高代第九章第1节
数学强化班(武忠祥)-高数第九章 多元函数积分学
第九章 多元积分学及其应用第一节 三 重 积 分1定义 ∑⎰⎰⎰=→Ω∆=nk k k k k d v f z y x f 1,0),(lim dV ),,(ξηξ.2性质: 3计算:1)直角坐标: i) 先一后二; ii)先二后一. 2)柱坐标: z V d d d d θρρ= 3)球坐标:θϕϕd d d sin d 2r r V = 4)利奇偶性若积分域Ω关于xoy 坐标面对称,),,(z y x f 关于z 有奇偶性,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰≥Ω.),,(0.),,(d ),,(2d ),,(0是奇函数关于是偶函数关于z z y x f z z y x f Vz y x f V z y x f z D5)利用变量的对称性.题型一 计算三重积分例9.1计算⎰⎰⎰ΩV z d 2,其中Ω由)0(2,2222222>≤++≤++R Rz z y x R z y x 所确定.解 原式52222220248059d )(d )2(R z z R z z z Rz z RR Rπππ=-+-=⎰⎰. 例9.2计算V z d ⎰⎰⎰Ω,其中Ω由z z y x ≥++222和z z y x 2222≤++所确定.解法1 原式⎰⎰⎰==ϕϕπππϕϕϕθcos 2cos 22020.45dr sin cos d d r r解法2 设z z y x z z y x 2:,:22222221≤++Ω≤++Ω，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ-=21zdV zdV zdV .由于⎰⎰⎰Ω2zdV 与⎰⎰⎰Ω1zdV 的计算方法完全一样，以下仅以⎰⎰⎰Ω2zdV 说明其三种较简单的计算方法： 方法1 直角坐标下先二后一：⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=zD zdxdy dz zdV 220（其中2222:z z y x D z -≤+）ππ34)2(202=-=⎰dz z z z .方法2 由形心计算公式得⎰⎰⎰Ω⋅=2V z zdV （其中z 为2Ω的形心z 坐标）)(343412的体积为Ω⋅=⋅=V ππ方法3 利奇偶性.注意2Ω关于平面1=z 上下对称，则0)1(2=-⎰⎰⎰ΩdV z从而有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ==+-=22234]1)1[(πdV z zdV . 例9.3计算,=I ⎰⎰⎰Ω+V y x d )(22其中Ω由曲线⎩⎨⎧==022x zy ，绕oz 轴旋转一周而成的曲面和平面2=z ，8=z 所围的立体. 解法1 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=823422082320202.336d d d d d d ρπππρρθρρθz z I解法2 .336d d d 2032082πρρθπ==⎰⎰⎰z z I例9.4 计算⎰⎰⎰Ω++V nz ly mx d )(2,.:2222a z y x ≤++Ω 解2222222()()mx ly nz dV m xl y n z dV ΩΩ++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （奇偶性）222222()3m l n x y z dV Ω++=++⎰⎰⎰ （变量对称性） 22252422204sin ()315a m l n a d d r dr m l n πππθϕϕ++==++⎰⎰⎰ 例9.5设)(t f 连续,=)(t F ⎰⎰⎰Ω++V y x f zd )]([222, 其中Ω由222t y x ≤+,h z ≤≤0所确定.求20)(lim ,d d tt F t F t →. 解 ρρρπρρρθπd hf h dz f z d d t F t h t )](31[2)]([)(230202020+=+=⎰⎰⎰⎰322()2()3h F t t htf t ππ'=+. 32320022()()3lim lim (0)23t t h t htf t F t h hf t t ππππ++→→+==+. 题型二 更换三重积分次序例9.6计算=I ⎰⎰⎰-y xz z zy x 021d )1(sin d d 解 先交换y 和z 的次序，则112200sin ()sin (1)(1)xxx zzx z z I dx dz dy dx dz z z -==--⎰⎰⎰⎰⎰.111200()sin 11sin (1cos1)(1)22z x z z dz dx zdz z -===--⎰⎰⎰ 第二节 对弧长的线积分（第一类线积分）计算方法 1．直接法：1)若⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x C ，βα≤≤t ，则t t y t x t y t x f s y x f Cd )()())(),((d ),(22⎰⎰'+'=βα.2) 若)(:x y y C = ，b x a ≤≤，则x x y x y x f s y x f baCd )(1))(,(d ),(2⎰⎰'+=3) 若)(:θρρ=C ，βθα≤≤，则θρρθρθρβαd )sin ,cos (d ),(22⎰⎰'+=f s y x f C2.利用奇偶性.1) 若积分曲线C 关于y 轴对称, 则.⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰≥.),(.),(,0,d ),(2d ),(0为奇函数关于当为偶函数关于当x y x f x y x f x C Cs y x f s y x f2)若积分曲线C 关于x 轴对称,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰≥.),(.),(,0,d ),(2d ),(0为奇函数关于当为偶函数关于当y y x f y y x f y C Cs y x f s y x f3．