三角函数的图像和性质2018高考真题练习 精品
高三数学-2018年高考题(三角函数部分)答案002 精品
2018年全国高考数学试题（三角函数部分）选择题1.（北京卷）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 D （A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β （C ）cos(α+β)<sinα＋sinβ （D ）cos(α+β)<cosα＋cosβ2.（全国卷Ⅰ）当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 D（A ）2（B ）32（C ）4（D ）343.（全国卷Ⅰ）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： B ① 1cot tan =⋅B A② 2sin sin 0≤+<B A③ 1cos sin 22=+B A④ C B A 222sin cos cos =+其中正确的是 （A ）①③ （B ）②④ （C ）①④ （D ）②③4.（全国卷Ⅱ）函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是 C (A)4π (B)2π（C ）π （D ）2π 5.（全国卷Ⅱ）已知函数y =tan x ω 在（-2π，2π）内是减函数，则 B（A ）0 <ω ≤ 1 （B ）-1 ≤ ω < 0 （C ）ω≥ 1 （D ）ω≤ -16.（全国卷Ⅱ）锐角三角形的内角A 、B 满足tan A -A2sin 1= tan B,则有（A ）sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0 (C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 07.（全国卷Ⅲ）设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 C(A) 0x π≤≤ (B)744x ππ≤≤(C) 544x ππ≤≤ (D) 322x ππ≤≤8.（全国卷Ⅲ）22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+ααααB (A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)129.(浙江卷)已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( A ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1 10．（江西卷）已知==ααcos ,32tan则（ B ）A ．54 B ．－54 C ．154 D ．－53 11.（江西卷）设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为（ A ）A ．周期函数，最小正周期为32π B ．周期函数，最小正周期为3π C ．周期函数，数小正周期为π2D ．非周期函数12（江西卷）在△OAB 中，O 为坐标原点，]2,0(),1,(sin ),cos ,1(πθθθ∈B A ，则当△OAB的面积达最大值时，=θ（ D ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 13、（江苏卷）若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =（ A ） A ．97-B ．31-C ．31D ．9714．（湖北卷）若∈<<=+απαααα则),20(tan cos sin（ C ）A ．)6,0(πB ．)4,6(ππ C ．)3,4(ππ D ．)2,3(ππ 15．（重庆卷）=+-)12sin 12)(cos 12sin 12(cos ππππ（ D ）A ．23-B ．21-C ．21D ．2316．（福建卷）函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则（ C ） A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==17．（福建卷）函数x y 2cos =在下列哪个区间上是减函数（ C ）A ．]4,4[ππ-B ．]43,4[ππ C ．]2,0[πD ．],2[ππ18（山东卷）函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为（ B ）（A ）1 （B ）22,1-（C ）22- （D ）22,1 19（天津卷）函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ A ）（A ）)48sin(4π+π-=x y （B ）)48sin(4π-π=x y （C ）)48sin(4π-π-=x y （D ）)48sin(4π+π=x y填空题：20.（北京卷）已知tan2α=2，则tanα的值为－34，tan ()4πα+的值为－7121.（全国卷Ⅱ）设a 为第四象限的角，若513sin 3sin =a a ，则tan 2a =___43-___________. 22.（上海卷）函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________。
专题10 三角函数的图象和性质 -2018年高考数学(文)母题题源系列(全国2专版) Word版含解析
【母题原题1】【2018新课标卷II,文10】若在是减函数，则的最大值是A.B.C.D.【答案】C【母题原题2】【2017课标II ，文3】函数的最小正周期为 A.4π B.2π C. π D.π2 【答案】C 【解析】由题意22T ππ==，故选C. 【母题原题3】【2016课标II ，文3】（2016全国甲文3）函数的部分图像如图所示，则( ). A. B.C.D. 【答案】A 【解析】解析 解法一：当0x =时，0y <，排除C ，D.当3x π=时，2y =，代入A 满足. 故选A.【命题意图】三角函数的图象与性质,高考重点考查三角函数的性质、图象及平移变换、运算能力、等价转化及数学结合思想.【命题规律】高考对该部分内容考查一般以选择填空题形式出现,难度中等或中等以下,热点是三角函数的值域、最值、单调性、对称性及三角函数解析式的确定,且常常与三角变换结合在一起考查.【答题模板】解答本类题目,以2017年试题为例,一般考虑如下三步：4．【2018辽宁省葫芦岛市二模】已知函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A. 函数的周期为B. 函数为奇函数C. 函数在上单调递增D. 函数的图象关于点对称【答案】B5．【2018山东省实验中学模拟】将的图像向左平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图像，则下列关于函数的说法错误的是（）A. 函数的最小正周期是B. 函数的一条对称轴是C. 函数的一个零点是D. 函数在区间上单调递减【答案】D6．【2018青海省西宁市模拟】已知函数在一个周期内的图像如图所示，其中分别是这段图像的最高点和最低点，是图像与轴的交点，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，求出函数的周期，利用三角函数的图像和性质即可得到相应的结论.详解：过分别作轴的垂线，垂足为，9．【2018陕西省咸阳市模拟】已知关于的方程在区间上有两个实数根，且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C图像与轴两个交点的横坐标的差的绝对值为，故．故选C．10．【2018四川模拟】若函数在区间上单调递增，则的最大值为__________．【答案】11. 【2018重庆市诊断性考试】函数的最大值是__________．【答案】【解析】分析：先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数，再根据三角函数有界性求最值. 详解：因为，所以即最大值是.。
(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题4.4_三角函数的图象与性质(练)有答案
