高二数学最新教案-空间向量 精品
高中数学空间向量的教案
高中数学空间向量的教案
教学目标：
1. 理解空间向量的概念和性质。
2. 掌握空间向量的加法、减法、数量积和向量积的计算方法。
3. 能够解决空间向量相关的实际问题。
教学重点：
1. 空间向量的概念和性质。
2. 空间向量的加法、减法、数量积和向量积的计算方法。
教学难点：
1. 空间向量的数量积和向量积的计算方法。
2. 解决空间向量相关的实际问题。
教学准备：
1. 讲义、PPT等教学材料。
2. 黑板、彩色粉笔。
3. 实物或图片展示空间向量的应用场景。
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过展示实物或图片，引入空间向量的概念，提出问题：“在三维空间中，我们如何表示和计算向量呢？”
二、讲解（15分钟）
1. 空间向量的概念和性质。
2. 空间向量的加法、减法的计算方法。
3. 空间向量的数量积和向量积的定义和计算方法。
三、练习（20分钟）
1. 向学生提供一些简单的空间向量计算题目，让学生独立或分组完成。
2. 指导学生解决一些较难的空间向量实际问题，引导学生思考向量在现实生活中的应用。
四、总结（5分钟）
通过与学生讨论和解答疑问，总结本节课的重点和难点，强化学生对空间向量的理解和掌握。
五、作业布置（5分钟）
布置相关的空间向量的练习题目，鼓励学生在课后继续复习和巩固所学知识。
六、反馈评估（10分钟）
收集学生在课堂上的表现和作业答案，及时对学生的理解和掌握情况进行评估和反馈，为下一节课的教学做好准备。
1.4 空间向量的应用(教案)-2022-2023学年高二数学教材配套教案(人教A版2019选择性必
1.4 空间向量的应用（教案）-2022-2023学年高二数学教材配套教案（人教A版2019选择性必修第一册）【教学目标】1.理解空间向量的加、减、数乘及点积的定义和运算法则；2.掌握使用坐标法求解空间向量的相关问题；3.能够应用空间向量解决立体几何中的实际问题。
【教学内容分析和设计】一、概念和性质1.向量的基本概念及向量的相等和共线2.向量的加、减、数乘及点积的定义和运算法则；3.向量的模长、单位向量、方向余弦、共面、垂直、夹角等相关概念。
二、坐标法1.空间直角坐标系及三维空间中向量的坐标表示；2.向量的加、减、数乘及点积的坐标表示；3.坐标法求解向量的模长、方向余弦、共面、垂直、夹角等相关问题。
三、应用实例1.以向量为工具，解决平面或空间几何中的相关问题；2.以向量为工具，解决机器人运动的问题；3.以向量为工具，理解矢量力在立体图形中的应用。
【课时安排】本次教学安排5课时。
【教学步骤设计】一、由图至式，引入空间向量的定义及基本概念。
1.结合实际，引导学生发现向量的概念，并介绍向量的基本性质；2.引导学生掌握向量的相等、共线的判定方法。
二、向量的表示及运算法则3.引导学生理解向量的加、减、数乘及点积，并讲解相应的运算法则；4.以包括网格点的三维空间相互平移, 介绍向量的模长、单位向量、方向余弦及夹角等相关概念；5.练习向量的加、减、数乘及点积的计算。
三、空间向量的坐标表示6.介绍空间直角坐标系，并讲解向量的坐标表示及相应的运算法则；7.练习空间向量的坐标表示及计算。
四、应用实例8.引导学生理解向量的应用，解决平面或空间几何中的相关问题；9.引导学生掌握向量在机器人运动中的应用；10.以矢量力为例，引导学生理解其在立体图形中的应用。
五、课后作业11.引导学生进一步练习空间向量相关知识的应用，并完成相关课后作业题目。
【教学重点和难点】教学重点：掌握向量加、减、数乘、点积的定义和运算法则，掌握向量的坐标表示及应用。
高中数学空间向量教案设计
高中数学空间向量教案设计
学科：数学
课题：空间向量
年级：高中
课时数：2课时
教学目标：
1. 理解空间向量及其表示方法；
2. 掌握空间向量的加法、减法和数量乘法运算；
3. 掌握向量共线、平行、垂直的判定方法；
4. 能够解决与空间向量相关的实际问题。
教学重点：
1. 空间向量的表示方法；
2. 空间向量的运算法则；
3. 向量共线、平行、垂直的判定方法；
教学难点：
1. 空间向量的几何意义；
2. 向量判定问题的解题方法。
教学准备：
1. 教师：熟悉空间向量的概念及运算法则；
2. 学生：准备好纸笔，能够积极参与课堂讨论。
教学过程：
第一课时：
1. 导入：通过一个实际生活中的例子引入向量的概念，让学生了解向量的基本含义。
2. 概念讲解：介绍空间向量的概念及表示方法，让学生理解向量的几何意义。
3. 运算法则：讲解空间向量的加法、减法和数量乘法运算法则，并进行简单练习。
4. 练习：让学生通过练习掌握向量的基本运算方法。
第二课时：
1. 复习：回顾空间向量的表示方法和运算法则。
2. 判定问题：讲解向量共线、平行、垂直的判定方法，让学生掌握判定问题的解题思路。
3. 实际问题：通过实际生活中的问题引导学生运用向量的知识解决问题。
4. 总结：对本节课的内容进行总结，强化学生对空间向量的理解。
教学反思：
通过本节课的教学，学生能够对空间向量有个初步的了解，并能够应用向量的运算法则解决简单的问题。
同时，学生还需要在后续的学习中不断深化对空间向量的理解，提高解题能力。
高三数学下册《空间向量》教案、教学设计
接着，展示一个地球仪，提出另一个问题：“地球上的物体受到的重力可以看作是一个向量，那么如何用空间向量表示这个重力呢？”让学生在思考中感受到空间向量的重要性。在此基础上，正式引入本节课的主题——空间向量。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重点
1.空间向量的基本概念及其坐标表示。
2.空间向量的线性运算、点积和叉积运算。
3.空间向量在解决空间几何问题中的应用。
