专题3 空间垂直问题的证明方法-2019年高考数学考点讲解与真题分析
高中数学常见题型解法归纳 空间直线、平面垂直位置关系的证明
高中数学常见题型解法归纳 空间直线、平面垂直位置关系的证明【知识要点】一、空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明空间直线、平面垂直位置关系的判定和证明一般有两种方法.方法一（几何法）：线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直，它体现的主要是一个转化的思想.方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性. 其中向量,a b 是直线,a b 的方向向量，且111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==向量,m n 是平面,αβ的法向量，且333444(,,),(,,)m x y z n x y z ==1200(,1212z z a b a b a b x x y y a b a b +⊥⇔⊥⇔=⇔+=直线直线其中分别为直线，的方向向量）,,31313(1x y y z z a a m x a a m λλλαα===⊥⇔⇔直线平面其中为直线的方向向量,为平面的法向量）3400(3434z z m n m n x x y y m αβαβ+⊥⇔⊥⇔=⇔+=平面平面其中,n 分别为平面，的法向量） 二、空间的几何元素的位置关系从低到高有三个层次：线线关系、线面关系和面面关系.三、空间垂直位置关系的证明，总是把要证明的垂直关系首先转化成最靠近它的位置关系去证明.如果要证明线线垂直，只能首先转化成证明线面垂直；如果要证明线面垂直，可以首先转化成证明线线垂直或者面面垂直；如果要证明面面垂直，只能首先转化成证明线面垂直. 【方法讲评】【例1】【2017北京，文18】如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ； （Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积．（III ）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC平面BDE DE =，所以PA DE ∥.因为D 为AC 的中点，所以112DE PA ==，BD DC ==由（I ）知，PA ⊥平面ABC ，所以DE ⊥平面PAC .所以三棱锥E BCD -的体积1163V BD DC DE =⋅⋅=. 【点评】（1）本题的第1问证明PA ⊥BD ，转化成证明PA ⊥平面ABC ，第2问证明平面BDE ⊥平面PAC 转化成证明BD ⊥平面PAC .（2）空间垂直位置关系的证明，总是把要证明的垂直关系首先转化成最靠近它的位置关系去证明.转化成哪一条线垂直哪一条线，哪一条线垂直哪一个平面，哪一个平面垂直哪一个平面，这取决于你的观察和分析，主要关注已知条件中的有垂直关系的线和面.【例2】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，60AB ADAC CD ABC ⊥⊥∠=，，°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明CD AE ⊥； （Ⅱ）证明PD ⊥平面ABE ；（Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．（Ⅲ）ABCDPEABCDPEM⊥的关键是证明CD垂直AE所在的平面PCD.(2)证明PD⊥平面ABE的【点评】（1）证明CD AEPC CD关键是证明PD垂直平面ABE内的两条相交直线,.【反馈检测1】【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C 的余弦值.【例3】如图，已知正方体1AC 棱长为2，E 、F 、G 分别是1CC 、BC 和CD 的中点. （1）证明：1A G ⊥面EFD ；（2）求二面角E DF C --的余弦值.(2)由(1)知1(2,1,2)AG =--为面EFD 的法向量 ∵CE ⊥面CFD ，(0,0,1)CE =为面CFD 的法向量 设1AG 与CE 夹角为θ，则11cos A G CE A G CEθ⋅==⋅231-⋅23=- 由图可知二面角E DF C --的平面角为πθ- ∴二面角E DF C --的余弦值为23. 【点评】本题由于是正方体，所以方便建立空间直角坐标系，所以选择向量的方法比较直接. 当然，也可以选择几何法.【反馈检测2】如图，已知多面体ABCDEF 中，ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，AE ⊥平面ABCD ，,1,AE CF AB AE AF BE ==⊥．（1）求证：AF ⊥平面BDE ；（2）求二面角F BE D --的余弦值．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第60讲： 空间直线、平面垂直位置关系的证明参考答案【反馈检测1答案】(1)证明略；.（2）由题设及（1）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA 的方向为x 轴正方向，OA 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()()()()1,0,0,,1,0,0,0,0,1A B C D -.