高中数学空间几何体投影与直观图学案
高中数学 空间几何体的三视图和直观图教案
高一数学教师教案1.2. 空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影一、教学目标1、知识与技能。
（1）了解什么是投影和投影线以及投影面（2）掌握什么是中心投影和平行投影。
2、过程与方法。
主要通过学生自己阅读来理解和掌握。
3．情感态度与价值观提高学生空间想象力二、教学重点、难点对陌生知识的临时理解与掌握能力，要引导好学生自学。
三、学法与教学用具学法：主要通过自学。
教具：三角板，手，以及身边的东西。
四、教学思路1、投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫投影；其中我们把光线叫投影线，把物体留下的影子的屏幕叫做投影面。
2、中心投影：我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。
3、平行投影：我们把一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。
五、板书（略）1.2.2 空间几何体的三视图一、教学目标1．知识与技能（1）掌握画三视图的基本技能（2）丰富学生的空间想象力2．过程与方法主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。
3．情感态度与价值观（1）提高学生空间想象力（2）体会三视图的作用二、教学重点、难点重点：画出简单组合体的三视图难点：识别三视图所表示的空间几何体三、学法与教学用具1．学法：观察、动手实践、讨论、类比2．教学用具：实物模型、三角板四、教学思路（一）创设情景，揭开课题“横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。
在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视图吗？（二）实践动手作图1．讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡视，学生画完后可交流结果并讨论;2．教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图（1）画出球放在长方体上的三视图（2）画出矿泉水瓶（实物放在桌面上）的三视图学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结自己的作图心得。
高中数学1.2.3空间几何体的直观图学案新人教A版必修2
1.2.3空间几何体的直观图一. 学习目标: 会用斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图, 了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方式的各自特点, 体会对比的数学方式. 快速准确完成达标检测中的题目.二. 导学案的使用说明:用斜二测法画空间图形的直观图时要把握好,一斜:在已知图形中垂直于x轴的线段, 在直观图中与x轴成45︒或135︒角: 二测: 两种气宇形式, 即在直观图中, 平行于x轴的线段长度不变, 平行于y轴的线段变成原来长度的一半.三. 学习进程:1. 水平放置的平面图形的斜二测画法：用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。
(要求: 写出画法并准确的画出图形)总结斜二测画法的大体步骤：变式：用斜二测画法画水平放置的正五边形.2. 空间图形的斜二测画法：（1）用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图. (要求: 写出画法并准确的画出图形)（2）如图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。
(要求: 写出画法并准确的画出图形)3. 问题反馈未解决的题新生成的问题四．达标检测1.利用斜二测画法取得：以下结论，正确的是______________．①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．2.如图（1），正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是________ cm．3.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于__________．4．画出一个正四棱台的直观图.（要求：上、下底面边长2cm、4cm; 高3cm）5.已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．五．放飞思维：自己找诞生活中的一件物体，观察其结构，画出它的三视图，并按照三视图画出它的直观图。
人教版高中必修2(B版)1.1.4投影与直观图教学设计
人教版高中必修2(B版)1.1.4投影与直观图教学设计一、教学目标1.了解画直观图的方法。
2.掌握投影与图形的关系，熟练掌握投影的绘制方法。
3.能够应用所学知识识别图形的种类、大小、形态等特征。
二、教学重点1.投影的绘制方法。
2.图形的种类、大小、形态等特征的识别。
三、教学难点1.投影与直观图的联系、区别。
2.多图形的组合绘制。
四、教学过程1.导入（约5分钟）通过展示投影和直观图的样例，引出本次课程的主题。
2.讲解（约10分钟）通过投影，我们可以将一个三维立体图形在二维平面上表示出来。
这种绘制方法有助于我们更好地观察和认识图形。
而直观图，则是应用这些绘制方法，把三维立体图形的特征表现在二维平面上。
我们可以在实际生活中看到很多具有投影和直观图特征的图形。
3.练习（约35分钟）练习1请在黑板上绘制一个简单的图形，让学生通过投影的方法，画出这个图形的相对位置和形态。
如果学生不是很熟悉投影的绘制方法，可以提供一些指导，但要鼓励他们自己动手尝试。