第04节 三角函数的图象与性质A 基础巩固训练1. 函数，的最小正周期为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由周期公式知：2. 设函数()f x =sin()A x ωϕ+(0,A ≠0,ω>)22ϕππ-<<的图象关于直线23x π=对称,它的最 小正周期为π，则（ ）A ．()f x 的图象过点1(0)2, B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()f x 的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据题意可知，2ω=，根据题中所给的ϕ角的范围，结合图像关于直线23x π=对称,可知6πϕ=，故可以得到()sin(2)6f x A x π=+，而A 的值不确定，所以(0)f 的值不确定，所以A 项不正确，当2[,]123x ππ∈时，32[,]632x πππ+∈，函数不是单调的，所以B 项不对，而()06f A π=≠，所以,06π⎛⎫⎪⎝⎭不是函数的对称中心，故D 不对，而又5()012f π=，所以5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数的对称中心，故选C ．3. 已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象过点，则()f x 的图象的一个对称中心是A ．(,0)3π-B ．(,0)6π-C ．(,0)6πD ．(,0)4π【答案】B【解析】因为函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<的图象过点，所以3sin 2)0(==ϕf ，且2πϕ<，则3πϕ=；令032=+πx ，即6π-=x ，即()f x 的图象的一个对称中心是(,0)6π-.4.【2017山东，文7】函数2cos 2y x x =+ 最小正周期为A.π2 B. 2π3C.πD. 2π 【答案】C【解析】因为π2cos 22sin 23y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,所以其周期2ππ2T ==,故选C. 5. 已知函数2()3f x ax bx a b =+++是定义在[1,2]a a -上的偶函数，则2cos[()]3y a b x π=+- 的最小正周期是（ ）A ．6πB ．5πC ．4πD ．2π 【答案】A【解析】∵函数2()3f x ax bx a b =+++是定义在[1,2]a a -上的偶函数，∴0,120b a a =-+=， ∴10,3b a ==，∴12cos()33y x π=-，∴2613T ππ==．B 能力提升训练 1. 函数()2sin 1xf x x =+的图象大致为（ ）【答案】A【解析】根据题意，函数为奇函数，所以图像关于原点对称，故排除,C D 两项，在(0,)π上，函数值是正值，所以B 不对，故只能选A ．2.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称的是 （ ） A ．s i n (2)3π=-y x B ．s i n (2)6π=-y x C ．s i n (2)6π=+y x D ．s i n ()23π=+x y【答案】B【解析】s i n (2)3π=-y x 最小正周期为π，但图象不关于直线3π=x 对称；s i n (2)6π=-y x 最小正周期为π，且图象关于直线3π=x 对称；s i n (2)6π=+y x 最小正周期为π，但图象不关于直线3π=x 对称；s i n ()23π=+x y 最小正周期为4π，且图象关于直线3π=x 对称；因此选B ．3. 若函数()2sin()3f x x πω=+，且()2,()0f f αβ=-=，αβ-的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ） A ．5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ B ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ C ．2[2,2]()33k k k Z ππππ-+∈ D ．5[2,2]()66k k k Z ππππ-+∈ 【答案】D【解析】由()2,()0f f αβ=-=，αβ-的最小值是2π可知,242T T ππ=∴=，所以1ω=，所以()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由22()232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得522()636k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，所以函数的单调递增区间为52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故选D ． 4. 函数)62sin(π-=x y 的图像与函数)3cos(π-=x y 的图像（ ）A ．有相同的对称轴但无相同的对称中心B ．有相同的对称中心但无相同的对称轴C ．既有相同的对称轴但也有相同的对称中心D ．既无相同的对称中心也无相同的对称轴 【答案】A 【解析】当 ,3x k k Z ππ=+∈时,cos 13x π⎛⎫ ⎪⎝⎭-=± ,因此)3cos(π-=x y 的对称轴是 ,3x k k Z ππ=+∈．当 2,62x k k Z πππ-=+∈即,32k x k Z ππ=+∈时,sin 216x π⎛⎫ ⎪⎝⎭-=± ,因此)62sin(π-=x y 的对称轴是,32k x k Z ππ=+∈．由此可得,)3cos(π-=x y 的对称轴都是)62sin(π-=x y 的对称轴 ．当5 ,6x k k Z ππ=+∈时,cos 03x π⎛⎫ ⎪⎝⎭-= ,所以)3cos(π-=x y 的对称中心是5,0,6k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭． 当122k x ππ=+时,sin 206x π⎛⎫ ⎪⎝⎭-=,所以)62sin(π-=x y 的对称中心是 ,0,122k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭．由此可得,它们的对称中心均不相同．故选 A ． 5. 已知0ω>，函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在(,)2ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．(0,2]B ．1(0,]2C ．13[,]24D ．15[,]24【答案】D【解析】由题意可得函数的周期2,2T ππωω=≥≤，再由322242k x k ππππωπ+≤+≤+，即225,44k k x k Z ππππωωωω+≤≤+∈，可得()f x 的一个减区间为5,44ππωω⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以4254ππωππω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，求得ω的取值范围是15[,]24．C 思维扩展训练1. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≠><-=0)10(log 01)2sin()(x a a x x x x f a ，，且，，π的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）)550(，（B ）)155(，（C ）)133(， （D ）)330(， 【答案】A【解析】原函数在y 轴左侧是一段正弦型函数图象，在y 轴右侧是一条对数函数的图象，要使得图象上关于y 轴对称的点至少有3对，可将左侧的图象对称到y 轴右侧，即sin()1(0)2xy x π=-->，应该与原来y 轴右侧的图象至少有3个公共点如图，1a >不能满足条件，只有01a <<此时，只需在5x =时，log a y x =的纵坐标大于2-，即log 52a >-，得05a <<． 2.已知函数()cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为（ ） A ．|,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈D ．5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 【答案】B【解析】()⎪⎭⎫⎝⎛-=6sin 2πx x f ，若()1≥x f ，等价于216sin ≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx ，所以πππππk x k 265626+≤-≤+，Z k ∈，解得ππππk x k 223+≤≤+，Z k ∈．3. 若1212(,),(,)a a a b b b ==，定义一种运算：1122(,)a b a b a b ⊗=，已知1(2,)2m = ， (,0)3n π=，且点(,)P x y ，在函数sin y x =的图象上运动，点Q 在函数()y f x =的图象上运动，且OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点），则函数()y f x =的最大值A 和最小正周期T 分别为（ ）A ．