由题设知，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12，即E 为DB 的中点，得12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故()()11,0,1,2,0,0,2AD AC AE ⎛⎫=-=-=- ⎪⎪⎝⎭.【反馈检测2答案】（1）见解析;(2）所求二面角得余弦值为5． 【反馈检测2详细解析】（1）设AC BD O ⋂=以O 为空间直角坐标系原点，以OB 为x +轴，以OC 为y +轴，以过O 点平行于AE 的射线为z +轴建立空间直角坐标系xOy ∵1AB AE ==，且菱形ABCD 中60ABC ∠=︒∴1110,,0,,0,,0,,0,,122222A B C D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∵AECF 且()0,0,1AE =，∴设()()0,0,0CF λλ=> ∴10,,2F λ⎛⎫ ⎪⎝⎭又∵AF BE ⊥∴102AF BE λ⋅=-+=，∴12λ=，∴110,,22F ⎛⎫ ⎪⎝⎭又∵()10,1,02AF BD ⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎝⎭∴AF BD ⊥，又AF BE ⊥且BD BE B = ∴AF ⊥平面BDE（2）设⊥m 平面BEF ，(),,x y z =m∴()11,,,1022BE x y z x y z ⎛⎫⋅=⋅-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭m设所求二面角为θ，则有cosθ=.。
高考指南立体几何垂直证明的六大绝招秒懂
高考指南立体几何垂直证明的六大绝招秒懂！类型一AD⊥SC，求证:AD⊥面SBC证明：∵SA⊥面ABC ∴SA⊥BC又∠ACB=90°∴AC⊥BC又AC，SA⊆面SAC ∴BC ⊥面SAC∴BC⊥AD又AD⊥SC且BC，SC⊆面SBC∴AD⊥面SBC变式：如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，求证：AD⊥AC类型二利用等腰三角形中线证垂直例题：在三棱锥P-ABC中，AC=BC，AP=BP，求证PC⊥AB证明：取AB的中点M，连接PM，CM∵AC=BC，M是AB的中点，∴AB⊥CM∵AP=BP，M是AB的中点，∴AB⊥PM∴AB⊥面PCM∴AB⊥PC变式：四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AD，求证面PAD⊥面PCD类型三利用勾股定理逆定理证垂直例题：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边成为3的正方形，PA⊥CD，PA=4，PD=5，求证：PA⊥面ABCD证明：∵PA=4，AB=3，PD=5∴PA2+AB2=PD2，∴三角形PAD是直角三角形，∴PA⊥AD又PA ⊥CD，∴PA⊥面ABCD变式：如果，在三棱台ABC-DEF中，平面BDEF⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，求证：BF⊥面ACFD类型四利用三角形全等证垂直例题：如图，三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°，求证：AB⊥PC证明：取AB的中点M，连接CM，∵△PAB是等边三角形，∴PB=PA又PC=PC，∠PAC=∠PBC=90°∴△PBC≌△PAC，∴BC=AC∴△ACB是等腰三角形，M是AB的中点，∴CM⊥AB又在等边△PAB中，M是AB的中点，∴PM⊥AB∴AB⊥面PMC∴AB⊥PC变式：如图，在以A、B、C、D、E、F为顶点的五面体中，平面CDEF⊥平面ABCD，FC=FB，四边形ABCD为平行四边形，且∠BCD=45°，求证：CD⊥BF类型五利用平行关系证明垂直例题：如图四棱锥P-ABCD，底面是正方形，PA⊥底面ABCD，∠PDA=45°，E是棱AB的中点，求证：面PCE⊥面PCD证明：分别做PC，PD的中点M，N两点，连接EM，MN，NA∵MN为△PCD的中位线，∴MN∥CD且MN=1/2CD又∵E是AB的中点，∴AE∥CD且AE=1/2CD ∴四边形AEMN是平行四边形，则EM∥AN，∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AD，且∠PDA=45°，∴△PAD 是等腰直角三角形又N是PD中点，∴AN⊥PD∵四边ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又PA⊥CD，∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AN，又上面已求PD⊥AN，∴AN⊥面PCD又∵EM∥AN，∴EM⊥面PCD∵EM ⊂面PEC，∴面PEC⊥面PCD变式：如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图2，证明CD⊥面A1OC.类型六梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD，侧面PBC⊥底面ABCD，证明：PA⊥BD。
高考数学 专题32 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法黄金解题模板
