2015高考数学数列题型之数列与向量交汇的综合题
向量与数列的和谐交汇
向量与数列的和谐交汇在知识的交汇点处命题是近年高考命题的热点，向量的引入拓宽了命题渠道，传统的数列与向量的结合使得试题更加新颖别致，下面举例说明 例1(全国卷) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若a a 20111+=,且A,B,C 三点共线(该直线不过点O)求S2011=________. 解析:OCa OA a OB 20111+=且A,B,C 三点共线∴120111=+a a ， S 2011=22011(20111a a +)=22011 评注:对于平面上三点A,B,P(O 不在直线AB 上)，A,B,P 三点共线⇔y x +=且1=+y x例2 已知一列非零向量a n 满足: a 1=(x 1,y 1), a n =(x n ,y n )=()()2,111121≥+-----n y x y x n n n n .⑴证明:数列 {|a n |}是等比数列；⑵求向量a n-1与a n 的夹角。
⑶设a 1=(1，2),将a 1 ，a 2，a 3, a n ，, 中所有与a 1共线的向量按原来的顺序排成一列，记为b 1 ，b 2，b 3, b n ，, 令OB=b 1+b 2+b 3+, +b n ，O 为坐标原点，求点B n 的坐标。
分析:利用⑴的结论及夹角公式求解⑵；第⑶小题关键是找出与a 1共线的向量，然后利用等比数列知识(求和)可求出B n 的坐标。
解析: ⑴证明: |a n |=()()2221212221121121=+=++-------n n n n n n y x y x y x |a n-1|，即22=且| a 1|=02121≠+y x 。
∴{|a n |}是以| a 1|为首项，2为公比的等比数列。
⑵a n-1∙a n =(x n-1,y n-1)∙()111121,----+-n n n n y x y x =()=+--212121n n yx 21 |a n-1|2，∴cos （a n-1,a n ）==22,∴<a n-1,a n >=4π,即向量a n-1与a n 的夹角为4π。
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全( 数列)
2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（数列）一、选择题：1.（2015北京理） 设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法2．（2015福建理）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D 【解析】 试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．考点：等差中项和等比中项．3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）124. (2015全国新课标Ⅱ卷文)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列5．(2015全国新课标Ⅱ卷理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【答案】B考点：等比数列通项公式和性质．6．(2015全国新课标Ⅱ卷文)已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1C.12 1D.8【答案】C【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q == ,选C.考点：等比数列.7. (2015浙江理)已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>8．(2015重庆理)在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ）A 、-1B 、0C 、1D 、6【答案】B【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.二、填空题：1.（2015安徽文）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 .2.（2015安徽理）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .3．（2015福建文）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________． 【答案】9考点：等差中项和等比中项．4．（2015广东理）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += 【答案】10．【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345675525a a a a a a ++++==即55a =，285210a a a +==，故应填入10．【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题．5. （2015广东文）若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+56c =-则b = ．【答案】1 【解析】试题分析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(25265261b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1． 考点：等比中项．6. (2015浙江文)已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ． 【答案】2,13- 【解析】试题分析：由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=. 考点：1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.7.(2015湖南理)设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则n a = .【答案】13-n .【考点定位】等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量q 的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.8. (2015江苏)数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 【答案】2011【解析】试题分析：由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++ 考点：数列通项，裂项求和9、(2015全国新课标Ⅰ卷文)数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .10．(2015全国新课标Ⅱ卷理)设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．【答案】1n-【解析】试题分析：由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n nS S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1nS n =-． 考点：等差数列和递推关系．11. (2015陕西文、理)中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5 【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5． 考点：等差中项．三、解答题：1. （2015安徽文）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .2.（2015安徽理） 设*n N ∈，n x 是曲线221n y x+=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； （Ⅱ）记2221321n n T x x x -=，证明14n T n≥.3、（2015北京文）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（1）42(1)22n a n n =+-=+；（2）6b 与数列{}n a 的第63项相等.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d. 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =.所以61642128b -=⨯=.由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点：等差数列、等比数列的通项公式.4. （2015北京理）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【答案】（1）{6,12,24}M =，（2）证明见解析，（3）8 【解析】 ①试题分析：（Ⅰ）由16a =，可知23412,24,12,a a a ===则{6,12,24}M =；（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.第二步集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数；第三步由于M 中的元素都不超过36，M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，分n a 中有3的倍数和n a 中没有3的倍数两种情况，研究集合M 中的元素个数，最后得出结论集合M 的元素个数的最大值为8.试题解析：（Ⅰ）由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，可知：12346,12,24,12,a a a a ===={6,12,24}M ∴=（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，可用用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.（Ⅲ）由于M 中的元素都不超过36，由136a ≤，易得236a ≤，类似可得36n a ≤，其次M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M 中的数除以9的余数,由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.5．（2015福建文） 等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得1,a d ，进而求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列前n 项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题2nn b n =+，故可采取分组求和法求其前10项和．试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．6、（2015广东文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值； ()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.7．（2015广东理）数列{}n a 满足1212242-+-=+⋅⋅⋅++n n n na a a , *N n ∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{}n a 前n 项和n T ； (3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<【答案】（1）14；（2）1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）见解析．（3）依题由1211112n n n a a a b a n n -+++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭知11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前n 项和、不等式放缩等知识，属于中高档题． 8．（2015湖北理）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n -+-.2345113579212222222n n n T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-，故n T 12362n n -+=-.考点：1.等差数列、等比数列通项公式，2.错位相减法求数列的前n 项和. 9. (2015湖北文)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记n n nac b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题.【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向.10. (2015湖南文)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，（I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S 。
数列与其它知识的交汇型问题答案
