【浙教版】九年级上册数学：1.3《二次函数的性质》
(0,1.5) o
(4,3) x(m)
二次函数与一元二次方程 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
(1).每个图象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
例2：
已知抛物线y=（x+1）2-2，将此抛物线分别 作轴对称变换，请分别求出变换后的抛物线。
（1）关于x轴作轴对称变换 （2）关于y轴作轴对称变换
． （-1，2）
．．
（-(1-，1,--22)） (1,-2)
已知抛物线y=x2-2x-3，将其图像作以下对称， 请写出对称后的抛物线。
（1）关于x轴作轴对称变换
b2
, (-2,-1)
, (2, -1)
新知探索
根据右边已画好的函数图象回答问题：
(1)抛物线 y 1 x2 ，2x当1自变
2
量X增大时，函数值y将怎样变化？
先减小，后增大.
Y
5
4 y 1 x2 2x 1
3
2
2
1 直线x=2
当x ≤-2时,y随着x的增大而减小
-5 -4 -3 -2 -1 O
（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
∵图象过A(0，1) 、B（1，2）、C（2，-1）三点
a 02 b 0 c 1
∴ a
12
b
1
c
2
a 22 b 2 c 1
a 2 ∴b 3
c 1
∴y= -2x2+3x+1
（2）图象顶点是（-2，3），且经过点（-1，5）
解：∵图象顶点是（-2，3） ∴设其解析式为y=a（x+2）2+3 ∵图象经过点（-1，5） ∴5=a（-1+2）2+3 ∴a=2
∴y=2（x+2）2+3
（3）图象经过A（1，0）、B（0，-3），且对称轴是直线x=2
解：∵A(1，0)，对称轴为x=2 ∴抛物线与x轴另一个交点C应 为（3，0） ∴设其解析式为y=a(x-1)(x-3)
4,将抛物线y=x2向下平移后,使 它的顶点C与它在x轴上的两个 交点A,B组成等边三角形ABC, 求此抛物线的解析式.
5,已知二次函数y=2x2+8mx+2m+3,如果 它的图像的顶点在x轴上,求m的值和顶 点坐标.
6,已知抛物线y=0.25x2,把它的顶点移到 x轴上的点A, 所得的抛物线与y轴交于 点B,且线段OA,OB满足关系OA-1 =OB, 试说明平移方法.
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: ①有两个交点, ②有一个交点, ③没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,
的图象和x轴交点
ax2+bx+c=0的根
有两个交点
有两个相异的实数根
一元二次方程
ax2+bx+c=0根的判别式 Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
举例:
求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、 B的坐标。
即 y x2 2x 3
或 y (x 1)2 4
(-1,0) o
(3,0) x
（4）对称轴：直线x = 1 （5）顶点坐标（1，-4）
(0,-3)
（6）当x = 1时， y有最小值 4
（7）当x≥1，y 随 x 增大而增大； （8）当x = -1 或 3 时，y = 0 ；
当x≤1 ，y 随 x 增大而减小.
函数值y=0时,对应x的取值范围是 __-3_或__1 __
当x__≥_-1____时,y随x的增大而增大.
练一练：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、 b2-4ac的符号：
y
o
x
练一练：
已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图
所示，则点M（ b ，a）在（ D ）
c
A、第一象限
交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一 元二次方程ax2+bx+c=0的根.
抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元二次方 程的知识来说明呢？
Y △＜0
△=0
△＞0
O
X
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c 一元二次方程
当x
2ab
时,最大值 为4ac
b2
2a
4a
1,已知抛物线y=ax2经过点(-2,2). (1)求这条抛物线的解析式. (2)求出这个二次函数的最大值或最小值. (3)在此抛物线上有两点A(x1,y1),B(x2,y2), 且x1>x2>0,试比较y1与y2的大小.
