矢；n：能带标记
在每一个布里渊区中给出所有能带。 周期布里渊区图象：
由于认为 k 与 k G 等价，因此可以认为 En k 是以倒格 矢 G 为周期的周期函数，即对于同一能带n，有
En k En k G
E (k ) E (k kh )
En(k)函数的三种图象:
扩展布里渊区图象： 不同的能带在k空间中不同的布
里渊区中给出。每一个布里渊区
有中一个能带，第n个能带在第n 个布里渊区中。
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
简约布里渊区图象： 所有能带都在简约区中给出。
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
电子能量： En k
要使波函数有异于零的非平凡解，需
1 iK eiKa iKeiKa 1 iK eiKa iKe iKa 1 F eik ( a b ) e Fb eik ( a b ) e Fb F 1 F eik ( a b ) e Fb eik ( a b ) e Fb F 0
原子能级与能带的对应
对于原子的内层电子，其电子 轨道很小，因而形成的能 带较窄。这时，原子能级与能带之间有简单的一一对应关
系。 对于外层电子，由于其电子轨道较大，形成的能带就较宽。
这时，原子能级与能带之间比较复杂，不一定有简单的一一 对应关系。一个能带不一定与孤立原子的某个能级相对应， 可能会出现能带的重叠。
所对应的平移算符本征值相同。
i k a 对于 k ： e
对于 k k G n
' e i k a
：
e
i k a
声子的名词解释
声子的名词解释声子（Phonon），即“晶格振动的简正模能量量子”。
在固体物理学的概念中，结晶态固体中的原子或分子是按一定的规律排列在晶格上的。
在晶体中，原子间有相互作用，原子并非是静止的，它们总是围绕着其平衡位置在作不断的振动。
另一方面，这些原子又通过其间的相互作用力而连系在一起，即它们各自的振动不是彼此独立的。
原子之间的相互作用力一般可以很好地近似为弹性力。
形象地讲，若把原子比作小球的话，整个晶体犹如由许多规则排列的小球构成，而小球之间又彼此由弹簧连接起来一般，从而每个原子的振动都要牵动周围的原子，使振动以弹性波的形式在晶体中传播。
这种振动在理论上可以认为是一系列基本的振动（即简正振动）的叠加。
当原子振动的振幅与原子间距的比值很小时（这在一般情况下总是固体中在定量上高度正确的原子运动图象），如果我们在原子振动的势能展开式中只取到平方项的话（这即所谓的简谐近似），那么，这些组成晶体中弹性波的各个基本的简正振动就是彼此独立的。
换句话说，每一种简正振动模式实际上就是一种具有特定的频率ν、波长λ和一定传播方向的弹性波，整个系统也就相当于由一系列相互独立的谐振子构成。
在经典理论中，这些谐振子的能量将是连续的，但按照量子力学，它们的能量则必须是量子化的，只能取hν的整数倍，即En=（n+1/2）hν（其中E0=hν/2为零点能）。
这样，相应的能态En就可以认为是由n个能量为hν的“激发量子”相加而成。
而这种量子化了的弹性波的最小单位就叫声子。
声子是一种元激发。
因此，声子用来描述晶格的简谐振动，是固体理论中很重要的一个概念。
按照量子力学，物体是由大量的原子构成，每种原子又都含有原子核和电子，因此固体内存在原子核之间的相互作用、电子间的相互作用还有原子核与电子间的相互作用。
电子的运动规律可以用密度泛函理论得到，那么原子核的运动规律就用声子来描述。
当然这两个理论（密度泛函和声子）都是近似的，因为解析的严格解到为止还没有得到。
声子的概念和特点
声子的概念和特点声子（Phonon）是固体物理学中描述晶体中晶格振动的量子发生器的概念。
声子是晶体中的一个虚拟粒子，它表示的是晶格振动的量子。
声子的概念是为了描述固体中的宏观振动现象及其与固体中其他粒子相互作用的研究提供一个有用的理论框架。
声子的特点有以下几个方面：1. 粒子性质：声子是晶格振动的量子化现象，其具有粒子性质。
晶体中的振动能量按量子化的方式传递，其中每个声子对应一个能量和动量，其传播速度与晶体中的声速有关。
2. 统计性质：声子是一种玻色子，遵循玻色-爱因斯坦分布。