练习2请学生在自己的作业本上，运用所学绘制出以形的投影和直观图：图形1图形24.总结（约5分钟）让学生展示自己绘制的投影和直观图，并对他们的作品进行点评和指导。
五、作业请学生在作业本上完成以下题目：1.绘制出三个图形的投影和直观图。
2.在家里观察实际生活中的一些具有投影和直观图特征的图形，并写下自己的观察和感受。
六、教学反思本节课以绘制投影和直观图为主要内容，是一节比较实践性的课程。
通过练习，学生能够更好地掌握投影的绘制方法，同时了解到不同种类的图形有着不同的投影特征。
作业的布置能够帮助学生进一步巩固练习成果，并多接触实际生活中的场景，增强对课程内容的理解和应用。
在教学中，我注重培养学生的动手实践能力，重视学习过程中的互动和师生互动，在引导学生掌握知识的同时，激发他们的学习热情和主动性。
高中数学必修2《空间几何体的直观图》导学案
数学（高一下）导学案任务1：斜二测画法的概念斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．任务2：用斜二测画法作平面图形直观图的画法及要求任务3：与作平面图形直观图的方法比较，用斜二测画法作空间几何体直观图的画法二、合作探究 归纳展示任务1：平面图形的直观图的画法探究一 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图．解 画法：(1)如图所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y 轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD ．(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图．规律方法 画水平放置的平面图形的直观图的技巧：(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．(2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平行的线段上来确定．(3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同． 训练1用斜二测画法画边长为4 cm 的水平放置的正三角形(如图)的直观图．解 (1)如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在的直线为y 轴．(2)画对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝2 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12OA ，连接A ′B ′，A ′C ′，则三角形A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图，如图②所示．任务2：空间几何体的直观图的画法探究二 有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3 cm ，高为3 cm ，画出这个正六棱锥的直观图．解 (1)先画出边长为3 cm 的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示；(2)过正六边形的中心O ′建立z ′轴，画出正六棱锥的顶点V ′，在z ′轴上截取O ′V ′＝3 cm ，如图②所示；(3)连接V ′A ′，V ′B ′，V ′C ′，V ′D ′，V ′E ′，V ′F ′，如图③所示；(4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示．训练2 如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．解(1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图1所示；(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′轴、y′轴、z′轴，如图2所示，在z′上取点V′，使得V′O的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图2；(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图3.规律方法空间几何体的直观图的画法：(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出．(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向．(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．任务3：直观图的有关应用【探究1】如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形．解(1)画直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′.(2)过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′；(3)连接AB，BC，△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图．【探究2】如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．解 画法：(1)画轴．如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画两底面．用斜二测画法画出底面ABCD ，在z 轴上截取OO ′，使OO ′等于三视图中的相应高度．