2018高考数学大一轮复习 压轴题命题区间(三)三角函数与平面向量 文

压轴题命题区间(三)三角函数与平面向量[典例] 已知函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2．(1)求f (x )的最大值和最小值；(2)若不等式－2＜f (x )－m ＜2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上恒成立，求实数m 的取值范围．[解] (1)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，故2≤1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤3，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝3，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2． (2)因为－2＜f (x )－m ＜2⇔f (x )－2＜m ＜f (x )＋2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，所以m ＞f (x )max －2且m ＜f (x )min ＋2． 又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，f (x )max ＝3，f (x )min＝2，所以1＜m ＜4，即m 的取值范围是(1,4)． [方法点拨]本题求解的关键在于将三角函数f (x )进行正确的“化一”及“化一”后角的范围的确定，因此，求解时要准确运用三角公式，并借助三角函数的图象和性质去确定函数f (x )的最值．[对点演练]已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(A ＞0，ω＞0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g ⎝⎛⎭⎪⎫17π4．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x ，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3时，h (x )的最小值为3，求a 的值．解：(1)由题意得2πω·π＝2π2，所以ω＝1． 又A ＝2g ⎝⎛⎭⎪⎫17π4＝2tan 17π4＝2tan π4＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4．由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z)．故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z)．(2)h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x＝32×4sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋23cos 2x＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋3(cos 2x ＋1)＝3＋3＋3sin 2x ＋3cos 2x ＝3＋3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6．因为h (x )的最小值为3，令3＋3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝3⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12． 因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ＋π6，5π6，所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6．[典例] 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，且2b －c a ＝cos Ccos A ．(1)求A 的大小；(2)当a ＝3时，求b 2＋c 2的取值范围． [解] (1)已知在△ABC 中，2b －c a ＝cos Ccos A， 由正弦定理， 得2sin B －sin C sin A ＝cos Ccos A，即2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ， 所以cos A ＝12，所以A ＝60°． (2)由正弦定理， 得a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2， 则b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 所以b 2＋c 2＝4sin 2B ＋4sin 2C ＝2(1－cos 2B ＋1－cos 2C ) ＝2[2－cos 2B －cos 2(120°－B )] ＝2[2－cos 2B －cos(240°－2B )] ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12cos 2B ＋32sin 2B＝4＋2sin(2B －30°)． 因为0°＜B ＜120°，所以－30°＜2B －30°＜210°， 所以－12＜sin(2B －30°)≤1，所以3＜b 2＋c 2≤6．即b 2＋c 2的取值范围是(3,6]． [方法点拨]三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边、角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．[对点演练]已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6．(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f (A )＝32，b ＋c ＝2，求实数a的最小值．解：(1)∵f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝(1＋cos 2x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6 ＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6．∴函数f (x )的最大值为2． 要使f (x )取最大值， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1， ∴2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π＋π6，k ∈Z ．故f (x )取最大值时x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π6，k ∈Z． (2)由题意知，f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12．∵A ∈(0，π)， ∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3．在△ABC 中，根据余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ．由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝1，当且仅当b ＝c ＝1时等号成立． 即a 2≥1．∴当b ＝c ＝1时，实数a 的最小值为1．[典例] 若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A ．2－1B ．1C ． 2D ．2[解析] 法一：(目标不等式法) 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝0， 所以|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝2， 故|a ＋b |＝2．