根据玻色子性质，声子之间是可以相互叠加的。
这使得声子能够形成声子气体，从而影响固体的热导率、声学性质等。
3. 激发行为：声子在晶体中的产生可以通过热激发或外加能量的方式。
当系统受到外界扰动时，原子或分子之间的相互作用使得晶格发生振动，这些振动以声子的形式传播。
4. 能量谱：声子能量与动量之间存在一个关系，称为能谱。
能谱基本上是晶体中离子力学矩阵的函数，它描述了声子的能量与其频率和波矢之间的关系。
在一维晶格中，能谱是连续的，而在二维和三维晶格中，能谱是分散的。
5. 声子晶体学：声子是晶体中晶格振动的变分量子，声子晶体学是一种将振动波矢（声子）引入到晶体学中的方法。
在声子晶体学中，声子的离散能谱导致了晶体中声学和光学模式的出现。
6. 热传导：声子在固体中的传播是晶体的热传导的基础。
因为声子具有一定的动量，当声子在晶格中传播时，会导致晶格的振动，进而导致晶格的温度升高。
声子的能量传递机制是固体中热传导的重要机制之一。
总之，声子作为固体物理学中的基本概念，在研究固体中的振动性质、热传导机制、声学行为等方面起着重要作用。
通过对声子的理解和研究，可以更好地解释晶体的宏观性质和固体的热力学行为。
同时，声子也是新材料、热电材料等领域的重要研究方向，这些研究有望为材料设计和能源利用提供新的思路。
[]2012-固体理论第二章声子-第二讲
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F(xd)xYd(uxd)x dx
第二章 声子
考虑dx段，质量为ρdx，运动方程为：
d2u(xt), F(x)F(xd)xdxd2t
dd x 2 u d (2 xtt), Y [dd (x x u t),d(x u d x dxt),]
第二章 声子
d2ud(2xt t,)Yd2du(xx2 t,) 2u(xt,)Y2u(xt,)
{(Rl' Rl) (l l' )(
(Rl'
Rl )
)}u (r) r
rl
u (r) r
)
rl
1 2 l,l' ,
{
1 2
(Rl'
Rl
)
(l
l'
)(
(Rl'
Rl )
)}u (r) r
rl
u (r) r
)
rl
第二章 声子
1Ω
2l
, ,
C;
u (r) r
rl
u (r) r
rl
第二章 声子
应变张量S为无量纲参数：
S
11
2 S12
2 S13
S 2S 21 S 22 2S 23
2 S 31 2 S 32 S 33
第二章 声子
由于Tij=Tji; Sij=Sji 即T23=T32 、T12=T21 、T13=T31
S23=S32 、S12=S21 、S13=S31
S1
S
2
S
3
S4
S
5
S 6
或者：
第二章 声子
6
Ti cijSj (i1,2,6) j1
固体材料中的声子晶体与声子带隙
固体材料中的声子晶体与声子带隙声子晶体是一种新兴的研究领域，它是在固体材料中由声子构成的晶格结构。
声子晶体与电子晶体类似，都有禁带和声子态等物理特性。
声子晶体的研究不仅有助于深入理解固体材料的声学特性，也有望在声子学器件的设计和制造中发挥重要作用。
声子晶体的产生与固体材料的周期性结构密切相关。
在固体材料中，原子或分子会通过化学键或相互作用力组成晶格结构。
这些晶格结构形成了固体材料的周期性特点，使声波在固体中传播时遭遇反射、折射等现象。
声子晶体的形成就是通过对固体材料的晶格结构进行调控和改变，使得声波的传播产生类似于电子在晶体中的能带结构。
在晶体中，不同的能带代表了不同的电子能量和动量状态。
类似地，声子晶体中的声子带隙表示了声子在频率和波矢空间中的禁止态，它是声子晶体中声辐射传播的屏障。
声子带隙的存在导致了特定频率范围内的声波传播是禁止的，这使得声子晶体具有声学隔离和波导特性。
声子带隙的产生是通过晶格周期性结构和声子-声子相互作用共同作用的结果。
晶格周期性结构会导致声子散射，其结果将是声子态在频率和波矢空间中的限制。
而声子-声子相互作用则会产生声子带隙，使得声子态在禁止频率范围内无法传播。
声子-声子相互作用的强度与晶格结构和物质的性质密切相关，这也是研究声子带隙的核心问题。