利用对称性若积分曲线关于直线x y =对称,则⎰Cs y x f d ),(=⎰Cs x y f d ),(特别的 ⎰⎰=CCds y f ds x f )()(题型 计算对弧长的线积分例9.7设L 是椭圆13422=+y x ，其周长为a ，则.d )432(22=++⎰s y x xy C解 =++⎰s y x xy C d )432(22s y x Cd )43(22⎰+ （奇偶性）a s y x C 12d )34(1222=+=⎰例9.8计算⎰++=Cs y x I d ])1([22,其中C 为).0(22>=+R Rx y x解: ⎰+++=Cs x I 1)d 2y y (22R xds R Cπ+=⎰ R R ππ+=23其中计算积分⎰Cxds 可以用直接法，以下介绍两种简单方法 方法1 ⎰Cxds ⎰⎰=+-=C Cds ds RR x ]2)2[( （奇偶性）22R π=方法2 ⎰Cxds l x ⋅= （形心公式）22R π=例9.9 计算⎰=Cs y I d ||,其中C 为双纽线).0)(()(222222>-=+a y x a y x解 双纽线)0)(()(222222>-=+a y x a y x 的极坐标方程为.2cos 22θa r =⎰=402sin 4πθθd aI )221(42-=a 例9.10计算⎰=Cs x I d 2,其中C 为⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x 。
高分子化学第九章 高分子化学反应详解
(1)聚合度相似的化学反应
聚合度基本不变而仅限于侧基和端基的变化
(2)聚合度变大的化学反应
交联、接枝、嵌段、扩链
(3)聚合度变大的化学反应
降解、解聚
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第二节 聚合物功能基反应
影响聚合物功能基反应能力的因素：
（1）物理因素 （2）化学因素
1
• • • • • •
高分子化学反应的特征及分类 聚合物功能基反应 聚合物的交联和接枝 聚合物的扩链反应 聚合物的降解反应 聚合物的老化和防老化
2
第一节 高分子化学反应的特征及分类
根据聚合度和基团(侧基和端基)的变化，聚 合物的化学反应可分成以下几类：
• (1)聚合度相似的化学反应：聚合度基本 不变而仅限于侧基和端基的变化； • (2)聚合度变大的化学反应：交联、接枝、 嵌段、扩链等； • (3)聚合度变大的化学反应：降解、解聚 等。
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一、 物理因素
• 1. 结晶的影响
对于部分结晶的聚合物，晶区分子的取向 度高，分子间作用力大，低分子试剂不易扩散 进去，反应往往只限于无定形区。无定形物处 于玻璃态时，链段被冻结，不利于低分子扩散， 反应最好在Tg以上或使其适当溶胀后。
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• 2. 溶解性的影响
聚合物的官能团反应若始终在粘度不 大的溶液中进行，则反应速率较高，可 消除形态方面的影响。但聚合物在进行 化学变化后，其物理性能常常也随之而 变：例如溶解性能的改变对其进一步的 化学反应必然带来很大的影响。
• 一、纤维素的化学改性
O
CH2OH HH O O OH H
•
H
H OH
OH OH H H HH O
2021-2022学年新教材高中物理 第九章 静电场及其应用 第1节 电荷学案 新人教版必修第三册
第1节电荷学习目标1.知道自然界中有两种电荷,知道电荷量的概念及其国际单位。
2.会用原子结构模型解释摩擦起电的原因,观察并分析静电感应现象,会用静电的原理解释生活中的现象。
3.通过对不同起电方式的分析,得出电荷守恒定律,理解电荷守恒定律,知道守恒思想的重要性。
4.知道元电荷、比荷的概念,理解电荷量的不连续性。
自主预习一、电荷1.很多物体由于摩擦而带电,并称这种方式为。
当两个物体互相摩擦时,一些受束缚较弱的电子往往从一个物体转移到另一个物体,于是原来呈电中性的物体由于得到电子而带,失去电子的物体则带。
如用丝绸摩擦过的硬玻璃棒带电,用毛皮摩擦过的硬橡胶棒带电。
2.自然界中的电荷只有两种:电荷和电荷,同种电荷相互,异种电荷相互。
3.电荷量:叫作电荷量,在国际单位制中,它的单位是,符号是,正电荷的电荷量为正值,负电荷的电荷量为负值。
二、静电感应1.自由电子:金属中离原子核较远的能脱离原子核的束缚而在金属中的电子。
2.静电感应:当一个带电体靠近导体时,由于电荷间,导体中的自由电荷便会趋向或远离带电体,使导体靠近带电体的一端带电荷,远离带电体的一端带电荷的现象。
3.感应起电:利用使金属导体带电的过程。
三、电荷守恒定律1.表述一:电荷既不会,也不会,它只能从一个物体转移到,或者从物体的一部分转移到;在转移过程中,电荷的保持不变。
2.表述二:一个与外界没有交换的系统,电荷的保持不变。
四、元电荷1.元电荷:的电荷量叫作元电荷,用e表示。
e= 。
最早由美国物理学家测得。
2.电荷量的不连续性:所有带电体的电荷量或者等于,或者是的整数倍。
3.电子的比荷:电子的与电子的质量m e之比。
课堂探究[情境设问]请同学们用准备好的塑料梳子梳头,然后用梳子去接触小纸屑,请观察发生什么现象。
(一)电荷1.物质的微观结构是怎样的?摩擦起电的原因是什么?结论:摩擦起电没有电荷,只是电荷发生了。
2.什么是自由电子,金属成为导体的原因是什么?金属中原子的外层电子会脱离原子核的束缚而在金属中,这就是金属导电的原因。
第九章第1节 光度法基本原理
⑴
σ→σ＊跃迁
所需能量最大，σ电子只有吸收远紫外光的能量才能发 生跃迁。饱和烷烃的分子吸收光谱出现在远紫外区(吸收波长
λ<200nm，只能被真空紫外分光光度计检测到)。如甲烷的 λ为125nm,乙烷λmax为135nm。
⑵
n→σ＊跃迁
所需能量较大。吸收波长为150～250nm，大部分在远 紫外区，近紫外区仍不易观察到。含非键电子的饱和烃衍生 物(含N、O、S和卤素等杂原子)均呈现n →σ*跃迁。如一氯 甲烷、甲醇、三甲基胺 n →σ* 跃迁的λ分别为173nm、 183nm和227nm。
第九章 紫外-可见分 光光度分析法
一、概述 二、紫外可见吸收光谱 三、分子吸收光谱与电子跃迁 四、光的吸收定律 五、定量分析方法 六、准确度、灵敏度及检测限