过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x ′与O ′y ′画出底面A ′B ′C ′D ′.再在z 轴上截取O ′P ，使O ′P 等于三视图中的相应高度．(3)成图．连接A ′A ，B ′B ，C ′C ，D ′D ，P A ′，PB ′，PC ′，PD ′，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.【探究3】 如图，四边形O ′A ′B ′C ′是梯形OABC 的直观图，其直观图面积为S ，求梯形OABC 的面积S ′.解 设O ′C ′＝h ，则原梯形是一个直角梯形且高为2h .C ′B ′＝CB ，O ′A ′＝OA ．过C ′作C ′D ′⊥O ′A ′于D ′，则C ′D ′＝22h . 由题意知12C ′D ′·(C ′B ′＋O ′A ′)＝S ，即24h (C ′B ′＋O ′A ′)＝S .原直角梯形面积为S ′＝12·2h (CB ＋OA )＝h (C ′B ′＋O ′A ′)＝4S2＝22S .即梯形OABC 的面积为22S .规律方法 (1)由直观图还原为平面图形的关键是找与x ′轴、y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段还原时长度不变，平行于y ′轴的线段②平行四边形的直观图是平行四边形. ③正方形的直观图是正方形. ④菱形的直观图是菱形.以上结论，正确的是（ A ） A ．①② B ．①C ．③④D ．①②③④ 4.课本第21页习题1.2A 组4 2、拓展提升课本第21页习题1.2A 组5 3、考点链接梯形A 1B 1C 1D 1(如图所示)是一水平放置的平面图形ABCD 的直观图．若A 1D 1∥y ′轴，A 1B 1∥x ′轴，A 1B 1＝23C 1D 1＝2，A 1D 1＝1，则平面图形ABCD的面积是( )A ．5B ．10C ．5 2D ．10 2解析 A 1B 1∥x ′轴，A 1D 1∥y ′轴，根据斜二测画法规则可知，该图形还原成平面图形时，A 1B 1，C 1D 1长度不变，A 1D 1长度变为原来的2倍，且∠A 1D 1C 1变为∠ADC ＝90°.该直观图还原成平面图形后如图所示，该平面图形为直角梯形，其中AB ＝2，CD ＝32AB ＝3，AD ＝2，∴S 梯形ABCD ＝(2＋3)×22＝5.答案 A教学反思。
高中数学 1.2.3 空间几何体的直观图 教学案2
云南省德宏州潞西市芒市中学2014年高中数学 1.2.3 空间几何体的直观图教学案新人教A版必修2一、内容及解析1、内容：本节在投影知识的基础上，学习空间几何体的三视图和直观图，包括中心投影与平行投影、空间几何体的三视图和空间几何体的直观图三部分内容。
2、解析：在立体几何的教学中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下把空间图像展现在平面上，用平面上的图形表示空间几何体。
“空间几何体的直观图”只介绍了斜二测画法。
斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形直观图的方法和步骤。
二、目标及解析1、目标：（1）掌握斜二测画法的规则，并且会用它来哈一些简单空间几何体的直观图；（2）由特殊到一般，由具体到抽象，由例题到画法，倡导学生动手实践，阅读自学等学习数学的方式。
2、解析：在教学中，要引导学生体会画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置。
因为多边形顶点的位置一旦确定，一次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法。
在平面上确定点的位置，可以借助平面直角坐标系，确定点的坐标就可以确定点的位置。
三、数学问题诊断分析空间几何体的三视图与直观图有密切的联系。
为此，教科书在第19页提出了一个“探究”，指出它们能够帮助我们从不同侧面、不同角度对几何体的结构特点进行认识。
教学中应当引导学生对这两种图形的特点及其关系进行讨论。
实际上，三视图从细节上刻画了空间几何体的结构。
根据三视图，我们就可以得到一个精确的空间几何体，正式因为三视图的这个特点，使它在生产生活中得到广泛应用。
直观图是对空间几何体的整体刻画，人们可以根据直观图的结构想象事物的形象。
四、教学支持条件1、用斜二测画法画完水平放置的正六边形的直观图后，归纳了斜二测画法画水平放置的平面图形的画法和步骤。
2、关于水平放置的圆的直观图的画法，常用正等测画法，正等测画法不作为基本的教学要求。
高中数学必修二《空间几何体的三视图和直观图》优秀教案
高中数学必修二《空间几何体的三视图和直观图》优秀教案高中数学必修二《空间几何体的三视图和直观图》优秀教案高中数学必修二《空间几何体的三视图和直观图》教学设计一、三维目标：1知识与技能：掌握斜二测画法；能用斜二测画法画空间几何体的直观图。
2过程与方法：引导学生体会画水平放置的直观图的关键是确定多边形顶点的位置。
3情感态度与价值观：培养学生严谨的治学态度。
二、教学重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图三、教学难点：用斜二测画法画空间几何体的直观图四、教学过程：(一)复习巩固、1.何为三视图？（正视图：自前而后；侧视图：自左而右；俯视图：自上而下）2.定义直观图（表示空间图形的平面图）.观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.把空间图形画在平面内，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形(二)、讲授新课：1.教学水平放置的平面图形的斜二测画法：①讨论：水平放置的平面图形的直观感觉？以六边形为例讨论.②出示例1用斜二测画法画水平放置的正六边形.（师生共练，注意取点、变与不变→小结：画法步骤）③给出斜二测画法规则：建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O’X’,O’Y’,使’’’XOY=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。
