高考数学考点小结(配例题)

1、 认识集合时，你注意到代表元素了吗？集合间的包含关系与运算是高考的重点，其运算性质及重要结论你熟练掌握了吗？区分集合中元素的形式：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集。

A ∩B=A ⇔A ∪B=B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A例1、（山东卷理1文1）满足M ⊆｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M ∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1·a 2}的集合M 的个数是（ ）（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。

集合M 中必含有12,a a ,则{}12,M a a =或{}124,,M a a a =.选B.2、 进行集合运算时，你注意到φ的特殊性了吗，有没有对其进行检验？条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况例2、已知集合{}0232=+-=x x x A ，{}022=+-=mx x x B ，且B B A = ，实数m 的取值范围是（ D ）A ．{}2222<≤-m m B 。

{}2222≤≤-m m C 。

{}2222≤<-m m D 。

{}22223<<-=m m m 或3、充分条件、必要条件和充要条件的概念记住了吗？例3、（陕西卷理6文6） “18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：18a =12218a x x x x ⇒+=+≥=，另一方面对任意正数x ，21ax x +≥只要21a x x +=≥≥18a ⇒≥，所以选A4、对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义和表示符号还模糊吗？你是否熟悉含有逻辑联结词的命题真假判断的准则？例4、（广东卷理6）已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝【解析】不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有()()p q ⌝∨⌝ 为真命题5、你对幂的运算、对数的运算的法则熟练掌握了吗？ 例5、（山东卷文15）已知2(3)4log 3233x f x =+，则8(2)(4)(8)(2)f f f f++++的值等于 ．解析：本小题主要考查对数函数问题。

22(3)4log 32334log 3233,x x f x =+=+2()4l o g 233,f x x ⇒=+8(2)(4)(8)(2)f f ff ∴++++= 222282334(l o g 22l o g 23l o g 28l o g 2)186********.⨯+++++=+= 6、分段函数在近几年的高考中出现的频率比较高，你能准确理解分段函数的含义吗？例6、（山东卷文5）设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ）A ．1516 B ．2716- C ．89D ．18 解析：本小题主要考查分段函数问题。

正确利用分段函数来进行分段求值。

(2)4,f =11115()1.(2)41616f f f ⎛⎫∴==-= ⎪⎝⎭选A. 7、函数的图像是每年高考的一个热点，你会知式选图、知图选式、图像变换，以及自觉运用图像解决一些方程、不等式的问题吗？函数()a x f y +=的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左)0(>a 或向右)0(<a 平移a 个单位得到的；函数()x f y =+a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上)0(>a 或向下)0(<a 平移a 个单位得到的；函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的a1得到的；函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的。

例7、（山东卷理3文3）函数y ＝lncos x (-2π＜x ＜)2π的图象是解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。

ln cos ()22y x x ππ=-<<是偶函数，可排除B 、D ，由cos 1ln cos 0x x ≤⇒≤排除C,选A.8、关于函数的奇偶性，有如下的结论：（1）若)(x f 是奇函数，且)0(f 有意义，则0)0(=f ；（2）若)(x f 是偶函数，则)()()(x f x f x f ==-。

你会结合含函数的单调性、周期性等性质解决一些问题吗？例8、（北京卷理13文14）已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >； ②2212x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ② ．【试题分析】: 函数2()cos f x x x =-显然是偶函数，其导数y ’=2x+sinx 在0<x<2π时，显然也大于0，是增函数，想象其图像，不难发现，x 的取值离对称轴越远，函数值就越大，②满足这一点。

当x 1=2π,x 2=-2π时，①③均不成立。

9、什么是函数的零点？函数的零点有什么性质？你能正确运用函数零点的性质解决有关方程的根的分布问题吗？ 例9、函数5()3f x x x =+-的实数解落在的区间是( ) A ．[0,1] B ．[1,2] C ．[2,3] D ．[3,4]解释：B (0)30,(1)10,(2)310,(1)(2)0f f f f f =-<=-<=>⋅<10、用二分法求方程的近似解的基本思想是什么？你会用二分法求方程的近似解吗？例10、用二分法研究函数的零点时，第一次计算0)5.0(,0)0(><f f ，可得其中一个零点)5.0,0(0∈x ，第二次应计算)25.0(f 。

11、向量共线的充要条件是什么？向量垂直的充要条件是什么?你会用平面向量的基本定理解决问题吗？例11、（广东卷理8）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ B ）A ．1142+a bB ．2133+a bC ．1124+a bD ．1233+a b【解析】此题属于中档题.解题关键是利用平面几何知识得出:1:2DF FC =,然后利用向量的加减法则易得答案B.12、两向量的夹角是怎样定义的，它的取值范围是什么？怎样求两向量的夹角？两向量的夹角为钝角的充要条件是什么？你会运用平面向量的数量积解决问题吗？例12（1）（江苏卷5）,a b 的夹角为0120，1,3a b ==，则5a b -= 。