第一节 基本原理
一、概述
基于物质光化学性质而建立起来的分析方法称之为光化 学分析法。 分为:光谱分析法和非光谱分析法。 光谱分析法是指在光（或其它能量）的作用下，通过测 量物质产生的发射光、吸收光或散射光的波长和强度来进行 分析的方法。 吸收光谱分析 发射光谱分析 分子光谱分析 原子光谱分析
♥
紫外吸收光谱
2. 物质对光的选择性吸收及吸收曲线
M + hν 基态 E1 M* M + 热 M + 荧光或磷光 激发态 （△E） E2
ΔE = E2 - E1 = h ν 量子化 ；选择性吸收; 分子结构的复杂性使其对不同波 长光的吸收程度不同； 用不同波长的单色光照射，测吸光 度— 吸收曲线与最大吸收波长λ max； 光的互补：蓝 黄
♥ （4）不同浓度的同一种物质，在某一定波长下吸光度 A 有差异，在
λmax处吸光度A 的差异最大。此特性可作为物质定量分析的依据。 ♥ （5）在λmax处吸光度随浓度变化的幅度最大，所以测定最灵敏。
高等数学 第九章 第1节 二重积分的概念与性质(中央财经大学)
第一节 二重积分的概念与性质一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质),(y x f z =D求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，先看动画演示.刚才大家看到是曲顶 柱体的底面网格划分比较稀的情况，下面请大家继续观看网格划分较密时的情况.小平顶柱体近似代替.),(>=y x f z2、非均匀分布时平面薄板质量问题非均匀分布时平面薄板质量问题设平面薄板 D 上非均匀地分布着质量, 其分 .),(y x µµ=布密度为将区域 D 任意分割成 n 个小块,D i 每小块的面积记为.i σ∆∈∀),(i i ηξ,D i 则每小块上的质量可近似地表示为≈∆i m .),(i i i σηξµ∆令,}{max 1i ni σλ∆=≤≤求和并取极限便得薄板D 的质量为ini i i σηξµλ∆=∑=→1),(lim m以上讨论的问题的共同点：定义 设,(yxf是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域，，，其中表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个上任取一点， 作乘积 ， ， 并作和 ,二、二重积分的概念(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.(2)当,(yx f 在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在. 对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义:当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．如何划分？如何划分？D性质１∫∫±Dd y x g y x f σβα)],(),([.),(),(∫∫∫∫±=DD d y x g d y x f σβσα（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质设 、 为常数，则βα该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形设函数在闭区域 上连续,为 的面积，则在D 上至少存在一点使得性质6（二重积分中值定理）σηξσ⋅=∫∫),(),(f d y x f D啊！a谢谢大家！。
2021届高考数学一轮复习第九章平面解析几何第1节直线的方程教学案含解析新人教A版
第1节 直线的方程考试要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知 识 梳 理1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). 2.直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan__α. (2)计算公式：①经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. ②若直线的方向向量为a ＝(x ，y )(x ≠0)，则直线的斜率k ＝y x. 3.直线方程的五种形式名称 几何条件 方程适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线[常用结论与微点提醒]1.直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：α 0 0<α<π2π2 π2<α<π kk >0 不存在k <02.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( )解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k 1＝－1，k 2＝1，k 1＜k 2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(老教材必修2P89B5改编)若过两点A (－m ，6)，B (1，3m )的直线的斜率为12，则直线的方程为________.解析 由题意得3m －61＋m ＝12，解得m ＝－2，∴A (2，6)，∴直线AB 的方程为y －6＝12(x －2)， 整理得12x －y －18＝0. 答案 12x －y －18＝03.(老教材必修2P101B2改编)若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是________.解析 由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A ≠0且B ≠0. 答案 A ≠0且B ≠04.(2020·西安调研)直线x －y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.120°D.150°解析 由题意得，直线y ＝x ＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°. 