数列与其它知识的交汇型问题1．[2013·辽宁三校联考] “λ<1”是“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)为递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：．A[解析] 若λ<1，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－2λ(n ＋1)－(n 2－2λn )＝2(n －λ)＋1， 由n ∈N *，即n ≥1，得a n ＋1－a n ＞0，即数列{a n }为递增数列；若数列{a n }为递增数列，则a n ＋1－a n ＞0，即2(n －λ)＋1＞0，解得λ<2n ＋12，由n ∈N *，即n ≥1，得λ<32，则λ<1不一定成立，故选A.2．对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，n ＝1，2，…，则a 2 012等于( )x 1 2 3 4 5 f (x ) 5 4 3 1 2A.2 B ．3 C ．4 D ．5 答案：A[解析] 由已知a 1＝4，a 2＝f (a 1)＝1，a 3＝f (a 2)＝5，a 4＝f (a 3)＝2，a 5＝f (2)＝4，…即数列{a n }是周期为4的数列，而2 012＝503×4，则a 2 012＝a 4＝2，故选A.3．[2013·湖南六校联考] 已知函数f (x )是R 上的单调增函数且为奇函数，数列{a n }是等差数列，a 3＞0，则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( )A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为0D ．可正可负 答案：A[解析] f (0)＝0，a 3＞0，f (a 3)＞f (0)＝0，又a 1＋a 5＝2a 3＞0，∴a 1＞－a 5，∴f (a 1)＞f (－a 5)＝－f (a 5)，∴f (a 1)＋f (a 5)＞0，故选A.4．[2013·信阳二调] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 2－1)3＋2 011(a 2－1)＝sin 2 011π3，(a 2 010－1)3＋2 011(a 2 010－1)＝cos 2 011π6，则S 2 011等于( )A ．0B ．2 011C ．4 022D ．2 011 3 答案：B [解析] ∵sin 2 011π3＝sin ⎝⎛⎭⎫670π＋π3＝sin π3＝32， cos 2 011π6＝cos ⎝⎛⎭⎫334π＋76π＝cos 76π＝－cos π6＝－32， ∴(a 2－1)3＋2 011(a 2－1)＝32，(a 2 010－1)3＋2 011(a 2 010－1)＝－32，两式相加，得[(a 2－1)3＋(a 2 010－1)3]＋2 011[(a 2－1)＋(a 2 010－1)]＝0， 即(a 2＋a 2 010－2)[(a 2－1)2－(a 2－1)(a 2 010－1)＋(a 2 010－1)2＋2 011]＝0， ∵(a 2－1)2－(a 2－1)(a 2 010－1)＋(a 2 010－1)2＋2 011>0，∴a 2＋a 2 010＝2，∴S 2 011＝2 011（a 2＋a 2 010）2＝2 011，故选B.5．函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.解析：∵y ′＝2x ，∴k ＝y ′| x ＝a k ＝2a k ， 故切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )， 令y ＝0得x ＝12a k ，即a k ＋1＝12a k .∴{a n }是以16为首项，12为公比的等比数列，即a n ＝16·⎝⎛⎭⎫12n －1. ∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21. 答案：216．(2013·辽宁省五校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 013(a 4－1)＝1，(a 2 010－1)3＋2 013(a 2 010－1)＝－1，则下列结论中正确的是( )A ．S 2 013＝2 013，a 2 010<a 4B ．S 2 013＝2 013，a 2 010>a 4C ．S 2 013＝2 012，a 2 010≤a 4D ．S 2 013＝2 012，a 2 010≥a 4解析：选A 设f (x )＝x 3＋2 013x ，显然f (x )为奇函数和增函数，由已知得f (a 4－1)＝－f (a 2010－1)，所以f (a 4－1)＝f (－a 2 010＋1)，a 4－1＝－a 2 010＋1，a 4＋a 2 010＝2，S 2 013＝2 013a 1＋a 2 0132＝2 013；显然1>－1，即f (a 4－1)>f (a 2 010－1)，又f (x )为增函数，故a 4－1>a 2 010－1，即a 4>a 2 010.7.设,a b 为非零向量，2b a =，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为（ ）A.23π B.3π C.6πD.0 答案：B8.(2014安徽文12)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边22BC =，过点A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1AC 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =________.答案 ：149．(2014·河南一模)已知对于任意的自然数n ，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴相交于A n ，B n 两点，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 014B 2 014|＝________.解析 令(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝2n ＋1n 2＋n ，x 1x 2＝1n 2＋n，由题意得|A n B n |＝|x 2－x 1|，所以|A n B n |＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n 2＋n 2－4·1n 2＋n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，因此|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 014B 2 014|＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫12 014－12 015＝1－12 015＝2 0142 015. 答案2 0142 01510．已知各项都为正的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )． A.32 B ．53 C.256 D ．43 解析 由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理有q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由 a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m ＋n －2＝16a 21，即有m ＋n －2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝16⎝⎛⎭⎫4m n ＋n m ＋5≥16⎝⎛⎭⎫24m n ·n m ＋5＝32，当且仅当4m n ＝n m ，m ＋n ＝6，即n ＝2m ＝4时取得最小值32.答案 A11．(2014·咸阳一模)已知函数f (x )＝x ＋sin x ，项数为19的等差数列{a n }满足a n ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 18)＋f (a 19)＝0，则当k ＝________时，f (a k )＝0. 解析 因为函数f (x )＝x ＋sin x 是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{a n }有19项，a n ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 18)＋f (a 19)＝0，则必有f (a 10)＝0，所以k ＝10. 答案 1012．(东北三校二次联考)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4 000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2 011，a 2 011)，则OP →·OQ →＝( )A ．2 011B ．－2 011C ．0D ．1答案：A 命题立意：本题考查等差数列前n 项和公式与性质及平面向量的坐标运算，难度中等．解题思路：由已知S 21＝S 4 000⇒a 22＋a 23＋…＋a 4 000＝22＋a 4 0002＝3 979a 2 011＝0，故有a 2 011＝0，因此OP →·OQ →＝2 011＋a n a 2 011＝2 011，故选A .13．(2013·南昌二模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，已知(a 8＋1)3＋2 013(a 8＋1)＝1，(a 2 006＋1)3＋2 013(a 2 006＋1)＝－1，则下列结论正确的是( )A ．d ＜0，S 2 013＝2 013B ．d ＞0，S 2 013＝2 013C ．d ＜0，S 2 013＝－2 013D ．d ＞0，S 2 013＝－2 013答案：C 命题立意：本题考查函数的性质——单调性与奇偶性、等差数列的性质与前n 项和公式，难度中等．解题思路：记f (x )＝x 3＋2 013x ，则函数f (x )是在R 上的奇函数与增函数；依题意有f (a 8＋1)＝－f (a 2 006＋1)＝1＞f (0)＝0，即f (a 8＋1)＝f [－(a 2 006＋1)]＝1，a 8＋1＝－(a 2 006＋1)，a 8＋1＞0＞a 2 006＋1即a 8＞a 2 006，d ＝a 2 006－a 82 006－8＜0；a 8＋a 2 006＝－2，S 2 013＝a 1＋a 2 0132＝a 8＋a 2 0062＝－2 013，故选C.14．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数且满足f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝f (x )，f (－2)＝－3，数列{a n }满足a 1＝－1，且S n ＝2a n ＋n (其中S n 为{a n }的前n 项和)，则f (a 5)＋f (a 6)＝______.答案：3 解题思路：因为S n ＝2a n ＋n ，则S n －1＝2a n －1＋n －1，两式相减得a n ＝2a n －1－1，通过拼凑整理得a n －1＝2(a n －1－1)，所以{a n －1}是等比数列，则a n －1＝－2n ，因此a n ＝1－2n ，所以a 5＝－31，a 6＝－63.由f ⎝⎛⎭⎫32－x ＝f (x )且函数f (x )是奇函数，用－x 代替x 得到f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝f (－x )＝－f (x )，用32＋x 代替x 得到f (3＋x )＝f (x )，所以函数f (x )为周期为3，则f (a 5)＋f (a 6)＝f (－31)＋f (－63)＝f (－1)＋f (0)＝f (2)＋0＝－f (－2)＝3.15．(2013·齐鲁高三名校联考)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成递减的等差数列．若A ＝2C ，则ac的值为________．答案：32 命题立意：本题主要考查等差数列、正弦定理、余弦定理与三角函数基本公式．解题思路是依据题意得出a ，b ，c 之间的关系，再结合正弦定理、余弦定理及A ＝2C ，从而得出a ，c 之间的关系．解题思路：依题意知b ＝a ＋c 2，a c ＝sin A sin C ＝sin 2C sin C ＝2cos C ＝2×a 2＋b 2－c 22ab ，即a c ＝a 2＋b 2－c 2ab＝a ＋ca －c ＋b 2ab ＝2ba －c ＋b 2ab ＝a －c ＋b a ，所以a 2＝c ⎣⎡⎦⎤a －c ＋a ＋c 2，即(2a －3c )(a －c )＝0，又由a ＞c ，因此有2a ＝3c ，故a c ＝32.16.（淮南市2015届高三第一次模拟）已知A,B,C 三点共线，{}n a 为等差数列，且212OA OC a a OB =+，则31511a a a +- 的值为( )A. 1B. -1C. 21D. 21-答案：C1７.（淮南市2015届高三第一次模拟）已知ΔABC 三条边a,b,c 成公比大于1的等比数列，则sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的范围是＿＿＿＿．答案：511,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭１８．（合肥八中2015届高三第四次段考）若斜ABC ∆的内角,,A B C 成等差数列,则tan tan tan tan tan A C A B C +-=＿＿＿＿．答案：3-１９．(08·四川高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为______.【分析】 根据条件将前4项与前5项和的不等关系转化为关于首项a 1与公差d 的不等式，然后利用此不等关系确定公差d 的范围，由此可确定a 4的最大值.【解】 ∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4≥10，S 5≤15，∴⎩⎨⎧ S 4＝4a 1＋4×32d≥10S 5＝5a 1＋5×42d≤15，即⎩⎨⎧ a 1＋3d≥5a 1＋2d≤3，∴⎩⎨⎧a 4＝a 1＋3d≥5－3d 2＋3d ＝5＋3d 2a 4＝a 1＋3d ＝(a 1＋2d)＋d≤3＋d ， ∴5＋3d 2≤a 4≤3＋d ，则5＋3d≤6＋2d ，即d≤1.∴a 4≤3＋d≤3＋1＝4，故a 4的最大值为4. 【点评】 本题最值的确定主要是根据条件的不等式关系来求最值的，其中确定数列的公差d 是解答的关键，同时解答中要注意不等式传递性的应用.２０．已知无穷数列{a n }是各项均为正数的等差数列，则有（ ）A ．a 4a 6＜a 6a 8B ．a 4a 6≤a 6a 8C ．a 4a 6＞a 6a 8D ．a 4a 6≥a 6a 8答案：B【解析】a 4a 8＝(a 1＋3d)(a 1＋7d)＝a 12＋10a 1d ＋21d 2，a 62＝(a 1＋5d)2＝a 12＋10a 1d ＋25d 2，故a 4a 6≤a 6a 8.２１．已知{a n }为等差数列，{b n }为正项等比数列，公比q≠1，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则（ ）A ．a 6＝b 6B ．a 6＞b 6C ．a 6＜b 6D ．a 6＞b 6或a 6＜b 6 答案：B【解析】因为q≠1，b 1＞0，b 11＞0，所以b 1≠b 11，则a 6＝a 1＋a 112＝b 1＋b 112＞b 1b 11＝b 6. ２２．已知等比数列{a n }的公比q ＞0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是（ ）A ．S 4a 5＜S 5a 4B ．S 4a 5＞S 5a 4C ．S 4a 5＝S 5a 4D ．不确定 答案：A 【解析】S 4a 5－S 5a 4＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)a 4q －(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)a 4＝－a 1a 4＝－a 12q 3＜0，∴S 4a 5＜S 5a 4． ２３．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ∈R ，都有f (x )f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是（ ）A ．[12，2)B ．[12，2]C ．[12，1)D ．[12，1]答案：C【解析】f(x)是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y ∈R ，都有f(x)f(y)＝f(x ＋y)，a 1＝12，a n ＝f(n)(n ∈N*)，a n+1＝f(n ＋1)＝f(1)f(n)＝12a n ，∴S n ＝12[1－(12)n ]1－12＝1－(12)n .则数列{a n }的前n 项和的取值范围是[12，1).２４．把正奇数数列{}21n -中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：1 3 5 7 9 11 ……………………… ……………………………设mn a ()*,m n ∈N 是位于这个三角形数表中从上往下数第m 行、从左往右数第n 个数．若2011=m n a ，则____________==n m ，.答案：456m n ==，解析： 三角形数表中前m 行共有12312++++=+…m m m ()个数， ∴第m 行最后一个数应当是所给奇数列中的第m m ()+12项．