专题32 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法【高考地位】立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中档题. 【方法点评】方法一 几何法使用情景：转化的直线或平面比较容易找到解题模板：第一步 按照线线垂直得到线面垂直，进而得出面面垂直的思路分析解答；第二步 找到关键的直线或平面； 第三步 得出结论.例1、【2018广西桂林市第十八中模拟】如图，在三棱锥P ABC -中， ,44CBA AB π∠===，,D E 分别为线段,AB BC 的中点， ,PD AC PE BC ⊥⊥.（1）求证： CD ⊥平面PAB ；（2）若F 为PA 上的点，且2,3C PEF PF FA V -==P 平面ABC 的距离.又∵,PD AC BC AC C ⊥⋂=，∴PD ⊥面ABC ， ∵CD ⊂面ABC ∴PD CD ⊥在ABC ∆中D 是AB 的中点， AC BC =，∴CD AB ⊥ ∵PD AB D ⋂=， ,PD AB ⊂面PAB ，∴CD ⊥平面PAB （2）由（1）知P 到面ABC 的距离为PD 由等体积知： 2233C PEF F PEC A PEC P AEC V V V V ----===∵3C PEF V -=2P AEC V -=∴123AEC PD S ∆⨯⨯⨯=∵122AEC S AC AE ∆=⨯⨯=， 1223PD ⨯⨯⨯=， ∴98PD =. 例2、如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，E 为PD 中点，PA ⊥平面ABCD ，//,,24AD BC AC BD AD BC ⊥==．证明：平面EBD ⊥平面PAC ； 【答案】详见解析线线垂直PA BD ⊥.试题解析：因为PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，又因为,AC BD PA AC A ⊥=，所以BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面EBD ，所以平面EBD ⊥平面PAC ． 考点：面面垂直判定定理【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【变式演练1】如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP . 设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由。
2019年高考数学 专题32 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法黄金解题模板
2019年高考数学 专题32 空间中直线、平面垂直位置关系的证明方法黄金解题模板【高考地位】立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，解决这类问题的方法主要有：几何法和空间向量法. 在高考中其难度属中档题.【方法点评】方法一 几何法使用情景：转化的直线或平面比较容易找到解题模板：第一步 按照线线垂直得到线面垂直，进而得出面面垂直的思路分析解答；第二步 找到关键的直线或平面；第三步 得出结论.例1、【2018广西桂林市第十八中模拟】如图，在三棱锥P ABC -中， ,44CBA AB π∠===，,D E 分别为线段,AB BC 的中点， ,PD AC PE BC ⊥⊥.（1）求证： CD ⊥平面PAB ；（2）若F 为PA 上的点，且2,3C PEF PF FA V -==P 平面ABC 的距离.又∵,PD AC BC AC C ⊥⋂=，∴PD ⊥面ABC ，∵CD ⊂面ABC ∴PD CD ⊥在ABC ∆中D 是AB 的中点， AC BC =，∴CD AB ⊥∵PD AB D ⋂=， ,PD AB ⊂面PAB ，∴CD ⊥平面PAB（2）由（1）知P 到面ABC 的距离为PD由等体积知： 2233C PEF F PEC A PEC P AEC V V V V ----===∵3C PEF V -=2P AEC V -=∴123AEC PD S ∆⨯⨯⨯=∵122AEC S AC AE ∆=⨯⨯=， 1223PD ⨯⨯⨯=， ∴98PD =. 例2、如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，E 为PD 中点，PA ⊥平面ABCD ，//,,24AD BC AC BD AD BC ⊥==．证明：平面EBD ⊥平面PAC ；【答案】详见解析线线垂直PA BD ⊥.试题解析：因为PA ⊥平面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，又因为,AC BD PA AC A ⊥=，所以BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面EBD ，所以平面EBD ⊥平面PAC ．考点：面面垂直判定定理【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.【变式演练1】如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD 平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP . 设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明, 若不存在, 说明理由。
空间几何中的垂线定理与推论