4.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
（二）教学难点
1.空间向量与平面向量的区别和联系，帮助学生建立起空间向量的概念。
2.空间向量的坐标表示方法，特别是向量的线性运算在坐标形式下的表达。
3.学生对空间向量运算规律的掌握，尤其是点积和叉积的应用。
4.将空间向量应用于实际问题，提高学生学以致用的能力。
（三）教学设想
1.采用情境导入法，通过实际生活中的例子引入空间向量的概念，激发学生的兴趣和好奇心。
2.利用多媒体教学资源，如几何画板、实物模型等，帮助学生直观地理解空间向量的性质和运算。
3.设计具有梯度的问题和练习题，由浅入深地引导学生掌握空间向量的知识和方法，突破教学难点。
1.空间向量与平面向量的联系和区别是什么？
2.如何利用坐标表示空间向量，并进行线性运算？
3.点积和叉积在空间几何中有哪些应用？
讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入思考。讨论结束后，每组选取一名代表汇报讨论成果，分享小组的智慧。
空间向量高中数学教案
空间向量高中数学教案
一、教学目标：
1.认识空间向量的基本概念和性质；
2.掌握空间向量的表示方法和运算规律；
3.能够应用空间向量解决实际问题。
二、教学重点：
1.空间向量的定义和表示方法；
2.空间向量的加法和减法；
3.空间向量的数量积和夹角公式。
三、教学内容：
1.空间向量的概念和表示方法：
（1）空间向量的定义；
（2）空间向量的表示方法：坐标表示、分量表示；
2.空间向量的加法和减法：
（1）向量的加法和减法规律；
（2）向量相等的条件；
3.空间向量的数量积和夹角公式：
（1）向量的数量积定义和性质；
（2）向量夹角的余弦公式。
四、教学过程：
1.导入：通过一个实际问题引入空间向量的概念；
2.讲解：讲解空间向量的定义、表示方法、运算规律和性质；
3.练习：让学生进行一些空间向量的计算练习；
4.拓展：引导学生应用空间向量解决实际问题；
5.总结：对本节课所学内容进行总结回顾。
五、课后作业：
1.完成课上未完成的练习题；
2.阅读相关教材知识，做一些拓展练习；
3.思考并总结今天所学内容，准备下节课的复习。
六、教学反思：
通过本节课的教学设计，学生能够掌握空间向量的基本概念和运算方法，锻炼学生的空间思维能力，提高解决问题的能力。
在教学过程中要注重引导学生主动思考和探究，激发学生学习的兴趣和积极性。
2025高二上数学专题第1讲 空间向量及其运算(解析版)
第1讲空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。
2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。
3.掌握空间向量的线性运算。
4.掌握空间向量的数量积。
知识梳理1.空间向量的概念与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，空间向量用字母a,b,c ...表示.2.几个常见的向量零向量长度为0的向量叫做零向量单位向量模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记做-a 共线向量如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量。
我们规定：零向量与任意向量平行.相等向量方向相同且模相等的向量叫做相等向量3.向量的线性运算交换律：+=+a b b a ；结合律：()();()()λμλμ+=+=a b +c a +b c a a ；分配律：();()λμλμλλλ+=++=+a a a a b a b .4.共面向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量.5.空间向量的数量积||||cos ,⋅=<>a b a b a b 零向量与任意向量的数量积为0.2025高二上数学专题第1讲 空间向量及其运算（解析版）名师导学知识点1空间向量的有关概念【例1-1】（咸阳期末）已知是空间的一个单位向量，则的相反向量的模为A.1B.2C.3D.4【变式训练1-1】（龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有A.1个B.2个C.3个D.4个知识点2空间向量的线性运算【例2-1】（泰安期末）如图所示，在长方体中，O为AC的中点．化简：________；用，，表示，则________．【例2-2】（河西区期末）在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.C. D.【变式训练2-1】（东湖区校级一模）在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则A. B. C. D.【变式训练2-2】（随州期末）如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．；．知识点3共面向量【例3-1】（珠海期末）已知A，B，C三点不共线，点M满足．，，三个向量是否共面点M是否在平面ABC内【变式训练3-1】（日照期末）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：向量，，共面．知识点4空间向量的数量积【例4-1】（溧阳市期末）已知长方体中，，，E为侧面的中心，F为的中点试计算：．【变式训练4-1】（兴庆区校级期末）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：．名师导练A 组-[应知应会]1.