练习二：一运动员推铅球，铅球经过的 路线为如图所示的抛物线。 （1）求铅球所经过的路线的函数解析式 和自变量取值范围。 （2）铅球的落地点离运动员有多远？
y
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
o
x
练习2、已知二次函数
y=ax2+bx+c的图象如图所 示,下列结论①a+ b + c<0 ②a – b + c>0 ③abc>0 ④ b=2a。其中正确的结论的 个数是（ D ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
y
n
-1 O 1
x
m
练一练：
已知：一次函数y=ax+c与二次函数
-1
当x ≥-2时,y随着x的增大而增大.
直线x=-2 -2
(2)抛物线 y 1 x2， 当x 自2 变
-3
4
-4
量X增大时，函数值y将怎样变化？
-5
先增大，后减小.
1 2 3 4 5X
y 1 x2 x 2 4
当x ≤2时,y随着x的增大而增大 当x ≥2时,y随着x的增大而减小.
二次函数图象y=-x2+2（m-1）x+2m-m2 （1）图像关于y轴对称，则m = （2）图像经过原点，则m= （3）图像与坐标轴只有2个交点，则m=
求函数的解析式的几种方法
(1) 已知抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件,求函数的解析式.
( 1 )图象过A(0，1) 、B（1，2）、C（2，-1）三点
因此，抛物线与一元二次方程是有密切
联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是
x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交
点坐标分别是A（ y
x1，0），
B（x2，0 ）
x1 x2 x OA B
二次函数图象y=ax2+bx+c 如果图象的顶点在x轴上，则
如果图像的顶点在y轴上，则
y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大
致图象是图中的（
y
C
）
y
o
x
y （A）
o
x
（B） y
o
x
（知二次函数 y ax2 bx c 图象，尽可能多的
说出一些结论.
（1）a >0，b < 0， c ＜ 0.
y x 1
（2） b2 4ac 0
(3) 函数解析式： y (x 1)(x 3)
,y随着x的增大而减小. , y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值 为4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直 线x b
2a
由a,b和c的符号确定
向下
当x b 时 2a
当x b 时
,y随着x的增大而增大. , y随着x的增大而减小.
B． y2 y1 y3
D． y1 y3 y2
C
A B
y 2x 1
2x 1 x2 6x 4
y 2x 1
y
x2
6x
4
y x2 6x 4
数形结合 转化思想
y1 2x 1
当x为何值时，y1＞ y2 ？ X＜1或X＞3
y2 x2 6x 4
解：∵A、B在x轴上，
∴它们的纵坐标为0，
∴令y=0，则x2-3x+2=0
解得：x1=1，x2=2； ∴A（1，0） ， B（2，0） 你发现方程 x2-3x+2=0 的解x1、x2与A、B的 坐标有什么联系？
结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线
最新浙教版初中九年级《数学》上册全册期末总复习知识点考点整理复习汇总完整完美精品打印版
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1.二次函数1.1 二次函数二次函数是形如y=ax²+bx+c (其中a,b,c是常数，a≠0)的函数。
a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
1.2 二次函数的图像二次函数y=ax²(a≠0)的图像是一条抛物线，关于y轴对称，顶点在坐标原点。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当a0时）或向左（当m0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到，顶点为(m,k)，对称轴为直线x=m。
1.3 二次函数的性质二次函数y=ax² (a≠0)的图像具有如下性质：1）对称轴为x=-b/2a；2）最值点为顶点，最大值为k (当a0时)；3）图像开口方向由a的符号确定。
1.4 二次函数的应用运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的自变量必须在自变量的取值范围内。
2.简单事件的概率2.1 事件的可能性根据事件是否发生的可能性，可以将事件分为三类：必然事件、不可能事件、不确定事件或随机事件。
2.2 简单事件的概率将事件发生可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P 表示。
事件A发生的概率记为P(A)。