④练习：用斜二测画法画水平放置的正五边形.⑤讨论：水平放置的圆如何画？（正等测画法；椭圆模板）2.教学空间图形的斜二测画法：①讨论：如何用斜二测画法画空间图形？②出示例2用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体的直观图.（师生共练，建系→取点→连线，注意变与不变；小结：画法步骤）③出示例3（教材P18）根据三视图，用斜二测画法画它的直观图.讨论：几何体的结构特征？基本数据如何反应？师生共练：用斜二测画法画图，注意正确把握图形尺寸大小的关系④探究：如何由三视图得到直观图？又如何由直观图得到三视图？二者有何关系？(探究P19奖杯的三视图到直观图)结论：空间几何体的三视图与直观图有密切联系.三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，三视图在现实生活中得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸等）.直观图是对空间几何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象.(三)、巩固练习：1.练习：P19-201～5题2.右图是一个几何体的三视图，请作出其直观图.3.画出一个正四棱台的直观图.尺寸：上、下底面边长2cm、4cm;高3cm五、课时小结：本节课主要学习了用斜二测画法画空间几何体的直观图。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.4 投影与直观图学案(含解析)新人教B版必修2
1.1.4 投影与直观图1.了解中心投影和平行投影的概念.(重点)2.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤.(重点)3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图.(重点)4.逆用斜二测画法，找出直观图的原图.(难点)[基础·初探]教材整理1 投影的概念阅读教材P16～P17“倒数第5段”与P19～P20“思考与讨论”以上内容，完成下列问题.1.投影的概念(1)定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.(2)投影线：光线.(3)投影面：留下影子的屏幕.2.投影的分类(1)中心投影：光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影.中心投影的投影线交于一点.(2)平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.平行投影的投影线是平行的.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)矩形的平行投影一定是矩形.( )(2)平行四边形的平行投影可能是正方形.( )(3)两条相交直线的平行投影可能平行.( )(4)如果一个三角形的投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线.( )【解析】利用平行投影的概念和性质进行判断.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√教材整理2 斜二测画法阅读教材P17“倒数第5段”以下～P18以上内容，完成下列问题.1.直观图的概念(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.(2)画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x′轴、y′轴的线段.(3)取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半.3.立体图形直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变.其他同平面图形的画法.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行.( )(2)平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴.( )(3)平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变.( )(4)斜二测坐标系取的角可能是135°.()【解析】平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故(3)错误；由斜二测画法的基本要求可知(1)(2)(4)正确.【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√[小组合作型]中心投影与平行投影如图1145，点E，F分别是正方体的面ADD 1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图中的________.(要求把可能的序号都填上)图1145【精彩点拨】利用点B，F，D1，E在正方体各面上的正投影的位置来判断.【自主解答】其中②可以是四边形BFD1E在正方体的面ABCD或在面A1B1C1D1上的投影.③可以是四边形BFD1E在正方体的面BCC1B1上的投影.【答案】②③画投影图的关键及常用方法1.关键：画一个图形在一个投影面上的投影的关键是确定该图形的关键点(如顶点，端点等)及这些关键点的投影，再依次连接就可得到图形在投影面上的投影.2.常用方法：投影问题与垂直关系紧密联系，投影图形的形状与投影线和投射图形有关系，在解决有些投影问题时，常借助于正方体模型寻求解题方法.[再练一题]1.