高中数学-函数y=Asin(ωx+φ)的图象、性质及简单应用练习

高中数学-函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象、性质及简单应用练习基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析 由图象可以看出32T ＝π，∴T ＝23π＝2πω，因此ω＝3.答案 32．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ等于________．解析 将函数y ＝sin x 向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位得到函数y ＝sin(x ＋φ)． 只有φ＝116π时有y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋116π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.答案11π63．(·深圳二模)如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T ，且当x ＝2时，f (x )取得最大值，那么T ＝________，θ＝________. 解析 T ＝2ππ＝2，当x ＝2时，由π×2＋θ＝π2＋2k π(k ∈Z )，得θ＝－3π2＋2k π(k ∈Z )，又0＜θ＜2π，∴θ＝π2. 答案 2π24．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象关于直线x ＝π3对称，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则ω的最小值为________．解析 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0知⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )图象的一个对称中心，又x ＝π3是一条对称轴，所以应有⎩⎨⎧ω>0，2πω≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12，解得ω≥2，即ω的最小值为2.答案 25．(·长春模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后是奇函数，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．解析 函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2向左平移π6个单位后得到函数为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，因为此时函数为奇函数，所以π3＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－π3＋k π(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以当k ＝0时，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当0≤x ≤π2时，－π3≤2x－π3≤2π3，即当2x －π3＝－π3时，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3有最小值为sin ⎝⎛⎭⎪⎫－π3＝－32. 答案 －326．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析由于函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)的图象经过坐标原点，由题意知f(x)的一条对称轴为直线x＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T＝4π3，从而ω＝32.答案3 27．(·山东省实验中学诊断)已知函数y＝g(x)的图象由f(x)＝sin 2x的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ＝________.解析函数f(x)＝sin 2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x＝π2，所以x＝π4，π8关于x＝π4对称的直线为x＝3π8，由图象可知，通过向右平移之后，横坐标为x＝3π8的点平移到x＝17π24，所以φ＝17π24－3π8＝π3.答案π38．(·武汉模拟)设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数(其中0≤t≤24)．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t 03691215182124y 5.07.5 5.0 2.5 5.07.5 5.0 2.5 5.0＋φ)的图象．最能近似表示表中数据间对应关系的函数是________．解析 由数据可知函数的周期T ＝12，又T ＝12＝2πω，所以ω＝π6；函数的最大值为7.5，最小值为2.5，即h ＋A ＝7.5，h －A ＝2.5，解得h ＝5.0，A ＝2.5，所以函数为y ＝f (x )＝5.0＋2.5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ，又y ＝f (3)＝5.0＋2.5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×3＋φ＝7.5，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ＝1，即φ＝2k π(k ∈Z )，所以最能近似表示表中数据间对应关系的函数是y ＝5.0＋2.5sin π6t . 答案 y ＝5.0＋2.5sin π6t 二、解答题9．(·苏州调研)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的周期为π，且图象上有一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－3. (1)求f (x )的解析式；(2)求使f (x )＜32成立的x 的取值集合．解 (1)由题意知：A ＝3，ω＝2， 由3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－3, 得φ＋4π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ， 即φ＝－11π6＋2k π，k ∈Z . 而0＜φ＜π2，所以k ＝1，φ＝π6. 故f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)f (x )＜32等价于3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＜32，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＜12，于是2k π－7π6＜2x ＋π6＜2k π＋π6(k ∈Z )， 解得k π－2π3＜x ＜k π(k ∈Z )， 故使f (x )＜32成立的x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |k π－2π3＜x ＜k π，k ∈Z . 10．(·济宁测试)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2 x －1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域．解 (1)因为f (x )＝23sin x cos x ＋2sin 2x －1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴函数f (x )的最小正周期为T ＝π， 由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z .(2)函数y ＝f (x )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6；再把所得到的图象向左平移π6个单位长度，得到g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝2cos 4x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12时，4x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，所以当x ＝0时，g (x )max ＝2， 当x ＝－π6时，g (x )min ＝－1. ∴y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π12上的值域为[－1,2]．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题 1．当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0，－π＜φ＜0)取得最小值，则函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x 的奇偶性是________，对称轴方程为________． 解析 当x ＝π4时，函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A ＞0)取得最小值，即π4＋φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝－3π4＋2k π(k ∈Z )，又－π＜φ＜0，所以φ＝－3π4，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4(A ＞0)，所以y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x ＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－x －3π4＝－A sin x ，所以函数f (x )为奇函数且图象关于直线x ＝k π＋π2，k ∈Z 对称． 答案 奇函数 x ＝k π＋π2，k ∈Z 2．(·长沙一模)定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2x cos 2x 1 3，则将f (x )的图象向右平移π3个单位所得曲线的对称轴的方程是________． 解析 由定义可知，f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，将f (x )的图象向右平移π3个单位得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6，由2x －5π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴为x ＝2π3＋k π2(k ∈Z )． 答案 x ＝2π3＋k π2，k ∈Z 3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________.解析 据已知两个相邻最高和最低点距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋1＋12＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ，又函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6. 答案 sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6 二、解答题4．(·淄博二模)已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω＞0)，其最小正周期为π2. (1)求f (x )的表达式； (2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6，由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2， 所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象；再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，所以g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x－π3≤2π3，所以g (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. 又g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k ＜32或－k ＝1， 解得－32＜k ≤32或k ＝－1，所以实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，32∪{－1}．。