（台江区校级期末）长方体中，若，，，则等于A. B.C. D.2.（秦皇岛期末）若空间四边形OABC 的四个面均为等边三角形，则的值为A. B. C. D.03.（定远县期末）给出下列几个命题：向量，，共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若，则存在唯一的实数，使．其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.34.（葫芦岛期末）在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是A.； B.；C. D.5.（多选）（点军区校级月考）已知1111ABCD A B C D -为正方体，下列说法中正确的是()A ．221111111()3()A A A D A B A B ++= B ．1111()0AC A B A A -= C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是60︒D ．正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD 6.（都匀市校级期中）空间的任意三个向量，，，它们一定是________向量填“共面”或“不共面”．7.（池州模拟）给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量，，满足，则；在正方体中，必有；若空间向量，，满足，，则．其中不正确的命题的序号为________．8．（未央区校级期末）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++ ，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t =．9．（天津期末）在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC 的值为．10.（三明期中）如图所示，在正六棱柱中化简，并在图中标出表示化简结果的向量化简，并在图中标出表示化简结果的向量．11.（都匀市校级期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD 为平行四边形，，，底面求证：．12．（西夏区校级月考）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别在1B B 和1D D 上，且11||||3BE BB =，12||||3DF DD =（1）求证：A 、E 、1C 、F 四点共面；（2）若1EF xAB y AD z AA =++ ，求x y z ++的值．B 组-[素养提升]1.（多选）（三明期中）定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗ ，b > ，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A ．a b b a =⊗⊗B ．()()a b a b λλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗ D ．若1(a x = ，1)y ，2(b x = ，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗第1讲空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。
高二数学教案：9.5空间向量及其运算(三)
第1页 共4页课 题：9．5空间向量及其运算(三)教学目的：⒈了解空间向量基本定理及其推论；⒉理解空间向量的基底、基向量的概念．理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表出⒊学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、变化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论） 教学难点：空间作图． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a AB OA OB +=+=;b a OB OA BA -=-=;)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .要注意其中对向量a的非零要求．5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同第2页 共4页一直线，也可能是平行直线．6． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量.空间直线的向量参数表示式：t +=a或)(t -+=t t +-=)1(，中点公式．)