必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；随机事件的概率介于0与1之间，即0<P(随机事件)<1.如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m(m≤n)，那么事件A发生的概率为：P(A)=m/n。
使用公式P(A)=m/n来计算简单事件发生的概率，需要先确定所有结果的可能性相等，然后确定所有可能的结果总数n和事件A包含的结果数m。
专题1.3 二次函数的图象与性质(二)【八大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题1.3 二次函数的图象与性质（二）【八大题型】【浙教版】【题型1 利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】 (1)【题型2 利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围】 (4)【题型3 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数的值】 (6)【题型4 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数取值范围】 (9)【题型5 根据二次函数的性质求最值】 (11)【题型6 二次函数的对称性的运用】 (13)【题型7 二次函数的图象与一次函数图象共存问题】 (16)【题型8 利用二次函数的图象与系数的关系判断结论】 (19)【题型1利用二次函数的图象与性质比较函数值的大小】【例1】（2023春·天津滨海新·九年级校考期中）已知点A(−2,y1)，B(1,y2)，C(5,y3)在二次函数y=−3x2+k 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y1<y2<y3B．y3<y2<y1C．y3<y1<y2D．y1<y3<y2【答案】C【分析】根据题意可得二次函数y=−3x2+k的图象的对称轴为y轴，从而得到点A(−2,y1)关于对称轴的对称点为(2,y1)，再由当x>0时，y随x的增大而减小，即可求解．【详解】解：∵二次函数y=−3x2+k的图象的对称轴为y轴，∴点A(−2,y1)关于对称轴的对称点为(2,y1)，∵−3<0，∴当x>0时，y随x的增大而减小，∵1<2<5，∴y3<y1<y2．故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【变式1-1】（2023春·九年级单元测试）若点C(x1,m)、D(x2,n)在抛物线y=−2(x−3)2的图象上，且x1>x2 >3，则m与n的大小关系为______．【答案】m<n【分析】根据二次函数解析式，求得二次函数的对称轴，开口方向，再根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：由抛物线y=−2(x−3)2可得，a<0，开口向下，对称轴为x=3，∴当x>3时，y随x的增大而减小，又∵x1>x2>3，∴m<n故答案为：m<n【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质．【变式1-2】（2023春·福建漳州·九年级统考期末）已知点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)都在二次函数y=ax2−2ax−3a(a≠0)的图像上，若−1<x1<0,1<x2<2,x3>3，则下列关于y1，y2，y3三者的大小关系判断一定正确的是（）A．y1可能最大，不可能最小B．y3可能最大，也可能最小C．y3可能最大，不可能最小D．y2不可能最大，可能最小【答案】B【分析】求出函数图像的对称轴，与x轴的交点，分a>0和a<0两种情况，根据已知三点与对称轴的距离，结合开口方向分析即可．【详解】解：在y=ax2−2ax−3a(a≠0)中，=1，对称轴为直线x=−−2a2a令ax2−2ax−3a=0，解得：x1=−1，x2=3，∴函数图像与x轴交于(−1,0)，(3,0)，∵−1<x1<0,1<x2<2,x3>3，∴(x3,y3)离对称轴最远，(x2,y2)离对称轴最近，当a>0时，开口向上，∴y3>y1>y2；当a<0时，开口向下，∴y3<y1<y2；∴y2和y3可能最大，也可能最小，故选B．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据表达式求出对称轴和与x轴交点，利用性质进行分析．【变式1-3】（2023·浙江温州·校考三模）已知二次函数y =x 2−2x 的图象过A (a,y 1),B (2a,y 2)两点，下列选项正确的是（ ）A ．若a <0，则y 1>y 2B ．若0<a <23，则y 1<y 2C ．若23<a <1，则y 1<y 2D ．若a >1，则y 1>y 2【答案】C【分析】根据根据二次函数的解析式得到对称轴为直线x =1，再利用二次函数的性质对各项判断即可解答．