高一数学教材习题变式训练(数列)

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高一必修数列测试题及答案详解高一数学

高一必修数列测试题及答案详解高一数学一、填空题1. 若\[a_n = 2n - 1\]，则数列\[\{a_n\}\]的前5项分别为\[1, 3, 5, 7, 9\]。

2. 若\[b_n = 3^n\]，则数列\[\{b_n\}\]的前4项分别为\[3, 9, 27, 81\]。

3. 若\[c_n = \frac{n(n+1)}{2}\]，则数列\[\{c_n\}\]的前6项分别为\[1, 3, 6, 10, 15, 21\]。

二、选择题1. 以下是等差数列的是（B）。

A. 1, 2, 4, 7, 11B. 2, 4, 8, 16, 32C. 1, 3, 6, 10, 15D. 3, 8, 15, 24, 352. 若\[a_1=2\]，\[a_2=5\]，则\[a_3=8\)，\[a_4=11\)，则$a_n$的通项公式是（C）。

A. $a_n=2n+1$B. $a_n=3n-1$C. $a_n=3n-1$D. $a_n=2n+4$3. 若对于等差数列$\{a_n\}$有$\frac{{a_5 - a_2}}{7}=3$，则$d=$（A）。

A. 1B. 2C. 3D. 4三、解答题1. 求等差数列$\{a_n\}$的前5项之和，已知$a_1=1$，$a_3=7$。

（解答略）2. 若等差数列$\{a_n\}$的首项为-3，公差为4，求该数列的第n项和。

${S_n}=$（解答略）3. 若等差数列$\{a_n\}$的首项为2，公差为3，已知$\frac{{a_m+a_n}}{2}=13$，求$m$与$n$的值。

（解答略）四、解题思路详解1. 填空题1解析：根据数列通项公式\[a_n = 2n - 1\]，带入\[n=1,2,3,4,5\]，即可得到\[a_n\]的前5项。

2. 填空题2解析：根据数列通项公式\[b_n=3^n\]，带入\[n=1,2,3,4\]，即可得到\[b_n\]的前4项。

(完整word版)高一数学数列部分经典习题及答案

.数列一．数列的概念：（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）；（2）数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为__（答：n a <1+n a ）；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n +++Λ21 *n N ∈为通项公式的数列{}nb 为等差数列。

2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：833d <≤） 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，求1a ，n （答：13a =-，10n =）；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：2*2*12(6,)1272(6,)n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩）. 三．等差数列的性质：1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。

高一数学数列练习题及答案

高一数学数列练习题及答案一、选择题1. 设数列 {an} 为等差数列，已知 a1 = 3，d = 2，求 a4 的值。

A. 4B. 5C. 6D. 72. 若数列 {bn} 的前 n 项和为 Sn = 2n^2 + 3n，求 b1 的值。

A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知数列 {cn} 为等差数列，前 n 项和为 Sn = 3n^2 + n，求通项c3 的值。

A. 4B. 5C. 6D. 74. 数列 {dn} 的通项公式为 an = 2n^3，求第 5 项的值。

A. 200B. 250C. 300D. 3505. 若数列 {en} 的前 n 项和为 Sn = n(5n + 1)，求 e1 的值。

A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题1. 设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn = 3n^2 + 4n，其中 a1 = 2，则 a2 的值为 ________。

2. 已知等差数列 {bn} 的前 n 项和为 Sn = n^2 + 3n，其中 b2 = 7，则b1 的值为 ________。

3. 若数列 {cn} 的通项公式为 cn = 2n^2 + n，则第 4 项的值为________。

4. 设数列 {dn} 的前 n 项和为 Sn = 4n + 5n^2，则 d1 的值为________。

5. 已知数列 {en} 的前 n 项和为 Sn = 2n(3n + 1)，其中 e3 = 28，则e1 的值为 ________。

三、解答题1. 设等差数列 {an} 前 n 项和为 Sn，已知 a1 = 3，an = 7，求 n 的值及 Sn 的表达式。

2. 设等差数列 {bn} 前 n 项和为 Sn，已知 b1 = 1，d = 5，求 n 的值及 Sn 的表达式。

3. 已知等差数列 {cn} 的通项公式为 cn = an - 2n，前 n 项和为 Sn = 3n^2 + 2n，求 a1 的值。

人教版高中数学必修5《数列》练习题(有答案)

