郑州大学大三物理专业量子力学试卷及答案 (1)
量子力学基础试题及答案
量子力学基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，物质的波粒二象性是由哪位科学家提出的？A. 爱因斯坦B. 普朗克C. 德布罗意D. 海森堡答案：C2. 量子力学的基本原理之一是不确定性原理，该原理是由哪位科学家提出的？A. 玻尔B. 薛定谔C. 海森堡D. 狄拉克答案：C3. 量子力学中，描述粒子状态的数学对象是：A. 波函数B. 概率密度C. 动量D. 能量答案：A4. 量子力学中，哪个方程是描述粒子的波动性质的基本方程？A. 薛定谔方程B. 麦克斯韦方程C. 牛顿第二定律D. 相对论方程答案：A5. 量子力学中，哪个原理说明了粒子的波函数在测量后会坍缩到一个特定的状态？A. 叠加原理B. 波函数坍缩原理C. 不确定性原理D. 泡利不相容原理答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 在量子力学中，粒子的动量和位置不能同时被精确测量，这一现象被称为______。
答案：不确定性原理2. 量子力学中的波函数必须满足______条件，以确保物理量的概率解释是合理的。
答案：归一化3. 量子力学中的粒子状态可以用______来描述，它是一个复数函数。
答案：波函数4. 量子力学中的______方程是描述非相对论性粒子的波函数随时间演化的基本方程。
答案：薛定谔5. 量子力学中的______原理表明，不可能同时精确地知道粒子的位置和动量。
答案：不确定性三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学与经典力学的主要区别。
答案：量子力学与经典力学的主要区别在于，量子力学描述的是微观粒子的行为，它引入了波粒二象性、不确定性原理和量子叠加等概念，而经典力学主要描述宏观物体的运动，遵循牛顿力学的确定性规律。
2. 描述量子力学中的波函数坍缩现象。
答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当对一个量子系统进行测量时，系统的波函数会从一个叠加态突然转变到一个特定的本征态，这个过程是不可逆的，并且与测量过程有关。
量子力学导论考试题及答案
量子力学导论考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学中，波函数的模平方代表什么？A. 粒子的动量B. 粒子的位置C. 粒子的概率密度D. 粒子的能量2. 海森堡不确定性原理中，哪两个物理量不能同时准确测量？A. 位置和动量B. 能量和时间C. 电荷和质量D. 速度和加速度3. 薛定谔方程是量子力学的哪个基本方程？A. 描述粒子运动的方程B. 描述粒子能量的方程C. 描述粒子自旋的方程D. 描述粒子相互作用的方程4. 以下哪个不是量子力学中的守恒定律？A. 能量守恒B. 动量守恒C. 角动量守恒D. 电荷守恒5. 量子力学中的“量子”一词意味着什么？A. 一个基本粒子B. 一个基本的物理量C. 一个离散的量D. 一个连续的量6. 波粒二象性是量子力学中的一个基本概念，它指的是什么？A. 粒子同时具有波和粒子的特性B. 粒子只能表现为波或粒子C. 粒子在宏观尺度下表现为波，在微观尺度下表现为粒子D. 粒子在宏观尺度下表现为粒子，在微观尺度下表现为波7. 量子纠缠是什么现象？A. 两个或多个粒子之间存在一种特殊的相互作用B. 两个或多个粒子的波函数是相互独立的C. 两个或多个粒子的波函数是相互关联的D. 两个或多个粒子的动量是相互关联的8. 量子隧道效应是指什么？A. 粒子在没有足够能量的情况下也能通过势垒B. 粒子在有足够能量的情况下不能通过势垒C. 粒子在有足够能量的情况下更容易通过势垒D. 粒子在没有足够能量的情况下不能通过势垒9. 以下哪个实验验证了量子力学的波粒二象性？A. 光电效应实验B. 双缝实验C. 康普顿散射实验D. 光电效应实验和康普顿散射实验10. 量子力学中的“叠加态”指的是什么？A. 粒子同时处于多个状态B. 粒子只处于一个状态C. 粒子的状态是随机的D. 粒子的状态是确定的二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述量子力学中的波函数坍缩概念。
2. 解释什么是量子力学的测量问题。
《量子力学》基本概念考查题目以及答案
《量子力学》基本概念考查题目以及答案1. 量子力学中，粒子的状态由什么描述？A. 位置B. 动量C. 波函数D. 能量答案：C2. 海森堡不确定性原理表明了什么？A. 粒子的位置和动量可以同时准确知道B. 粒子的位置和动量不能同时准确知道C. 粒子的速度和动量可以同时准确知道D. 粒子的位置和能量可以同时准确知道答案：B3. 量子纠缠是指什么？A. 两个粒子之间的经典相互作用B. 两个粒子之间的量子相互作用C. 两个粒子的量子态不能独立于彼此描述D. 两个粒子的量子态可以独立于彼此描述答案：C4. 在量子力学中，一个粒子通过一个势垒的隧穿概率是由什么决定的？A. 粒子的能量B. 势垒的宽度C. 势垒的高度D. 所有以上因素答案：D5. 量子力学的基本方程是什么？A. 牛顿第二定律B. 麦克斯韦方程组C. 薛定谔方程D. 热力学第二定律答案：C6. 