………………………2分故第m 行最后一个数是212112⋅+-=+-m m m m ()． 因此，使得2011=m n a 的m 是不等式201112≥-+m m 的最小正整数解．由201112≥-+m m 得020122≥-+m m .45,4428912792112804811=∴=+-=+->++-≥∴m m于是，第45行第一个数是44441219812+-+= .161219812011=+-=∴n ……………………………………………………………4分２５.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题意知，第三列各数成等比数列，故x ＝1；第一行第五个数为6，第二行第五个数为3，故z ＝34；第一行第四个数为5，第二行第四个数为52，故y ＝54，从而x ＋y＋z ＝3.２６.(深圳一模)如图，111(,)P x y 、222(,)P x y 、…、(,)n n n P x y （120n y y y <<<<）是曲线C ：23y x =（0y ≥）上的n 个点，点(,0)i i A a （1,2,3,,i n =）在x 轴的正半轴上，且1i i i A A P -∆是正三角形（0A 是坐标原点）．（Ⅰ）写出1a 、2a 、3a ；（Ⅱ）求出点(,0)n n A a （n *∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式；（文科生只要写出表达式不必证明；理科生需要给出证明）（Ⅲ）设12321111n n n n nb a a a a +++=++++，若对任意的正整数n ，当[1,1]m ∈-时，不等式2126n t mt b -+>恒成立，求实数t 的取值范围．解：（Ⅰ）12a =，26a =，312a =；（Ⅱ）依题意，得12n n n a a x -+=，132n n n a a y --=⋅，由此及23n n y x =得 21133()22n n n n a a a a ---⎛⎫⋅=+ ⎪⎝⎭，即211()2()n n n n a a a a ---=+． 由（Ⅰ）可猜想：(1)n a n n =+（n *∈N ）． 下面用数学归纳法予以证明： （1）当1n =时，命题显然成立；（2）假定当n k =时命题成立，即有(1)n a k k =+，则当1n k =+时，由归纳假设及211()2()k k k k a a a a ++-=+ 得211[(1)]2[(1)]k k a k k k k a ++-+=++，即 2211()2(1)[(1)][(1)(2)]0k k a k k a k k k k ++-+++-⋅++=，解之得1(1)(2)k a k k +=++（1(1)k k a k k a +=-<不合题意，舍去）， 即当1n k =+时，命题成立．由（1）、（2）知：命题成立． （Ⅲ）12321111n n n n nb a a a a +++=++++111(1)(2)(2)(3)2(21)n n n n n n =++++++++2111112123123n n n n n n n =-==++++⎛⎫++ ⎪⎝⎭． 令1()2f x x x =+（1x ≥），则21()2210f x x'=-≥->，所以()f x 在[1,)+∞上是增函数，故当1x =时，()f x 取得最小值3，即当1n =时，max 1()6n b =．2126n t mt b -+>（n *∀∈N ，[1,1]m ∀∈-）2max 112()66n t mt b ⇔-+>=，即220t mt ->（[1,1]m ∀∈-）222020t t t t ⎧->⎪⇔⎨+>⎪⎩．解之得，实数t 的取值范围为(,2)(2,)-∞-+∞．２７.根据如右所示的程序框图，将输出的x ,y 的值依次分别记为x 1 ,x 2 ,…, x n ,…x 2007 , y 1 , y 2 ,…, y n ,…y 2007 。
高考数学微专题 概率统计与数列、函数的综合交汇问题
4
(2)经计算第(1)问中样本标准差 s 的近似值为 50，根据大量的测试数据，可以认为这 款汽车的单次最大续航里程 X 近似地服从正态分布 N(μ，σ2)(用样本平均数 x 和标准差 s 分别作为 μ、σ 的近似值)，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程 X∈[250,400]的 概率；
令 f′(p)＝0 可得 p＝1230.
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列表如下：
区间 f′(p)符号
0，1230 正
f(p)
递增
所以 f(p)存在唯一极大值点 p0＝1230；
1230，1 负 递减
21 返回导航
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②估计该盒子中黑球的数目为 60p0＝39.理由如下：
由①可知，当且仅当
p＝1230时，f(p)取得最大值，即
价格 p 与产量 q 的函数 市场情形 概率
关系式
好
0.4
p＝164－3q
中
0.4
p＝101－3q
差
0.2
p＝70－4q
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14
设 L1，L2，L3 分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量 ξ 表示当产量为 q， 而市场前景无法确定的利润．
(1)分别求利润 L1，L2，L3 与产量 q 的函数关系式； (2)当产量 q 确定时，求期望 E(ξ)； (3)试问产量 q 取何值时，E(ξ)取得最大值．
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以上各式相加，得 Pn－1＝－12＋－122＋－123＋…＋－12n＝－13·1－－12n， ∴1≤n≤19 时，Pn＝23＋13－12n， ∴到达“胜利大本营”的概率 P19＝23－13×2119， ∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为 Y 万元，则 Y＝3 或 0， ∴Y 的期望 E(Y)＝3·P19＋0·(1－P19)＝3×23－13×2119＝2－2119≈2.0， ∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为 2.0 万元．
2015年高考数学真题分类汇编：专题(06)数列(文科)及答案
2015年高考数学真题分类汇编 专题06 数列 文1.【2015高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ）（A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）12 【答案】B【解析】∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=，故选B. 【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算.2.【2015高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________ 【答案】5【解析】若这组数有21n +个，则11010n a +=，212015n a +=，又12112n n a a a +++=，所以15a =；若这组数有2n 个，则1101022020n n a a ++=⨯=，22015n a =，又121n n n a a a a ++=+，所以15a =；故答案为5【考点定位】等差数列的性质.【名师点睛】1.本题考查等差数列的性质，这组数字有可能是偶数个，也有可能是奇数个.然后利用等差数列性质m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+.2.本题属于基础题，注意运算的准确性.3.【2015高考广东，文13】若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-则b = ． 【答案】1【解析】因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(2551b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1．【考点定位】等比中项．【名师点晴】本题主要考查的是等比中项，属于容易题．解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念，即若a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项，即2G ab =．4.【2015高考福建，文16】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________． 【答案】9【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=． 【考点定位】等差中项和等比中项．【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题．5.【2015高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ． 【答案】2,13- 【解析】由题可得，2111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即131a d +=，所以121,3d a =-=. 【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.【名师点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式.主要考查学生利用等差数列的定义以及等比中项的性质，建立方程组求解数列的首项与公差.本题属于容易题，主要考查学生正确运算的能力.6.【2015高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .【答案】6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612n n S -==-，∴264n =，∴n=6.考点：等比数列定义与前n 项和公式【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程，解出首项与公比，利用等比数列性质可以简化计算.7.【2015高考安徽，文13】已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 . 【答案】27【解析】∵2≥n 时，21,21121+=+=-a a a a n n 且 ∴{}1a a n 是以为首项，21为公差的等差数列 ∴2718921289199=+=⨯⨯+⨯=S 【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前n 项和公式的应用.【名师点睛】能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决本题的关键，这需要考生平时多加积累，同时本题还考查了等差数列的基本公式的应用，考查了考生的基本运算能力.8.【2015高考福建，文17】等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101．【解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+． （II ）由（I ）可得2n n b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1021211010122-+⨯=+-()112255=-+ 112532101=+=．【考点定位】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．【名师点睛】确定等差数列的基本量是1,a d ．所以确定等差数列需要两个独立条件，求数列前n 项和常用的方法有四种：（1）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和，在前n 项相加的过程中相互抵消）；（2）错位相减法（适合于等差数列乘以等比数列型）；（3）分组求和法(根据数列通项公式的特点，将其分解为等差数列求和以及等比数列求和)；（4）奇偶项分析法（适合于整个数列特征不明显，但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征）． 9.【2015高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=．（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（I ）22n a n =+；（II ）6b 与数列{}n a 的第63项相等.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（I ）利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；（II ）先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d . 因为432a a -=，所以2d =.又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =. 所以61642128b -=⨯=. 由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点：等差数列、等比数列的通项公式.【名师点晴】本题主要考查的是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，属于中档题．本题通过求等差数列和等比数列的基本量，利用通项公式求解．解本题需要掌握的知识点是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式，即等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-，等比数列的通项公式：11n n a a q -=．10.【2015高考安徽，文18】已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）12n n a -=（Ⅱ） 112221n n ++--【解析】（Ⅰ）由题设可知83241=⋅=⋅a a a a ， 又941=+a a ， 可解的⎩⎨⎧==8141a a 或⎩⎨⎧==1841a a （舍去） 由314q a a =得公比2=q ，故1112--==n n n q a a .（Ⅱ）1221211)1(1-=--=--=n n n n q q a S 又1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-所以1113221211111...1111...++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=n n nn n S S S S S S S S b b b T12111--=+n .【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质，等比数列的前n 项和，以及利用裂项相消法求和.【名师点睛】本题利用“若q p n m +=+，则q p n m a a a a =”，是解决本题的关键，同时考生发现1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-是解决本题求和的关键,本题考查了考生的基础运算能力.11.