②指出 S1， S2，， S12 中哪一个值最大，并说明理由．解：① S12 6(a1 a12 ) 6(a3 a10 ) 6(2 a3 7 d ) 0
24 7d 0 24 8d 0
d
24
又 S13 13( a1 a13 )
13
Hale Waihona Puke 13(a3 a11)(2 a3 8d ) 0
7
2
2
2
d3
从而 24 d 3 7
三、等比数列
知识要点
1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做
等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为
q，q 0 ．
2. 递推关系与通项公式
递推关系： an 1 qan 通项公式： an a1 q n 1 推广： an am q n m
3. 等比中项：若三个数 a, b,c 成等比数列，则称 b 为 a 与 c 的等比中项，且 b
故第二次相遇是在开始运动后 15 分钟
28(舍去）
1 10．已知数列 an 中， a1 3，前 n 和 Sn (n 1)( an 1) 1．
2
①求证：数列 an 是等差数列；
②求数列 an 的通项公式；
③设数列
1 的前 n 项和为 Tn ，是否存在实数 M ，使得 Tn
an an 1
M 对一切正整数 n 都成立 ?
② Q S12 6( a6 a7) 0 S13 13a7 0 a7 0， a6 0
S6 最大。
1．已知等差数列 an 中， a7 a9 16， a 4 1，则 a12 等于 ( )
A ． 15
B． 30
C． 31
D ． 64

(word版)高一数学数列部分经典习题及答案

..数列一．数列的概念：〔1〕a n n2n(n*)，那么在数列{a n}的最大项为__〔答：1〕；156N25〔2〕数列{a n}的通项为a n an ，其中a,b均为正数，那么a n与a n1的大小关系为__〔答：an a n1〕；bn1〔3〕数列{a n}中，a n n2n，且{a n}是递增数列，求实数的取值范围〔答：3〕；二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法a n1a n d(d为常数〕或a n1a n a n a n1(n2)。

设{a n}是等差数列，求证：以b n=a1a2n a n nN*为通项公式的数列{b n}为等差数列。

2．等差数列的通项：a n a1(n1)d或a n a m(n m)d。

(1)等差数列{a n}中，a1030，a2050，那么通项a n〔答：2n10〕；〔2〕首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，那么公差的取值范围是______〔答：8d3〕33．等差数列的前n和：S n n(a1a n)，Sn na1n(n1)d。

22〔1〕数列{a n}中，a n a n11(n2,n N*)，a n3，前n项和S n15，求a1，n〔答：a13，n10〕；222〔2〕数列{a n}的前n项和S n12n2{|a n|}的前n项和T n〔答：T n12n n2(n6,n N*)〕. n，求数列n212n72(n6,n N*)三．等差数列的性质：1．当公差d0时，等差数列的通项公式a n a1(n1)d dna1d是关于n的一次函数，且率为公差d；前n和S n na1n(n1)d d n2(a1d)n是关于n的二次函数且常数项为0 .2222．假设公差d0，那么为递增等差数列，假设公差d0，那么为递减等差数列，假设公差d0，那么为常数列。

3．当mn p q时,那么有a m a n a pa q，特别地，当m n2p时，那么有a m a n2a p.〔1〕等差数列{a n}中，S n18,a n a n1a n23,S31，那么n＝____〔答：27〕〔2〕在等差数列a n中，a100,a110，且a11|a10|，Sn是其前n项和，那么..A、S1,S2L S10都小于0，S11,S12L都大于0B、S1,S2L S19都小于0，S20,S21L都大于0C、S1,S2L S5都小于0，S6,S7L都大于0D、S1,S2L S20都小于0，S21,S22L都大于0〔答：B〕4．假设{a n}、{b n}是等差数列，{ka n}、{ka n pb n}(k、p是非零常数)、{a pnq}(p,q N*)、S n,S2n S n,S3n S2n，⋯也成等差数列，而{a a n}成等比数列；假设{a n}是等比数列，且a n0，{lg a n}是等差数列.等差数列的前n和25，前2n和100，它的前3n和。

高一数学必修一数列练习题含答案

高一数学必修一数列练习题含答案这里提供高一数学必修一数列的练题，供同学们练和复使用，每个题目均附有答案。

填空题1. 已知数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=2n^2-n$，则$a_3+a_5=$ _________。

解：由已知可得 $S_3=a_1+a_2+a_3=2\cdot 3^2-3=15$，$S_5=a_1+a_2+\cdots+a_5=2\cdot 5^2-5=45$，故 $a_3+a_5=(S_3-S2)+(S_5-S_4)=15+15=30$。