【详解】解：∵二次函数y =x 2−2x 的图象过A (a,y 1),B (2a,y 2)两点，∴二次函数的顶点式为：y =x 2−2x =(x−1)2−1，∴当x <1时，y 随x 的增大而减小，当x >1时，y 随x 的增大而增大；∵a <0，∴2a <0，∴a >2a ，∴y 1<y 2，故A 错误；∵二次函数的顶点式为：y =x 2−2x =(x−1)2−1，∴抛物线的对称轴为直线x =1，若a 2a 2=1，∴解得：a =23，∴当a =23时，a 和2a 关于x =1对称，∴当0<a <23时，y 1>y 2；当23<a <1时，y 1<y 2，故B 错误，C 正确；当a >1时，y 随x 的增大而增大，∵a <2a ，∴y 1<y 2，故D 错误；故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称轴，掌握二次函数的性质是解题的关键．【题型2利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围】【例2】（2023·江苏苏州·模拟预测）若二次函数y=x2−2x−3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为___________．【答案】4【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为(1,−4)，由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4．【详解】解：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为(1,−4)，∴顶点到x轴的距离为4，∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，掌握求二次函数对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．【变式2-1】（2023·江苏南通·统考二模）若抛物线y=−x2+4x−n的顶点在x轴的下方，则实数n的取值范围是______．【答案】n>4【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再利用顶点在x轴下方，即可求出n的范围．【详解】解：y=−x2+4x−n，化为顶点式为：y=−(x−2)2+4−n，∵4−n<0，∴n>4，故答案为：n>4．【点睛】本题考查了抛物线的顶点式解析式，解题关键是理解当顶点纵坐标小于0时，顶点位于x轴下方．【变式2-2】（2023·黑龙江大庆·大庆一中校考模拟预测）二次函数y=kx2−x−4k（k为常数且k≠0）的图象始终经过第二象限内的定点A．设点A的纵坐标为m，若该函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，则k 的取值范围是______．【答案】0<k<1或−1<k<0【分析】先计算二次函数过两个定点，确定m=2，根据函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，分k>0和k<0两种情况列不等式即可解答．【详解】解：∵y=kx2−x−4k=k(x2−4)−x，∴x2−4=0，∴x=±2，当x=2时，y=−2，当x=−2时，y=2，∴二次函数y=kx2−x−4k（k为常数且k≠0）的图象始终经过定点−2，2，2，−2，∴m=2，∵函数y=kx2−x−4k的图象与y=2在1<x<3内没有交点，∴分两种情况：①当k>0时，x=3时，y<2，即9k−3−4k<2，∴k<1，∴0<k<1，②当k<0时，当x=1时，y<2，即k−1−4k<2，∴k>−1，∴−1<k<0，综上所述，k的取值范围是0<k<1或−1<k<0，故答案为：0<k<1或−1<k<0．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，计算定点A的坐标．【变式2-3】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)和(0,−1)，则a+b+c的取值范围是（）A ．−2<a +b +c <0B ．−2<a +b +c <−1C ．−32<a +b +c <0D ．−32<a +b +c <−1【答案】A【分析】由函数图象的开口方向可知a >0，由抛物线与y 轴的交点判断c 的值，当x =1时，二次函数的值小于零，由此可求出a 的取值范围，将a +b +c 用a 表示即可得出答案．【详解】由图象开口向上，可得a >0，∵图象过点(0,−1)，∴c =−1，∵图象过点(−1,0)，∴a−b−1=0，∴b =a−1，∵对称轴在y 轴的右侧，∴当x =1时，y =a +b +c =a +a−1−1=2a−2<0，∴a <1，∴0<a <1，∴−2<2a−2<0，即−2<a +b +c <0，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函表达式系数符号的确定，熟练掌握知识点是解题的关键．【题型3 根据规定范围内二次函数函数的最值求参数的值】【例3】（2023春·九年级单元测试）二次函数y =ax 2−4x +1有最小值−3，则 a 的值为（ ）A ．1B ．−1C ．±1D ．2【答案】A【分析】把二次函数y =ax 2−4x +1变成顶点式，根据二次函数的图象性质，得出结论．【详解】∵y=ax2−4x+1∴y=ax2−4x+1=ax−−4a+1∵二次函数y=ax2−4x+1有最小值−3,∴a>0−4a+1=−3∴a=1故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，把二次函数的一般式变成顶点式，求二次函数的最值，熟练掌握二次函数图象的相关性质是解本题的关键．