2,A T π==B ．2,4A T π==C ．1,2A T π== D ．1,42A T π== 【答案】D【解析】由条件1(2,sin )32OQ x x π=+，所以1(2)sin 32f x x π+= ，从而求得1()sin()226x f x π=-， 1,4.2A T π∴==.4. 已知函数()sin cos 1f x x x =+，将()f x 的图像向左平移6π个单位得到函数()g x 的图像，则函数()g x 的单调减区间为（ ） A.7[2,2],1212k k k Z ππππ++∈ B.7[,],1212k k k Z ππππ++∈ C.2[,],63k k k Z ππππ++∈ D.2[2,2],63k k k Z ππππ++∈ 【答案】B【解析】()11()sin cos 1sin 21sin 21223f x x x x g x x π⎛⎫=+=+∴=++ ⎪⎝⎭，求单调减区间时令3722,2,3221212x k k x k k πππππππππ⎡⎤⎡⎤+∈++∴∈++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5. 给出下列结论：①若扇形的中心角为2，半径为1，则该扇形的面积为1；②函数()22cos sin y x x x R =-∈是偶函数；③点,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数5sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的一个对称中心；④函数cos sin y x x =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.其中正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C 【解析】解答：对于①，扇形的中心角为2，半径为1， 则该扇形的面积为S=12αR2=12×2×12=1，①正确； 对于②,函数22cos sin y x x =-=cos2x(x ∈R)，它是偶函数，②正确； 对于③,当x=8π时,y=sin(2×8π+54π)=−1， 点(8π,0)不是函数y=sin(2x+54π)图象的一个对称中心，③错误；对于④,函数y=cosx −π4)， 当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,x+π4∈[π4,3π4]，∴y 是减函数，④正确， 综上，正确的命题序号是①②④，共3个。
2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题4.4 三角函数图像与性质(讲)
专题4.4 三角函数图像与性质【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1． 函数y ＝2sin 12x －3的最小正周期是________．【解析】最小正周期T ＝2π12＝4π.2． 函数y ＝A sin x ＋1(A >0)的最大值是5，则它的最小值是________．【解析】依题意得A ＋1＝5，所以A ＝4，所以函数y ＝4sin x ＋1的最小值为－4＋1＝－3. 3.判断函数y ＝2cos x 在[－π，0]上的单调性：____________．(填“增函数”或“减函数”) 【解析】由余弦函数的单调性，得函数y ＝2cos x 在[－π，0]上是增函数． 4.不等式2sin x >3的解集为______________________________． 【解析】不等式2sin x >3，即sin x >32，由函数y ＝sin x 的图像得所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x π3＋2k π<x <2π3＋2k π，k ∈Z .题组二 常错题5．函数y ＝1－2cos x 的单调递减区间是___________________________．【解析】函数y ＝1－2cos x 的单调递减区间即函数y ＝－cos x 的单调递减区间，也即函数y ＝cos x 的单调递增区间，即[2k π－π，2k π](k ∈Z )．6．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图像分别交于M ，N 两点，则|M N |的最大值为________．【解析】设直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 的图像的交点为M (a ，y 1)，直线x ＝a 与函数g (x )＝cos x的图像的交点为N (a ，y 2)，则|MN |＝|y 1－y 2|＝|sin a －cos a |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫a －π4≤2，7．函数f (x )＝2sin x4对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．题组三 常考题8．定义在区间[0，2π]上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝sin x 的图像的交点个数是________． 【解析】由sin 2x ＝sin x 得sin x ＝0或cos x ＝12，因为x ∈[0，2π]，所以x ＝0，π3，π，5π3，2π，交点个数是5.9． 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|sin x |，③y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5中，最小正周期为π的所有函数是________．(填序号)【解析】函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝sin x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻折至x 轴上方，即可得到y ＝|sin x |的图像，所以其最小正周期为π，②正确；函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的最小正周期为π2，④不正确．【知识清单】1． 正弦、余弦、正切函数的图像与性质 1.三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。
2018版高考数学全国理科专题复习：专题4 三角函数、解
一、选择题1．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( )A ．1B ．2C ．3D ．42．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34D ．－433.已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2一个周期内的图象上的五个点，如图，A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12，则ω，φ的值为( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝π64．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．锐角非等边三角形D ．钝角三角形5．(2016·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7 D ．5二、填空题6．已知扇形的周长为4 cm ，当它的半径为________ cm 和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm 2.7．当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 8．若cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则β＝________. 9.如图，某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A ，B ，C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217 s ．在A 地测得该仪器至最高点H 时的仰角为30°，则该仪器的垂直弹射高度CH ＝________ m ．(声音在空气中的传播速度为340 m/s)三、解答题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin A －sin C (cos B ＋33sin B )＝0.(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值．