2. 已知数列 $\{a_n\}$ 的通项公式 $a_n=2^n-3\times 2^{n-1}$，则 $a_{25}-a_{24}=$ _________。

解：$a_{25}-a_{24}=2^{25}-3\times 2^{24}-[2^{24}-3\times2^{23}]=2^{25}-2\times 2^{24}+3\times2^{23}=2^{23}+3\times 2^{23}=8\times 2^{23}$。

计算题1. 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的第 $1$ 项为 $2$，公差为 $3$，求第 $10$ 项。

解：$a_{10}=a_1+9d=2+9\times 3=29$。

2. 已知等比数列 $\{a_n\}$ 的第 $1$ 项为 $2$，公比为 $3$，求前 $5$ 项的和。

解：$\sum_{i=1}^5 a_i=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{2(1-3^5)}{1-3}=\frac{242}{3}$。

应用题1. 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，$a_n=a_{n-1}+\frac{2}{a_{n-1}}$，求 $a_4$ 的值。

解：$a_2=1+\frac{2}{1}=3$，$a_3=3+\frac{2}{3}=\frac{11}{3}$，$a_4=\frac{11}{3}+\frac{2}{\frac{11}{3}}=\frac{61}{18}$。

最新高一数学《数列》经典练习题-附答案

强力推荐人教版数学高中必修5习题第二章数列1. ｛a n｝是首项a1=1,公差为d= 3的等差数列，如果2 005，则序号n等于（）.A. 667B. 668C. 669D. 6702. 在各项都为正数的等比数列｛a n｝中，首项a i = 3,前三项和为21,则a3+ a4+ a5=（）.A . 33 B. 72 C. 84 D. 1893. 如果a1, a2,…，a8为各项都大于零的等差数列，公差0，则（）.A . a1a8> a4a5B . a1a8< a4a5C . a1 + a$v a4+ a5D . a1a8=a4a54. 已知方程（x2—2x+ m）（ x2—2x+ n）= 0的四个根组成一个首项为丄的等差数列，贝V4I m—n丨等于（）.3 1 3A . 1B .C .D . —4 2 85. 等比数列｛a n｝中，a2= 9, 243，则｛a.｝的前4项和为（）.A . 81 B. 120 C. 168 D. 1926 .若数列｛a n｝是等差数列，首项a1 > 0, a2 003+ a2 004 > 0, a2 003 • a2 004 < 0,则使前n项和S n > 0成立的最大自然数n是（）.A . 4 005B . 4 006C . 4 007D 4 0087.已知等差数列｛a n｝的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2_ ().A . —4B. —6 C . —8D. —10&设S n是等差数列｛ a n｝的前n项和，若a5_5，则S_ (). a39 S5A . 1B. —1 C . 2D129.已知数列一1,a1, a2, —4成等差数列, ——1, b1, b2, b3, 4成等比数列，贝U a2_a1的值是（)b2A . 1B. —1c 1十1C. — _ 或_D22 2 2410 .在等差数列{ a n}中，a n 0, a n-1—a：>+ a n+1 _0(n>2),若S2n-1_ 38,贝V n _ ().A . 38B . 20C . 10D9二、填空题11. 设f(x)= 一1一，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f( —5) + f( —4) +…+ f(0)+ •••+ f(5) + f(6)的值为______________________ .12. 已知等比数列｛a n｝中，(1) 若a3 •a4 •a5= 8,贝U a2 •a3 •__________________ a4 •a5 •a6= .(2) ____________________________________________________ 若a1+ a2= 324, a3+ a4= 36,贝H a5+ a6= ________________________________________________________________ .(3) _____________________________________________________ 若S4 = 2, S8= 6，贝U a仃+ a18+ a19 + a20= __________________________________________________________________ .13. 在8和27之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为3 214. __________________________________________________________________________ 在等差数列｛ a n｝中，3( a3 + a5)+ 2( a?+ ae+ a13)= 24，则此数列前13项之和为__________________________ .15. 