答案 B5.(2020·昆明诊断)已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点(m ∈R )，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析 直线l 的斜率k ＝1－m 22－1＝1－m 2，因为m ∈R ，所以k ∈(－∞，1]，所以直线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.答案 B6.(2020·合肥调研)过点(－3，4)，在x 轴上的截距为负数，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为______.解析 由题设知，横、纵截距均不为0，设直线的方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9(舍).故所求直线的方程为4x －y ＋16＝0.答案 4x －y ＋16＝0考点一 直线的倾斜角与斜率典例迁移【例1】 (一题多解)(经典母题)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.解析 法一 设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线PA 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3].故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3.即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)【迁移1】 若将例1中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围. 解 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 【迁移2】 若将例1中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围.解 由例1知直线l 的方程kx －y －k ＝0，∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(2k ＋1－k )≤0， 即(k －1)(k ＋1)≤0，解得－1≤k ≤1.即直线l 倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.规律方法 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在.【训练1】 如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2. 答案 D考点二 直线方程的求法【例2】 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P (1，2)，倾斜角α的正弦值为45；(2)(一题多解)经过点P (2，3)，并且在两坐标轴上截距相等；(3)经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v ＝(－3，2). 解 (1)由题可知sin α＝45，则tan α＝±43，∵直线l 经过点P (1，2)，∴直线l 的方程为y －2＝±43(x －1)，即y ＝±43(x －1)＋2，整理得4x －3y ＋2＝0或4x ＋3y －10＝0.(2)法一 ①当截距为0时，直线l 过点(0，0)，(2，3)， 则直线l 的斜率为k ＝3－02－0＝32，因此，直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.②当截距不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋y a＝1. 因为直线l 过点P (2，3)，所以2a ＋3a＝1，所以a ＝5.所以直线l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0. 法二 由题意可知所求直线斜率存在， 则可设y －3＝k (x －2)，且k ≠0.令x ＝0，得y ＝－2k ＋3.令y ＝0，得x ＝－3k＋2.于是－2k ＋3＝－3k ＋2，解得k ＝32或k ＝－1.则直线l 的方程为y －3＝32(x －2)或y －3＝－(x －2)，即直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得x ＝1，y ＝1，∴直线过点(1，1)，∵直线的方向向量v ＝(－3，2)， ∴直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.规律方法 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).【训练2】 (1)求经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程； (2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 解 (1)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3). 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.考点三 直线方程的综合应用 多维探究角度1 直线过定点问题【例3－1】 已知k ∈R ，写出以下动直线所过的定点坐标： (1)若直线方程为y ＝kx ＋3，则直线过定点________； (2)若直线方程为y ＝kx ＋3k ，则直线过定点________； (3)若直线方程为x ＝ky ＋3，则直线过定点________. 解析 (1)当x ＝0时，y ＝3，所以直线过定点(0，3). (2)直线方程可化为y ＝k (x ＋3)，故直线过定点(－3，0). (3)当y ＝0时，x ＝3，所以直线过定点(3，0). 