答案精析1．C cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.]2．C ∵sin α＋2cos α＝102， ∴sin 2α＋4sin α·cos α＋4cos 2α＝52.用降幂公式化简得4sin 2α＝－3cos 2α， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.故选C.]3．A 因为A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，B 与D 关于点E 对称，CD →在x 轴上的投影为π12， 所以T ＝4×⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝π，所以ω＝2. 因为A ⎝⎛⎭⎫－π6，0，所以0＝sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ， 所以－π3＋φ＝2k π，k ∈Z ，解得φ＝π3＋2k π，k ∈Z .又因为0<φ<π2，所以φ＝π3.故选A.]4．B 由正弦定理，得2sin A cos B ＝sin C . 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 整理得sin A cos B ＝cos A sin B ， ∴tan A ＝tan B .又∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B . ∵sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，∴sin A sin B ⎣⎡⎦⎤2－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2C 2＝sin 2C 2＋12， ∴sin A sin B ⎝⎛⎭⎫1＋2sin 2C 2＝12⎝⎛⎭⎫1＋2sin 2C 2， ∴sin A sin B ＝12.∵A ＝B ，∴sin A ＝sin B ＝22. ∵A ，B ∈(0，π)，∴A ＝B ＝π4.∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π2，∴△ABC 是等腰直角三角形．]5．B 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT ， 即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N *)，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调， 所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B.]6．1 2 1解析 设扇形的圆心角为α，半径为r cm ，则2r ＋|α|r ＝4，∴|α|＝4r －2，∴S 扇形＝12|α|·r 2＝2r －r 2＝－(r －1)2＋1，∴当r ＝1时，(S 扇形)max ＝1，此时|α|＝2.7.782 解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又∵y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x － 2(1－sin 2x )＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78；当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.8.π3解析 ∵cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝437.又∵cos(α＋β)＝－1114，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴sin(α＋β)＝5314，∴cos β＝cos(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12.又∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴β∈(0，π)，∴β＝π3.9．140 3解析 由题意，设AC ＝x m ，则BC ＝x －217×340＝(x －40) m ．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ，即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420. 在△ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°，∠ACH ＝90°，所以CH ＝AC ·tan ∠CAH ＝1403(m)． 故该仪器的垂直弹射高度CH 为140 3 m. 10．解 (1)由题意得，∵A ＋B ＋C ＝π， ∴sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )， ∴sin B cos C ＋sin C cos B －sin C cos B －33sin B sin C ＝0， 即sin B (cos C －33sin C )＝0， ∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴tan C ＝3， 又0<C <π，故C ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12ab ×32＝3，∴ab ＝4，又c ＝2，由余弦定理得a 2＋b 2－2ab ×(12)＝4，∴a 2＋b 2＝8.则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4，a 2＋b 2＝8， 解得a ＝2，b ＝2.。
三角函数的图像和性质练习和解析(高考真题)
三角函数的图像与性质A 级 基础一、选择题1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2 x 的最小正周期为( )A.π4B.π2C ．πD ．2π2．(2019·佛山一中月考)将点P (1，1)绕原点O 逆时针方向旋转π3到点Q 的位置，则点Q 的横坐标是( )A.1－32B.1＋32C.2－64D.2＋623．函数f (x )＝3sin 2x －cos 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的值为( )A.π12B.π6C.π4D.π34．(2019·华师附中调研)古希腊人早在公元前就知道，七弦琴发出不同的声音，是由于弦长度的不同．数学家傅里叶(公元1768年－1830年)关于三角函数的研究告诉我们：人类的声音，小提琴的奏鸣，动物的叫声——都可以归结为一些简单的声音的组合，而简单声音是可以用三角函数描述的．已知描述百灵鸟的叫声时用到如图所示的三角函数图象，图象的解析式是f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)，则( )A ．ω＝3，φ＝π6B ．ω＝6，φ＝π3C ．ω＝3，φ＝π4D ．ω＝6，φ＝5π65．函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)图象的相邻对称轴之间的距离为π2，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的最大值为1B ．f (x )的图象关于直线x ＝5π12对称 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2的一个零点为x ＝－π3D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减二、填空题6．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终点过点P (－3，－1)，则tan α＝________，cos α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝________．7．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．8．(2018·北京卷)设函数f (x )＝cos(ωx －π6)(ω>0)．若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________三、解答题9．已知函数f (x )＝3sin 2x －2sin 2x .(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递减区间．10．(2019·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R.