【2015高考广东，文19】（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥ 时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值；（2）证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（1）令2n =可得4a 的值；（2）先将211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥）转化为2144n n n a a a +++=，再利用等比数列的定义可证112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（3）先由（2）可得数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式，再将数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式转化为数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是等差数列，进而可得数列{}n a 的通项公式． 试题解析：（1）当2n =时，4231458S S S S +=+，即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：478a =（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n ≥），即2144n n n a a a +++=（2n ≥），因为3125441644a a a +=⨯+==，所以2144n n n a a a +++=，因为()2121111111114242212142422222n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----，所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列 （3）由（2）知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭即1141122n n n na a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以()2144212nna n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()111422122nn n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，属于难题．本题通过将n S 的递推关系式转化为n a 的递推关系式，利用等比数列的定义进行证明，进而可得通项公式，根据通项公式的特点构造成等差数列进行求解．解题时一定要注意关键条件“2n ≥”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式，即等比数列的定义：1n na q a +=（常数），等比数列的通项公式：11n n a a q -=，等差数列的通项公式：()11n a a n d =+-．12.【2015高考湖北，文19】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n n T -+=-.【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题.【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向.13.【2015高考湖南，文19】（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，（I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S 。
高考数学-数列与不等式的交汇题型分析及解题策略论文
数列与不等式的交汇题型分析及解题策略【命题趋向】数列与不等式交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综合一起考查.主要考查知识重点和热点是数列的通项公式、前n项和公式以及二者之间的关系、等差数列和等比数列、归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的探求，在不等式的证明中要注意放缩法的应用.此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学习数学的潜能．近年来加强了对递推数列考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．如08年北京文20题(12分)中档偏上，考查数列与不等式恒成立条件下的参数问题、08年湖北理21题(12分)为中档偏上，考查数列与不等式交汇的探索性问题、08年江西理19题(12分)中等难度，考查数列求和与不等式的交汇、08年全国卷Ⅰ理22(12分)压轴题，难说大，考查数学归纳法与不等式的交汇，等等.预计在2009年高考中,比较新颖的数列与不等式选择题或填空题一定会出现.数列解答题的命题热点是与不等式交汇,呈现递推关系的综合性试题.其中,以函数与数列、不等式为命题载体,有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试题是未来高考命题的一个新的亮点,而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题.【考试要求】1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．2．理解等差数列的概念．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。
4．理解不等式的性质及其证明．5．掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．6．掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．7．掌握简单不等式的解法及理解不等式│a│－│b│≤│a+b│≤│a│+│b│．【考点透视】1．以客观题考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇.2．以解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明(主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法)和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大.3．将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想.【典例分析】题型一求有数列参与的不等式恒成立条件下参数问题求得数列与不等式绫结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：(1)若函数f(x)在定义域为D，则当x∈D时，有f(x)≥M恒成立⇔f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立⇔f(x)max≤M；(2)利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解得.【例1】等比数列{a n}的公比q＞1，第17项的平方等于第24项，求使a1＋a2＋…＋a n＞1a1＋1a2＋…＋1a n恒成立的正整数n的取值范围.【分析】 利用条件中两项间的关系，寻求数列首项a 1与公比q 之间的关系，再利用等比数列前n 项公式和及所得的关系化简不等式，进而通过估算求得正整数n 的取值范围.【解】 由题意得：(a 1q 16)2＝a 1q 23，∴a 1q 9＝1.由等比数列的性质知：数列{1a n }是以1a 1为首项，以1q为公比的等比数列，要使不等式成立，则须a 1(q n－1)q －1＞1a 1[1－(1q )n ]1－1q ，把a 21＝q -18代入上式并整理，得q -18(q n－1)＞q(1－1qn )，q n＞q 19，∵q＞1，∴n＞19，故所求正整数n 的取值范围是n≥20. 【点评】 本题解答数列与不等式两方面的知识都用到了，主要体现为用数列知识化简，用不等式知识求得最后的结果.本题解答体现了转化思想、方程思想及估算思想的应用.【例2】 （08·全国Ⅱ）设数列{a n }的前n 项和为S n ．已知a 1＝a ，a n+1＝S n ＋3n，n∈N*．(Ⅰ)设b n ＝S n －3n，求数列{b n }的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n ，n∈N*，求a 的取值范围．【分析】 第（Ⅰ）小题利用S n 与a n 的关系可求得数列的通项公式；第（Ⅱ）小题将条件a n+1≥a n 转化为关于n 与a 的关系，再利用a≤f(n)恒成立等价于a≤f(n)min 求解．【解】 (Ⅰ)依题意，S n+1－S n ＝a n+1＝S n ＋3n ，即S n+1＝2S n ＋3n，由此得S n+1－3 n+1＝2(S n －3n)．因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2 n -1，n∈N*, ①(Ⅱ)由①知S n ＝3n ＋(a －3)2 n -1，n∈N*，于是，当n≥2时，a n ＝S n －S n -1＝3n ＋(a －3)2 n -1－3n -1－(a －3)2 n -2＝2×3n -1＋(a －3)2 n -2， a n+1－a n ＝4×3n -1＋(a －3)2n -2＝2n -2·[12·(32)n -2＋a －3]，当n≥2时，a n+1≥a n ，即2 n -2·[12·(32)n -2＋a －3]≥0，12·(32)n -2＋a －3≥0，∴a≥－9，综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞]．【点评】 一般地，如果求条件与前n 项和相关的数列的通项公式，则可考虑S n 与a n的关系求解.本题求参数取值范围的方法也一种常用的方法，应当引起重视.题型二 数列参与的不等式的证明问题此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；(2)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；(3)放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的.【例3】 已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)设p 、q 都是正整数，且p ≠q ，证明：S p+q ＜12(S 2p ＋S 2q )．【分析】 根据条件首先利用等差数列的通项公式及前n 项公式和建立方程组即可解决第(Ⅰ)小题；第(Ⅱ)小题利用差值比较法就可顺利解决.【解】 （Ⅰ）设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得，⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝74a 1＋6d ＝24，解得⎩⎨⎧ a 1＝3d ＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1. （Ⅱ）证明：∵a n ＝2n ＋1，∴S n ＝n(a 1＋a n )2＝n 2＋2n ．2S p+q －(S 2p ＋S 2q )＝2[(p ＋q)2＋2(p ＋q)]－(4p 2＋4p)－(4q 2＋4q)＝－2(p －q)2，∵p ≠q ，∴2S p+q －(S 2p ＋S 2q )＜0，∴S p+q ＜12(S 2p ＋S 2q )．【点评】 利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子进行变形，途径主要有：（1）因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，则利用通分；（4）如果涉及根式，则利用分子或分母有理化.【例4】 (08·安徽高考)设数列{a n }满足a 1＝0，a n+1＝ca n 3＋1－c ，c∈N*，其中c 为实数.(Ⅰ)证明：a n ∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；(Ⅱ)设0＜c ＜13，证明：a n ≥1－(3c)n -1，n∈N*；（Ⅲ）设0＜c ＜13，证明：a 12＋a 22＋…＋a n 2＞n ＋1－21－3c ，n ∈N*.【分析】 第（1）小题可考虑用数学归纳法证明；第（2）小题可利用综合法结合不等关系的迭代；第（3）小题利用不等式的传递性转化等比数列，然后利用前n 项和求和，再进行适当放缩.【解】（Ⅰ）必要性：∵a 1＝0，a 2＝1－c ，又∵a 2∈[0，1]，∴0≤1－c≤1，即c∈[0，1].充分性：设c∈[0，1]，对n∈N*用数学归纳法证明a n ∈[0，1]. (1)当n ＝1时，a 1∈[0，1].(2)假设当n ＝k 时，a k ∈[0，1](k≥1)成立，则a k ＋1＝ca k 3＋1－c≤c＋1－c ＝1，且a k ＋1＝ca k 3＋1－c≥1－c≥0， ∴a k ＋1∈[0，1]，这就是说n ＝k ＋1时，a n ∈[0，1]. 由（1）、（2）知，当c∈[0，1]时，知a n ∈[0，1]对所胡n∈N*成立. 综上所述，a n ∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1].（Ⅱ）设0＜c ＜13，当n ＝1时，a 1＝0，结论成立.当n≥2时，由a n ＝ca n -13＋1－c ，∴1－a n ＝c(1－a n -1)(1＋a n -1＋a n -12)∵0＜c ＜13，由(Ⅰ)知a n -1∈[0，1]，所以1＋a n -1＋a n -12≤3，且1－a n -1≥0，∴1－a n ≤3c(1－a n -1)，∴1－a n ≤3c(1－a n -1)≤(3c)2(1－a n -2)≤…≤(3c) n -1(1－a 1)＝(3c) n -1，∴a n ≥1－(3c)n -1，n∈N*.(Ⅲ)设0＜c ＜13，当n ＝1时，a 12＝0＞2－21－3c，结论成立.当n≥2时，由（Ⅱ）知a n ≥1－(3c)n -1＞0，∴a n 2≥[(1－(3c)n -1)] 2＝1－2(3c)n -1＋(3c)(n -1)＞1－2(3c)n -1， a 12＋a 22＋…＋a n 2＝a 22＋…＋a n 2＞n －1－2[3c ＋(3c)2＋…＋(3c)n -1]＝n －1－2[1＋3c ＋(3c)2＋…＋(3c)n -1－1]＝n ＋1－2[1－(3c)n]1－3c ＞n ＋1－21－3c.【点评】 本题是数列与不等式、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，此类试题在高考中点占有一席之地，复习时应引起注意.本题的第(Ⅰ)小题实质也是不等式的证明，题型三 求数列中的最大值问题求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用条件中的不等式关系确定最值.【例5】 (08·四川高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为______.【分析】 根据条件将前4项与前5项和的不等关系转化为关于首项a 1与公差d 的不等式，然后利用此不等关系确定公差d 的范围，由此可确定a 4的最大值.【解】 ∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4≥10，S 5≤15，∴⎩⎪⎨⎪⎧ S 4＝4a 1＋4×32d≥10S 5＝5a 1＋5×42d≤15，即⎩⎨⎧ a 1＋3d≥5a 1＋2d≤3，∴⎩⎨⎧ a 4＝a 1＋3d≥5－3d 2＋3d ＝5＋3d 2a 4＝a 1＋3d ＝(a 1＋2d)＋d≤3＋d ， ∴5＋3d 2≤a 4≤3＋d ，则5＋3d≤6＋2d ，即d≤1.∴a 4≤3＋d≤3＋1＝4，故a 4的最大值为4. 