答案 (1)(0，3) (2)(－3，0) (3)(3，0)规律方法 1.直线过定点问题，可以根据方程的结构特征，得出直线过的定点坐标. 2.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.角度2 与直线方程有关的多边形面积的最值问题【例3－2】 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2(2－a )＋12×2(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，又0<a <2，所以当a ＝12时，面积最小.答案 12规律方法 1.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.2.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.【训练3】 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1. ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1).(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞). (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k ).依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.A 级 基础巩固一、选择题1.(2020·安阳模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A.1±2或0 B.2－52或0 C.2±52D.2＋52或0解析 由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.答案 A2.(2020·广东七校联考)若过点P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( ) A.(－2，1) B.(－1，2)C.(－∞，0)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 由题意知2a －1－a 3－1＋a <0，即a －12＋a <0，解得－2<a <1.答案 A3.(2020·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，结合选项知B 符合，其他均不符合. 答案 B4.(2020·成都诊断)过点(2，1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( ) A.x ＝2 B.y ＝1 C.x ＝1D.y ＝2解析 直线y ＝－x －1的倾斜角为3π4，则所求直线的倾斜角为π2，故所求直线斜率不存在，又直线过点(2，1)，所以所求直线方程为x ＝2. 答案 A5.已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝3x －2 C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2解析 因为直线x －2y －4＝0的斜率为12，所以直线l 在y 轴上的截距为2，所以直线l 的方程为y ＝3x ＋2.答案 A6.(2020·湖北四地七校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4解析 由f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以a ＝－b ，由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝a b ＝－1，所以直线的倾斜角为3π4，故选D.答案 D7.直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.又sin α∈[－1，1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.答案 B8.(2020·东北三省四校调研)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12B.[－1，0]C.[0，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析 由题意知，y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则在点P 处的切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.答案 A 二、填空题9.直线l 的倾斜角为60°，且在x 轴上的截距为－13，则直线l 的方程为________.解析 由题意可知，直线l 的斜率为3，且该直线过⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，∴直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，即3x －3y ＋1＝0. 答案 3x －3y ＋1＝010.已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________.解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.答案 x ＋13y ＋5＝011.设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________. 解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值.所以b 的取值范围是[－2，2].答案 [－2，2]12.若经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角是直线4x －3y ＋2 020＝0的倾斜角的一半，则y 的值为________.