(1)已知θ∈[0，2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42的值域．B 级 能力提升11．(2019·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω＞0)，已知f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)有且仅有2个极大值点；③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增； ④ω的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤125，2910.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④12．已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )在[0，b ](b ＞0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．A 级 基础一、选择题1．解析：f (x )＝tan x1＋tan 2 x＝sin x cos x 1＋（sin x cos x ）2＝sin x cos x cos 2 x ＋sin 2 x cos 2 x ＝sinx ·cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.答案：C2．解析：依题意，点Q 在角π4＋π3＝712π的终边上，且|OQ |＝2，所以点Q 的横坐标x 0＝2cos 712π＝－2sin π12＝－2×6－24＝1－32.答案：A3．解析：f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，其图象向右平移φ个单位长度后，得g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ－π6. 又函数g (x )是偶函数，所以2φ＋π6＝k π＋π2，则φ＝π6＋k π2(k ∈Z)．由φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，知φ＝π6.答案：B4．解析：由图象知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－7π12＝2π3，所以2πω＝2π3，则ω＝3.又A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×7π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π4＋φ＝0，所以7π4＋φ＝k π(k ∈Z)，由φ∈(0，π)，得φ＝π4.答案：C5．解析：因为f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的相邻的对称轴之间的距离为π2，所以2πω＝π，得ω＝2，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最大值为2，所以A 错误；当x ＝5π12时，2x ＋π6＝π，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，所以x ＝5π12不是函数图象的对称轴，所以B 错误；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π6＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当x ＝－π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2≠0，所以x ＝－π3不是函数的一个零点，所以C 错误；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，7π6，f (x )递减，D 正确．答案：D 二、填空题6．解析：因为角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P (－3，－1)，所以x ＝－3，y ＝－1，所以tan α＝yx ＝33，cos α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝cos α－cos α＝0.答案：337．解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋342＋178.因为cos x ∈[－1，1]，所以当cos x ＝1时，f (x )有最小值－4. 答案：－48．解析：依题意，当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则πω4－π6＝2k π(k ∈Z)．所以ω＝8k ＋23(k ∈Z)，由ω>0，所以ω的最小值为23.答案：23三、解答题9．解：(1)因为点P (1，－3)在角α的终边上， 所以sin α＝－32，cos α＝12，所以f (α)＝3sin 2α－2sin 2α＝23sin αcos α－2sin 2α＝23×⎝⎛⎭⎪⎫－32×12－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－3.(2)f (x )＝3sin 2x －2sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.易知f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z. 所以f (x )的单调减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π 6＋k π，2π3＋k π，k ∈Z. 10．解：(1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数， 所以对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)， 即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ， 故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0. 又θ∈[0，2π)，因此θ＝π2或θ＝3π2.(2)y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π42＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x －32sin 2x ＝1－32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 因此，所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－32，1＋32.B 级 能力提升11．解析：已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω＞0)在[0，2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a ，b )上，此时f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点，但f (x )在(0，2π)可能有2个或3个极小值点，所以①正确，②不正确．当x ∈[0，2π]时，ωx ＋π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π5，2πω＋π5，由f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋π5＜6π，得ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910，所以④正确；由④知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10时，π5＜ωx ＋π5＜πω10＋π5＜49π100＜π2， 所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增，③正确．综上可知，所有正确结论的编号为①③④.答案：D12．解：(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋3(2sin 2ωx －1)＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.由最小正周期为π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z. (2)将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝2sin 2x ＋1的图象，所以g (x )＝2sin 2x ＋1.令g(x)＝0，得x＝kπ＋7π12或x＝kπ＋11π12(k∈Z)．若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标．所以b的最小值为4π＋11π12＝59π12.。