(21OB OA OP+=7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ ①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ ②或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++= ③ 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式二、讲解新课：1 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++证明：（存在性）设,,a b c 不共面，过点O 作,,,OA a OB b OC c OP p ====； 过点P 作直线PP '平行于OC ，交平面OAB 于点P '； 在平面OAB 内，过点P '作直线//,//P A OB P B OA ''''，第3页 共4页分别与直线,OA OB 相交于点,A B ''，于是，存在三个实数,,x y z ，使OA xOA xa '==，OB yOB yb '==，OC zOC zc '==，∴OP OA OB OC xOA yOB zOC '''=++=++ 所以p xa yb zc =++（唯一性）假设还存在,,x y z '''使p x a y b z c '''=++ ∴xayb zc ++x a y b z c '''=++ ∴()()()0x x a y y b z z c '''-+-+-= 不妨设x x '≠即0x x '-≠ ∴y y z z a b c x x x x''--=⋅+⋅''-- ∴,,a b c 共面此与已知矛盾 ∴该表达式唯一 综上两方面，原命题成立由此定理，若三向量,,a b c 不共面，则所有空间向量所组成的集合是{|,,,}p p xa yb zc x R y R z R =++∈∈∈，这个集合可以看作由向量,,a b c 生成的，所以我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，可以知道，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB =++三、讲解范例：例1 已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC 表示向量解：OG OM MG =+23OM MN =+12()23OA ON OM =+-1211[()]2322OA OB OC OA =++-111()233OA OB OC OA =++-111633OA OB OC =++ ∴OB OA OG 313161++= 例2如图，在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，,,E F G 分别是,,A D D D D C '''''的中点，请选择恰当的基底向量证明：（1）//EG ACA BCOM NG第4页 共4页（2）平面//EFG AB C '平面证明：取基底：',,AA AB AD , （1）∵11''22EG ED D G AD AB =+=+， 2AC AB AD EG =+= ， ∴//EG AC（2）∵11'''22FG FD D G AA AB =+=+，''2AB AB AA FG =+= ∴//'FG AB ， 由（1） //EG AC ，∴平面//EFG AB C '平面四、课堂练习：课本32P 练习1－5五、小结 ：空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了以“项”.证明的思路、步骤也基本相同．空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备． 六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。
高中数学空间向量教案模板
课时安排：2课时教学目标：1. 知识与技能：（1）理解空间向量的概念及其几何意义；（2）掌握空间向量运算的基本法则，包括加法、减法、数乘等；（3）了解共线向量、共面向量的性质及运算。
2. 过程与方法：（1）通过实际问题引入空间向量的概念，培养学生抽象思维能力；（2）通过实例讲解和练习，使学生掌握空间向量运算的方法；（3）引导学生运用空间向量解决实际问题，提高学生解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学学习的兴趣和自信心；（2）使学生认识到空间向量在解决实际问题中的重要性；（3）培养学生的合作意识和团队精神。
教学重点：1. 空间向量的概念及其几何意义；2. 空间向量运算的基本法则。
教学难点：1. 空间向量运算的灵活运用；2. 空间向量在解决实际问题中的应用。
教学准备：1. 多媒体课件；2. 教学实物（如直尺、三角板等）；3. 练习题。
教学过程：第一课时一、导入1. 提出问题：在现实生活中，我们如何描述物体的运动和位置？2. 引入空间向量的概念，解释其几何意义。
二、新课讲授1. 空间向量的定义：具有大小和方向的量叫做空间向量。
2. 空间向量的表示方法：用有向线段表示。
3. 空间向量的运算：（1）加法：将两个空间向量首尾相接，形成平行四边形，对角线即为它们的和。
（2）减法：将减数向量的方向相反，与被减向量进行加法运算。
（3）数乘：将向量与实数相乘，改变向量的大小。
三、实例讲解1. 讲解空间向量运算的基本法则；2. 通过实例演示空间向量运算的应用。
四、课堂练习1. 学生独立完成课堂练习题，巩固所学知识；2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
第二课时一、复习导入1. 回顾空间向量的概念和运算；2. 提出问题：如何判断两个向量是否共线？二、新课讲授1. 共线向量的定义：共线向量是指空间中具有相同方向或相反方向的向量。
2. 共线向量的性质：（1）共线向量与数乘向量；（2）共线向量与平面向量；（3）共线向量与空间向量。
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空间向量
一、空间向量及其运算
1
(1)
(2)向量的表示 (3)特殊的向量：零向量a 单位向量0a
(4)相等的向量 (5)平行向量(共线向量) (6)平行四边形法则 三角形法则
2．共线向量(或平行向量) 共线向量定理:a
＝λb .