在量子力学中，一个系统的波函数坍缩通常发生在什么情况下？A. 当系统处于叠加态时B. 当系统被测量时C. 当系统与环境相互作用时D. B 和 C答案：D7. 量子力学中的泡利不相容原理指出，一个原子中的两个电子不能具有完全相同的一组量子数，这主要影响什么？A. 电子的质量B. 电子的自旋C. 电子的能级D. 电子的电荷答案：C8. 量子退相干是什么？A. 量子态的相干性增强的过程B. 量子态的相干性丧失的过程C. 量子态的叠加态减少的过程D. 量子态的不确定性减少的过程答案：B9. 在量子力学中，哪个原理说明了全同粒子不能被区分？A. 泡利不相容原理B. 量子叠加原理C. 量子不确定性原理D. 量子对称性原理答案：D10. 量子力学中的“观测者效应”指的是什么？A. 观测者的存在改变了被观测系统的状态B. 观测者的存在增强了被观测系统的能量C. 观测者的存在减小了被观测系统的不确定性D. 观测者的存在导致了被观测系统的量子坍缩答案：A11. 在量子力学中，一个粒子的波函数通常是复数还是实数？A. 实数B. 复数C. 整数D. 可以是复数也可以是实数答案：B12. 量子力学中的“粒子-波动二象性”指的是什么？A. 粒子有时表现为波动，有时表现为粒子B. 粒子和波动是两种完全不同的实体C. 粒子和波动是同一种实体的不同表现形式D. 粒子的存在需要波动作为媒介答案：C13. 在量子力学中，一个粒子的动量和位置可以同时被准确测量吗？A. 是的，可以同时准确测量B. 不可以，这受到海森堡不确定性原理的限制C. 只有在特定条件下可以D. 只有使用特殊仪器才可以答案：B14. 量子力学中的“超定性”是指什么？A. 系统的状态由多个波函数描述B. 系统的多个性质可以独立测量C. 系统的波函数可以有多个解D. 系统的多个状态可以共存答案：A15. 在量子力学中，一个粒子的自旋是什么？A. 粒子旋转的速度B. 粒子的量子态的一个内在属性C. 粒子的角动量D. 粒子的动能答案：B16. 量子力学中的“测量问题”指的是什么？A. 如何测量量子系统的尺寸B. 如何测量量子系统的动量C. 测量过程如何影响量子系统的状态D. 测量结果的统计性质答案：C17. 量子力学中的“波函数坍缩”是指什么？A. 波函数在空间中的扩散B. 波函数在时间中的演化C. 波函数从叠加态突然转变为某个特定的状态D. 波函数的数学表达式变得复杂答案：C18. 在量子力学中，一个系统的能量通常是量子化的，这意味着什么？A. 系统的能量可以连续变化B. 系统的能量可以是任何值C. 系统的能量只能取特定的离散值D. 系统的能量只能增加或减少特定的量答案：C19. 量子力学中的“非局域性”指的是什么？A. 量子系统的状态不能在空间中定位B. 量子系统的状态不能在时间中定位C. 量子系统的状态不受空间距离的限制D. 量子系统的状态不受时间距离的限制答案：C20. 在量子力学中，一个粒子的波函数的绝对值平方代表什么？A. 粒子的总能量B. 粒子的总动量C. 粒子在某个位置被发现的概率密度D. 粒子的电荷密度答案：C这套选择题覆盖了量子力学的多个基本概念，适合用于检验学生对量子力学基础知识的掌握情况。
郑州大学大三物理专业量子力学试卷及答案 (5)
郑州大学20XX-20XX 学年第一学期《量子力学》（B ）卷及参考解答评分标准一、简答题1. 能级简并、简并度。
答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为能级简并。
把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。
2. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，写出粒子在球壳()dr r r +,中被测到的几率。
解：()ϕϕθψθθππd r d dr r P ⎰⎰=2022,,sin 。
3. 粒子在一维δ势垒 ()()(0)V x x γδγ=>中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。
解： 22(0)(0)(0)m γψψψ+-''-=。
4. 写出电子自旋z s 的二本征值和对应的本征态。
解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===01)(,21z z s s χα ；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-=-10)(,221z z s s χβ。
二、填充题5. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开，展开式为∑=nn n x c x )()(ψψ，展开式系数()dx x x x x c nn n ⎰==)()()(,)(*ψψψψ 6. 一个电子运动的旋量波函数为 ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,2,,r r s r z ψψψ，电子自旋向上（2 =z s ）、位置在r处的几率密度为()22/, r ψ；电子自旋向下（2 -=z s ）的几率为()232/,⎰-r r d ψ。