高考专题---三角函数综合-2018年高考数学(理)---精校解析 Word版
专题10 三角函数综合【母题原题1】【2018上海卷，18】设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+ （1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =（）ππ-［，］上的解。
【答案】(1);(2)或或.【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出， （2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【详解】∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，或，∴，或，∵，∴或或【点睛】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．【母题原题2】【2017上海卷，18】已知函数，.（1）求的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边，角B所对边，若，求△ABC的面积. 【答案】（1）;（2）若，即有解得，即由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc cos A，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c =2，则即有B 为钝角，c =2不成立， 则c =3，△ABC 的面积为【母题原题3】【2017上海卷，11】设、，且，则的最小值等于________ 【答案】【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值等），体现数形结合的思想，函数与方程的思想等的应用，均可能出现填空题与解答题中，难度中低档为主，主要有两种考查题型：（1）根据三角函数的解析式确定其性质；（2）根据三角函数的性质求相关的参数值（或取值范围）．【命题规律】1. 高考对三角函数的图象与性质的考查往往集中于正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质，主要考查三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶性、最值、对称性、图象平移及变换等)．2. 高考中主要涉及如下题型：(1) 考查周期、单调性、极值等简单性质；(2) 考查与三角函数有关的零点问题；(3) 考查图象的识别． 【方法总结】1.根据函数的图象确定函数()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>中的参数主要方法：（1）A ，B 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定，即2A -=最大值最小值，2B +=最大值最小值；（2）ω的值主要由周期T 的值确定，而T 的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ值的确定主要是由图象的特殊点（通常优先取非零点）的坐标确定．2.在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．“先平移，后伸缩”主要体现为由函数sin y x =平移得到函数()sin y x ϕ=+的图象时，平移ϕ个长度单位；“先伸缩，后平移” 主要体现为由函数()sin y x ω=平移得到函数()sin y x ωϕ=+的图象时，平移ϕω个长度单位． 3. 利用函数图象处理函数的零点（方程根）主要有两种策略：（1）确定函数零点的个数：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断；（2）已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围：通常也转化为两个新函数的交点，即在同一坐标系中作出两个函数的图象，通过观察它们交点的位置特征建立关于参数的不等式来求解． 4. 求解三角函数的周期性的方法：（1）求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．（2）三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成sin()y A x ωϕ=+，或tan()y A x ωϕ=＋等类型后，用基本结论2||T πω=或||T πω=来确定；③根据图象来判断． 5. 求解三角函数的单调性的方法：（1）三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．（2）已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法：①子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；[ ②反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．6. 求解三角函数的奇偶性的策略：（1）判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性；（2）两个常见结论：①若函数()()sin f x A x ωϕ=+为奇函数，则()k k Z ϕπ=∈；若函数()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则()2k k Z πϕπ=+∈；②若函数()()cos f x A x ωϕ=+为奇函数，则()2k k Z πϕπ=+∈；若函数()()cos f x A x ωϕ=+为偶函数，则()k k Z ϕπ=∈．7. 求解三角函数对称性的方法：（1）求函数sin()y A x ωϕ=+的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：①由sin y x =的对称中心是(0)k π，，k ∈Z ，所以sin()y A x ωϕ=+的中心，由方程x k ωϕπ+=解出x 即可；②因为sin y x =的对称轴是2x k ππ=+，k ∈Z ，所以可由2x k πωϕπ+=+解出x ，即为函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴；注意tan y x =的对称中心为1(,0)()2k k Z π∈；（2）对于函数sin()y A x ωϕ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验()0f x 的值进行判断． 8. 求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型及求解策略：（1）形如sin cos y a x b x k =++的三角函数化为sin()y A x k ωϕ=++的形式，再利用正弦曲线的知识求最值(值域)；（2）形如2sin sin y a x b x k =++的三角函数，可先设sin x t =，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； （3）形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =+±+的三角函数，可先设sin cos t x x =±，化为关于t 的二次函数求值域(最值).1．【上海市浦东新区2018届三模】设函数的图象为，下面结论中正确的是（ ）A ． 函数的最小正周期是B ． 图象关于点对称C ． 图象可由函数的图象向右平移个单位得到D ． 函数在区间上是增函数【答案】B 【解析】 试题分析：的最小正周期，∵，∴图象关于点对称，∴图象可由函数的图象向右平移个单位得到，函数的单调递增区间是，当时，，∴函数在区间上是先增后减.考点：三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.2．【上海市十二校2018届高三联考】已知函数()sincos 212cos2x x f x xωωω=(0)ω>， x R ∈，若函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围为（ ）A ． 10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ． 