【变式3-1】（2023春·浙江·九年级校联考期中）已知函数y=−x2+bx−3（b为常数）的图象经过点(−6,−3)．当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，则m的值为（）A．−2或−3+B．−2或−4C．−2或D．【答案】C【分析】将点(−6,−3)代入y=−x2+bx−3即可求得b的值，进而求得抛物线的最大值，结合二次函数图象的性质，分类讨论得出m的取值范围即可．【详解】把(−6,−3)代入y=−x2+bx−3，得b=−6，∴y=−x2−6x−3，∵y=−x2−6x−3=−(x+3)2+6∴当x=−3时，y有最大值为6；①当−3<x≤0时，当x=0时，y有最小值为−3，当x=m时，y有最大值为y=−m2−6m−3∵y的最大值与最小值之和为2，∴−m2−6m−3+(−3)=2，∴m=−2或m=−4(舍去)。
浙教版数学九年级上册_《二次函数》整章教材分析
第一章二次函数本章是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。
伽利略所发现的、通过比萨斜塔实验验证的、著名的自由落体运动公式就是二次函数刻画物体运动的最好例证，是最重要的物理学公式之一。
二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。
二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。
和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。
本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。
函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。
学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。
本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。
二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。
本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。
2022秋九年级数学上册第1章二次函数1.3二次函数的性质2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的
7．【中考·资阳】已知二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象
与 x 轴只有一个交点，且图象过 A(x1，m)，B(x1
＋n，m)两点，则 m，n 的关系为( )
A．m＝12n C．m＝12n2
B．m＝14n D．m＝14n2
【点拨】由“二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象与 x 轴只有 一个交点”推知 x＝－b2时，y＝0，且 b2－4ac＝0，即 b2 ＝4c；其次，根据抛物线对称轴的定义知点 A，B 关于 对称轴对称，故 A－b2－n2，m，B(－b2＋n2，m)；最后， 根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．
【答案】A
5．下列抛物线中，与x轴有两个交点的是( D ) A．y＝3x2－5x＋3 B．y＝4x2－12x＋9 C．y＝x2－2x＋3 D．y＝2x2＋3x－4
6．【中考·永州】抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两
个不同的交点，则m的取值范围是( A )
A．m<2
B．m>2
C．0<m≤2
D．m<－2
(D ) A．无解
B．x＝1
C．x＝－4
D．x＝－1或x＝4
3．【中考·宿迁】若二次函数y＝ax2－2ax＋c的 图象经过点(－1，0)，则关于x的方程ax2－ 2ax＋c＝0的解为( )
A．x1＝－3，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－3，x2＝1
【点拨】∵二次函数y＝ax2－2ax＋c的图象经过点 (－1，0)，∴方程ax2－2ax＋c＝0一定有一个解为x ＝－1.∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴二次函数y ＝ax2－2ax＋c的图 象与 x轴 的 另一个交 点为 (3， 0)．∴方程ax2－2ax＋c＝0的解为x1＝－1，x2＝3. 【答案】C
浙教版数学九年级上册1.3二次函数的性质ppt课件(共19张ppt)
x
y=2x2－4x－6
4 8 y=－ x2－ x－6 9 3
问：当自变量增大时，函数的值将怎样变化？
你还能发现：
这些函数是否存在最大值或 最小值，它是由解析式y=ax2+bx+c （a≠0）中的那一个系数决定的吗？
y
6 4 2 0 -4 -2
y=2x2－4x－6
a
x
2 4
y=－0.5x2－2x－1.5
