福建省厦门2018-2019学年高二上学期期中考试数学(文)试题Word版含答案

福建省厦门2018-2019学年上学期期中考试高二数学（文）试题一、选择题：(共12题,每题5分,共60分)1.设集合{}33|0,|log 15x M x N x x x +⎧⎫=>=≥⎨⎬-⎩⎭，则M N =（ ）A ．[)3,5B ．[]1,3C ．()5,+∞D ．(]3,3- 2.下列命题中，正确的是（ ） A ．3sin cos 2παα⎛⎫+=⎪⎝⎭B ．常数数列一定是等比数列C ．若10a b <<，则1ab < D ．12x x+≥ 3.已知等比数列{}n a 的公比q =，其前4项和460S =，则3a 等于（ ） A ．16 B ．8 C ．-16 D ．-84.数列{}n a 的通项公式为323n a n =-，当n S 取到最小时，n =（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．85.设0,0,4x y xy >>=，则22x y y x+取最小值时x 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．86.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a ，成等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ）A ．-3B ．-2C ．3D ．27.在ABC ∆中，,,a b c ，分别是角,,A B C 的对边，若角A B C 、、成等差数列，且3,c 1a ==，则b 的值为（ ）A ．B ．2 CD ．78.若实数,x y 满足不等式组102200x y x y y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则321z x y =++的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．79.已知三角形ABC ∆的三边长是公差为2，则这个三角形的周长是（ ）A ．18B ．21C ．24D ．1510.已知点()()(),3,01,1P x y A B 、、在同一直线上，那么24x y +的最小值是（ ）A ．B ．C ．16D ．2011.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若*3113,21,n n S a S n N +==+∈，则符合5n S a >的最小的n 值为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．512.已知()y f x =是定义在R 上的增函数且满足()()f x f x -=-恒成立，若对任意的,x y R ∈，不等式()()2262180f x x f y y -++-<恒成立，则当3x >时，22x y +的取值范围是（ ）A ．（3，7）B ．（9，25）C ．（13，49）D ．（9，49）二、填空题：（共4题，每题5分共20分）13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为a b c 、、．若21,3b c C π==∠=，则ABC ∆的面积为______________．14.已知函数()()()221691x x f x x x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩，则不等式()()1f x f >的解集是___________．15.已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足：121111,,3n n n n b b a b b nb ++==+=，则{}n b 的前n 项和为______________．16.某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时，生产一件产品需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品的利润为2100元，生产一件产品的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A B 、的利润之和的最大值为____________元．三、解答题 ：（共6题，共70分）17.（本小题满分10分）已知不等式20ax x c ++>的解集为{}|13x x <<． （1）求,a c 的值；（2）若不等式2240ax x c ++>的解集为A ，不等式30ax cm +<的解集为B ，且A B ⊂，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知实数,x y 满足约束条件：2101070x y x y x y --≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，（1）请画出可行域，并求1yz x =-的最小值； （2）若z x ay =+取最大值的最优解有无穷多个，求实数a 的值.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3542a S +=，1413,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、、、所对的边分别为a b c 、、sin cos 0B b A -=， （1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC ∆周长的最大值.21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()*12211,4,23n n n a a a a a n N ++==+=∈. （1）求证：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）记数列{}n a 的前n 项和n S ，求使得212n S n >-成立的最小整数n .某科研机构研发了某种高新科技产品，现已进入实验阶段.已知实验的启动资金为10万元，从实验的第一天起连续实验，第x 天的实验需投入实验费用为()280px +元()*x N ∈，实验30天共投入实验费用17700元.（1）求p 的值及平均每天耗资最少时实验的天数；（2）现有某知名企业对该项实验进行赞助，实验x 天共赞助()250000qx -+元()0q >.为了保证产品质量，至少需进行50天实验，若要求在平均每天实际耗资最小时结束实验，求q 的取值范围.（实际耗资=启动资金+试验费用-赞助费）福建省厦门2018-2019学年高二上学期期中考试数学（文）试题参考答案一、选择题 ACACB DCBDB DC 二、填空题{}|12x x x <>或 15. 31123n ⎛⎫- ⎪⎝⎭16. 216000 三、解答题17.解：（1）依题意得，1、3是方程20ax x c ++=的两根，且0a <，．．．．．．．．．．．．．．．1分所以，011313a a c a ⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3分解得1434a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5分（2）由（1）得13,44a c =-=-，所以，2240ax x c ++>即为212304x x -+->， 解得，26x <<，∴{}|26A x x =<<，又30ax cm +<，即为0x m +>解得x m >-，∴{}|B x x m =>-，．．．．．．．．．．．．