【点评】 本题最值的确定主要是根据条件的不等式关系来求最值的，其中确定数列的公差d 是解答的关键，同时解答中要注意不等式传递性的应用.【例6】 等比数列{a n }的首项为a 1＝2002，公比q ＝－12．(Ⅰ)设f(n)表示该数列的前n 项的积，求f(n)的表达式；(Ⅱ)当n 取何值时，f(n)有最大值．【分析】 第(Ⅰ)小题首先利用等比数列的通项公式求数列{a n }的通项，再求得f(n)的表达式；第(Ⅱ)小题通过商值比较法确定数列的单调性，再通过比较求得最值.【解】 (Ⅰ)a n ＝2002·(－12)n -1，f(n)＝2002n·(－12)n(n -1)2(Ⅱ)由(Ⅰ)，得|f(n ＋1)||f(n)|＝20022n ，则当n≤10时，|f(n ＋1)||f(n)|＝20022n ＞1，∴|f(11)|＞|f(10)|＞…＞|f(1)|，当n≥11时，|f(n ＋1)||f(n)|＝20022n ＜1，∴|f(11)|＞|f(12)|＞|f(13)|＞…，∵f(11)＜0，f(10)＜0，f(9)＞0，f(12)＞0，∴f(n)的最大值为f(9)或f(12)中的最大者．∵f(12)f(9)＝200212·(12)6620029·(12)36＝20023·(12)30＝(2002210)3＞1， ∴当n ＝12时，f(n)有最大值为f(12)＝200212·(12)66．【点评】 本题解答有两个关键：(1)利用商值比较法确定数列的单调性；(2)注意比较f(12)与f(9)的大小.整个解答过程还须注意f(n)中各项的符号变化情况.题型四 求解探索性问题数列与不等式中的探索性问题主要表现为存在型，解答的一般策略：先假设所探求对象存在或结论成立，以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理，若由此推出矛盾，则假设不成立，从而得到“否定”的结论，即不存在.若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果.【例7】 已知{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝4.(Ⅰ)求证：数列{a n }是等比数列；(Ⅱ)是否存在正整数k ，使S k+1－2S k －2＞2成立.【分析】 第(Ⅰ)小题通过代数变换确定数列a n +1与a n 的关系，结合定义判断数列{a n }为等比数列；而第(Ⅱ)小题先假设条件中的不等式成立，再由此进行推理，确定此不等式成立的合理性.【解】 (Ⅰ)由题意，S n ＋a n ＝4，S n +1＋a n +1＝4，由两式相减，得(S n +1＋a n +1)－(S n ＋a n )＝0，即2a n +1－a n ＝0，a n +1＝12a n ，又2a 1＝S 1＋a 1＝4，∴a 1＝2，∴数列{a n }是以首项a 1＝2，公比为q ＝12的等比数列.(Ⅱ)由(Ⅰ)，得S n ＝2[1―(12)n]1―12＝4－22-n.又由S k+1－2S k －2＞2，得4－21-k－24－22-k－2＞2，整理，得23＜21-k ＜1，即1＜2 k -1＜32， ∵k ∈N *，∴2k -1∈N *，这与2k -1∈(1，32)相矛盾，故不存在这样的k ，使不等式成立.【点评】 本题解答的整个过程属于常规解法，但在导出矛盾时须注意条件“k ∈N *”，这是在解答数列问题中易忽视的一个陷阱.【例8】 (08·湖北高考)已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n+1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n(a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a ＜b,S n 为数列{b n }的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有a ＜S n ＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.【分析】 第(Ⅰ)小题利用反证法证明；第(Ⅱ)小题利用等比数列的定义证明；第(Ⅲ)小题属于存在型问题，解答时就假设a ＜S n ＜b 成立，由此看是否能推导出存在存在实数λ.【解】 （Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即 (23λ－3)2＝λ(49λ－4)⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾，所以{a n }不是等比数列.(Ⅱ)解：因为b n+1＝(－1)n+1[a n+1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n+1(23a n －2n ＋14)＝－23(a n －3n －21)＝－23b n ，又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18时，b n ＝0(n∈N*)，此时{b n }不是等比数列；当λ≠－18时，b 1＝－(λ＋18)≠0，由上可知b n ≠0，∴b n+1b n ＝－23(n∈N*).故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ＝－18，b n ＝0(n∈N*)，S n ＝0，不满足题目要求；.∴λ≠－18，故知b n ＝－(λ＋18)×(－23)n -1，于是S n ＝－35(λ＋18)·[1－(－23)n]要使a ＜S n ＜b 对任意正整数n 成立，即a ＜－－35(λ＋18)·[1－(－23)n]＜b ，(n∈N*).得a 1－(－23)n ＜－35(λ＋18)＜b 1－(－23)n，(n∈N*) ①令f(n)＝1－(－23)n ，则当n 为正奇数时，1＜f(n)≤53，当n 为正偶数时59≤f(n)＜1；∴f(n)的最大值为f(1)＝53，f(n)的最小值为f(2)＝59,于是，由①式得59a ＜－35(λ＋18)＜35b ，∴－b －18＜λ＜－3a －18，(必须－b ＜－3a ，即b ＞3a).当a ＜b ＜3a 时，由－b －18≥－3a －18，不存在实数满足题目要求；当b ＞3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有a ＜S n ＜b,且λ的取值范围是(－b －18，－3a －18). 【点评】 存在性问题指的是命题的结论不确定的一类探索性问题，解答此类题型一般是从存在的方面入手，寻求结论成立的条件，若能找到这个条件，则问题的回答是肯定的；若找不到这个条件或找到的条件与题设矛盾，则问题的回答是否定的.其过程可以概括为假设——推证——定论.本题解答注意对参数λ及项数n 的双重讨论.【专题训练】 一、选择题1．已知无穷数列{a n }是各项均为正数的等差数列，则有（ ）A ．a 4a 6＜a 6a 8B ．a 4a 6≤a 6a 8C ．a 4a 6＞a 6a 8D ．a 4a 6≥a 6a 82．设{a n }是由正数构成的等比数列，b n ＝a n+1＋a n+2，c n ＝a n ＋a n+3，则（ ） A ．b n ＞c nB ．b n ＜c nC ．b n ≥c nD ．b n ≤c n3．已知{a n }为等差数列，{b n }为正项等比数列，公比q≠1，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则（ ）A ．a 6＝b 6B ．a 6＞b 6C ．a 6＜b 6D ．a 6＞b 6或a 6＜b 64．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足５＜a k ＜８，则k ＝ （ ）A ．9B ．8C ．7D ．65．已知等比数列{a n }的公比q ＞0，其前n 项的和为S n ，则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是（ ）A ．S 4a 5＜S 5a 4B ．S 4a 5＞S 5a 4C ．S 4a 5＝S 5a 4D ．不确定 6．设S n ＝1＋2＋3＋…＋n ，n∈N*，则函数f(n)＝S n(n ＋32)S n+1的最大值为（ ）A ．120B ．130C ．140D ．1507．已知y 是x 的函数，且lg3，lg(sinx －12)，lg(1－y)顺次成等差数列，则（ ） A ．y 有最大值1，无最小值 B ．y 有最小值1112，无最大值C ．y 有最小值1112，最大值1D ．y 有最小值－1，最大值18．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是（ ）Ａ．(－∞，－1] Ｂ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) Ｃ．[3，＋∞) Ｄ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)9．设3b 是1－a 和1＋a 的等比中项，则a ＋3b 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．设等比数列{a n }的首相为a 1，公比为q ，则“a 1＜0，且0＜q ＜1”是“对于任意n∈N*都有a n+1＞a n ”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分比要条件 D ．既不充分又不必要条件11．{a n }为等差数列，若a 11a 10＜－1，且它的前n 项和S n 有最小值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝ （ ）A ．11B ．17C ．19D ．2112．设f(x)是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x ＋y)，若a 1＝12，a n ＝f(n)(n∈N*)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是（ ）A ．[12，2)B ．[12，2]C ．[12，1)D ．[12，1]二、填空题13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26，记T n ＝S nn2，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立．则M 的最小值是__________．14．无穷等比数列{a n }中，a 1＞1，|q|＜1，且除a 1外其余各项之和不大于a 1的一半，则q的取值范围是________. 15．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b)2cd 的最小值是________. Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．416．等差数列{a n }的公差d 不为零，S n 是其前n 项和，给出下列四个命题：①A．若d ＜0，且S 3＝S 8，则{S n }中，S 5和S 6都是{S n }中的最大项；②给定n ，对于一定k∈N*(k＜n)，都有a n -k ＋a n+k ＝2a n ；③若d ＞0，则{S n }中一定有最小的项；④存在k∈N*，使a k －a k+1和a k －a k -1同号其中真命题的序号是____________. 三、解答题17．已知{a n }是一个等差数列，且a 2＝1，a 5＝－5．（Ⅰ）求{a n }的通项n a ；（Ⅱ）求{a n }前n 项和S n 的最大值．18．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n +1)(n ∈N *）在函数y ＝x 2＋1的图象上.(Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛b n ｝满足b 1＝1,b n +1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n +2＜b 2n +1.19．设数列{a n }的首项a 1∈(0，1)，a n ＝3－a n -12，n ＝2，3，4，….（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝a n 3－2a n ，证明b n ＜b n+1，其中n 为正整数．20．已知数列{a n }中a 1＝2，a n+1＝(2－1)( a n ＋2)，n ＝1，2，3，….（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n }中b 1＝2，b n+1＝3b n ＋42b n ＋3，n ＝1，2，3，….证明：2＜b n ≤a 4n -3，n ＝1，2，3，…21．已知二次函数y ＝f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f '(x)＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n∈N*)均在函数y ＝f(x)的图像上.（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n ＝1a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m20对所有n∈N*都成立的最小正整数m ；22．数列{}n a 满足11a =，21()n n a n n a λ+=+-（12n =，，），λ是常数．（Ⅰ）当21a =-时，求λ及3a 的值；（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；（Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m ，当n m >时总有0n a <．【专题训练】参考答案 一、选择题1．B 【解析】a 4a 8＝(a 1＋3d)(a 1＋7d)＝a 12＋10a 1d ＋21d 2，a 62＝(a 1＋5d)2＝a 12＋10a 1d ＋25d 2，故a 4a 6≤a 6a 8. 2．D 【解析】设其公比为q,则b n －c n ＝a n (q －1)(1－q 2)＝－a n (q －1)2(q ＋1)，当q ＝1时，b n ＝c n ，当q ＞0，且q≠1时，b n ＜c n ，故b n ≤c n .3．B 【解析】因为q≠1，b 1＞0，b 11＞0，所以b 1≠b 11，则a 6＝a 1＋a 112＝b 1＋b 112＞b 1b 11＝b 6.4．B 【解析】因数列为等差数列，a n ＝S n －S n -1＝2n －10，由5＜2k －10＜8，得到k ＝8. 5．A 【解析】S 4a 5－S 5a 4 ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)a 4q －(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)a 4＝－a 1a 4＝－a 12q 3＜0，∴S 4a 5＜S 5a 4． 6．D 【解析】由S n ＝n(n ＋1)2，得f(n)＝n (n ＋32)(n ＋2)＝nn 2＋34n ＋64＝1n ＋64n＋34≤1264＋34＝150，当n ＝64n ，即n ＝8时取等号，即f(n)max ＝f(8)＝150．7．B 【解析】由已知y ＝－13(sinx －12)2＋1，且sinx ＞12，y ＜1，所以当sinx ＝1时，y有最小值1112，无最大值.8．D 【解】∵等比数列{a n }中a 2＝1，∴S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2(1q ＋1＋q)＝1＋q ＋1q .∴当公比q ＞0时，S 3＝1＋q ＋1q ≥1＋2q·1q ＝3，当公比q ＜0时，S 3＝1－(－q －1q)≤1－2(－q)·(－1q )＝－1，∴S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞).9．