7. 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为耦合表象和非耦合表象；它们的力学量完全集分别是()z J J J J ,,,22221和()z z J J J J 222121,,,；在两种表象中，各力学量共同的本征态分别是jm j j 21和2211m j m j 。
8. 计算下列对易式：(1) ,1d x d x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ （2）2,2d x x d x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦三、证明题9. 设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下， 0=td Ad 。
量子物理试题及答案
量子物理试题及答案1. 请解释普朗克常数在量子力学中的作用。
答案：普朗克常数是量子力学中一个基本常数，它标志着能量与频率之间的联系。
在量子力学中，普朗克常数用于描述粒子的能量量子化，即粒子的能量只能以普朗克常数的整数倍进行变化。
2. 描述海森堡不确定性原理。
答案：海森堡不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。
具体来说，粒子的位置不确定性与动量不确定性的乘积至少等于普朗克常数除以2π。
3. 什么是波函数坍缩？答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当进行测量时，系统从一个不确定的量子态（波函数描述的状态）转变为一个确定的经典态的过程。
4. 简述薛定谔的猫思想实验。
答案：薛定谔的猫是一个思想实验，用来说明量子力学中的超位置原理。
在这个实验中，一只猫被放置在一个封闭的盒子里，盒子内还有一个装有毒气的瓶子和一个放射性原子。
如果原子衰变，毒气瓶就会打开，猫就会被毒死。
在没有观察之前，猫处于既死又活的超位置状态。
只有当观察者打开盒子时，猫的状态才会坍缩为一个确定的状态。
5. 什么是量子纠缠？答案：量子纠缠是量子力学中的一种现象，指的是两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联，使得即使它们相隔很远，一个粒子的状态也会立即影响到另一个粒子的状态。
6. 解释泡利不相容原理。
答案：泡利不相容原理指出，在同一个原子内，两个电子不能具有相同的四个量子数（主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数）。
这个原理解释了原子的电子排布和元素周期表的结构。
7. 描述量子隧穿效应。
答案：量子隧穿效应是指粒子能够穿越一个在经典物理学中不可能穿越的势垒。
这种现象是由于量子力学中的波函数具有非零的概率在势垒的另一侧存在，即使粒子的能量低于势垒的高度。
8. 什么是量子比特？答案：量子比特，又称为量子位，是量子计算中的基本信息单位。
与经典比特不同，量子比特可以处于0和1的叠加态，这使得量子计算机能够同时处理大量信息。
9. 简述狄拉克方程。
量子力学复习题答案与题解
量子力学复习题导致量子论产生的物理现象主要有哪些？p2量子的概念是如何引进的？p5为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一？p6写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义。
P12什么是波函数的几率解释？p18态的迭加原理。
P22动量算符的定义。
P27写出单粒子薛定谔方程。
P27写出多粒子薛定谔方程。
P28写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。
P33什么条件下可以得到定态薛定谔方程？p32什么是束缚态？p37什么情况下量子系统具有分立能级？p37什么是基态？p37写出线性谐振子的定态薛定谔方程。
P39写出线性谐振子的能级表达式。
P40写出波函数应满足的三个基本条件。
P51写出算符的本征值方程并说明其中各量的含义。
P54量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出？p55写出厄米算符的定义，并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算符来表示。
P56写出轨道角动量算符的各分量表达式。
P60什么是角量子数、磁量子数？写出相应的本征值表达式及其数值关系。
P63解：),()1(),(ˆ22ϕθϕθlm lm Y l l Y L += ),(),(ˆϕθϕθlmlm z Y m Y L = 其中l 表征角动量的大小，称为角量子数，m 称为磁量子数。
对应于一个l 的值，m 可以取（2l +1）个值，从-l 到+l 。
写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见光能否导致氢原子电离？00.52A a =( 3分) 113.6e V E =( 3分)可见光的能量不超过3.26eV , 这个值小于氢原子的电离能，所以不能引起氢原子电离。
( 4分)写出类氢原子体系的定态薛定谔方程。