在等差数列｛ a n｝中，a5= 3,比=—2,贝V a4 + a5+ …+ ae= _________________ .16. 设平面内有n条直线(n>3),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点. 若用f( n)表示这n条直线交点的个数，则f(4) = ____________ ;当n > 4时，f( n) = ________ .三、解答题17. (1)已知数列｛a n｝的前n项和S n= 3n2—2n,求证数列｛a*｝成等差数列.(2)已知1, 1 , 1成等差数列，求证丄上, 口 ,邑辿也成等差数列.a b c a b c18. 设｛a n｝是公比为q的等比数列，且a1, a3, a2成等差数列.(1) 求q的值；(2) 设｛b n｝是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n,当n》2时，比较S n与b n的大小，并说明理由.n + 219. ------------------------------------------------------------------------------- 数列｛a n｝的前n项和记为S n,已知a i= 1, a n+i= ------------------------------------------------------------ S n(n= 1, 2, 3…).n求证：数列｛ §｝是等比数列.n第二章数列参考答案一、选择题1. C解析：由题设，代入通项公式a n= a1+ (n —1)d，即2 005 = 1 + 3(n—1),二n = 699.2. C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力.设等比数列｛ a n｝的公比为q(q>0)，由题意得a1+ a2+ a3 = 21,即a1( 1 + q+ q2) = 21,又a1= 3, — 1 + q + q?= 7.解得q= 2或q=—3(不合题意，舍去)，2 2 2a3+ a4+ a5 = a〔q (1 + q + q ) = 3 x 2 x 7 = 84.3. B.> 0,解析：由a i + a 8= a 4+ a 5,「・排除C . 又 a 1 • a 8= a 1(a 1+ 7d) = a 12+ 7a 1d ,22••• a 4 • a 5= (a i + 3d)( a i + 4d) = a i + 7a i d + 12d > a i • a &. 4. C 解析：解法 1:设 a 1= 1, a 2= — + d , a 3= — + 2d , a 4=丄 + 3d ，而方程 x 2 — 2x + m = 0 中两根之和为 2, x 2—4 4 4 42x + n = 0中两根之和也为2,•• a i + a ?+ 83+ a 4 = 1+ 6d = 4, d = 1 ,a 1=丄，a4 =-是一个方程的两个根，a 1= 3 , a 3= 5是另一个方程的两个根 2444 4715 分别为 m或 n ,16 16I m — n I =1 故选 C .2解法 2：设方程的四个根为 x 1, x 2, x 3, x 4,且 x 1+ x 2= x 3+ x 4= 2, x 1 • x 2= m , x 3 • x 4= n .•• m , n16 161• I m — n | = _ .2 5. B解析：T a 2= 9, a 5= 243,色5 = q 3= 243 = 27,a 2 9• q = 3, a 1q = 9, a 1 = 3,5••• S t =上工=迢° = 120.1— 3 26. B 解析：解法 1 :由 a ? 003 + a ? 004 > 0, a ? 003 • a ? 004 v 0，知 a ? 003 和 a ? 004 两项中有一正数一负数，又 a 〔> 0,则公差为负数，否则各项总为正数，故a 2 003 > a 2 004, 即卩 a 2 003 > 0, a 2 004< 0.由等差数列的性质：若+ s = p + q ,则a + a s = a p + a q ,右设X 1为第一项，X 2必为第四项，则 X 2= -，于4是可得等差数列为1 , 35 7 4 4 447 15精品文档> 0,• S 4 006 =4 006(a1+ a4 006) 4 0°q a 2 003+ a 2 004)精品文档故4 006为S n > 0的最大自然数•选B .32 003 > 0 , a 2 004< 0 ,S 2 003为S n 中的最大值.••• Sn 是关于n 的二次函数，如草图所示，••• 2 003到对称轴的距离比 2 004到对称轴的距离小, ••• 4凹在对称轴的右侧.2根据已知条件及图象的对称性可得 4 006在图象中右侧 4 007, 4 008都在其右侧，S n > 0的最大自然数是 4 006.7. B解析：T {a n }是等差数列，• a 3= a 1+ 4, a 4= a 1+ 6, 又由a i , a 3, a 4成等比数列，• ( a i + 4)2 = a i (a i + 6)，解得 a i =— 8, •- a ?= — 8+ 2 = — 6. 8. A9(印 +aj解析：•••.§ = 2 == 9 • 5= i ,「.