随着对声子晶体研究的深入，人们发现声子带隙不仅与固体材料的晶格结构有关，也与声子的自旋、偏振和弛豫等特性密切相关。
这为设计和制造具有特定声学性能的声子晶体材料提供了更多的思路和方法。
在实际应用中，声子晶体材料可以用于控制隔音、吸声和声波导的特性，从而在声学器件和声波通信系统中发挥重要作用。
除了固体材料中的声子晶体，声子带隙的研究也逐渐扩展到其他领域。
例如，声子晶体在光子学中的应用也备受关注。
光子晶体是一种由人工构造的周期性结构，可以控制光波的传播和散射。
声子晶体与光子晶体类似，都是通过改变周期性结构来实现波导和禁带效应。
因此，声子晶体的研究也有助于光学器件的设计和光子学领域的发展。
复习资料-固体物理
声子: 晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体地在其平衡位置附近作振动，由于原子间的相互作用力，各个原子的振动不是彼此独立的，表现为一系列的格波。
格波的能量是量子化的，其最小单位也是 ω，称声子，它是一种玻色子。
声子是格波能量变化的最小单位，它并不是那个原子所有，而是某个格波能量的变化单位。
声子的性质: (1)声子是一种准粒子。
(2)是一种自旋量子数为零的玻色子。
(3)满足动量守恒与能量守恒定律。
(4)声子间互相碰撞改变状态、消灭、形成新的声子。
声子与声子的作用：产生或湮灭，倒过程，产生热导与热阻。
热传导的产生：固体热传导的能量载体包括电子，声子和光子。
温度高处声子浓度大，声子将以声速往温度低处运动，这就是声子导热过程。
由于晶格作非简諧运动，声子间会发生散射。
倒格矢及其正格子的关系及其证明设倒格子的基矢为b 1、b 2、b 3，倒格矢可表示为: 当倒格子基矢b j （j = 1，2，3）与正格子基矢a i （i = 1，2，3）之间符合以下关系式（1.1.7）自然满足。
以a i 为基矢的格子与b j 为基矢的格子，互为正倒格子。
晶体中缺陷的产生分类及其性质缺陷是引起晶体中周期性畸变的区域。
缺陷的形成或消失，都是通过与其它的缺陷（如位错、晶界、界面等）间相互作用来完成的，缺陷可以分为原子缺陷与电子缺陷两大类。
使晶体中电子周期性势场畸变的称电子缺陷；使原子排列周期性畸变的称原子缺陷。
根据原子缺陷的线度可分为：点缺陷、线缺陷、面缺陷、体缺陷、微缺陷、声子 布洛赫函数与布洛赫波及其性质u(k,r)应具有与晶格相同的周期性 上式称布洛赫函数或布洛赫波物理意义：电子可以在整个晶体中运动；不同点发现的几率不同；电子出现在不同原胞的对应点上几率是相同的，是晶体周期性的反映。
布洛赫函数的状态由波矢决定。
布洛赫波性质这是一个调幅平面波。
表明晶体中电子是公有化的：不同点发现的几率不同；等同点或对称点发现电子几率相同。
能带的产生及其性质从能量的角度看，如果电子只有原子内运动（孤立原子情况），电子的能量取分立的能级；若电子只有共有化运动（自由电子情况），电子的能量连续取值。
固体物理学中的声子
固体物理学中的声子固体物理学是研究物质的力学、热力学、电磁特性以及构成等问题的学科。
而从这个角度来看，声子是固体物理学派别中的一个重要研究对象。
声子的定义声子是指在具有周期性结构的晶体中的一种准粒子，代表的是一种机械波在晶格中的传播情况。
它是一种纵波和横波的混合波，既有弹性波也有热量运输波。
声子在固体物理学中的重要性在固体物理学中，声子的重要性不断凸显。
它的影响力主要体现在以下几个方面：1. 声子振动与热容量声子是带有量子力学属性的物体，其振动方式有着其自身的能量。
在热力学中，它们作为粒子来考虑，与其运动方式的能量大小成比例。
因此，声子振动是导致晶体热容量实验数据出现反常现象的原因之一。
2. 声子振动与热导率声子振动也对热导率有着重要的影响。
它们是晶体中热量的传递媒介，对热的传输和分布起着极大的作用。
3. 声子振动与晶格动力学声子在晶体中的传播与晶格动力学有着密切的关系。
它们的振动方式是晶体中的原子或离子在平衡位置周围的小幅度偏差。
4. 声子振动与固体结构稳定性晶体中的原子或离子通过共价键连接在一起，形成晶体。
声子振动在这些键中传播，维持着晶体的稳定结构。
声子是固体稳定性的不可或缺的因素，它们通过振动调整化学键的长度和角度，控制着晶体的结构。