解析 因为直线4x －3y ＋2 020＝0的斜率为43，所以由倾斜角的定义可知直线4x －3y ＋2 020＝0的倾斜角α满足tan α＝43，因为α∈[0，π)，所以α2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以2tanα21－tan 2α2＝43，解得tan α2＝12，由已知及倾斜角与斜率的关系得2y ＋1＋34－2＝12，所以y ＝－32.答案 －32B 级 能力提升13.(2019·湖南长郡中学月考)已知点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，56πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，34π解析 因为点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，所以(－a －2＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫33a －0＋1>0，即(a ＋1)(a ＋3)<0，所以－3<a <－1，又知直线l 的斜率k ＝a ，即－3<k <－1，又因为直线倾斜角的范围是[0，π)，所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，34π，故选D. 答案 D14.(2020·兰州模拟)若直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A.ab >0，bc <0 B.ab >0，bc >0 C.ab <0，bc >0D.ab <0，bc <0解析 易知直线的斜率存在，则直线方程可化为y ＝－a b x －cb ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－ab <0，－cb >0，所以ab >0，bc <0.答案 A15.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 解析 由a n ＝1n （n ＋1）可知a n ＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，所以1－1n ＋1＝910，所以n ＝9.所以直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45.答案 4516.(2020·豫北名校调研)直线l 过点P (6，4)，且分别与两坐标轴的正半轴交于A ，B 两点，当△ABO 的面积最小时，直线l 的方程为________.解析 设直线l 的方程为y －4＝k (x －6)(k ≠0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫6－4k，0，B (0，4－6k )，由题意知k <0，则S △ABO ＝12×|OA |·|OB |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫6－4k ·(4－6k )＝24－18k －8k ，∵k <0，∴－18k >0，－8k >0，∴－18k －8k≥2（－18k ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k ＝24，当且仅当－18k ＝－8k ，即k 2＝49，也即k ＝－23时取得等号，所以△ABO 的面积的最小值为48，此时直线l 的方程为y －4＝－23(x －6)，即2x ＋3y －24＝0.答案 2x ＋3y －24＝0C 级 创新猜想17.(多填题)设点A (－2，3)，B (3，2)，已知直线l 的方程为ax ＋y ＋2＝0，则直线l 过定点________，若直线l 与线段AB 没有交点，则实数a 的取值范围是________.解析 直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ，∵k MA ＝3－（－2）－2－0＝－52，k MB ＝2－（－2）3－0＝43，结合题意可知－a >－52，且－a <43，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52.答案 (0，－2) ⎝⎛⎭⎪⎫－43，52。
高等数学第九章第一节 多元函数的基本概念
多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的． 定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．
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一般地，求 lim f (P) 时，如果 f (P) 是初等函 P P0
数，且 P0 是 f (P ) 的定义域的内点，则 f (P ) 在
第一节 多元函数的基本概念
一、平面点集 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性
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一、平面点集
1. 平面点集
平面上的点P与有序二元实数组 ( x, y) 之间
是一一对应的。
R2 R R (x, y) | x, y R 表示坐标平面。
平面上具有性质P的点集，称为平面点集，记作
边界上的点都是聚点也都属于集合．
9
二、多元函数概念
设 D是平面上的一个点集，如果对于每个点
P( x, y) D，变量z按照一定的法则总有确定的值 和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函数，记为 z f ( x, y)（或记为z f (P)）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
当n 2时，n 元函数统称为多元函数.
点 P0
处连续，于是 lim P P0
f (P)
f (P0 ).
例７ 求 lim xy 1 1.
