3、动量矩定理及其守恒定律
大学物理Ⅰ动量矩和动量矩守恒定律
第五章 刚体的定轴转
力的时间累积效应 冲量、动动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、
角动量定理.
一 质点的动量矩定理和动量矩守恒定律
质点运动状态的描述
p
刚体定轴转动运动状态的描述
0, p 0
LmvJ0E,kpEkm0vJ222
2
pi
p j
5 – 4 动量矩和动量矩守恒
第五章 刚体的定轴转
3.光滑水平面有一静止的细杆,在其动两端施加一对大
小相等,方向相反的力,细杆运动中其动量是否守恒?
对中心的角动量是否守恒?动能是否守恒?
F
动量守恒,角动量
F
O
不守恒,动能不守
恒.
4.均匀细杆可绕杆的一端其垂直于杆的水平轴无摩擦转动.若
细杆竖直悬挂,现有一弹性小球水平飞来与细杆发生完全非弹
mgS 0 1 mv 2 S v2
2
2g
S 3M 2l
2(3m M )2
解:弹性碰撞E守恒,且L守恒
mvo
l 2
mv
l 2
J
1 J Ml 2
12
1 2
mv
2 o
1 2
mv 2
1 2
J 2
v (3m M )vo (3m m)
m,vo l
12mvo (3m M ) g
5 – 4 动量矩和动量矩守恒
第五章 刚体的定轴转
例3.长为l质量为M的均匀直杆一端动悬挂并可绕其
顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度
。已知棒长为l,质量为M.
解:以f代表棒对子弹的阻力,对子弹
有: fdt
定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律
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适用范围
适用于质点和刚体的定轴 转动，是经典力学中的基 本定律之一。
数学表达
如果系统合外力矩为零， 则系统的动量矩保持不变， 即L=L'。
定律推导
推导过程
根据牛顿第二定律和角动量定理，通过数学推导 得到动量矩守恒定律。
关键点
推导过程中需要确保系统合外力矩为零，即没有 外力矩作用在系统上。
适用条件
适用于质点和刚体的定轴转动，当物体绕定点转 动时，可以用动量矩守恒定律。
定理推导
总结词
定轴转动的动量矩定理可以通过牛顿第二定律和角动量定理推导得出。
详细描述
首先，根据牛顿第二定律，质点系受到的合外力等于其动量的变化率。然后，利 用角动量定理，将动量和时间的关系转化为角动量和转动半径的关系，最终推导 出定轴转动的动量矩定理。
定理应用
总结词
定轴转动的动量矩定理在分析旋转机械、行星运动等领域有广泛应用。
定理的重要性
理论意义
动量矩定理和动量矩守恒定律是经典力学理论体系中的重要 组成部分，它们为理解和分析物体的定轴转动提供了基础理 论支持。
实际应用
在实际工程和生活中，许多机械系统、旋转运动器械以及行 星运动等都涉及到定轴转动，动量矩定理和动量矩守恒定律 为这些系统的设计和优化提供了重要的理论依据。
02
理论基石
动量矩定理和动量矩守恒定律是 经典力学中定轴转动的基础理论， 为分析定轴转动问题提供了重要 的理论支撑。
指导实践
在实际工程中，许多机械系统、 航空航天器和车辆等都涉及到定 轴转动，这些理论为设计和优化 这些系统提供了重要的指导。
学科发展
动量矩定理和动量矩守恒定律的 发展推动了相关学科如旋转动力 学、陀螺力学等的发展，为这些 学科提供了重要的理论基础。
动量矩定理,角动量守恒定律
定理。它与质点的动量定理存在类比关系：
t2
t1
Fdt