发展历史与重大发现声子的概念得以最早阐明是在20世纪20年代。
于1933年提出对于固体中声子的经典统计描述并成功应用于微观热力学、声学和物态相变等领域。
1960年代，人们开始使用中子和X-射线散射来探测声子，进一步深入了解了声子的属性。
这期间提出的Einstein模型和Debye模型相继被正式提出并得到广泛应用。
直到20世纪60年代，声子服从的能量-动量关系得到了三个独立实验的证实。
由此，确定了固体中声子的自由度数，为研究声子埋下了基础。
固体物理学中的声子虽然自从被发现以来已经有了几十年的研究历程，但它的研究和发展永远不会停止。
与此同时，也不可遏制的是，固体物理学的其他领域中也存在着许许多多的未发现的研究对象，等待着专业人士们的发现和解析。
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1． 晶格动力学本节用经典力学的方法讨论完整晶格中原子（离子）绕平衡位置的振动-晶格振动晶体的元胞数为N ，原子质量为M ，原子的位置： )()(t u R t X l l l +=)(t u l 则代表此原子的位移。
晶格振动的总动能 z y x u u M T ll l ,,21,==••∑αααα总势能为 ...)',(21)(',',0+Φ+Φ+Φ=Φ∑∑∑βααβαβαααl l l l l l u u l l u l ),'()',(0)(0'200l l u u l l u l l l lβαβααβααΦ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Φ∂=Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂Φ∂=ΦΦ的势能。
为常数，是平衡位置时由于晶体的平移对称性 )'()'()',(l l l l l l -Φ=-Φ=Φβααβαβ)'(l l -Φαβ代表l ’元胞中原子沿β方向移动单位距离时对l 元胞中原子作用力沿α方向的分量，称为力常数 ∑=-Φ'0)'(l l l αβ因为当整体作刚性运动（即每个原子均作ααv u l =）时，晶格中任一原子受到其它原子作用力之总和为零；即)'()'()('''=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-Φ-=-Φ-=∂Φ∂-=∑∑∑ββαβββαβααv l l u l l u l F l l l------------------------- 略去Φ展开的三次方∑∑∑•=-Φ+=∆Φ+=αααββααβααα,,'',)'(2121l l l l l l l l l u M p u u l l p p MT H由正则方程可得系统的运动方程 ββαβα',')'(l l l u l l u M -Φ-=∑••利用平移对称性及布洛赫定理 αα0u e u l R ik l •=对于确定的k ，运动方程的解表现出下列特征： （1） 各元胞中原子振动的方向相同，振幅相等。
（2） 有特定的相位关系，按lik R e •变化---------令ααk U u =0对应于用波矢k 标记的特解 z y x U k D U k k,,,)(=-=∑••βαββαβα∑•-Φ≡lR ik lel Mk D )(1)(αβαβ-------3⨯3动力学矩阵，为实的厄米矩阵。
其对角化方程为 αββαβωkk e e k D 2)(=∑ ω为振动频率，由久期方程 0||)(||det 2=-αβαβδωk D 可求出3个本征频率和本征向量 ），，（321;)(==σωωσσk e kσk e 满足正交性和完备性条件 t i k k e e U ωαα-~结合以上方程可知： ][1~t R k i k l l e e Nu ωαα-• 代表波矢为k 、偏振为σ、频率为)(k σω的格波解。
根据正格矢与倒格矢之间的关系可得 )()(k D K k D n αβαβ=+ 动力学矩阵是倒逆空间的周期函数；因此在BZ 内讨论即可。
------------------由于有N 个不同的k ，而每个k 又对应3个本征值，因此有3N 个简正模（或格波解），它们满足正交、归一和完备性条件，构成3N 维空间函数组。