选 A . S s5(印 +a 5)5 a 35929. A解析：设d 和q 分别为公差和公比，则— 4=— i + 3d 且—4 = ( — i)q 4,• d =— i , q 2= 2, .a ? p _ d _ i ■ • ---- ------2 ・6 -q210. C解析:T {a n }为等差数列，• a 2 - a n -1+ %+1,二 a ； = 2a n , 又a n * 0,二a n = 2, {an }为常数数列,而 a n =能 1，即 2n — 1 - 38 - 19,2n —1 2 •- n — 10.S 4 007 = 4 0072(a i + a 4 007)=4 007 22a 2 004< 0,解法 2：由 ai > 0, a 2 003 + a2 004> 0,a2 003 • a 2 004<,解法1的分析得零点B 的左侧,精品文档i精品文档二、填空题 11. 3.、2 .• f( 1 - x) = _______21— .2 2x ____________ 2 2 2x、、2 2x '解析:T f(x)=2x 「21 • f( x) + f( 1 - x)=+ ”1 y’ 三2 2x . 2 2x、2 2x2 2x2设 S = f( - 5) + f( — 4) +…+ f(0) +…+ f( 5) + f(6), 则 S = f(6) + f( 5) +…+ f(0) +…+ f( - 4) + f( - 5),••• 2S = [f(6) + f( - 5)] + [f( 5) + f( - 4)] +•••+ [f( - 5) + f(6)] = 6 ... 2 , • S = f( - 5) + f( - 4) +…+ f(0) +…+ f( 5) + f(6) = 3 ... 2 12. (1) 32; (2) 4; (3) 32. 解析：(1 )由 a 3 • a 5= a ：，得 a 4= 2,.5--a 2 • a 3 • a 4 • a 5 • a 6 = a 4 = 32.(2)a +a 2 =32421〔(a *2)q 2 =36二 q =94• a 5+ a 6= (a 1 + a 2)q = 4.(3) Ja r + a ?+ 83+ 84^2 _ 4 o 4= q =2，S 8= a-i + a 2 + + a 8= S 4+ S 4q• a 仃 + a 18 + a 19 + a 20 = S 4q 16= 32. 13. 216.解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与-,空同号，由3 2等比中项的中间数为 8 27 = 6, 插入的三个数之积为 -X 27 X 6= 216.V3 2 3 2 14. 26.解析：T a 3+a 5= 2a 4 , a 7+a 13= 2a 10,• 6( a 4 + a 1o ) = 24, a 4+ aw = 4,13 a汁％) 13(a4+ %) 13 4…S i3= = = ----- = 26.2 2 215. —49.解析：T d= a6—a5=—5,…84+ a§+…+ a〔o=A a4+ a10)2=T(a5 —d+ a§+ 5d)2=7( a5 + 2d)=—49.116. 5, -(n + 1)( n —2).2解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交, ••• f( k) = f(k—1) + (k—1).由f(3) = 2,f(4) = f(3) + 3= 2 + 3 = 5,f( 5) = f( 4) + 4= 2 + 3 + 4= 9,f(n)=f(n—1) + (n—1),相加得f(n) = 2+ 3+ 4+-+ (n—1) = 1( n+ 1)( n —2).2三、解答题17. 分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数.证明：(1) n = 1 时，a1= S1= 3 —2= 1,当n》2 时，a n= S n —S n-1 = 3n —2n —[ 3( n —1) —2(n —1)] = 6n —5,n= 1 时，亦满足，• a n= 6n —5(n € N* ).首项a1= 1, a n—a.-1 = 6n — 5 —[6( n—1) —5] = 6(常数)(n € N* ),•数列｛a n｝成等差数列且a1= 1，公差为6.(2 )••• 1, 1, 1成等差数列，a b c2 11— = — + —化简得2ac= b( a+ c).b a cb +c . a + b bc+ c—+ a—+ ab b(a + c) + a—+ c— (a+ c)—( a + c)—a+ c十= = = = =—•_a c ac ac ac... 叱,£十a , a十b也成等差数列.a b c18. 解：(1)由题设—a3= a—十a—, 即卩—a—q = a—+ a—q,2-a—工0,・・—q —q — 1 = 0,•••q = 1 或一丄.2(—)若q= 1，则S n= —n十一1)=『十空2 2当n》—时，S n- b n= S n-1=(“一1)( n十—)>0,故S n>g.22 若q=-丄，则S n= —n十12^2( - 1)= —n十9n.——— 4当n A —时，Sn- b n= Sn-1=(n-1)(10-n),4故对于n € N+，当—w n w 9 时，S n> b n;当n= 10 时，S n= b n;当n A 11 时，S n v b n.19.证明：T a n+1 S n+1 S n , a n+1S n,n• (n十—)S n= n( S n +1—S n)，整理得nS n+1 = —(n十1) S n,所以^十1= 门十1—S nn故｛〈｝是以—为公比的等比数列.n。