x0
xy
y0
30
四、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
31
思考题
若点( x, y)沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 )时，函数 f ( x, y)都趋向于 A，能否 断定 lim f ( x, y) A？
2013高考总复习化学：第九章第1节
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第九章
重要的有机化合物
思考感悟 3．你能区分分馏、蒸馏、干馏三个概念吗？ 【提示】 分馏和蒸馏都属于物理变化，而干
馏是化学变化。分馏和蒸馏的区别在于分馏是 运用蒸馏原理，将多组分混合物通过控制不同 的沸点范围，使它们逐步分开的方法。
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第九章
重要的有机化合物
考点串讲深度剖析
几种典型烃的比较及烃 燃烧的规律
教材高频考点
例1
下列对有机物结构或性质的描 )
述，错误的是(
A．一定条件下，Cl2可在甲苯的苯环或 侧链要的有机化合物
B．苯酚钠溶液中通入CO2 生成苯酚， 则碳酸的酸性比苯酚弱 C．乙烷和丙烯的物质的量共1 mol，完 全燃烧生成3 mol H2O D．光照下2,2二甲基丙烷与Br2 反应， 其一溴取代物只有一种
)
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第九章
重要的有机化合物
A．①② C．①③
B．③④ D．②④
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第九章
重要的有机化合物
【解析】
抓住“取代反应”的关键
点：(1)有机物分子中的一个原子或原 子团被另一物质中的原子或原子团所 代替的反应； (2)反应物两种，产物一定是两种化合 物。显然③④属于取代反应。
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第九章
第九章
重要的有机化合物
易错易误剖析
例3
下列各组有机物的结构表达式中 )
互为同分异构体的是(
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第九章
重要的有机化合物
【常见错误】 【错因分析】
A或D (1)常见错误分析
本题极易误选A和D，选项A中的苯环用凯库 勒式表示，易误认为是一种单双键交替的结 构，但我们应明确苯分子中不存在单双键交 替的结构，而是一种特殊的化学键，因此A 中两种结构简式表示的是同一种物质。
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i 1 i 1 i 1 r
r
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5
例 1 在线性空间R n中, 对于向量 ( a1 , a2 , , an ), ( b1 , b2 , 定义内积 ( , ) a1 b1 a2 b2
n
, bn ), (1)
an bn
则R 关于此内积作成一个欧几里得空间.
在 n = 3 时, (1) 式就是几何空间中向量的内积 在直角坐标系中的坐标表达式.
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10
向量的长度有以下的性质：
对任意 V , k R, 有
| k | | k|| | .
证
2 | k | ( k, k) k ( , )
| k | ( , ) | k || | .
于是当 0时, 1 | |
是一单位向量.这是因为
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6
练习 在欧氏空间 Rn 中计算下列向量的内积，
(1) (2)
(1,1,1,1) , (1, 2, 4,3) ;
1 1 1 ( , 1, , ) , (3, 1, 2, 2) ; 2 3 6
7
例 2 在闭区间[a , b]上的所有实连续函数所成 的空间C [a , b]中, 对于函数 f ( x ), g( x ), 定义内积 ( f ( x ), g( x ))
2 2 a1 a2 n
, an 和b1 , b2 ,
an bn |
2 bn
2 2 an b12 b2
这个不等式又叫柯西不等式.
特别地, 当b1 b2
n i 1
bn 1时, 有
n i 1
| ai | n ai2
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18
( , )t 2 2( , )t ( , ) (t , t ) ( , t ) ( t , ) ( , )
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14
( t , t ) ( t , ) ( t , t )
定义一个二元实函数( , )；验证( , )满足内积的
4条性质。
4
注: 欧氏空间是定义了内积的实线性空间,故 线性空间和线性变换的相关内容均可用于欧氏空间 . 在欧几里得空间的定义中，对它作为线性空间 的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限 维的. 几何空间中向量的内积显然适合定义中列举的 性质，以几何空间中向量的全体构成一个欧几里得 空间.
b
a
f ( x ) g( x )dx
(2)
则C [a , b]关于此内积作成欧几里得空间.
同样地，线性空间 R[x] , R[x]n 对于内积 (2)也 构成欧几得里空间.
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8
二、欧几里得空间的性质 1) ( , 0) 0 (0, ). 2) ( , k ) ( k , ) k ( , ) k ( , ). 3) ( , ) ( , ) ( , ) , ) ( , ) ( , ).
13
[2( , )]2 | 4( , )( , )
恰是二次三项式
( , )t 2 2( , )t ( , )
的判别式.当 0时,( , ) 0, 上面二次三项式的
图象(抛物线)开口向上. 因此, 只要当
( , )t 2 2( , )t ( , ) 0 (对t R) 时,就有 [2( , )]2 | 4( , )( , ) 0. 而
4) 设 j , i V , k j , li R, i 1, 2, , s, 则 ( k j j , li i ) li k j ( j , i )
j 1 i 1 i 1 j 1
9
, t , j 1, 2,
s
t
t
s
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三、向量的长度与夹角 几个重要不等式
于是对t R, 有 ( t , t ) 0.