8分 ∵A B ⊂，∴{}{}|26|x x x x m <<⊂>-， ∴2m -≤，即2m ≥-，∴m 的取值范围是[)2,-+∞．．．．．．．．．．．．．．．10分 18.解：（1）如图求画出可行域：．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分∵1yx -表示(),x y 与()1,0连线的斜率，如图示，∵当z x ay =+取得最值的最优解有无穷多个时，直线0l 与可行域边界所在直线平行，如图所示，当12BC k a -==，即12a =-时，z 取最小值的最优解有无穷多个，不合题意，．．．．．．．．．．．．．． 8分 当11AC k a -==，即1a =-时，z 取最大值的最优解有无穷多个，符合题意．．．．．．．．．．．．．．．10分当11AB k a -==-，即1a =时，z 取最大值的最优解有无穷多个，符合题意．综上得，1a =±．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.解：（1）依题意得()()1121115425422312a d a d a d a a d ⨯⎧+++=⎪⎨⎪+=+⎩．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 解得132a d =⎧⎨=⎩…………………………4分 ∴()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+，即21n a n =+．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分 （2）()1113,3213n n n nn n nb b a n a ---===+．．．．．．．．．．．．．．7分 ()()2135373213213n n n T n n -=++++-++．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ()()()12131323232323213322132313n n n n n n T n n n ----=++++-+=+-+=--，∴3n n T n =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20.解：（13sin cos 0a B b A -=3sin cos a B b A =，3sin sin cos A B B A =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又0B π<<，sin 0B ≠3cos A A =，即3tan 3A =．．．．．．．．．．．．．．．．4分又0A π<<，∴6A π=．．．．．．．．．．．．6分（2）由余弦定理得222cos 2b c a A bc +-=，即221cos 62b c bcπ+-=，221b c +=+，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵()2222b c b c bc +=+-()212b c bc +=+-，∴2bc =．．．．．．．．．8分∵22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭()224b c +≤，当且仅当b c =时取等号成立，解得()(22428b c +≤=+=，∴b c +≤b c =时取等号），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分∴1a b c ++≤+（当且仅当b c =时取等号），∴ABC ∆周长的最大值为1+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）证明：∵()*2123n n n a a a n N +-+=∈，∴2132n n n a a a ++=-， ∴2111111132222n n n n n n nn n n n n na a a a a a a a a a a a a ++++++++----===---为常数，又214130a a -=-=≠，∴{}1n n a a +-是以3为首项，2为公比的等比数列，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ∴1132n n n a a -+-=⨯，∴2310112322132,32,,32,32n n n n n n a a a a a a a a ------=⨯-=⨯-=⨯-=⨯，叠加得()()()01012112123222332112n n n n a a -----=+++=⨯=--，∴()111321322n n n a --=+-=⨯-，即()1*322n n a n N -=⨯-∈．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由（1）得()1*322n n a n N -=⨯-∈，∴()()00112123222232322312n n n n S n n n --=+++-=⨯-=⨯---，．．．．．．．．．．．．．．10分∴212n S n >-，即为3223212n n n ⨯-->-， ∴28n >，∵*n N ∈，∴4n ≥，∴最小整数n 为4．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.解：（1）依题意得，试验开始后，每天的试验费用构成等差数列，公差为p ，首项为280p +， ∴试验30天共花费试验费用为()302930280177002p p ⨯++⨯=， 解得，20p =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 设试验x 天，平均每天耗资为y 元，则()110000030020100000210290x x x y x x x-++⨯==++．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分1000002902290xx≥+=， 当且仅当10000010x x=，即100x =时取等号， 综上得，20p =，试验天数为100天．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）设平均每天实际耗资为y 元，则()()()21100000300205000050000210290x x x qx y q x x x-++⨯--+==+++．．．．．．．．．．．8分当50x =≥，即010q <≤时，()5000029021050000290y xq x≥+=++，因为010q <≤， 所以，)min 500002902290y =+≤，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 当50x =<，即10q >时，当50x =时，y 取最小值，且()min 500001050290229050y q =+++>， 综上得，q 的取值范围为(]0,10．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。