空间几何中的垂线定理与推论在空间几何中，垂线定理与推论是重要的基础概念。
它们帮助我们理解不同几何形体之间的关系，探索空间中的垂直性质。
本文将详细介绍垂线定理与推论的概念、证明方法以及应用场景。
1. 垂线定理的定义与证明垂线定理是指：如果两条直线垂直于同一平面上的第三条直线，并且它们互相垂直，则这两条直线平行。
该定理在解决空间中直线和平面相互垂直的问题时起到了关键作用。
假设在空间中有三条直线，分别为AB、CD和EF。
已知CD⊥EF，且AB⊥CD，我们需要证明AB∥EF。
证明过程：首先，在CD上找一点O，使得AO⊥CD。
根据垂线定义，我们知道AO与CD垂直。
然后，连接BO并假设BO与EF相交于点N。
根据角的性质，我们得到∠NOB=90°。
此外，由于AB⊥CD，所以∠BAO=90°。
根据传递性质，我们可以得出∠BAO=∠NOB。
因此，可得到AO∥BO。
接下来，我们需要证明EF⊥BO。
由于FO⊥CD，所以FO⊥BO。
此外，根据垂线定理的定义，我们知道AO∥BO，因此，可得到EF⊥BO。
根据垂线定理，我们可以得出AB∥EF。
2. 垂线推论的应用垂线定理还引申出许多有用的推论，这些推论广泛应用于几何学的各个领域。
下面列举了几个常见的垂线推论及其应用。
推论1：如果两条直线垂直于同一平面上的某条直线，它们互相垂直。
应用：在解决平面几何问题时，可以利用该推论判断两条直线是否垂直。
推论2：如果两条直线分别与同一直线垂直，并且它们不相交，则它们平行。
应用：在平面几何中，该推论帮助我们判定两条直线是否平行。
推论3：如果两个平面互相垂直，则它们的交线是一条直线。
应用：该推论在解决空间几何问题时非常有用，可以帮助我们找到两个垂直平面的交线。
推论4：如果两条直线分别与同一平面垂直，并且它们不在同一直线上，则它们平行于平面。
应用：该推论在解决空间几何问题中帮助我们判断直线与平面之间的关系。
3. 垂线定理与推论的应用举例垂线定理与推论不仅具有理论意义，还广泛应用于实际问题中。
空间几何垂直的判定定理公式
空间几何垂直的判定定理公式在我们学习数学的漫漫征途中，空间几何垂直这一板块就像是一座神秘的城堡，而垂直的判定定理公式则是打开城堡大门的神奇钥匙。
咱们先来说说线面垂直的判定定理。
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就与这个平面垂直。
这就好比在操场上，有一根旗杆直直地立在地面上。
假设地面是一个平面，而在地面上有两条相交的跑道线，这根旗杆和这两条跑道线都相互垂直，那这旗杆肯定就和整个地面垂直啦！再看看面面垂直的判定定理，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直。
这就好像是两块相邻的木板，一块木板垂直地靠在另一块木板上，那这两块木板所在的平面自然就是垂直的关系。
还记得我之前教过的一个学生小明，他一开始对这些判定定理那叫一个头疼，总是搞混。
有一次做作业，碰到一个证明线面垂直的题目，他想都不想就乱写一通，结果当然是错得一塌糊涂。
我就问他：“小明啊，你想想那个操场上的旗杆，是不是得和两条相交的跑道线都垂直才能立稳呀？”小明眨眨眼，好像突然开窍了。
从那以后，他每次遇到这类问题，都会在脑海里想象那个画面，做题的准确率也越来越高。
其实啊，这些判定定理并不是什么高深莫测的东西。
咱们只要多联系实际，多做几道题，就能把它们掌握得牢牢的。
比如说，家里的墙角，是不是就是三条线两两垂直，从而形成了三个相互垂直的面？还有，建筑工地上的塔吊，那长长的吊臂和塔身是不是也存在着垂直的关系？在解决空间几何垂直问题的时候，咱们要善于从生活中寻找例子，把抽象的定理具体化。
这样一来，不仅能让我们更好地理解和记忆这些定理，还能提高我们解决问题的能力。
对于线线垂直的判定，也有一些小窍门。
如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线。
这就好比你手里拿着一根垂直于桌面的铅笔，那这根铅笔是不是和桌面上的所有直线都垂直呀？还有一种情况，如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，那么另一条也垂直于这条直线。
2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题32直线、平面垂直的判定与性质(教学案)含解析
1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理。
2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。
热点题型一证明直线与平面垂直例1、已知直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC中点。
(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC。
证明：(1)如图，取AB中点E，连接SE、DE，∴BD ⊥平面SAC 。
方法二，若AB ＝BC ，则BD ⊥AC 。
由(1)知SD ⊥平面ABC ，又SD ⊂平面SAC ， ∴平面ABC ⊥平面SAC ，又平面ABC∩平面SAC ＝AC 。
∴BD ⊥平面SAC 。
【提分秘籍】证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理。
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”。
(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”。