在正方体ABCDA′B′C′D′中，E、F分别是A′A、C′C的中点，则下列判断正确的是________.图1146①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形.【解析】①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B、C、D、A，故投影是正方形，正确；②设正方体的边长为2，则AE ＝1，取D ′D 的中点G ，则四边形BFD ′E 在面A ′D ′DA 内的投影是四边形AGD ′E ，由AE ∥D ′G ，且AE ＝D ′G ，∴四边形AGD ′E 是平行四边形.但AE ＝1，D ′E ＝5，故四边形AGD ′E 不是菱形；对于③，由②知是两个边长分别相等的平行四边形，从而③正确.【答案】 ①③画平面图形的直观图按图1147的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE 的直观图.图1147【精彩点拨】 按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图.【自主解答】 画法：(1)在图①中作AG ⊥x 轴于点G ，作DH ⊥x 轴于点H .(2)在图②中画相应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(3)在图②中的x ′轴上取O ′B ′＝OB ，O ′G ′＝OG ，O ′C ′＝OC ，O ′H ′＝OH ，y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，分别过G ′和H ′作y ′轴的平行线，并在相应的平行线上取G ′A ′＝12GA ，H ′D ′＝12HD .(4)连接A ′B ′，A ′E ′，E ′D ′，D ′C ′，并擦去辅助线G ′A ′，H ′D ′，x ′轴与y ′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE 的直观图A ′B ′C ′D ′E ′(如图③).1.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.2.画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.[再练一题]2.用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图，如图1148所示.图1148 【解】 画法：(1)如图①所示，取AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°(如图②).①(2)以O ′为中点在x ′轴上取A ′B ′＝AB ，在y ′轴上取O ′E ′＝12OE ，以E ′为中点画C ′D ′∥x ′轴，并使C ′D ′＝CD .②(3)连接B ′C ′，D ′A ′，所得的四边形A ′B ′C ′D ′就是水平放置的等腰梯形ABCD 的直观图.画空间几何体的直观图画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.【精彩点拨】 画轴→画底面→画顶点→成图【自主解答】 画法：(1)画轴：① ②画Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴，∠xOy ＝45°(或135°)，∠xOz ＝90°，如图①.(2)画底面：以O 为中心，在xOy 平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD .(3)画顶点：在Oz 轴上截取OP ，使OP 的长度是原四棱锥的高.(4)成图：顺次连接PA 、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z 轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.2.直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变.”[再练一题]3.用斜二测画法画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图.【解析】 (1)画轴：画x ′轴、y ′轴、z ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°(或135°)，∠x ′O ′z ′＝90°.(2)画底面：在面x ′O ′y ′内，画出正六边形的直观图ABCDEF .(3)画侧棱：过A 、B 、C 、D 、E 、F 分别作z ′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA ′、BB ′、CC ′、DD ′、EE ′、FF ′都等于侧棱长.(4)成图：顺次连线A ′、B ′、C ′、D ′、E ′、F ′，并加以整理就得到正六棱柱的直观图，如图所示.[探究共研型]直观图的还原和计算问题探究1 如图1149，△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 斜二测画法的直观图，能否判断△ABC 的形状？图1149【提示】 根据斜二测画法规则知：∠ACB ＝90°，故△ABC 为直角三角形.探究2 若探究1中△A ′B ′C ′的A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是多少？【提示】 由已知得△ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，故AB ＝AC 2＋BC 2＝10.探究3 若已知一个三角形的面积为S ，它的直观图面积是多少？【提示】 原三角形面积为S ＝12a ·h (a 为三角形的底，h 为三角形的高)，画直观图后，a ′＝a ，h ′＝12h ·sin 45°＝24h ，S ′＝12a ′·h ′＝12a ·24h ＝24×12a ·h ＝24S . 