方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)的
解是否存在有关。
归纳与探究 那么，进一步推想方程ax2+bx+c＝0 (a≠0)解的存 b2 －4ac的正负性有关。 在性又与什么有关呢？
故而： ①当b2 －4ac ＞0 时，抛物线与x轴有 ②当b2 －4ac ③当b2 －4ac
两个
交点； 交点；
＝0 时，抛物线与x轴只有 一个 ＜0 时，抛物线与x轴 没有
交点。
1、抛物线与x轴的交点的个数：
⑴ y=2X２-X-1
2个
⑵ y=4X2+4X+1
1个
⑶ y=3X2+2X+5
0个
b2- 4ac﹥0
b2- 4ac=0
b2- 4ac<0
2、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴的交点个数为（ D ）
（A）0个
（B）1个
（C）2个
（D）3个
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则
y
a__0，b__0，c__0
b - 4ac___0
2
o
x
2、已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是（ D ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
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1.3二次函数的性质
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1.4二次函数的应用
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第2章 简单是件的概率
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0002页 0091页 0134页 0153页 0186页 0188页 0235页 0283页 0316页 0353页 0377页 0411页 0461页图像 1.4二次函数的应用 2.1事件的可能性 2.3用频率估计概率 第3章 圆的基本性质 3.2圆形的旋转 3.4圆心角 3.6圆内接四边形 3.8弧长及扇形的面积 4.1比例线段 4.3相似三角形 4.5相似三角形的性质及其应用 4.7图形的位似
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2.1事件的可能性
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2.2简单事件的概率
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2.3用频率估计概率
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第1章 二次函数
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1.1二次函数
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1.2二次函数的图像
浙教版数学初三上学期二次函数知识点
浙教版数学初三上学期二次函数知识点浙教版数学初三上学期二次函数知识点知识点I、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c (a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II、二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ，0)和 B(x?，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2aIII、二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
浙教版数学九年级上册2.3《二次函数的性质》教案
浙教版数学九年级上册2.3《二次函数的性质》教案一. 教材分析《二次函数的性质》是浙教版数学九年级上册第2.3节的内容。
这部分内容是在学生已经学习了函数概念、一次函数和二次方程的基础上，进一步引导学生探究二次函数的图象和性质，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
本节课的主要内容有：二次函数的图象、顶点、对称轴和开口方向等概念，以及它们之间的关系。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于一次函数的概念和性质有一定的了解。
但二次函数的图象和性质较为复杂，需要学生通过观察、分析、归纳等方法来探究。
此外，学生对于实际问题中蕴含的数学规律的发现和应用能力还需加强。
三. 教学目标1.理解二次函数的图象和性质，能够说出二次函数的顶点、对称轴和开口方向等概念。
2.能够通过观察、分析、归纳等方法，探究二次函数的图象和性质之间的关系。
3.能够运用二次函数的性质解决实际问题。
四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的概念。