B 【解析】3b 是1－a 和1＋a 的等比中项，则3b 2＝1－a 2⇔a 2＋3b 2＝1，令a ＝cos θ，3b ＝sin θ，θ∈(0，2π)，所以a ＋3b ＝cos θ＋3in θ＝2sin(θ＋π6)≤2.10．A 【解析】当a 1＜0，且0＜q ＜1时，数列为递增数列，但当数列为递增数列时，还存在另一情况a 1＞0，且q ＞1，故选A. 11．C 【解析】由a 11a 10＜－1，得a 10＋a 11a 10＜0⇔a 1＋a 20a 10＜0⇔12×20(a 1＋a 20)12×19(a 1＋a 19)＜0⇔S 20S 19＜0，则要使S n 取得最小正值必须满足S 19＞0，且S 20＜0，此时n ＝19.12．C 【解析】f(x)是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数x 、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x ＋y)，a 1＝12，a n ＝f(n)(n∈N*)，a n+1＝f(n ＋1)＝f(1)f(n)＝12a n ，∴S n ＝12[1－(12)n ]1－12＝1－(12)n .则数列{a n }的前n 项和的取值范围是[12，1).二、填空题13．2 【解析】由a 4－a 2＝8，可得公差d ＝4，再由a 3＋a 5＝26，可得a 1＝1，故S n ＝n ＋2n (n －1)＝2n 2－n ，∴T n ＝2n －1n ＝2－1n，要使得T n ≤M ，只需M ≥2即可，故M 的最小值为2，答案：214．(－1，0]∪(0，13] 【解析】a 1q 1－q ≤a 12⇒q≤13，但|q|＜1，且q≠0，故q∈(－1，0]∪(0，13]. 15．4 【解析】∵(a ＋b)2cd ＝(x ＋y)2xy ≥(2xy)2xy＝4.16．D 【解析】对于①：∵S 8－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝5a 6＝0，∴S 5＝S 6，又d ＜0，S 5＝S 6为最大，故A 正确；对于②：根据等差中项知正确；对于③：∵d＞0，点(n ，S n )分布在开口向上的抛物线，故{S n }中一定有最小的项，故③正确；而a k －a k+1＝－d ，a k －a k -1＝d ，且d≠0，故④为假命题. 三、解答题17．【解】（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，由已知条件，⎩⎨⎧ a 1＋d ＝1a 1＋4d ＝－5，解出a 1＝3，d ＝－2．所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋5．（Ⅱ）S n ＝na 1＋n(n －1)2d ＝－n 2＋4n ＝－(n －2)2＋4，所以n ＝2时，S n 取到最大值4．18．【解】(Ⅰ)由已知得a n +1＝a n ＋1，即a n +1－a n ＝1，又a 1＝1，所以数列｛a n ｝是以1为首项，公差为1的等差数列，故a n ＝1＋(a －1)×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a n ＝n 从而b n +1－b n ＝2n.b n ＝(b n －b n -1)＋(b n -1－b n -2)＋…＋（b 2－b 1）＋b 1＝2n -1＋2n -2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.因为b n ·b n +2－b 21+n ＝(2n－1)(2n +2－1)－(2n -1－1)2＝(22n +2－2n +2－2n ＋1)－(22n +2－2－2n +1－1)＝－5·2n ＋4·2n ＝－2n＜0,所以b n ·b n +2＜b 21+n .19．【解】（Ⅰ）由a n ＝3－a n -12，n ＝2，3，4，….整理得1－a n ＝－12(1－a n -1)．又1－a 1≠0，所以{1－a n }是首项为1－a 1，公比为－12的等比数列，得a n ＝1－(1－a 1)(－12)n -1， （Ⅱ）由（Ⅰ）可知0＜a n ＜32，故b n ＞0．那么，b n+12－b n 2＝a n+12(3－2a n+1)－a n 2(3－2a n )＝(3－a n 2)2(3－2×3－a n 2)－a n 2(3－2a n )＝9a n 4(a n －1)2.又由（Ⅰ）知a n ＞0，且a n ≠1，故b n+12－b n 2＞0，因此b n ＜b n+1，为正整数．20．【解】（Ⅰ）由题设：a n+1＝(2－1)(a n ＋2)＝(2－1)(a n －2)＋(2－1)(2＋2)，＝(2－1)(a n －2)＋2，∴a n+1－2＝(2－1)(a n －2)． 所以，数列{a n －2}a 是首项为2－2，公比为2－1)的等比数列，a n －2＝2(2－1)n，即a n 的通项公式为a n ＝2[(2－1)n＋1]，n ＝1，2，3，…. （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当n ＝1时，因2＜2，b 1＝a 1＝2，所以2＜b 1≤a 1，结论成立． （ⅱ）假设当n ＝k 时，结论成立，即2＜b k ≤a 4k -3，，也即0＜b n －2≤a 4k -3－2， 当n ＝k ＋1时，b k+1－2＝3b k ＋42b k ＋3－2＝(3－22)b k ＋(4－32)2b k ＋3＝(3－22)(b k －2)2b k ＋3＞0，又12b k ＋3＜122＋3＝3－22， 所以b k+1－2＝(3－22)(b k －2)2b k ＋3＜(3－22)2(b k －2)≤(2－1)4(a 4k -3－2)＝a 4k+1－ 2也就是说，当n ＝k ＋1时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知2＜b n ≤a 4n -3，n ＝1，2，3，….21．【解】（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2＋bx (a≠0) ，则 f`(x)＝2ax ＋b ，由于f`(x)＝6x －2，得a ＝3 ，b ＝－2，所以f(x)＝3x 2－2x.，又因为点(n ，S n )(n∈N*)均在函数y ＝f(x)的图像上，所以S n ＝3n 2－2n ， 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5（n∈N*）. （Ⅱ）由（Ⅰ）得知b n ＝3a n a n ＋1＝3(6n －5)[6(n －1)－5]＝12(16n －5－16n ＋1)， 故T n ＝∑ni=1b i ＝12[(1－17)＋(17–113)＋…＋(16n －5－16n ＋1)]＝12(1–16n ＋1），因此，要使12(1－16n ＋1）＜m 20（n∈N*）成立的m ，必须且仅须满足12≤m20，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.22．【解】（Ⅰ）由于21()(12)n n a n n a n λ+=+-=，，，且11a =． 所以当21a =-时，得12λ-=-，故3λ=．从而23(223)(1)3a =+-⨯-=-． （Ⅱ）数列{}n a 不可能为等差数列，证明如下：由11a =，21()n n a n n a λ+=+-得22a λ=-，3(6)(2)a λλ=--，4(12)(6)(2)a λλλ=---．若存在λ，使{}n a 为等差数列，则3221a a a a -=-，即(5)(2)1λλλ--=-， 解得3λ=．于是2112a a λ-=-=-，43(11)(6)(2)24a a λλλ-=---=-． 这与{}n a 为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{}n a 都不可能是等差数列．（Ⅲ）记2(12)n b n n n λ=+-=，，，根据题意可知，10b <且0n b ≠，即2λ> 且2*()n n n λ≠+∈N ，这时总存在*0n ∈N ，满足：当0n n ≥时，0n b >；当01n n -≤时，0n b <．所以由1n n n a b a +=及110a =>可知，若0n 为偶数，则00n a <，从而当0n n >时，0n a <；若0n 为奇数，则00n a >，从而当0n n >时0n a >．因此“存在*m ∈N ，当n m >时总有0n a <”的充分必要条件是：0n 为偶数，记02(12)n k k ==，，，则λ满足22221(2)20(21)210k k b k k b k k λλ-⎧=+->⎪⎨=-+--<⎪⎩．故λ的取值范围是22*4242()k k k k k λ-<<+∈N都是“定义域”惹的祸函数三要素中，定义域是十分重要的，研究函数的性质时应首先考虑其定义域．在求解函数有关问题时，若忽视定义域，便会直接导致错解．下面我们举例分析错从何起．一、求函数解析式时例1．已知x x x f 2)1(+=+，求函数)(x f 的解析式 . 错解：令1+=x t ，则1-=t x ，2)1(-=t x ，1)1(2)1()(22-=-+-=∴t t t t f ，1)(2-=∴x x f剖析：因为x x x f 2)1(+=+隐含着定义域是0≥x ，所以由1+=x t 得1≥t ，1)(2-=∴t t f 的定义域为1≥t ，即函数)(x f 的解析式应为1)(2-=x x f （1≥x ）这样才能保证转化的等价性.正解：由x x x f 2)1(+=+，令1+=x t 得1≥t ，()21-=∴t x 代入原解析式得1)(2-=t t f （1≥t ），即1)(2-=x x f （1≥x ）．二、求函数最值（或值域）时例2．若,62322x y x =+求22y x +的最大值．错解：由已知有 x x y 32322+-= ①，代入22y x +得 22y x +()2932132122+--=+-=x x x ，∴当3=x 时，22y x +的最大值为29．剖析：上述错解忽视了二次函数的定义域必须是整个实数的集合，同时也未挖掘出约束条件x y x 62322=+中x 的限制条件．正解：由032322≥+-=x x y 得20≤≤x ， ∴22y x +()2932132122+--=+-=x x x ，[]2,0∈x ，因函数图象的对称轴为3=x ，∴当[]2,0∈x 是函数是增函数，故当当2=x 时，22y x +的最大值为4．例3．已知函数()()32log 19f x x x =+≤≤，则函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值为（ ）A ．33B ．22C ．13D ．6错解：()()22y f x f x=+⎡⎤⎣⎦=()22332log 2log x x +++=()23log 33x +-在()19x ≤≤上是增函数，故函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦在9x =时取得最大值为33．正解：由已知所求函数()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的定义域是21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩得13x ≤≤，()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦=()22332log 2log x x +++=()23log 33x +-在13x ≤≤是增函数，故函数()()22y f x f x=+⎡⎤⎣⎦在3x =时取得最大值为13．例4．已知()()4232≤≤=-x x f x ，求()[]()2121x f x f y --+=的最大值和最小值．错解：由()()4232≤≤=-x x f x 得91≤≤y ．∴()()91log 231≤≤+=-x x x f ．∴()[]()()6log 6log log 2log 232323232121++=+++=+=--x x x x x f x f y()33log 23-+=x ． ∵91≤≤x ，∴2log 03≤≤x ．∴22max =y ，6min =y ．剖析：∵()x f 1-中91≤≤x ，则()21x f -中912≤≤x ，即31≤≤x ，∴本题的定义域应为[]3,1．∴1log 03≤≤x ．正解：（前面同上）()33log 23-+=x y ，由31≤≤x 得1log 03≤≤x ．∴13max =y ，6min =y ．例5．求函数3254-+-=x x y 的值域．错解：令32-=x t ，则322+=t x ，∴()1253222++=+-+=t t t t y87874122≥+⎪⎭⎫⎝⎛+=t ．故所求函数的值域是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,87．剖析：经换元后，应有0≥t ，而函数122++=t t y 在[)+∞,0上是增函数，随着t 增大而无穷增大．所以当0=t 时，1min =y ．故所求函数的值域是[)+∞,1．三、求反函数时例6．求函数)20(242≤≤++-=x x x y 的反函数．错解：函数)20(242≤≤++-=x x x y 的值域为[]6,2∈y ,又6)2(2+--=x y ，即 y x -=-6)2(2∴y x -±=-62，∴所求的反函数为()6262≤≤-±=x x y ．剖析：上述解法中忽视了原函数的定义域 ，没有对x 进行合理取舍,从而得出了一个非函数表达式．正解：由242(02)y x x x =-++≤≤的值域为[]6,2∈y , 因y x -=-6)2(2，又02≤-x ∴y x --=-62，∴所求的反函数为()6262≤≤--=x x y ．四、求函数单调区间时例7．求函数)4lg()(2x x f -=的单调递增区间.错解：令24x t -=，则t y lg =，它是增函数. 24x t -= 在]0,(-∞上为增函数，。
2015年江苏省高考数学试卷答案与解析