晶格振动的一般解： l R ik k k k le Q e NMu •∑=σασσα,1系数σk Q （包括t k i e )(σω-因子）在固体物理学中称为简正坐标；σk e 代表格波的偏振方向，称为极化矢量，它是单位矢。
-------------对于具有r 个原子的复式晶格，本征频率 )3,..,2,1()(r k ==σωωσl R ik k k k sl e Q s e NM s u •∑=σσσ)(1)(,以上是晶格动力学的基本原理。
2.格波的特性1. )(k σω的共性i ）格波的本征频率是倒点阵的周期函数 )()(n K k k +=σσωωii ）)(k σω具有点阵所属点群的全部对称性 )()(k k αωωσσ= iii ）存在一个普遍的关系式 )()(k k -=σσωω 它是时间反演对称性的结果。
2.声学模与光学模声学模：色散曲线具有k=0时，ωσ=0特征的格波称为声学模。
光学模：反之，当k=0时0≠σω的格波解称为光学模。
可以证明：简单晶格中的全部格波解都属于声学模 因为：∑•-Φ≡lR ik lel Mk D )(1)(αβαβ0)(1)0(=Φ≡=∑ll Mk D αβαβ在复式晶格中，同时存在声学模和光学模对于元胞中有r 个原子的复式晶格有本征方程 )()'(',',2s e s e s s k D k s k αββαβω∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 其中s,s ’=1,…,r,代表元胞中不同的原子。
格波频率由下式决定： 0||',||det '2=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ss s s k D δδωαβαβ lR ik l s s es s l M M s s k D •-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑',1','αβαβ 0'2)'()(','⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Φ∂≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φs u s u s s l l l l βααβ同样，复式晶格的刚性位移不产生应力∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ','0','s l s s l l αβ将αβD 0时的=k 代入本征方程可得)3,...,2,1()'(','1)()('',',2r M s e s s l l M M s e s s l s s =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ΓΓΓ∑σωβσβαβασσ如果某确定的σ的解在长波限满足条件r s s M s e M s e s s ,...,1',)'()('==ΓΓασασ----------同向运动则本征方程变为声学模,0)(0',')(1)()(2','2=Γ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡Γ∑∑ΓΓσαβββσασσωωs s l l M s e M M s e s l s ss由此可知，复式晶格的声学模为元胞内各原子的同向运动，即元胞的质心运动 每个k 值有3个独立的σ解属于声学模。
在一般情况下0)(≠Γσω，即其它（3r-3）个σ解属于格波的光学模 如果（s=1，2），当'σσ≠时Γ点的实极化矢量满足正交关系：()0)2()2()1()1()2()1()2()1(''''=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ΓΓΓΓΓΓΓΓσσσσσσσσe e e e e e e e设σ为声学模，由于对声学模有21)2()1(M e M e σσΓΓ=代入上式可得[]0)2()1()1('2'11=+•ΓΓΓσσσe M e M M e由于3个声学模解的极化向量)3,2,1()(=Γσσs e 彼此正交。