高中数学变式练习题及讲解

高中数学变式练习题及讲解### 高中数学变式练习题及讲解#### 练习题1：函数的性质题目：给定函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $，求该函数的最小值。

解答：首先，我们可以将函数 $ f(x) $ 进行配方，得到 $ f(x) = (x - 2)^2 - 1 $。

由于 $ (x - 2)^2 $ 总是非负的，所以 $ f(x) $ 的最小值出现在 $ (x - 2)^2 = 0 $ 时，即 $ x = 2 $。

此时，$ f(x) = -1 $。

因此，函数 $ f(x) $ 的最小值为 $ -1 $。

#### 练习题2：三角函数的恒等变换题目：证明 $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $。

解答：根据三角函数的倍角公式，我们知道 $ \sin(2x) = \sin(x + x) $。

根据正弦的和角公式，我们有 $ \sin(x + x) = \sin(x)\cos(x) +\cos(x)\sin(x) $。

将右边的两项合并，得到 $ \sin(2x) =2\sin(x)\cos(x) $，从而证明了该恒等式。

#### 练习题3：立体几何题目：一个正四面体的边长为 $ a $，求其体积。

解答：正四面体的体积 $ V $ 可以通过公式 $ V =\frac{\sqrt{2}}{12}a^3 $ 计算。

首先，我们需要计算正四面体的高。

正四面体的高可以通过勾股定理计算，设高为 $ h $，则 $ h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}a\right)^2} =\frac{\sqrt{6}}{3}a $。

然后，使用体积公式 $ V = \frac{1}{3} \times \text{底面积} \times \text{高} $，其中底面积为$ \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $，代入高 $ h $，得到 $ V =\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \times\frac{\sqrt{6}}{3}a = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3 $。

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数学教材习题变式训练（数列）一、有关通项问题1、利用11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项．（北师大版第20页习题5）数列{}n a 的前n 项和21n S n =+．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{}n a 是等差数列吗？（3）你能写出数列{}n a 的通项公式吗？变式题1、设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，求数列}{n a 的通项公式；解：（1）：当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 变式题2、数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．解：（I ）由a 1=1，113n n a S +=，n=1，2，3，……，得 211111333a S a ===，3212114()339a S a a ==+=，431231116()3327a S a a a ==++=，由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=（n ≥2），得143n n a a +=（n ≥2），又a 2=31，所以a n =214()33n -(n ≥2),∴ 数列{a n }的通项公式为21114()233n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪⎩≥变式题3、已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈，证明数列{}1n a +是等比数列．解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；2、解方程求通项：（北师大版第17页习题3）在等差数列{}n a 中，（1）已知812148,168,S S a d ==求和；（2）已知658810,5,a S a S ==求和；(3)已知3151740,a a S +=求.变式题1、{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 分析：本题考查等差数列的通项公式，运用公式直接求出. 解：1(1)13(1)2005n a a n d n =+-=+-=，解得669n =，选C点评：等差等比数列的通项公式和前n 项和的公式是数列中的基础知识，必须牢固掌握.而这些公式也可视作方程，利用方程思想解决问题. 3、待定系数求通项：写出下列数列{}n a 的前5项：（1）111,41(1).2n n a a a n -==+> 变式题1、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式；解：*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列． 12.n n a ∴+=即 *21().n n a n N =-∈ 4、由前几项猜想通项：（北师大版第8页习题1）根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.变式题1、如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ，（1）（4）（7）（）（）则6a = ；345991111a a a a +++⋅⋅⋅+＝.解：由图可得：22(1)n a n n n n n =+-=+，所以642a =；又211111(1)1n a n n n n n n ===-+++ 所以345991111a a a a +++⋅⋅⋅+=1111111197()()()3445991003100300-+-++-=-= 变式题2、（北师大版第9页习题2）观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（），其通项公式为 . A ．40个 B ．45个 C ．50个 D ．55个解：由题意可得：设{}n a 为n 条直线的交点个数，则21a =，1(1),(3)n n a a n n -=+-≥，因为11n n a a n --=-，由累加法可求得：(1)12(1)2n n n a n -=+++-=，所以10109452a ⨯==，选B.二、有关等差、等比数列性质问题1、（北师大版第31页习题3）一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为（）A ．83B ．108C ．75D ．63变式题1、一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为。