2015年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．(5分）(2015•江苏）已知集合A=｛1,2,3},B={2，4，5｝，则集合A∪B中元素的个数为5．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A=｛1,2，3｝，B=｛2，4，5}，则A∪B={1,2，3，4,5｝；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5点评：题考查了集合的并集的运算,根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题2．（5分)（2015•江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题: 概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答:解:数据4,6，5，8,7，6,那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评:本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查．3．(5分）（2015•江苏)设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位)，则z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解:复数z满足z2=3+4i，可得｜z||z｜=|3+4i｜==5，∴|z｜=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力．4．(5分）（2015•江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．考点：伪代码．专题: 图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答:解：模拟执行程序，可得S=1，I=1满足条件I＜8,S=3，I=4满足条件I＜8，S=5，I=7满足条件I＜8,S=7，I=10不满足条件I＜8,退出循环，输出S的值为7．故答案为:7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．(5分）（2015•江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答:解:根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目．6．(5分）（2015•江苏)已知向量=（2，1),=（1，﹣2），若m+n=(9，﹣8）（m，n∈R)，则m ﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算,求解即可．解答：解:向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8)可得,解得m=2,n=5，∴m﹣n=﹣3．故答案为：﹣3．点评：本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（2015•江苏）不等式2＜4的解集为(﹣1，2）．考点: 指、对数不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：利用指数函数的单调性转化为x2﹣x＜2，求解即可．解答：解；∵2＜4，∴x2﹣x＜2，即x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2故答案为：（﹣1,2）点评：本题考查了指数函数的性质，二次不等式的求解，属于简单的综合题目，难度不大．8．(5分）（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=,则tanβ的值为3．考点：两角和与差的正切函数．专题: 三角函数的求值．分析：直接利用两角和的正切函数，求解即可．解答：解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=,解得tanβ=3．故答案为：3．点评：本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．9．（5分)(2015•江苏）现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意求出原来圆柱和圆锥的体积,设出新的圆柱和圆锥的底面半径r，求出体积，由前后体积相等列式求得r．解答：解：由题意可知,原来圆锥和圆柱的体积和为：．设新圆锥和圆柱的底面半径为r，则新圆锥和圆柱的体积和为：．∴，解得:．故答案为：．点评：本题考查了圆柱与圆锥的体积公式，是基础的计算题．10．(5分）（2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0)为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0(m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．解答：解：圆心到直线的距离d==≤,∴m=1时,圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1)2+y2=2．点评：本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力,比较基础．11．（5分）(2015•江苏)设数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析:数列{a n｝满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1（n∈N＊），利用“累加求和"可得a n=．再利用“裂项求和”即可得出．解答：解:∵数列｛a n｝满足a1=1,且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为:．点评:本题考查了数列的“累加求和"方法、“裂项求和"方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）(2015•江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点，若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为．考点：双曲线的简单性质．专题: 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离．解答：解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为x±y=0,因为点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立，所以c的最大值为直线x﹣y+1=0与直线x﹣y=0的距离，即．故答案为:．点评：本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．(5分）(2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|,g(x）=，则方程｜f(x）+g(x)｜=1实根的个数为4．考点：根的存在性及根的个数判断．专题: 综合题;函数的性质及应用．分析:：由｜f(x）+g（x）｜=1可得g（x)=﹣f（x）±1，分别作出函数的图象，即可得出结论．解答：解:由|f（x)+g（x）｜=1可得g（x）=﹣f（x）±1．g（x）与h（x)=﹣f（x）+1的图象如图所示，图象有两个交点；g(x ）与φ（x)=﹣f （x ）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程｜f （x ）+g(x ）|=1实根的个数为4． 故答案为：4． 点评：本题考查求方程｜f （x ）+g （x ）|=1实根的个数，考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）(2015•江苏）设向量=(cos，sin+cos）（k=0,1，2，…，12），则（a k •a k+1）的值为．考点:数列的求和． 专题:等差数列与等比数列;平面向量及应用． 分析： 利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出． 解答解:=+:=++++=++ =++，∴（a k •a k+1)=+++++++…+++++++…+=+0+0 =．故答案为：9．点评： 本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题(本大题共6小题，共计90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（14分）（2015•江苏）在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°． （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值．考点: 余弦定理的应用；二倍角的正弦． 专题: 解三角形． 分析：(1）直接利用余弦定理求解即可． （2）利用正弦定理求出C 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可． 解答:解：（1)由余弦定理可得:BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===,∵AB ＜BC ，∴C 为锐角, 则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．点评：本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．16．(14分）（2015•江苏)如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．求证：(1）DE∥平面AA1C1C；（2）BC1⊥AB1．考点: 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．专题: 证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C;（2)先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．解答：证明：（1）根据题意,得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC,因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1;又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，所以BC1⊥AC；因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1．点评：本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．17．（14分）(2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l,如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1,l2的距离分别为20千米和2。
2015年高考理科数学试题汇编(含答案)：数列 大题范文
（重庆）22．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）在数列{}n a 中，()21113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=∈≥=-证明：010011223121k a k k ++<<+++ 【答案】（1）132n n a -=⋅；（2）证明见解析.试题分析：(1)由02λμ==-，,有212,(n N )n n n a a a ++=∈若存在某个0n N +∈，使得0n 0a =，则由上述递推公式易得0n 10a +=，重复上述过程可得10a =，此与13a =矛盾，所以对任意N n +∈,0n a ≠.从而12n n a a +=()N n +∈，即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由011k λμ==-，，数列{}n a 的递推关系式变为 211010,n n n n a a a a k +++-=变形为2101n n n a a a k +⎛⎫+= ⎪⎝⎭()N n +∈.由上式及13a =，归纳可得12130n n a a a a +=>>>>>>因为2222001000011111111n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+===-+?+++，所以对01,2n k =求和得()()00011211k k k a a a a a a ++=+-++-01000010200000011111111111112231313131k a k k k k a k a k a k k k k k ⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪⎪+++⎝⎭⎛⎫>+⋅+++=+ ⎪++++⎝⎭另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>得00110000102011111111k k a a k k k k a k a k a +⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭00000111112221212121k k k k k ⎛⎫<+⋅+++=+⎪++++⎝⎭ 综上：010011223121k a k k ++<<+++考点：等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.（江苏）20.（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2aaaa依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n kn na a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在（2）令1a d a +=，则1a ，2a ，3a ，4a 分别为a d -，a ，a d +，2a d +（a d >，2a d >-，0d ≠）．假设存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列，则()()34a a d a d =-+，且()()6422a d a a d +=+． 令d t a =，则()()3111t t =-+，且()()64112t t +=+（112t -<<，0t ≠）， 化简得32220t t +-=（*），且21t t =+．将21t t =+代入（*）式，()()21212313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则14t =-． 显然14t =-不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立， 因此不存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列． （3）假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1n a ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列， 则()()()221112n kn k n a a d a d +++=+，且()()()()32211132n kn kn k a d a d a d +++++=+．分别在两个等式的两边同除以()21n k a +及()221n k a +，并令1d t a =（13t >-，0t ≠）， 则()()()22121n kn k t t +++=+，且()()()()32211312n k n kn k t t t +++++=+．将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++， 且()()()()()()ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t +++++=++． 化简得()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 12k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 且()()()()3ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．再将这两式相除，化简得()()()()()()ln 13ln 123ln 12ln 14ln 13ln 1t t t t t t +++++=++（**）．令()()()()()()()4ln 13ln 1ln 13ln 123ln 12ln 1g t t t t t t t =++-++-++，则()()()()()()()()()()222213ln 13312ln 1231ln 111213t t t t t t g t t t t ⎡⎤++-+++++⎣⎦'=+++．令()()()()()()()22213ln 13312ln 1231ln 1t t t t t t t ϕ=++-+++++， 则()()()()()()()613ln 13212ln 121ln 1t t t t t t t ϕ'=++-+++++⎡⎤⎣⎦．