2.二次函数的图象和性质之间的关系。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法来探究二次函数的性质。
2.利用多媒体课件，展示二次函数的图象和性质，帮助学生直观地理解。
3.结合实际问题，培养学生的应用能力。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些实际问题，引导学生运用已学的函数知识解决。
通过问题的解决，引出二次函数的图象和性质这一节的内容。
2.呈现（15分钟）展示二次函数的图象和性质，让学生观察并描述。
引导学生发现二次函数的顶点、对称轴和开口方向等概念，并解释它们的含义。
3.操练（15分钟）让学生通过观察、分析、归纳等方法，探究二次函数的图象和性质之间的关系。
可以设置一些练习题，让学生在课堂上完成。
4.巩固（10分钟）对学生的练习进行点评，纠正错误，巩固所学知识。
可以设置一些小组活动，让学生互相讨论和交流。
20232024学年浙教版九年级上册数学全册教案
20232024学年浙教版九年级上册数学全册教案一、教学内容本教案依据20232024学年浙教版九年级上册数学教材，详细内容如下：1. 第一章：二次函数1.1 二次函数的概念与图像1.2 二次函数的性质1.3 二次函数的应用2. 第二章：勾股定理与平方根2.1 勾股定理2.2 平方根2.3 勾股定理与平方根的应用3. 第三章：一元二次方程3.1 一元二次方程的概念3.2 解一元二次方程3.3 一元二次方程的应用二、教学目标1. 理解并掌握二次函数、勾股定理、平方根和一元二次方程的概念、性质及应用。
2. 能够运用二次函数、勾股定理、平方根和一元二次方程解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：二次函数图像的绘制与性质分析一元二次方程的求解方法2. 教学重点：二次函数在实际问题中的应用勾股定理与平方根的应用一元二次方程的解法四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔、直尺、圆规等。
2. 学具：教材、练习本、圆规、直尺、计算器等。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实例，引出二次函数、勾股定理、平方根和一元二次方程的概念。
2. 例题讲解：讲解二次函数的性质及图像特点讲解勾股定理的证明和应用讲解平方根的概念和性质讲解一元二次方程的求解方法3. 随堂练习：让学生绘制二次函数图像，分析性质让学生运用勾股定理解决实际问题让学生计算平方根，并应用于实际问题让学生求解一元二次方程，并分析解的意义4. 课堂小结：六、板书设计1. 板书目录：二次函数勾股定理与平方根一元二次方程2. 板书内容：二次函数的性质、图像及应用勾股定理的证明、应用平方根的概念、性质、应用一元二次方程的求解方法、应用七、作业设计1. 作业题目：绘制二次函数y=x^2的图像，并分析其性质。
证明勾股定理，并解决实际问题。
计算平方根，并应用于实际问题。
求解一元二次方程x^25x+6=0，并分析解的意义。
浙教版数学九年级上册全一册优质教案
浙教版数学九年级上册全一册优质教案一、教学内容1. 第一章：二次函数1.1 二次函数的图像与性质1.2 二次函数的顶点式1.3 二次函数的应用2. 第二章：圆2.1 圆的基本概念2.2 圆的方程2.3 圆与直线、圆与圆的位置关系3. 第三章：概率与统计3.1 随机事件与概率3.2 统计量的计算3.3 统计图表的应用二、教学目标1. 理解二次函数、圆的基本概念，掌握其图像、性质及方程求解方法。
2. 能够运用二次函数、圆的方程解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 掌握概率与统计的基本概念，能够运用统计方法分析实际问题。
三、教学难点与重点1. 教学难点：二次函数图像与性质的深入理解圆的方程求解与应用概率与统计在实际问题中的应用2. 教学重点：二次函数、圆的基本概念与性质方程求解方法概率与统计在实际问题中的应用四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔、几何画板等。
2. 学具：教材、练习本、圆规、直尺、计算器等。
五、教学过程1. 实践情景引入通过生活中常见的抛物线、圆形物体等，引出二次函数和圆的学习。
2. 例题讲解二次函数：以实际例题讲解二次函数图像、性质，求解顶点式。
圆：以实际例题讲解圆的方程、圆与直线、圆与圆的位置关系。
概率与统计：通过实例讲解随机事件、概率计算、统计量的计算及图表应用。
3. 随堂练习根据例题，设计相应的随堂练习，巩固所学知识。
4. 知识拓展引导学生探索二次函数、圆的其他性质和应用，提高学生的创新能力。
六、板书设计1. 二次函数图像与性质顶点式求解应用实例2. 圆基本概念方程求解位置关系3. 概率与统计随机事件与概率统计量计算统计图表应用七、作业设计1. 作业题目：二次函数：求解实际问题的二次函数方程，分析图像和性质。
圆：求解实际问题的圆方程，分析圆与直线、圆与圆的位置关系。
概率与统计：分析实际问题的概率计算、统计量计算和图表应用。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：2. 拓展延伸：引导学生通过互联网、课外阅读等途径，了解更多二次函数、圆的性质和应用，提高学生的学习兴趣和自主学习能力。