如图1150，某四边形的直观图为腰和上底长均为1的等腰梯形，∠B ′＝∠C ′＝45°，求原四边形的面积.图1150 【精彩点拨】 可用斜二测画法的逆步骤还原得原四边形，先确定点，再连线画出原四边形，再求其面积.【自主解答】 取B ′C ′所在直线为x ′轴，因为∠A ′B ′C ′＝45°，所以取B ′A ′为y ′轴，过D ′点作D ′E ′∥A ′B ′，D ′E ′交B ′C ′于点E ′，则B ′E ′＝A ′D ′＝1，又因为梯形为等腰梯形，所以△E ′D ′C ′为等腰直角三角形，所以E ′C ′＝ 2.再建立一个直角坐标系xBy ，如图：在x 轴上截取线段BC ＝B ′C ′＝1＋2，在y 轴上截取线段BA ＝2B ′A ′＝2，过A 作AD ∥BC ，截取AD ＝A ′D ′＝1.连接CD ，则四边形ABCD 就是四边形A ′B ′C ′D ′的实际图形.四边形ABCD 为直角梯形，上底AD ＝1，下底BC ＝1＋2，高AB ＝2，所以四边形ABCD的面积S ＝12AB ·(AD ＋BC )＝12×2×(1＋1＋2)＝2＋ 2.1.还原图形的过程是画直观图的逆过程，关键是找与x ′轴、y ′轴平行的直线或线段.平行于x ′轴的线段长度不变，平行于y ′轴的线段还原时长度变为原来的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.2.求图形的面积，关键是能先正确画出图形，然后求出相应边的长度，再利用公式求解.3.原图的面积S 与直观图的面积S ′之间的关系为S ＝22S ′.[再练一题]4.如图1151，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a 的正方形，则原平面图形的面积为( )图1151A.24a 2 B.22a 2 C.a 2 D.2a 2【解析】由直观图还原出原图，如图，在原图中找出对应线段长度进而求出面积.所以S＝a·22a＝22a2.【答案】 B1.关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( )A.直角三角形的直观图仍是直角三角形B.梯形的直观图是平行四边形C.正方形的直观图是菱形D.平行四边形的直观图仍是平行四边形【解析】由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确.【答案】 D2.如图1152所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为( )图1152A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形【解析】因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.【答案】 D3.如图1153所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________.图1153【解析】 画出直观图，BC 对应B ′C ′，且B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°，故顶点B ′到x ′轴的距离为22.【答案】 224.如图1154所示的直观图△A ′O ′B ′，其平面图形的面积为________.图1154【解析】 由直观图可知其对应的平面图形AOB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝3，OA ＝4，∴S △AOB ＝12OA ·OB ＝6. 【答案】 65.画边长为1 cm 的正三角形的水平放置的直观图.【解】 (1)如图所示，以BC 边所在直线为x 轴，以BC 边上的高线AO 所在直线为y 轴，再画对应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在x ′轴上截取O ′B ′＝O ′C ′＝0.5 cm ，在y ′轴上截取O ′A ′＝12AO ＝34cm ，连接A ′B ′，A ′C ′，则△A ′B ′C ′即为正三角形ABC 的直观图.。
空间几何体的三视图和直观图(优秀经典导学案)
1．2空间几何体的三视图和直观图
一、课时目标
1.了解中心投影与平行投影．(易混点)
2.能画出简单空间图形(柱、锥、台、球及其组合体)的三视图．(重、难点)
3.能识别三视图所表示的立体模型．(难点)
二、自主学习
1
、知识点（一）
定义
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的
，这种现象叫做投影，其中，
我们把光线叫做，把留下物体影子的屏幕叫做
分类
中心
投影
光由向外散射形成的投影，叫做中心投影．中心投影的投影线交于平行
投影
在一束光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投影线是
的．在平行投影中，投影线着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影2、知识点（二）
分类正视图
光线从几何体的面向面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视
图
侧视图
光线从几何体的面向面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视
图
俯视图
光线从几何体的面向面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视
图
说明几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的，三视图是投影
特征
一个几何体的侧视图和正视图一样，俯视图与正视图一样，侧视图与俯视图一样.