推论:P,A,B 三点共线则:OB y x += ( x+y=1 )
3．向量与平面平行： //a α 共面向量 (空间任意的两向量都是共面的共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa =+
推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使
MP x MA y MB
=+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ 例1、已知两个非零向量21,e e 不共线，如果21AB e e =+，2128AC e e =+，
2133AD e e =-，求证：,,,A B C D 共面
证明：∵21AB e e =+，2128AC e e =+，2133AD e e =-， ∴2133AD e e =-215()e e =+21(28)e e -+5AB =AC - ∴,,,A B C D 共面
例2、已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++，0a ≠，若//a b ，求实数,x y 的
值
解：∵//a b ∴324[(1)82]m n p x m n yp λ--=+++ ∴(1)3,82,24x y λλλ+==-=- ∴13,8x y =-=.
4．空间向量基本定理 基底， 基向量，（三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底）
空间向量的夹角及其表示 规定:0,a b π≤<>≤，
6．向量的数量积： a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．
7．数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅．
例3、如图，在空间四边形OABC 中，
8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=
，60OAB ∠=，求OA 与BC 的夹角的
余弦值
解：∵BC AC AB =-， ∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅
||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<> 84cos13586cos12024162=⨯⨯-⨯⨯=
-
∴243cos ,855|
|||
OA BC OA BC OA BC ⋅--<>=
==
⨯⋅， 所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为
35
- 例4、已知S 是边长为1的正三角形所在平面外一点，且1SA SB SC ===，,M N 分别是AB ，SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值
解：设SA a =，SB b =，SC c =，∴1
2
a b b c a c ⋅=⋅=⋅=，
∵1()()2SM BN SA SB SN SB ⋅=+⋅-11
()()22
a b c b =+⋅-
2111
()222a c a b b c b =⋅-⋅+⋅-
1111111(1)2222222
=⨯-+⨯-=- ∴12cos ,3||||3SM BN SM BN SM BN -
⋅<>==
=-⋅， 例5、如图，长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，E 为11AC 与11B D 的交点，
F 为1BC 与1B C 的交点，又AF BE ⊥，求：长方体的高1BB ． 解：∵AF BE ⊥，∴11()()AF BE AB BF BB B E ⋅=+⋅+
1111
[()][()]022
AB BC BB BB BC AB
=++⋅+-=
1
A
∴
111
(2)(2)04
AB BC BB BB BC AB ++⋅+-= ∴22212||||2||0AB BC BB -++=，∴21||8BB =
，所以，所求高1BB =
例6、在空间四边形ABCD 中,
⊥=-:,求证 练习:
1.已知平行四边形ABCD 中,AB=AC=1,,900=∠ACD 将它沿对角线AC 折起,使AB 和CD 所在直线成600
角,求此时B,D 两点的距离 . (2或2)
二、空间向量的直角坐标及其运算
1． 单位正交基底，用{,,}i j k 表示 2.空间直角坐标系中的坐标 3．空间向量的直角坐标运算律： （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，
则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，
123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++，
112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈ 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=． （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则212121(,,)AB x x y y z z =---． 1 模长公式：
若123(,,)a a a a =，则2||a a a a =⋅=+，．
2．夹角公式：2
cos ||||a b
a b a b a ⋅⋅=
=⋅+．
3．两点间的距离公式：,A B d
=
例1、已知三角形的顶点是(1,1,1)A -，(2,1,1)B -，(1,1,2)C ---，试求这个三角形的面积
解：1||||sin 22
ABC S AB AC A ∆=
⋅⋅=． 例2、已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果(2,1,4)AB =-，
(4,2,0)AD =，(1,2,AP =--
求证：AP 是平面ABCD 的法向量；
证明：∵(1,2,1)(2,1,4)0AP AB ⋅=--⋅--=，(1,2,1)(4,2,0)0AP AD ⋅=--⋅=， ∴AP AB ⊥，AP AD ⊥，又AB AD A =，AP ⊥平面ABCD ，
∴AP 是平面ABCD 的法向量．。