令()()1t t ϕϕ'=，则()()()()163ln 134ln 12ln 1t t t t ϕ'=+-+++⎡⎤⎣⎦．令()()21t t ϕϕ'=，则()()()()212011213t t t t ϕ'=>+++．由()()()()1200000g ϕϕϕ====，()20t ϕ'>， 知()2t ϕ，()1t ϕ，()t ϕ，()g t 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调．故()g t 只有唯一零点0t =，即方程（**）只有唯一解0t =，故假设不成立． 所以不存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列．考点：等差、等比数列的定义及性质，函数与方程 （安徽）（18）（本小题满分12分） 设*n N ∈，n x 是曲线221n y x+=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）记2221321n n T x x x -=，证明14n T n≥. 【答案】（1）1n n x n =+；（2）14n T n≥. 【解析】试题分析：（Ⅰ）对题中所给曲线进行求导，得出曲线221n y x+=+在点(12)，处的切线斜率为22n +.从而可以写成切线方程为2(22)(1)y n x -=+-.令0y =.解得切线与x 轴交点的横坐标1111n nx n n =-=++. （Ⅱ）要证14n T n≥，需考虑通项221n x -，通过适当放缩能够使得每项相消.先表示出考点：1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式. （北京）20.（本小题13分）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，()12n =，，…． 记集合{}*|n M a n =∈N ．（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．【答案】（1）{6,12,24}M =，（2）证明见解析，（3）8 【解析】①试题分析：（Ⅰ）由16a =，可知23412,24,12,a a a ===则{6,12,24}M =；（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.第二步集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数；第三步由于M 中的元素都不超过36，M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，分n a 中有3的倍数和n a 中没有3的倍数两种情况，研究集合M 中的元素个数，最后得出结论集合M 的元素个数的最大值为8.试题解析：（Ⅰ）由已知121823618n n n n n a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，可知：12346,12,24,12,a a a a ===={6,12,24}M ∴=（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n nn a a a a a +⎧=⎨->⎩，≤，，，可用用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.（Ⅲ）由于M 中的元素都不超过36，由136a ≤，易得236a ≤，类似可得36n a ≤，其次M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M 中的数除以9的余数,由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析. （广东）21．（本小题满分14分）数列{}n a 满足1212242-+-=+⋅⋅⋅++n n n na a a , *N n ∈. (1) 求3a 的值；(2) 求数列{}n a 前n 项和n T ； (3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S满足n S n ln 22+<【答案】（1）14；（2）1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）见解析．（3）依题由1211112n n n a a a b a n n -+++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭知11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前n 项和、不等式放缩等知识，属于中高档题．(湖北) 22．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n +=+∈N ，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n +与e 的大小；（Ⅱ）计算11b a ，1212b b a a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212nnb b b a a a 的公式，并给出证明； （Ⅲ）令112()nn n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <.22．（14分）（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-.当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增； 当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减.故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞. 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<.令1x n =，得111e n n +<，即1(1)e n n+<. ①（Ⅱ）11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=. 由此推测：1212(1).n nnb b b n a a a =+ ② 下面用数学归纳法证明②.（1）当1n =时，左边=右边2=，②成立. （2）假设当n k =时，②成立，即1212(1)k kkb b b k a a a =+. 当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++. 所以当1n k =+时，②也成立.根据（1）（2），可知②对一切正整数n 都成立. （Ⅲ）由n c 的定义，②，算术-几何平均不等式，n b 的定义及①得123n n T c c c c =++++=111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++12312112122334(1)nb b b b b b b b b n n ++++++≤++++⨯⨯⨯+121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++1212n b b b n <+++1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++12e e e n a a a <+++=e n S .即e n n T S <.（陕西）21．（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，nx 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．（I ）证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； （II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x与()n g x 的大小，并加以证明．【答案】（I ）证明见解析；（II ）当1x =时， ()()n n f x g x =，当1x ≠时，()()n n f x g x <，证明见解析． 【解析】试题分析：（I ）先利用零点定理可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点，进而利用n x 是()F n x 的零点可证11122n n n x x +=+；（II ）先设()()()n n h x f x g x =-，再对x 的取值范围进行讨论来判断()h x 与0的大小，进而可得()n f x 和()n g x 的大小．试题解析：（I ）2()()212,n n n F x f x x x x =-=+++-则(1)10,n F n =->1211111112()1220,12222212n nn n F +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x . 又1()120n n F x x nx -'=++>，故在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点n x . 因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n nx x +--=-，故111=+22n n n x x +.(II)解法一：由题设，()()11().2nnn x g x ++=设()()211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++->当1x =时, ()()n n f x g x = 当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx--+'=++-若01x <<,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-=若1x >,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'<++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x < 解法二 由题设，()()211()1,(),0.2nnn nn x f x x x x g x x ++=+++=> 当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <. 当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x x g x xx+++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=. 又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(x 0)k k k h x kx k x +=-++>，则()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减； 当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立.所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <.解法三:由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,k 1,2,, 1.n =+则111a b ==，11n n n a b x ++==，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =.当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=-- 而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥. 若01x <<, 11n k x -+<,()0k m x '<,当1x >,11n k x-+>,()0km x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=， 所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x < 考点：1、零点定理；2、利用导数研究函数的单调性.（四川）16.设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}na 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值. 【答案】（1）2n n a =；（2）10. 【解析】试题分析：（1）利用1n n n a S S -=-及题设可得n a 与1n a -的关系为12(1)n n a a n -=>，所以这是一个公比为2的等比数列.再利用123,1,a a a +成等差数列，可求得12a =，从而得通项公式.（2）由（1）得112n n a =，这仍然是一个等比数列，利用等比数列的前n 项和公式，可求得112n nT =-，代入1|1|1000n T -<，即可得使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值. 试题解析：（1）由已知12n n S a a =-，有1122(1)n n n n n a S S a a n --=-=->， 即12(1)n n a a n -=>. 从而21312,4a a a a ==.又因为123,1,a a a +成等差数列，即1322(1)a a a +=+. 所以11142(21)a a a +=+，解得12a =.所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列. 故2n n a =.考点：本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力.（天津）18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和. 【答案】(I) 1222,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数; (II) 1242n n n S -+=-.【解析】试题分析：(I)由()()()()34234534a a a a a a a a +-+=+-+得4253a a a a -=- 先求出q ，分n 为奇数与偶数讨论即可；(II)求出数列{}n b 的通项公式，用错位相减法求和即可.试题解析：(I) 由已知，有()()()()34234534a a a a a a a a +-+=+-+，即4253a a a a -=-，所以23(1)(1)a q a q -=-，又因为1q ≠，故322a a ==，由31a a q =，得2q =， 当21(*)n k n N =-∈时，1122122n k n k a a ---===，当2(*)n k n N =∈时，2222n kn k a a ===，所以{}n a 的通项公式为1222,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数考点：1.等差中项定义；2.等比数列及前n 项和公式.3.错位相减法. （浙江）20.（本题满分15分） 已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ） （1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）； （2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ,证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.考点：数列与不等式结合综合题.。