解：若数列{}n a 为等差数列，则232,,nn n n nS S S SS --等差数列，可得：48，12，3n S -60成等差数列，所以3n S =36. 变式题2、2条直线相交，最多有1个交点3条直线相交，最多有3个交点 4条直线相交，最多有6个交点等比数列{}n a 的各项为正数，且564718,a a a a +=3132310log log log a a a +++=则（）A ．12B ．10C ．8D ．2+3log 5解：因为564718,a a a a +=所以56471101102189a a a a a a a a +==⇒=，而3132log log a a ++5310312103110log log ()log ()10a a a a a a +===，所以选B.点评：高考试题的一个重要特点就是考查学生对问题敏锐的观察能力和迅速有效的思维能力，灵活运用数学知识和性质可提高我们的正确解题的速度. 因此，对相关知识的性质要深刻地理解和掌握并能灵活运用. 2、（北师大版第19页习题4）设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（） A ．1 B.2 C.4 D.8变式题1、在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项13a =，前三项和为21，则345a a a ++=（）（A ）33 （B ）72（C ）84（D ）189分析：本题主要是考查等比数列的基本概念和性质，可利用方程思想将等比数列问题转化为1a 和q 处理，也可利用等比数列的定义进行求解.解法一：设公比为q ，由题知，12111321a a a q a q =⎧⎨++=⎩得2q =或30q =-（舍去)，∴34584a a a ++=，故选C.解法二：由11233,21a a a a =++=得，2q =(30q =-舍去)，2345123()84a a a q a a a ++=++=.三、数列求和问题1、（北师大版第20页习题4）已知}{n a 是等差数列，其中131a =，公差8d =-。

（1）求数列}{n a 的通项公式，并作出它的图像；（2）数列}{n a 从哪一项开始小于0？（3）求数列}{n a 前n 项和的最大值，并求出对应n 的值．变式题1、已知}{n a 是各项不为零的等差数列，其中10a >，公差0d <，若100S =,求数列}{n a 前n 项和的最大值．解：110105610()5()02a a S a a +==+=，所以560,0a a ><，即数列}{n a 前5项和为最大值．变式题2、在等差数列}{n a 中，125a =，179S S =，求n S 的最大值．解法一：由179S S =，得：1792517(171)259(91)22d d ⨯+-=⨯+-，解得2d =-． 225(1)(2)(13)1692n nS n n n ∴=+--=--+．由二次函数的性质，当13n =时，n S 有最大值169．解法二：先求出2d =-，1250a =>，由1113252(1)0225201122n n n a n a n n +⎧≤⎪=--≥⎧⎪⇒⎨⎨=-≤⎩⎪≥⎪⎩，所以当13n =时，n S 有最大值169．解法三：由179S S =，得1011170a a a +++=，而101711161215a a a a a a +=+=+1314a a =+，故1314a a +＝0．1131420,0,0,0,d a a a =-<>∴><故当13n =时，n S 有最大值169．点评：解决等差数列前n 项和最值问题的方法通常有：①、利用二次函数求最值；②、利用通项公式n a 求n 使得10n n a a +⋅≤；③利用性质求出符号改变项． 2、求和：21123n n S x x nx -=++++变式题1、已知数列42n a n =-和124n n b -=，设nnn b a c =，求数列}{n c 的前n 项和n T ．解：1142(21)424n n nnn a n c n b ---===-，1211223113454(21)4,4143454(23)4(21)4n n n n nn T c c c n T n n --∴=+++=+⨯+⨯++-=⨯+⨯+⨯++-+-两式相减得].54)56[(91]54)56[(314)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T变式题2、设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==．（Ⅱ）1212n n n a n b --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++，① 3252321223222n n n n n S ----=+++++，② ②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++-，221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++-⎪⎝⎭ 111121222212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-．点评：错位相减法适用于通项公式形容{}n n b a 的数列，其中{n a }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列．变式题2．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为.分析：本题主要考查等比数列的求和公式，等差数列的概念运用，可直接求得.解：1(1)1n n a q S q -=-，122n n n S S S ++=+，则有12111(1)(1)(1)2111n n n a q a q a q q q q++---⋅=+---， 220q q ∴+-=，2q ∴=-.，若1q =，则1222(1)(2)23n n n S n S S n n n ++=≠+=+++=+。