即 即
故
( , )t 2 2( , )t ( , ) 0 ( , ) ( , )( , ),
2
所以判别式 [2( , )]2 4( , )( , ) 0
| | 2 | || | | |
2
2
(| | | |)2 所以 | || | | | . 在欧几里得空间R3中, 三角不等式的几何意义 是 : 三角形的任何一边的长不大于另两边之和.
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例 1 把柯西 布涅柯夫斯基不等式应用到欧 几里得空间R 中, 则对任意实数a1 , a2 , , bn , 有 | a1 b1 a2 b2
成不同的欧氏空间，但若说V 是一个欧氏空间，则必须
是对V的一个确定的内积而言的。换言之，不能脱离内
积而谈欧氏空间，正如在线性空间中不能脱离基而谈向
量的坐标一样。
4）性质1—4是一组公理，它是用以检验V对于所定义的
那个二元实函数是否构成欧氏空间的唯一标准，因此
5）检验R上线性空间V是否为欧氏空间有两个要求：
证 若 , 线性相关, 则可设 k .
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15
( , ) (k , ) k ( , ) (k , k )( , )
2 2 2 2
( , )( , ) | |2 | |2 .
即
| ( , ) || || | . 若 , 线性无关, 则对t R, 有 t 0.
例 2 把柯西 布涅柯夫斯基不等式应用到欧 几里得空间C (a , b)中, 则对任意f ( x ), g( x ) C (a , b), 有
b
a
f ( x ) g( x )dx
b
a
f ( x )dx g 2 ( x )dx
2 a
b
这个不等式又叫施瓦茨不等式.
3.向量的夹角及正交性
| ( , ) || || | .
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推论 在欧几里得空间中, 三角不等式 | || | | | 成立. 证 | |2 ( , )
( , ) 2( , ) ( , )
理解定义应注意：
1）讨论的都是实数域上的线性空间，对于复数域上
的线性空间，定义1不适用。 2）记号( , )——它抽象地表示V中向量 , 一经
给定，记号( , )就表示一个确定的实数，函数的具
体对应规律与V中向量的具体形式有关，但都共同遵守
四条性质。
3
3）同一个线性空间可以定义不同的内积形式，从而形
| |
1 | | | | 1
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1 | |
1 | |
11
用非零向量的长度去除向量 ,得到一个单 位向量,称为把 单位化.
在几何空间中,向量 与 的夹角的余弦是通 过内积表示出来的 : ( , ) cos | || |
显然有
( , ) 0 0.
在欧几里得空间中同样有勾股定理, 即当 , 正交时，
| | | | | |
2 2
2
事实上，
| |2 ( , )
( , ) 2( , ) ( , )
| |2 | |2
注 : 欧几里得空间中任意两个非零向量的夹 角是唯一的.
当( , ) 0时, , , 即 与 的夹角为 , 2 2 在几何空间中称 与 正交.推广到一般欧几里得 空间,也有正交概念.
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20
定义 4 如果向量 , 的内积为零，即 ( , ) = 0 ， 那么 , 称为正交或互相垂直，记为 .
显然，这里正交的定义与解析几何中对于正 交的说法是一致的. 两个非零向量正交的充分必要条件是它们的 夹角为 π . 2 注 : (1)“正交”概念不是用夹角来定义, 而
是用内积来定义, 所以正交概念对零向量也适用.
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(2) 零向量与任意向量正交. (3) 与所有向量都正交的向量必为零向量.
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推广:如果1 , 2 , …, m 两两正交，那么
| 1 2
2,
m |2 | 1 |2 | 在欧几里得空间里, 如果( , i ) 0, i 1, , r , 则对任意ki R, i 1, 2, ( , ki i ) 0.
3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； （分配性）
4) ( , ) 0，当且仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .（非负性）
2
这里 , , 是 V 中任意的向量，k 是任意实 数，这样的线性空间 V 称为欧几里得空间，简称
欧氏空间，也称内积空间。
由柯西 布涅柯夫斯基不等式, 当 0, 0时, 有 ( , ) 1 | || |
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定义 3 非零向量 , 的夹角 , 规定为 ( , ) , arccos , 0 , . | || |