因此，光学模满足条件)2()1()2()1(21'2'1=+-=ΓΓl l u M u M e M e M σσ因此，光学模代表元胞的质心不动，元胞内原子的相对运动。
3. 格波频率的计算（i ）∑线（包含Γ、M 点）横向声学模：极化矢量e 与传播方向垂直； 纵向声学模：极化矢量e 与传播方向平行；（ii ）∆线（包含Γ、X 点） 存在横向声学模和纵向声学模 （iii ）Z 线（包含X 、M 点） 既非横波，也非纵波。
3. 简正坐标在简谐近似下晶格振动已由简正模的线性叠加表示lR ik k k k l e e Q NMu •∑=σσσ,1其中σk Q 是复简正坐标，由于l u 为实量，则l l u u =*；那么σσσσk k k k Q e Q e --=*若约定极化矢量满足关系式 σσk k e e -=则复简正坐标 σσk k Q Q -=*对于动能••••-••••∑∑∑∑∑∑=•=•=•=σσσσσσσσσσσσσσσδk k k k k k k k kk k k k k k k lll Q Q e e Q Q e e Q Q u u M T ,*','*','''',',''21)(21)(2121晶格振动的势能AeNQ Q u l l u lR k k i k k k k l l l l l∑∑∑∑∑•-=-Φ=∆Φ)'(''',',*',,'121)'(21σσσσβαβαβα其中)'()()'()'(12''''''')(''k e e e k D e e e l l M e A k k k k k l R R ik k l l σασαασββσαβαασββσαβαασω∑∑∑∑∑∑==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-Φ=-•- 那么 σσσσωk k k Q Q k ∑=∆Φ,*2)(21 晶格振动的哈密顿可简化为 ∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=••σσσσσσω,*2*)(21k k k k k Q Q k Q Q HH 在简正坐标中表示为3N 个独立项之和； 利用拉氏函数∆Φ-=T L可求出Q k σ的共轭动量 ••=∂∂=*σσσk k k Q Q L P ∑⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=σσσσσσω,*2*)(21k k k k k Q Q k P P H 根据正则方程 σσk k Q HP ∂∂-=•可求出简正坐标满足方程 02=+••σσσωk k k Q Q 与简谐振子的运动方程在形式上相同。
利用傅里叶变换∑∑•-•-•=•=ααασσσ,)(1)(l R ik lkl R ik lkk lle u e NMeu e NM Q∑∑•-•-•=•=ααασσσ,)(1)(1l R ik l k lR ik lkk llep e NMep e NMP显然简正坐标σk Q 和其共轭动量σk P 均为集体坐标。
4.声子晶格振动必须用量子力学处理其量子化条件为共轭量βαl l u p ,满足对易关系),,,(0],[],[],[''''''z y x p p u u i p u u p u p l l l l ll l l l l l l ====-≡βαδδβαβααβαββαβα（一次量子化）那么容易求得简正坐标的对易律：ie N e e i e u p e e N Q P ll l l R k k i lk k R k R k i l l k l l k k k ===•-•-•∑∑∑∑)'('''('''',,''1)(],)[(1],['ασαασβαβσβαασσσ）0],[],[''''==σσσσk k k k P P Q Q由于（P ，Q ）为复共轭量，因此，H 哈米顿中))((21*2*σσσσσωk k k k Q Q k P P +并不对应量子力学中频率为)(k σω的简谐振子哈密顿量)(21222q p ω+，因为（p ，q ）为实量。