展开(a －c )·(b －c )≤0， 得a ·b －(a ＋b )·c ＋c 2≤0， 即0－(a ＋b )·c ＋1≤0， 整理，得(a ＋b )·c ≥1．而|a ＋b －c |2＝(a ＋b )2－2(a ＋b )·c ＋c 2＝3－2(a ＋b )·c ，所以3－2(a ＋b )·c ≤3－2×1＝1． 所以|a ＋b －c |2≤1， 即|a ＋b －c |≤1，故|a ＋b －c |的最大值为1． 法二：(基向量法)取向量a ，b 作为平面向量的一组基底， 设c ＝ma ＋nb ．由|c |＝1，即|ma ＋nb |＝1， 可得(ma )2＋(nb )2＋2mna ·b ＝1， 由题意，知|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0． 整理，得m 2＋n 2＝1．而a －c ＝(1－m )a －nb ，b －c ＝－ma ＋(1－n )b ， 故由(a －c )·(b －c )≤0，得[(1－m )a －nb ]·[－ma ＋(1－n )b ]≤0， 展开，得m (m －1)a 2＋n (n －1)b 2≤0， 即m 2－m ＋n 2－n ≤0， 又m 2＋n 2＝1， 故m ＋n ≥1．而a ＋b －c ＝(1－m )a ＋(1－n )b ， 故|a ＋b －c |2＝[(1－m )a ＋(1－n )b ]2＝(1－m )2a 2＋2(1－m )(1－n )a ·b ＋(1－n )2b 2＝(1－m )2＋(1－n )2＝m 2＋n 2－2(m ＋n )＋2 ＝3－2(m ＋n )． 又m ＋n ≥1， 所以3－2(m ＋n )≤1． 故|a ＋b －c |2≤1， 即|a ＋b －c |≤1．故|a ＋b －c |的最大值为1． 法三：(坐标法)因为|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0， 所以a ，b ＝π2．设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 因为a ⊥b ， 所以OA ⊥OB ．分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图(1)所示， 则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)， 则A (1,0)，B (0,1)．设C (x ，y )，则c ＝(x ，y )，且x 2＋y 2＝1．则a －c ＝(1－x ，－y )，b －c ＝(－x,1－y )，故由(a －c )·(b －c )≤0，得(1－x )×(－x )＋(－y )×(1－y )≤0， 整理，得1－x －y ≤0， 即x ＋y ≥1．而a ＋b －c ＝(1－x,1－y )， 则|a ＋b －c |＝－x2＋－y2＝3－x ＋y ．因为x ＋y ≥1，所以3－2(x ＋y )≤1， 即|a ＋b －c |≤1．所以|a ＋b －c |的最大值为1． 法四：(三角函数法) 因为|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0， 所以a ，b ＝π2．设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ， 因为a ⊥b ，所以OA ⊥OB ．分别以OA ，OB 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系， 如图(1)所示，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，A (1,0)，B (0,1)． 因为|c |＝1，设∠COA ＝θ，所以C 点的坐标为(cos θ，sin θ)．则a －c ＝(1－cos θ，－sin θ)，b －c ＝(－cos θ，1－sin θ)， 故由(a －c )·(b －c )≤0，得(1－cos θ)×(－cos θ)＋(－sin θ)×(1－sin θ)≤0， 整理，得sin θ＋cos θ≥1． 而a ＋b －c ＝(1－cos θ，1－sin θ)， 则|a ＋b －c |＝－cos θ2＋－sin θ2＝3－θ＋cos θ．因为sin θ＋cos θ≥1， 所以3－2(sin θ＋cos θ)≤1， 即|a ＋b －c |≤1，所以|a ＋b －c |的最大值为1． 法五：(数形结合法)设OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，OC ―→＝c ，因为|a |＝|b |＝|c |＝1，所以点A ，B ，C 在以O 为圆心、1为半径的圆上． 易知CA ―→＝a －c ，CB ―→＝b －c ，|c |＝|OC ―→|．由(a －c )·(b －c )≤0， 可得CA ―→·CB ―→≤0，则π2≤∠BCA ＜π(因为A ，B ，C 在以O 为圆心的圆上，所以A ，B ，C 三点不能共线，即∠BCA ≠π)，故点C 在劣弧AB 上． 由a ·b ＝0，得OA ⊥OB ， 设OD ―→＝a ＋b ，如图(2)所示， 因为a ＋b －c ＝OD ―→－OC ―→＝CD ―→， 所以|a ＋b －c |＝|CD ―→|，即|a ＋b －c |为点D 与劣弧AB 上一点C 的距离， 显然，当点C 与A 或B 点重合时，CD 最长且为1， 即|a ＋b －c |的最大值为1． [答案] B [方法点拨]平面向量具有双重性，处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： (1)利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决； (2)利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决． [对点演练]1．在△ABD 中，AB ＝2，AD ＝22，E ，C 分别在线段AD ，BD 上，且AE ＝13AD ，BC ＝34BD ，AC ―→·BE ―→＝113，则∠BAD 的大小为( )A ．π6B ．π4C ．π2D ．3π4解析：选D 依题意，AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝AB ―→＋34BD ―→＝AB ―→＋34(AD ―→－AB ―→)＝14AB ―→＋34AD ―→，BE ―→＝AE ―→－AB ―→＝13AD ―→－AB ―→，所以AC ―→·BE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB ―→＋34AD ―→ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD ―→－AB ―→＝－14|AB ―→|2＋14|AD ―→|2－23AD ―→·AB ―→＝－14×22＋14×(22)2－23AD ―→·AB ―→＝113，所以AD ―→·AB ―→＝－4，所以cos ∠BAD ＝AD ―→·AB ―→| AD ―→|·|AB ―→|＝－42×22＝－22，因为0＜∠BAD ＜π， 所以∠BAD ＝3π4．2．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°．动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ―→＝λBC ―→，DF ―→＝19λDC ―→，则AE ―→·AF ―→的最小值为________．解析：法一：(等价转化思想) 因为DF ―→＝19λDC ―→，DC ―→＝12AB ―→，CF ―→＝DF ―→－DC ―→＝19λDC ―→－DC ―→＝1－9λ9λDC ―→＝1－9λ18λAB ―→，AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→，AF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CF ―→＝AB ―→＋BC ―→＋1－9λ18λAB ―→＝1＋9λ18λAB ―→＋BC ―→． 