(4)利用面面垂直的性质定理。
【举一反三】如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且AD ＝13DB ，点C 为圆O 上一点，且BC ＝3AC ，PD ⊥平面ABC ，PD ＝DB 。
求证：PA⊥CD。
解析：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由3AC＝BC得，∠ABC＝30°，热点题型二证明平面与平面垂直例2、（2018年江苏卷）在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析【解析】所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．【变式探究】如图所示，已知△ABC是等边三角形，EC⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，且EC、DB在平面ABC 的同侧，M为EA的中点，CE＝2BD，求证：(1)平面BDM⊥平面ECA；(2)平面DEA⊥平面ECA。
∴平面BDM⊥平面ECA。
(2)∵MD⊥平面ECA，MD⊂平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA。
2019年高考数学(文)热点题型和提分秘籍专题32直线、平面垂直的判定与性质(题型专练)含解析
2019年高考数学（文）热点题型和提分秘籍1．在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是()A．若l∥α，m⊥l，则m⊥αB．若l⊥m，m⊥n，则m∥nC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若l⊥α，l∥a，则a⊥α【答案】D2．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直【解析】如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在。
9．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β()A．不存在B．有且只有一对C．有且只有两对 D．有无数对【答案】D10．如图7-5-10，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()图7-5-10A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF【答案】B【解析】根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确；由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．故选B.11．如图7-5-11，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△P A C的边所在的直线中，与PC垂直的直线是________；与AP垂直的直线是________．图7-5-11【答案】AB，BC，AC；AB12．如图7-5-12所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)图7-5-12【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)【解析】连接AC，BD，则AC⊥BD，∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥BD.又P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC，∴BD⊥PC．∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.13．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)【答案】②③④14.如图7-5-16，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.图7-5-16【答案】a或2a【解析】∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.【答案】216．在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，P C＝4，M是AB上一个动点，则PM的最小值为__________。
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专题3 空间垂直问题的证明方法垂直是直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系中的纽带，常常起到承上启下的作用，垂直问题更是高考考查的热点问题，不少问题常常是以垂直为解题的突破口，下面具体剖析垂直关系的复习。
一．垂直的判定与性质1．直线和平面垂直的判定方法判定定理中，“相交”两字不能少，否则命题不成立．判定一直线垂直于一平面的方法是设法在平面中找出两条相交直线，然后证明一直线垂直于两相交直线即可．所以线面垂直的判定往往归为线线垂直的判定．2.直线与平面垂直的性质3.面面垂直的判定与性质特别提示：（1）面面垂直线面垂直（线是其中一个平面内垂直于它们交线的一条直线）；（2），要过内一点引平面的垂线，只需过这一点作交线的垂线。