三、课堂练习
1．一条直线在平面上的正投影是()
A．直线B．点C．线段D．直线或点
2．如图所示图形中，是四棱锥的三视图的是()
3．如图1－2－8所示为一个简单组合体的三视图，它的上部是一个________，下部是一个
________．
图1－2－8
4．画出如图1－2－9所示的空间图形的三视图(阴影部分为正面)．
图1－2－9。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1。
1。
4投影与直观图1．了解平行投影、中心投影的主要特征和关系．2．会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图，会画出某些建筑物或零件的直观图．3．通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出直观图，了解空间图形的不同表示形式．1．平行投影(1）平行投影：在一束________光线照射下形成的投影,叫做平行投影．平行投影的投射线是________的(如下图)．（2)平行投影的性质：①直线或线段的平行投影仍是________或________．②平行直线的平行投影是________或________的直线．③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段__________．④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形________．⑤在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比________这两条线段的比．【做一做1】当图形中的直线或线段不平行于投射线时，下列关于平行投影性质的叙述正确的个数是（）．①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的投影仍是平行直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长;④矩形的平行投影一定是矩形．A．1 B．2 C．3 D．42．直观图(1)定义:当投射线和投射面成适当的角度或改变图形相对于投射面的位置时，一个空间图形在投射面上的____________可以形象地表示这个空间图形．像这样用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的__________．（2)空间图形的直观图画法：__________。
(3）用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤是：①在已知图形中取互相__________的x轴和y轴，两轴相交于点O,画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′,且使∠x′O′y′＝________（或________），它们确定的平面表示水平面．②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成________于x′轴或y′轴的线段．③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段，长度为原来的________．(4)用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤：①在已知图形所在的空间中取水平平面,作互相垂直的轴Ox,Oy，再作Oz轴,使∠xOz＝________，∠yOz＝________.②画出与Ox,Oy，Oz对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝__________，∠x′O′z′＝________，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．③已知图形中，平行于x轴、y轴和z轴的线段，在直观图中分别画成________于x′轴、y′轴和z′轴的线段,并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度________，平行于y轴的线段，长度为原来的________．⑤擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．斜二测画法的作图规则可以简要地说成：“竖直或水平方向放置的线段画出时方向、长度都不变，前后方向放置的线段画出时方向与水平方向成45°或135°角，长度画成原长度的一半（仍表示原长度）”．【做一做2－1】关于“斜二测画法"，下列说法不正确的是（）．A．原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，长度不变B．原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y′轴,长度变为原来的错误!C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′必须是45°D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同【做一做2－2】如图，该直观图所表示的平面图形是（)．A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形3．中心投影一个________把一个图形照射到一个平面上,这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影（如图）．在绘画时，经常使用这种方法．但在立体几何中很少用中心投影原理来画图．【做一做3】相片放大和电影都是__________投影；几何画图和工程制图都是__________投影．1．中心投影与平行投影的区别与联系剖析：中心投影与平行投影都是空间图形的基本画法，但应注意的是：（1）画实际效果图时，一般用中心投影法．如人的视觉、照片、美术作品等都具有中心投影的特点；(2)中心投影和平行投影的区别在于:平行投影的投射线都互相平行，中心投影的投射线交于同一点;(3）中心投影和平行投影都是空间图形的基本画法,平行投影包括斜二测画法和下节将要学习的三视图．经中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体；（4)画实际效果图时，一般用中心投影法；画立体几何中的图形时，一般用平行投影法．