50,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ． ][150,,148⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭ D ． ][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】D本题选择D 选项.点睛：重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 3．【上海市浦东新区2018届高三三模】已知的三边成等比数列,所对的角分别为,则的取值范围是_________.【答案】.【解析】 【分析】【点睛】本题考查等比中项的定义和余弦定理、基本不等式和正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．4．【上海市大同中学2018届高三三模】若，，，满足：，，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】首先对所给的方程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得的值，然后求解三角函数值即可.【详解】∵，∴(−2β)3−2sinβcosβ−2λ=0，即(−2β)3+sin(−2β)−2λ=0.由可得.故−2β和是方程x3+sinx−2λ=0的两个实数解.再由，，，所以和的范围都是，由于函数x3+sinx在上单调递增，故方程x3+sinx−2λ=0在上只有一个解，所以，，∴，则的值为.【点睛】本题主要考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．【上海市2018年5月高考模拟】已知为常数），若对于任意都有，则方程在区间内的解为__________【答案】或【解析】【分析】由，可知是函数的最小值，利用辅助的角公式求出的关系，然后利用三角函数的图象和性质进行求解即可.【详解】则，由，解得，即，，当时，，当时，，故或，故答案为或.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式() 可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域（）；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.6．【上海市浦东新区2018届高三三模】若的图像的最高点都在直线上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为.(1)求和的值：(2)在中，分别是的对边,若点是函数图像的一个对称中心,且,求外接圆的面积.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】【点睛】本题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦定理的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，是中档题．7．【上海市大同中学2018届高三三模】如图一块长方形区域，，，在边的中点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设，探照灯照射在长方形内部区域的面积为.（1）当时，求关于的函数关系式；（2）当时，求的最大值；（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（自转到，再回到，称“一个来回”，忽略在及处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设边上有一点，且，求点在“一个来回”中被照到的时间.【答案】(1)见解析;(2);(3)2分钟.【解析】【分析】（1）由题意结合三角函数的性质可得：当时，，当时，；（2）结合(1)中函数的解析式和三角函数的性质可得当时，；（3）结合实际问题和三角函数的性质计算可得点被照到的时间为分钟.【详解】【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用，三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【上海市2018年5月高考模拟】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图:点分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，且两点的距离约为3海里.(1)求两点间的距离；(精确到0.01)(2)某一时刻，我国一渔船在点处因故障抛锚发出求教信号.一艘国舰艇正从点正东10海里的点处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为 (直线行进)，而我东海某渔政船正位于点南偏西方向20海里的点处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点处，再折向点直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于国舰艇赶到进行救助?说明理由.【答案】（1）14.25（2）渔政船能先于国舰艇赶到进行救助.【解析】【分析】（1）由题意，,，在中，由正弦定理可求两点间的距离；（2）结合（1）【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及正弦定理与余弦定理的应用，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.9．【上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控（二模）】已知中，角所对应的边分别为，（是虚数单位）是方程的根，.（1）若，求边长的值；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）解得，所以，，，由正弦定理得；（2）由余弦定理得，根据基本不等式，得，所以面积的最大值等于。
最新-【数学】2018年高考数学试题精编：43三角函数的
第四章 三角函数 三 三角函数的图像和性质【考点阐述】正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 【考试要求】（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A 、ω、φ的物理意义．（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx 表示． 【考题分类】(一)选择题（共15题） 1.（安徽卷理9）动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周。
已知时间0t =时，点A 的坐标是13(,)22，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是 A 、[]0,1 B 、[]1,7 C 、[]7,12D 、[]0,1和[]7,12【答案】D【解析】画出图形，设动点A 与x 轴正方向夹角为α，则0t =时3πα=，每秒钟旋转6π，在[]0,1t ∈上[,]32ππα∈，在[]7,12上37[,]23ππα∈，动点A 的纵坐标y 关于t 都是单调递增的。
【方法技巧】由动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，画出单位圆，很容易看出，当t 在[0,12]变化时，点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间.2.（福建卷文10）将函数()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位。
若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于A.4B.6C.8D.12 【答案】B【解析】因为将函数()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移2π个单位。
若所得图象与原图象重合，所以2π是已知函数周期的整数倍，即2k πω⋅=()2k Z π∈，解得4()k k Z ω=∈，故选B 。
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三角函数的图像和性质练习
江西 在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin
1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值；
（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.