（3）证明两个平面垂直的方法是：证明一个平面经过另一个平面的垂线。
二、温馨提示：1.在证明两平面垂直时，一般先从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据，并有利于证明，不能随意添加。
如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。
在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的高（中线或角平分线）三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等.2. 证明垂直主要方法是转化：图示表示为：三．典例剖析1、线线垂直证明例1（2018•丰台区二模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，A1D⊥平面ABC，AB=BC，平面BB1D与棱A1C1交于点E．（Ⅰ）求证：AC⊥A1B；（Ⅱ）求证：平面BB1D⊥平面AA1C1C；【分析】（Ⅰ）推导出A1D⊥AC，BD⊥AC，从而AC⊥平面A1BD，由此能证明AC⊥A1B．（Ⅱ）推导出A1D⊥BD，BD⊥AC，从而BD⊥平面A1ACC1，由此能证明平面BB1D⊥平面AA1C1C．证明：（Ⅰ）因为A1D⊥平面ABC，所以A1D⊥AC．因为△ABC中，AB=BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC．因为A1D∩BD=D，所以AC⊥平面A1BD．所以AC⊥A1B．（Ⅱ）因为A1D⊥平面ABC，因为BD⊂平面ABC，所以A1D⊥BD．由（Ⅰ）知BD ⊥AC．因为AC∩A1D=D，所以BD⊥平面A1ACC1．因为BD⊂平面BB1D，所以平面BB1D⊥平面AA1C1C．【点评】本题考查线线垂直、面面垂直的证明，证明线线垂直一般通过证明线面垂直求得，证明面面垂直转化为线面垂直完成。
2、线面垂直证明例2（2018•铜山区一模）如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，AC=BC，∠ACD=90°．求证：AB⊥平面EDC；【分析】推导出CD⊥AC，从而CD⊥平面ABC，进而CD⊥AB，再求出CE⊥AB，CE⊥AB，由此能证明AB⊥平面EDC．证明：∵平面ABC⊥平面ACD，∠ACD=90°，∴CD⊥AC，∵平面ABC∩平面ACD=AC，CD⊂平面ACD，∴CD⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB，∵AC=BC，E为AB的中点，∴CE⊥AB，又CE∩CD=C，CD⊂平面EDC，CE⊂平面EDC，∴AB⊥平面EDC．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力。
本题出现面面垂直所以想到面面垂直的性质定理，再利用线面垂直的判定定理证明问题。
3.面面垂直证明例3（2018•海淀区二模）如图，已知菱形AECD的对角线AC，DE交于点F，点E为的AB 中点．将三角形ADE沿线段DE折起到PDE的位置，如图2所示．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PCF；（Ⅱ）证明：平面PBC⊥平面PCF；【分析】（Ⅰ）折叠前，AC⊥DE；，从而折叠后，DE⊥PF，DE⊥CF，由此能证明DE⊥平面PCF．（Ⅱ）推导出DC∥AE，DC=AE．从而DC∥EB，DC=EB．进而四边形DEBC为平行四边形．从而CB∥DE．由此能证明平面PBC⊥平面PCF．证明：（Ⅰ）折叠前，因为四边形AECD为菱形，所以AC⊥DE；所以折叠后，DE⊥PF，DE⊥CF，又PF∩CF=F，PF，CF⊂平面PCF，所以DE⊥平面PCF（Ⅱ）因为四边形AECD为菱形，所以DC∥AE，DC=AE．又点E为AB的中点，所以DC∥EB，DC=EB．所以四边形DEBC为平行四边形．所以CB ∥DE．又由（Ⅰ）得，DE⊥平面PCF，所以CB⊥平面PCF．因为CB⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCF．点评：本题考查线面垂直、面面垂直的证明，处理折叠问题，要先画好平面图形，并且注意平面图形与立体图形的对照使用，这样有利于分析元素间的位置关系和数量关系.要注意分析折叠前后位置关系及数量关系的变化.一般位于折线一边的点、线间的位置关系和数量关系不变，位于折成两边的点、线间的位置关系，数量关系要发生变化.不变的关系，要注意在平面图形中处理；变化的关系，一般在立体图形中处理.四、达标测试题1．（2018•青州市三模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（）A．MN⊥CC1B．MN⊥平面ACC1A1C．MN∥AB D．MN∥平面ABCDA（2，0，0），=（﹣2，2，0），=2﹣2+0=0，∴AC⊥MN，又MN⊥CC1，AC∩CC1=C，∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；∵=（0，2，0），=（﹣1，﹣1，0），∴MN和AB不平行，故C错误；平面ABCD的法向量=（0，0，1），=0，又MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正确．故选：C．2．（2018春•宁波期末）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，A1B1的中点．