2．斜二测画法的作图技巧剖析：(1)在已知图中建立直角坐标系,理论上是在任何位置建立坐标系都行,但实际作图时,一般建立特殊的直角坐标系，尽量用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐标轴等．（2）在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行,原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线,画端点时作坐标轴的平行线为辅助线．原图中的曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．（3）在画一个水平放置的平面时,由于平面是无限延展的，通常我们只画出它的一部分表示平面，一般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图．在斜二测画法中，直观图与原图存在如下关系：①平行性不变；②共点性不变；③平行线段的长度比不变．正因为这样，所以直观图的形状虽然有很大变化，但我们仍能借助于直观图结合几何体的概念，想象出原图的形状和性质．3．教材中的“思考与讨论”如果一个平面图形所在的平面与投射面平行,试问，中心投影后得到的图形与原图形有什么关系？剖析：若一个平面图形所在的平面与投射面平行，则中心投影后得到的图形与原图形的关系是相似．题型一平行投影的性质应用【例1】如果图形所在的平面不平行于投射线，那么下列说法正确的是（）．A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．正方形的平行投影一定是矩形D．正方形的平行投影一定是菱形反思：平行投影的性质是分析原图形与其投影的关系的理论依据．题型二画直观图【例2】画出一个锐角是45°的平行四边形的直观图．分析：画水平放置的平面图形的直观图时，建系至关重要，应将尽量多的点放在坐标轴上,这样，点在直观图中的位置更容易确定．反思：画平面图形的直观图时，首先要在原图中建好坐标系，再依据作图规则逐步作出．【例3】有一个正三棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正三棱锥的直观图．分析：根据斜二测画法，先选择恰当的坐标系画出正三角形的直观图,再确定出正三棱锥的顶点即可．反思：正棱锥的直观图在今后的学习中经常要用到，应该掌握正棱锥直观图的画法思路，以便在今后的学习中，可以较快、较准确地画出正棱锥的草图．画草图的步骤为:先画底面、找底面的中心、作高连线．题型三直观图的还原【例4】图形A′B′C′D′是一个平面图形的直观图，∠A′＝45°，请画出它的实际图形．分析：已知直观图是一个锐角为45°的平行四边形→建立直观图的坐标系→错误!→错误!反思：还原图形的过程是画直观图的逆过程,它主要包括平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度变为原来的2倍等．题型四易错辨析【例5】利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形;④菱形的直观图是菱形．以上结论正确的个数是( ）．A．0 B．1 C．2 D．3错解：A错因分析：混淆了直观图与平行投影的区别，直观图形是利用平行投影的性质画出来的一种能反映原物体整体特征的一种图示，而平行投影的情况就较多了．1下列命题中真命题的个数是( )．①正方形的平行投影一定是菱形；②平行四边形的平行投影一定是平行四边形；③三角形的平行投影一定是三角形．A．0 B．1 C．2 D．32下列说法正确的是( ）．A．相等的线段在直观图中仍然相等B．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行C．两个全等三角形的直观图一定也全等D．两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形3(2011·福建福州高一期末)利用斜二测画法，作出直线AB的直观图如图所示，若O′A′＝O′B′＝1,则直线AB在直角坐标系中对应的函数表达式是（)．A．y＝－x＋1 B．y＝x－1C．y＝－2x＋2 D．y＝2x－24若线段AB平行于投影面，O是线段AB上一点，且错误!＝错误!,则O的平行投影O′分线段AB的平行投影A′B′的长度之比错误!为________．5用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图．答案：基础知识·梳理1．(1）平行平行（2）①直线线段②平行重合③平行且等长④全等⑤等于【做一做1】B ①③正确．2．（1)平行投影(平面图形) 直观图（2)斜二测画法(3）①垂直45°135°②平行③不变一半（4)①90°90°②45°（或135°)90°③平行④不变一半【做一做2－1】C 画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是135°，所以C项不正确．【做一做2－2】B 因为在直观图中三角形的两条边平行于坐标轴，所以原来的平面图形是直角三角形．3．点光源【做一做3】中心平行典型例题·领悟【例1】B 结合平行投影的性质去判断．【例2】解:如图①，四边形ABCD是以∠A为45°的平行四边形，以AB所在的直线为x轴，过点D且与AB垂直的直线为y轴，建立直角坐标系．画出对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②，在x′轴上截取O′A′＝OA，O′B′＝OB,在y′轴上截取O′D′＝错误!OD,经过点D′作D′C′∥x′轴且使D′C′＝DC.连接A′D′,B′C′，所得四边形A′B′C′D′即是所给平面图形的直观图，如图③。
【例3】解：(1)先画出边长为3 cm的正三角形水平放置的直观图，如图①所示；(2）过正三角形的中心O′建立z′轴,画出正三棱锥的顶点V′，使V′O′＝3 cm，连接V′A′，V′B′,V′C′,如图②所示；（3）擦去辅助线，遮住部分用虚线表示，得到正三棱锥的直观图，如图③.【例4】解：(1)在原图中建立如图①所示的坐标系x′O′y′，再建立一个直角坐标系，如图②所示；①②(2)在x轴上截取线段AB＝A′B′,在y轴上截取线段AD，使AD＝2A′D′；(3)过点B作BC∥AD,过D作DC∥AB，使BC与DC交于点C，则四边形ABCD即为A′B′C′D′的实际图形．【例5】C 正解：正方形、菱形的直观图通常为平行四边形而不具有其他性质，即命题③④为假命题，故选C。