所以AE ―→·AF ―→＝(AB ―→＋λBC ―→)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋9λ18λ AB ―→＋BC ―→＝1＋9λ18λAB ―→2＋λBC ―→2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋λ·1＋9λ18λAB ―→·BC ―→＝1＋9λ18λ×4＋λ＋19＋9λ18×2×1×cos 120° ＝29λ＋12λ＋1718≥2 29λ·12λ＋1718＝2918， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时，AE ―→·AF ―→的最小值为2918．法二：(坐标法)以线段AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A (－1,0)，B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，所以AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝AD ―→＋19λDC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，所以AE ―→·AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋32×32λ＝1718＋λ2＋29λ≥1718＋2 λ2·29λ＝2918， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时，AE ―→·AF ―→的最小值为2918．答案：29181．(2017·宜春中学与新余一中联考)已知等腰△OAB 中，|OA |＝|OB |＝2，且|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么OA ―→·OB ―→的取值范围是( ) A ．[－2,4)B ．(－2,4)C ．(－4,2)D ．(－4,2]解析：选A 依题意，(OA ―→＋OB ―→)2≥13(OB ―→－OA ―→)2，化简得OA ―→·OB ―→≥－2，又根据三角形中，两边之差小于第三边， 可得|OA ―→|－|OB ―→|＜|AB ―→|＝|OB ―→－OA ―→|， 两边平方可得(|OA ―→|－|OB ―→|)2＜(OB ―→－OA ―→)2， 化简可得OA ―→·OB ―→＜4，∴－2≤OA ―→·OB ―→＜4．2．(2017·江西赣南五校二模)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO ―→＝AB ―→＋AC ―→且|OA ―→|＝|AB ―→|，则向量BA ―→在BC ―→方向上的投影为( )A ．12B ．32 C ．－12D ．－32解析：选A 由2AO ―→＝AB ―→＋AC ―→可知O 是BC 的中点， 即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|，由题意知|OA ―→|＝|AB ―→|＝1， 故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°．所以向量BA ―→在BC ―→方向上的投影为|BA ―→|·cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12．故选A ．3．(2017·石家庄质检)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( )A ．[－2，1]B ．[－1，2]C ．[－1,1]D ．[1，2]解析：选C ∵sin αcos β－cos αsin β＝1， 即sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]， ∴α－β＝π2，又⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，则π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin (α－2β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π) ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4， ∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，即所求取值范围为[－1,1]．故选C ．4．(2016·湖南岳阳一中4月月考)设a ，b 为单位向量，若向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |，则|c |的最大值是( )A ．1B ． 2C ．2D ．2 2解析：选D ∵向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |， ∴|c －(a ＋b )|＝|a －b |≥|c |－|a ＋b |， ∴|c |≤|a ＋b |＋|a －b |≤a ＋b |2＋|a －b |2＝a 2＋2b 2＝22．当且仅当|a ＋b |＝|a －b |，即a ⊥b 时，(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝22． ∴|c |≤22．∴|c |的最大值为22． 5．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝sin2ωx 2＋12sin ωx －12(ω＞0)，x ∈R ．若f (x )在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫58，1C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，58 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，58 解析：选D f (x )＝1－cos ωx 2＋12sin ωx －12＝12(sin ωx －cos ωx )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4．因为函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点， 所以T2＞2π－π，即πω＞π，所以0＜ω＜1． 当x ∈(π，2π)时，ωx －π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ－π4，2ωπ－π4，若函数f (x )在区间(π，2π)内有零点， 则ωπ－π4＜k π＜2ωπ－π4(k ∈Z)，即k 2＋18＜ω＜k ＋14(k ∈Z)． 当k ＝0时，18＜ω＜14；当k ＝1时，58＜ω＜54．所以函数f (x )在区间(π，2π)内没有零点时， 0＜ω≤18或14≤ω≤58．6．(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4． 若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增， 在区间⎝⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减， 不满足f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递减，故选B ． 7．(2016·贵州适应性考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知a 2＋c 2＝ac ＋b 2，b ＝3，且a ≥c ，则2a －c 的最小值是________．解析：由a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ＝ac ， 所以cos B ＝12，则B ＝60°，又a ≥c ，则A ≥C ＝120°－A ， 所以60°≤A ＜120°，asin A ＝csin C ＝bsin B＝332＝2，则2a －c ＝4sin A －2sin C ＝4sin A －2sin(120°－A ) ＝23sin(A －30°)，当A ＝60°时，2a －c 取得最小值3． 