点P在该正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于（）A．4 B．C．D．∴NB⊥平面ADGM，∴使NB与MP垂直的点P所构成的轨迹为矩形ADGM，∵正方体的棱长为1∴故由勾股定理可得，使B1C与MP垂直的点P所构成的轨迹的周长等于2+．故选：D．3（2018•泉州模拟）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，D为BB1的中点．（1）求证：A1C⊥AD；（2）若点P为四边形ABB1A1内部及其边界上的点，且三棱锥P﹣ABC的体积为三棱柱ABC ﹣A1B1C1体积的，试在图中画出，P点的轨迹．并说明理由．3【解答】（1）证明：取AB的中点F，连接CF，A1F，∵A1A⊥平面ABC，CF⊂平面ABC，∴所以A1A⊥CF．∵△ABC为正三角形，F为AB的中点，∴BA⊥CF，又∵AA1，AB⊂平面AA1B1B，AA1∩AB=A，∴CF⊥平面AA1B1B，又∵AD⊂平面AA1B1B，所以CF⊥AD，正方形AA1B1B中，∵Rt△A1AF≌Rt△ABD，∴∠DAB=∠FA1A，又∵∠AFA1+∠FA1A=90°，∴∵∠AFA1+∠DAB=90°，，故AD⊥A1F，又∵CF∩A1F=F，CF，A1F⊂平面A1FC，∴AD⊥平面A1FC，又∵A1C⊂平面A1FC，∴A1C⊥AD．4．（2018•赤峰一模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形∠BAD=60°．已知PB=PD=2，PA=．（Ⅰ）证明：PC⊥BD；（Ⅱ）若E为PA上一点，记三棱锥P﹣BCE的体积和四棱锥P﹣ABCD的体积分别为V1和V2，当V1：V2=1：8时，求的值．4证明：（Ⅰ）连接BD、AC交于O点，∵PB=PD，∴PO⊥BD，又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，而AC∩PO=O，∴BD⊥平面PAC，且PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC．5．（2018•江门一模）如图，直角梯形ABEF中，∠ABE=∠BAF=90°，C、D分别是BE、AF上的点，且DA=AB=BC=a，DF=2CE=2a．沿CD将四边形CDFE翻折至CDPQ，连接AP、BP、BQ，得到多面体ABCDPQ，且AP=a．（Ⅰ）求多面体ABCDPQ的体积；（Ⅱ）求证：平面PBQ⊥平面PBD．（Ⅱ）取BP的中点G，连接GQ、DG、DQ，在△ABP中，BP==2a，∴BG=BP=a，在△BCQ中，BQ==a，PQ==a，∴PQ=BQ，∴GQ⊥BP．∴QG==a，又BD==2a=DP，∴DG⊥BP，∴DG==a，又DQ==a，∴DQ2=QG2+DG2，即QG⊥DG．又BP∩DG=G，∴QG⊥平面PBD，又QG⊂平面PBQ，∴平面PBQ⊥平面PBD．6．（2018•东莞市模拟）如图1，△ABC是边长为3的等边三角形，D在边AC上，E在边AB上，且AD=BE=2AE．将△ADE沿直线DE折起，得四棱锥A'﹣BCDE，如图2（1）求证：DE⊥A'B；（2）若平面AD'E⊥底面BCDE，求三棱锥D﹣A'CE的体积．6解：（1）证明：在图1中，由题意知AE=1，AD=BE=2，在△ADE中，由余弦定理知：DE2=AE2+AD2﹣AE×AD=12+22﹣1×2=3，所以：AE2+DE2=AD2，所以：DE⊥AE，DE⊥BE，在△ADE沿直线DE折起的过程中，DE与AE，BE的垂直关系不变，故在图2中有DE⊥A'E，DE⊥BE，又A'E∩BE=E，所以DE⊥平面A'EB，所以DE⊥A'B．7（2018•开封一模）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．（Ⅰ）求证：PB⊥平面PEC；（Ⅱ）求三棱锥D﹣PEC的高．（Ⅱ）以OB所在直线为x轴，以平行于EC所在直线为y轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，∵PB=PE=2，则B（，0，0），E（﹣，0，0），P（0，0，），D（﹣2，，0），C（﹣，2，0），∴=（﹣，0，﹣），=（﹣，2，﹣），∴cos∠EPC===，可得：sin∠EPC==，可得：S△EPC=||•||•sin∠EPC=2×2×=2，∵V P﹣ECD=V D﹣EPC，设三棱锥D﹣PEC的高为h，则可得：S△ECD•OP=S△EPC•h，可得：=2×h，∴解得：三棱锥D﹣PEC的高h=1．8（2018•江门一模）如图1，ABCD是一个直角梯形，∠ABC=∠BAD=90，E为BC边上一点，AE、BD相交于O，AD=EC=3，BE=1，AB=．将△ABE沿AE折起，使平面ABE ⊥平面ADE，连接BC、BD，得到如图2所示的四棱锥B﹣AECD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面BOD；（Ⅱ）求直线AB与面BCD所成角的余弦值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，四边形AECD的面积S=CD•OD=3……（7分）连接AC，则△ACD的面积S1=，三棱锥B=ACD的体积V=……（9分）△BCD的面积S2=……（10分）设A到平面BCD的距离为h，则h=，h=……（11分）直线AB与面BCD所成角的正弦值为，余弦值为……（12分）9（2018•永州三模）如图所示，在多面体ABC﹣A1B1C1中，D，E，F分别是AC，AB，CC1的中点，AC=BC=4，，CC1=2，四边形BB1C1C为矩形，平面ABC⊥平面BB1C1C，AA1∥CC1（1）求证：平面DEF⊥平面AA1C1C；（2）求直线EF与平面ABC所成的角的正切值．