天津15．（本小题满分13分） 已知函数()tan(2),4f x x π
=+
（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；
（II ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小．
浙江18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角..A B C 所对的边分别为a,b,c ．
已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =
． （Ⅰ）当5,14
p b ==时，求,a c 的值； （Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围；
.(2018北京,文15)已知函数f (x )=2cos2x +sin 2x .
(1)求f (3
π)的值; (2)求f (x )的最大值和最小值.
16.(2018湖北,文16)已知函数f (x )=2
sin cos 22x x -,g (x )=21sin2x -41. (1)函数f (x )的图象可由函数g (x )的图象经过怎样的变化得出?
(2)求函数h (x )=f (x )-g (x )的最小值,并求使h (x )取得最小值的x 的集合.
答案：江西17解：（1）已知2
sin
1cos sin C C C -=+ 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin 22222C C C C C C C -+=-+∴ 整理即有：012sin 22cos 22sin 02sin 2sin 22cos 2sin 22=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-⇒=+-C C C C C C C 又C 为ABC ∆中的角，02
sin ≠∴C 412sin 2cos 2cos 2sin 2412cos 2sin 212cos 2sin 222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⇒=-∴C C C C C C C C 4
3sin 432cos 2sin 2=⇒=∴C C C （2）()8422-+=+b a b a
()()2,2022044442
222==⇒=-+-⇒=++--+∴b a b a b a b a 又4
7sin 1cos 2=-=C C ，17cos 222-=-+=∴C ab b a c 天津15．本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二
倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分. （I ）解：由2,42x k k Z πππ+
≠+∈， 得,82
k x k Z π
π≠+∈. 所以()f x 的定义域为{|,}82
k x R x k Z π
π∈≠+∈ ()f x 的最小正周期为
.2π （II ）解：由()2cos 2,2a
f a = 得tan()2cos 2,4a a π
+=
22sin()42(cos sin ),cos()4
a a a a π
π+=-+ 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin a a a a a a a a
+=+-- 因为(0,)4a π∈，所以sin cos 0.a a +≠
因此211(cos sin ),sin 2.22a a a -=
=即 由(0,)4a π∈，得2(0,)2a π
∈. 所以2,.612a a π
π
==即
浙江18．本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
（I ）解：由题设并利用正弦定理，得5,41,4
a c ac ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 解得1,1,41, 1.
4a a c c =⎧⎧=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩或 （II ）解：由余弦定理，222
2cos b a c ac B =+- 222222()22cos 11cos ,22
31cos ,22
a c ac ac B
p b b b B p B =+--=--=+即 因为23
0cos 1,(,2)2
B p <<∈得，
由题设知0,p p ><< 10北京文解:(1)f (3π)=2cos 3π2+sin 23π=－1+43=－4
1
. (2)f (x )=2(2cos 2x －1)+(1－cos 2x )=3cos 2x －1,x ∈R
.
因为cos x ∈［－1，
1
所以,当cos x =±1时,f (x )取最大值2;当cos x =0时,f (x )取最小值－1.
2018湖北,文16解:(1)f (x )=
21cos2x =21sin(2x +2π) =21sin2(x +4
π). 所以要得到f (x )的图象只需要把g (x )的图象向左平移
4π个单位长度,再将所得的图象向上平移4
1个单位长度即可. (2)h (x )=f (x )-g (x )
=21cos2x -21sin2x +4
1
=2
2cos(2x +4π)+41, 当2x +
4π =2k π+π(k ∈Z )时,h (x )取得最小值-22+41=4221 . h (x )取得最小值时,对应的x 的集合为{x |x =k π+
8
3π,k ∈Z }.。