P65 写出氢原子能级的表达式及其简并度。
P68 s, p, d, f 态粒子是什么含义？p63关于力学量与算符的关系的基本假定。
P83 写出力学量平均值的积分表达式。
P84 两个算符可对易的充要条件是什么？p89 写出X 方向坐标与动量的不确定关系。
量子力学试题及答案
量子力学试题及答案一、选择题1. 下列哪个不是量子力学的基本假设？A. 薛定谔方程描述了微观粒子的运动B. 波粒二象性存在C. 粒子的能量只能取离散值D. 电子具有自旋答案：A2. 量子力学中，波函数ψ的物理意义是什么？A. 粒子的位置分布概率幅B. 粒子的动量C. 粒子的自旋D. 粒子的能量答案：A3. 下列哪个是测量厄米算符A的本征值所对应的本征态？A. |A⟩= A|ψ⟩B. A|ψ⟩= λ|ψ⟩C. A|ψ⟩= |ψ⟩D. A|ψ⟩ = 0答案：B4. 对于厄米算符A和B，若它们对易（即[A, B] = 0），则可以同时拥有共同的一组本征态。
A. 正确B. 错误答案：A5. 量子力学中，双缝干涉实验的实验结果说明了下列哪个基本原理？A. 波粒二象性B. 运动不确定性原理C. 量子纠缠D. 全同粒子统计答案：A二、填空题1. 薛定谔方程的一般形式为___________。
答案：iℏ∂ψ/∂t = Hψ2. 微观粒子的自旋可取的两个可能取值是_________。
答案：±1/23. 薛定谔方程描述的是粒子的_________。
答案：波函数4. 在量子力学中，观测算符A的平均值表示为_________。
答案：⟨A⟩ = ⟨ψ|A|ψ⟩5. 测量量子系统时，波函数会坍缩到观测算符A的_________上。
答案：本征态三、简答题1. 请简要解释波粒二象性的概念及其在量子力学中的意义。
答：波粒二象性是指微观粒子既具有粒子性质又具有波动性质。
在量子力学中，波函数描述了粒子的波动性质，可以通过波函数的模的平方得到粒子在不同位置出现的概率分布。
波粒二象性的意义在于解释了微观世界中一些奇特的现象，例如双缝干涉实验和量子隧穿现象。
2. 请简要说明量子力学中的不确定性原理。
答：量子力学中的不确定性原理由海森堡提出，它表明在同时测量一粒子的位置和动量时，粒子的位置和动量不能同时具有确定的值，其精度存在一定的限制。
量子力学简答100题及答案 1
1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电子在位置和自旋z S ˆ表象下，波函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。
6、何为束缚态？7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。
8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。
10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？14、在简并定态微扰论中，如 ()H0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…，f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H HH'+=ˆˆˆ0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ12()s z 中， S x 和 S y的测不准关系( )( )∆∆S S x y 22•是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。
18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。
19何谓选择定则。
20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？21、叙述量子力学的态迭加原理。
22、厄米算符是如何定义的？23、据[aˆ，+a ˆ]=1，a a Nˆˆˆ+=，n n n N =ˆ，证明：1ˆ-=n n n a 。
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郑州大学20XX-20XX 学年第一学期《量子力学》（B ）卷试卷及
参考解答
一、简答题
1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
答：束缚态：粒子在一定范围内运动，∞→r 时，0→ψ。
能级分立。
非束缚态：粒子的运动范围没有限制，∞→r 时，ψ不趋于0。
能级连续分布。
2. 一质量为μ 的粒子在一维无限深方势阱⎩⎨
⎧><∞<<=a
x x a x x V 2,0,20,
0)(
中运动，写出其状态波函数和能级表达式。
解： ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤<<=a
x x a x a
x
n a x n 2,0,0,20,2sin 1)(πψ
,3,2,1,
82
2
22==n a n E n μπ
3. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。
解：!