10（2018•桃城区校级模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥平面AA1B1B，AB=AA1=2，∠A1AB=60°．（Ⅰ）证明：平面AB1C⊥平面A1BC；（Ⅱ）若四棱锥A﹣BB1C1C的体积为，求该三棱柱的侧面积．10证明：（1）在侧面A1ABB1中，∵A1A=AB，∴四边形A1ABB1是菱形，∴AB1⊥A1B∵CB⊥平面A1ABB1．AB1⊂平面A1ABB1，∴AB1⊥CB，∵A1B∩CB=B，∴AB1⊥平面A1CB．又∵AB1⊂平面AB1C；∴平面AB1C⊥平面A1BC；（2）由（1）及∠A1AB=60°得△A1BB1是等边三角形，取BB1的中点M，则A1M⊥BB1，又∵BC⊥平面AA1B1B，∴A1M⊥面CBB1C1，且A1M=∵四棱锥A﹣BB1C1C的体积为，∴V==∴BC=1，∴S=BB1×，S=1×2=2，在△CA1C1中，A1C1=A1C=，CC1=2，∴△A1CC1边CC1上的高为2，∴S=2×2=4．∴该三棱柱的侧面积为S=2+2+4=6+2．11．（2018•河南一模）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠BAD=90°，DC=DA=2AB=2，点E为AD的中点，BD∩CE=H，PH⊥平面ABCD，且PH=4．（1）求证：PC⊥BD（2）线段PC上是否存在一点F，使三棱锥P﹣BFD的体积为5？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．（2）解：假设线段PC上存在一点F，使三棱锥P﹣BFD的体积为5，12（2018•商丘三模）如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，平面BDEF⊥平面ABC，∠FBD=60°，AB⊥BC，AB=BC=．（1）若点M是线段BF的中点，证明：BF⊥平面AMC；（2）求六面体ABCEF的体积．12证明：（1）连接MD，FD．∵四边形BDEF为菱形，且∠FBD=60°，∴△DBF为等边三角形．∵M为BF的中点，∴DM⊥BF．∵AB⊥BC，，又D是AC的中点，∴BD⊥AC．∵平面BDEF∩平面ABC=BD，平面ABC⊥平面BDEF，AC⊂平面ABC，∴AC⊥平面BDEF．又BF⊂平面BDEF，∴AC⊥BF．由DM⊥BF，AC⊥BF，DM∩AC=D，∴BF⊥平面AMC．13．（2018•内江三模）如图，四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，PA=PD，AD=2BC．（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）若△PAB是面积为的等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积．∴平面PAD⊥平面PCD．（Ⅱ）解：设AD的中点为E，连接PE，BE，∵PA=PD，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD=AD，∴PE⊥底面ABCD．∵△PAB是面积为的等边三角形，∴PA=AB=PB=2，∵E是AD的中点，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2BC，∴四边形BCDE为矩形，∠AEB=90°，∴△AEB≌△PEB，故PE=AE，∴△PAE是等腰直角三角形，故AE=PE=PA=，∴在直角三角形AEB中有BE==，∴BC=BE=，AD=2，BC=，∴直角梯形ABCD的面积为（AD+BC）•CD=3，∴V P﹣ABCD=•S ABCD•PE=．14（2018•齐齐哈尔一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=BB1，∠BAC=∠BCA=∠ABC，点E是A1B与AB1的交点，点D在线段AC上，B1C∥平面A1BD．（1）求证：BD⊥A1C；（2）求证：AB1⊥平面A1BC．（2）由（1）知AB=BC，AB⊥BC，…（7分）∵BB1=BC，∴四边形ABB1A1是菱形，∴AB1⊥A1B，…（8分）∵BB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC．∴BC⊥BB1…（9分）∵AB∩BB1=B，AB，BB1⊂平面ABB1A1．∴BC⊥平面ABB1A…（10分）∵AB1⊂平面ABB1A1，∴BC⊥AB1，…（11分）∵BC∩A1B=B，BC，A1B⊂平面A1BC，∴AB1⊥平面A1BC．…（12分）15（2018•孝义市一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，AC1⊥平面A1BC．（1）证明：平面ABC⊥平面ACC1A1；（2）若BC=AC=2，A1A=A1C，求点B1到平面A1BC的距离．（2）解：取AC的中点D，连接A1D．∵A1A=A1C，∴A1D⊥AC．又平面ABC⊥平面ACC1A1，且交线为AC，则A1D⊥平面ABC．∵AC1⊥平面A1BC，∴AC1⊥A1C，∴四边形ACC1A1为菱形，∴AA1=AC．又A1A=A1C，∴△A1AC是边长为2正三角形，∴．∴．设点B1到平面A1BC的距离为h．则．又，∴．所以点B1到平面A1BC的距离为．。