【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a ba ab b -=-=-+=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -=7（2）（全国Ⅱ卷理13文13）设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．【解析】λ+a b ＝)32,2(++λλ则向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线274322=⇒--=++⇔λλλ 13、你能迅速画出正弦函数、余弦函数和正切函数的图象的草图吗？你能由这些图象分别得到函数),sin(ϕω+=x A y ),cos(ϕω+=x A y ),tan(ϕω+=x A y 的图象吗？例13、（山东卷文17）已知函数())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+（0πϕ<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2．（Ⅰ）求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．解：（Ⅰ）())cos()f x x x ωϕωϕ+-+12)cos()22x x ωϕωϕ⎤=+-+⎥⎣⎦π2sin 6x ωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．因为()f x 为偶函数，所以对x ∈R ，()()f x f x -=恒成立，因此ππsin()sin 66x x ωϕωϕ⎛⎫-+-=+- ⎪⎝⎭．即ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666x x x x ωϕωϕωϕωϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得πsin cos 06x ωϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．因为0ω>，且x ∈R ，所以πcos 06ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．又因为0πϕ<<，故ππ62ϕ-=．所以π()2sin 2cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 由题意得2ππ22ω=，所以2ω=．故()2cos 2f x x =．因此ππ2cos 84f ⎛⎫== ⎪⎝⎭（Ⅱ）将()f x 的图象向右平移π6个单位后，得到π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，所以πππ()2cos 22cos 2663g x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．当π2π22ππ3k x k -+≤≤（k ∈Z ），即π2πππ63k x k ++≤≤（k ∈Z ）时，()g x 单调递减，因此()g x 的单调递减区间为π2πππ63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．14、正弦函数、余弦函数既是轴对称图形，又是中心对称图形，对于三角函数的对称性，你有把握吗？例14、（1）（安徽卷文8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（ ）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=解：sin(2)3y x π=+的对称轴方程为232x k πππ+=+，即212k x ππ=+，0,12k x π== （2）（辽宁卷理16）已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，有最小值，无最大值，则ω＝__________．解析：本小题主要针对考查三角函数图像对称性及周期性。

依题()sin()(0),()()363f x x f f πππωω=+>=且()f x 在区间(,)63ππ有最小值,无最大值,∴区间(,)63ππ为()f x 的一个半周期的子区间，且知()f x 的图像关于6324x πππ+==对称，∴32,432k k Z πππωπ⋅+=+∈,取0K =得14.3ω=答案：14315、求角的函数值及角的范围是高考的重点，你对三角恒等变换的基本规律能熟练掌握吗？例15（天津卷17）已知⎪⎭⎫⎝⎛3∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,2,1024cos πππx x （Ⅰ）求x sin 的值；（Ⅱ）求⎪⎭⎫ ⎝⎛+32sin πx 的值.解：（Ⅰ）因为⎪⎭⎫⎝⎛∈43,2ππx ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-2,44πππx ，于是10274cos 14sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππx x 54221022210274sin 4cos 4cos 4sin 44sin sin =⨯+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππx x x x（Ⅱ）因为⎪⎭⎫⎝⎛∈43,2ππx ，故53541sin 1cos 22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=x x2571cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-=-==x x x x x 所以5037243sin 2cos 3cos 2sin 32sin +-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πππx x x16、正弦定理、余弦定理的内容是什么，你能灵活运用它们解斜三角形吗？ 正弦定理:2R=A a sin =B b sin =Ccsin ;三角形面积：111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===余弦定理：a 2=b 2+c2-2bc A cos ,bca cb A 2cos 222-+=;例16（辽宁卷理17）在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3C π=． （Ⅰ）若ABC △a b ，；（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．解析：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，224a b ab +-=，又因为ABC △的面积所以1sin 2ab C =得4ab =．联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，，解得2a =，2b =．（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=，即sin cos 2sin cos B A A A =，当c o s 0A =时，2A π=，6B π=，a =b =， 当cos 0A ≠时，得s i n2s i n B A =，由正弦定理得2b a =，联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，，解得a =，b =．所以ABC △的面积13s i n 2S ab C ==17、向量与三角函数的结合是高考的热点，你能借助向量的工具解决三角函数问题吗？17、（福建卷理17） 已知向量m =(sin A ,cos A ),n=1)-，m ·n ＝1，且A 为锐角.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.解：（Ⅰ） 由题意得3sin cos 1,m n A A =-= 12sin()1,sin().662A A ππ-=-=由A 为锐角得 ,663A A πππ-==（Ⅱ） 由（Ⅰ）知1cos ,2A =所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x s x =+=-+=--+因为x ∈R ，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，f (x )有最大值32.当sin 1x =-时，()f x 有最小值-3,所以所求函数()f x 的值域是332⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 18、在由数列的前n 项和的公式求n a 时你注意到验证n=1的情况了吗？ 例18、已知13-=n n a ，设数列{}n b 对任意自然数n 均有122211+=+++n a b a b a b nn ，则=+++200821b b b 解析：当33,311111====a b a b n 得到时，由； 当时，2≥n 由122211+=+++n a b a b a b n n ① 得到112112211+-=+++--）（n a b a b a b n n ② 由①-②，得到2=nna b ，则1322-⨯==n n n a b ，从而=+++200821b b b 20083 19、数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，在用函数的有关知识解决数列列问题时，你注意到函数的定义域为正整数集了吗？例19、已知数列{}n a 是递增数列，且对*∈N n ，都有n n a n λ+=2，则实数λ的取值范围是（ ）A 、⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,27 B 、[)+∞,0 C 、[)+∞-,2 D 、()+∞-,3解析：利用递增数列的意义，n n a a >+1，得到关于λ的不等式，从而解出λ的范围。