2,)()(2
/22n A x H e
A x n
n n x n n ⋅=
=-πααψα 。
,2,1,0,21=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=n n E n ω
4. 电子自旋假设的两个要点。
解：（1）电子具有自旋角动量s
，它在空间任意方向的投影只有两个取值：2 ±； （2）电子具有自旋磁矩M
，它的回转磁比值为轨道回转磁比值的2倍，即 自旋回转磁比值 ⎪⎭⎫
⎝⎛===
为单位取自旋内禀磁矩mc e mc e g s 22，
轨道回转磁比值 12===mc
e
g l 轨道角动量轨道磁矩。
二、填充题
5. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ()ϕθψ,,r ，则粒子在立体角Ωd 中被测到的几率为
()2
20
,,P d r r dr
ψθϕ∞
=Ω⎰
6. ）（z L L ,2 的共同本征函数是球谐函数),(ϕθlm Y ，相应的本征值分别是
22(,)(1)(,)lm lm L Y l l Y θϕθϕ=+ 和 (,)(,)z lm lm L Y m Y θϕθϕ= 。
7.
[],,,,2,z x z y
z y x z
y z x
z p i L L i L y L i
x
i L p i p σσσ⎡⎤⎡⎤==-=⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦
8. 完全描述电子运动的旋量波函数为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=)2/,()2/,(),(
r r s r z ψψψ，则 ()
2
,/2r ψ
()
2
32/,⎰
-
r r d ψ表示电子自旋向下（2 -=z s ）的几率。
三、证明题
9. 一维运动中，哈密顿量 )(22
x V m
p H +=，证明： []2
,i p d x H m m dx ==，[],()d
p H i V x dx
=-。
证： [][]
dx
d m m p i p i m p x m H x 22==2⋅21=21= ,,， [][])()(,,x V dx d
i x V p H p
-==。
10. 在直角坐标系中，证明：0],[2=p L ，其中L 为角动量算符，p
为动量算符。
证： ],[],[],[],[2
22222z x y x z y x x x p L p L p p p L p L +=++= z z x z x z y y x y x y p p L p L p p p L p L p ],[],[],[],[+++=
()()0=+-+=z y y z y z z y p p p p i p p p p i ；
同理，
0],[2=p L y
， 0],[2=p L z
所以
0],[2=p L
四、计算题
11. 设粒子处于一维无限深势阱
()⎩⎨
⎧><∞<<=a
x x a x x V 或0,
0,
中，求处于定态()x n ψ中的粒子位置x 的平均值。
解： ()⎪⎩
⎪
⎨⎧><<<=a x x a x a
x
n a x n 或0,00,sin 2πψ ， 2
sin 202a
xdx a x n a x a
==⎰π 。
12. 一质量为m 的粒子在一维势箱a x <<0中运动，其量子态为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
a x a x a x ππψ3sin 23sin 212)( ① 该量子态是否为能量算符H 的本征态？
② 对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？ ③ 处于该量子态粒子能量的平均值为多少？
解：① 在此一维势箱中运动的粒子，其波函数和能量表达式为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥0≤0<<02=a
x x a x a
x
n a n 或,,sin πψ
,3,2,1,22
2
22==n a
n E n μπ 对波函数的分析可知
)(2
3
)(21)(31x x x ψψψ+
= 即粒子处在)(1x ψ和)(3x ψ的叠加态，该量子态不是能量算符H 的本征态。
② 由于)(x ψ是能量本征态)(1x ψ和)(3x ψ的线性组合，而且是归一化的，因此能量测量
的可能值为
2
2
23222129,2a
E a E μπμπ == 其出现的概率分别为
4323,41212
2
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ③ 能量测量的平均值为
2
2222231272943414341a a E E E μπμπ
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯+=+= 13. 一维无限深势阱)0(a x <<中的粒子，受到微扰
⎩⎨
⎧<<2-122<<02='a
x a a x a x a x H /,
)(/,
/λλ
的作用，求基态能量的一级修正。
0 2a a
解：一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为
,,,,sin ,)
()(321=2=2=02
2220n a x n a a n E
n
n
πψμπ 基态， a
x a a
E
πψμπsin ,)()
(2=
2=012
2201。
基态能量的一级修正为
dx x H x H E
a )()(0
2
)
0(1
11
)
1(1
⎰'='=ψ
⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⋅+⋅=
a a a dx a x a x a dx a x a x a 2220212sin 22sin 2λπλπ。
作变换： du a
dx au
x a
x
u π
π
π=
==
,,；
dv a
dx av
a x a
x
v π
π
ππ-
=-
=-
=,,。
代入上式完成积分：
()vdv
v udu u E ⋅--
⋅=
⎰⎰
ππ
λ
π
λ
π
π20
2
2
22
2
)1(1sin 4sin 4
λππλ
π⎪⎭
⎫
⎝⎛+=⋅=
⎰
222
2
221sin 8udu u ，
λπμπ⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=+=22
22)1(1
)0(1
12212a E
E
E 。