答案： 38．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝12c ，当tan(A－B )取最大值时，角B 的值为______．解析：由a cos B －b cos A ＝12c 及正弦定理，得sin A cos B －sin B cos A ＝12sin C＝12sin(A ＋B )＝12(sin A cos B ＋cos A sin B )， 整理得sin A cos B ＝3cos A sin B ， 即tan A ＝3tan B ， 易得tan A ＞0，tan B ＞0，∴tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ＝21tan B＋3tan B ≤223＝33， 当且仅当1tan B ＝3tan B ，即tan B ＝33时，tan(A －B )取得最大值， 此时B ＝π6．答案：π69．(2016·浙江高考)已知向量a ，b ，|a|＝1，|b |＝2．若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由于e 是任意单位向量，可设e ＝a ＋b |a ＋b |，则|a ·e |＋|b ·e |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪aa ＋b |a ＋b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋b |a ＋b |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a a ＋b |a ＋b |＋b a ＋b |a ＋b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋ba ＋b |a ＋b |＝|a ＋b |．∵|a ·e |＋|b ·e |≤6，∴|a ＋b |≤6， ∴(a ＋b )2≤6，∴|a |2＋|b |2＋2a ·b ≤6． ∵|a |＝1，|b |＝2，∴1＋4＋2a ·b ≤6， ∴a ·b ≤12，∴a ·b 的最大值为12．答案：1210．(2017·湖北省七市(州)协作体联考)已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R)． (1)若α∈[0，π]且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．解：(1)f (x )＝2sin x ＋6cos x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3． 由f (α)＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝22，即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z ．于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z ．又α∈[0，π]， 故α＝5π12．(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象， 再将y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度， 得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象．由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)对称，令2x －2θ＋π3＝k π＋π2，解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z ． 由于y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称，令k π2＋θ＋π12＝3π4， 解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z ． 由θ＞0可得，当k ＝1时，θ取得最小值π6． 11．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －sinB sinC ．(1)求角A ；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．解：(1)由正弦定理及sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，知a 2＝b 2＋c 2－bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12．又0＜A ＜π2，所以A ＝π3．(2)由(1)知A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，所以B ＝2π3－C ．因为a ＝23，所以23sinπ3＝b sin B ＝c sin C ，所以b ＝4sin B ，c ＝4sin C ， 所以b ＋c ＝4sin B ＋4sin C ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－C ＋4sin C＝23(cos C ＋3sin C )＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6．因为△ABC 是锐角三角形， 所以0＜B ＝2π3－C ＜π2，所以π6＜C ＜π2，所以π3＜C ＋π6＜2π3，所以32＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6≤1，所以6＜43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6≤43． 故b ＋c 的取值范围为(6,43]．12．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a cos B ＝2c －b ． (1)若cos(A ＋C )＝－5314，求cos C 的值；(2)若b ＝5，AC ―→·CB ―→＝－5，求△ABC 的面积；(3)若O 是△ABC 外接圆的圆心，且cos B sin C ·AB ―→＋cos C sin B ·AC ―→＝m AO ―→，求m 的值．解：(1)由2a cos B ＝2c －b ， 得2sin A cos B ＝2sin C －sin B ， 即2sin A cos B ＝2sin(A ＋B )－sin B ， 整理得2cos A sin B ＝sinB ．∵sin B ≠0， 故cos A ＝12，则A ＝60°．由cos(A ＋C )＝－cos B ＝－5314， 知cos B ＝5314，所以sin B ＝1114．所以cos C ＝cos(120°－B )＝－12cos B ＋32sin B ＝3314．(2)AC ―→·CB ―→＝AC ―→·(AB ―→－AC ―→) ＝AC ―→·AB ―→－AC ―→2＝|AC ―→|·|AB ―→|·cos A －|AC ―→|2 ＝12bc －b 2＝－5， 又b ＝5，解得c ＝8， 所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×5×8×32＝103． (3)由cos B sin C ·AB ―→＋cos C sin B·AC ―→＝m AO ―→，可得cos B sin C ·AB ―→·AO ―→＋cos C sin B ·AC ―→·AO ―→＝m AO ―→2，(*)因为O 是△ABC 外接圆的圆心，所以AB ―→·AO ―→＝12AB ―→2，AC ―→·AO ―→＝12AC ―→2，又|AO ―→|＝a2sin A， 所以(*)可化为cos B sin C ·c 2＋cos C sin B ·b 2＝12m ·a2sin 2A ，所以m ＝2(cos B sin C ＋sin B cos C )＝2sin(B ＋C ) ＝2sin A ＝3．。