mv2
mv1
(2）定理说明了对定轴转动，角动量的改变要 靠施以角冲量。
对角动量大的物体则要施以大的角冲量，如是 人们对不同的转动物体，持有不同的态度。
三、定轴转动的角动量守恒
t2
动量矩定理
M Z dt J2 J1
银河系最初可能是球状的， 由于某种原因（如先期与 其他星系相互作用）而具 有一定的角速度，正是这 个角动量的存在，使球状 银河系不会在引力作用下
凝聚（坍缩）成一团，而只能成具有一定半径的盘状。因为 在凝聚过程中，角动量守恒要求转速增大，从而使离心力增 大，它往往比引力增大得更快些。从能量角度看，角动量守 恒要求转速增大将使动能增大，虽然这时引力势能减小，但 当半径小到某一值后，动能的增大量比引力势能的减小大， 但角动量守恒却并不妨碍沿着转轴方向的坍缩，因为这种坍 缩，角动量守恒不要求增加转速，这就是说，角动量守恒限 制了星系在垂直于转轴方向的进一步坍缩，但并不沿转轴方 向方向的坍缩，因而星系最终坍缩成盘状。
OO
M+
LLZZ12
M
L1 mlv
系统在子弹射入之后的角动量：
L2
J
(1 3
Ml 2
ml2 )
依角动量守恒定理：
动量矩守恒定律动量守恒定律动能
动量矩守恒定律动量守恒定律动能动量矩守恒定律是物理学中的基本定律之一，它描述了动量和角动量在一个封闭系统内的守恒规律。
动量和角动量是物体运动的两个重要物理量，它们的守恒定律不仅在经典物理学中得到了广泛的应用，也在现代物理学中扮演着重要的角色。
本文将从动量守恒定律和角动量守恒定律的基本概念、应用范围以及实际意义等方面进行深入探讨。
首先，我们来看一下动量守恒定律的基本概念。
动量守恒定律指的是在一个封闭系统内，如果没有外力做功，系统的总动量将保持不变。
换句话说，如果一个物体受到的外力为零，那么它的动量将保持不变。
这个定律可以用数学表达式来描述：Σpi = Σpf，即系统在开始时的总动量等于系统在结束时的总动量。
这个定律适用于各种物体的碰撞、运动、以及其他形式的相互作用，是物理学中最基本的定律之一。
接下来，我们来看一下动量守恒定律的应用范围。
动量守恒定律广泛适用于物体之间的碰撞过程。
在弹性碰撞中，碰撞前后物体的总动量保持不变；在非弹性碰撞中，虽然动能不守恒，但总动量仍然保持不变。
此外，动量守恒定律还适用于各种其他运动过程，例如物体在外力作用下的运动、多体系统的运动等。
在这些情况下，动量守恒定律都可以用来描述系统的运动规律，为我们理解物体之间的相互作用提供了重要的理论支持。
除了动量守恒定律，角动量守恒定律也是物理学中的重要定律之一。
角动量是描述物体旋转运动的物理量，它也满足守恒定律。
具体来讲，如果一个物体受到的外力矩为零，那么它的角动量将保持不变。
这个定律可以用数学表达式来描述：ΣL = ΣLf，即系统在开始时的总角动量等于系统在结束时的总角动量。
角动量守恒定律不仅适用于物体的旋转运动，也适用于机械系统、自旋系统等各种情况。
动量守恒定律和角动量守恒定律的重要性不仅在于它们提供了一种全新的视角来理解物体之间的相互作用，而且在许多实际问题中都具有重要的应用价值。
比如在工程领域中，动量守恒定律可以用来设计各种机械系统，预测物体的运动轨迹，优化能量传递过程等。
动量矩定理与动量矩守恒律ppt课件
dJ M 0 dt
J 恒矢量
守恒律还适于仅在某一轴上投影的情形。
大学
（3）对质心的动物理量矩定理
作固定坐标系和动坐标系时，
a a0 a
F ma ma0 ma
将这一方法应用到这里来（将质心作为动坐
标系原点），有
mi
d 2ri dt 2
F (e) i
F (i) i
(mirc )
相对
相对
牵连（惯性力）
大学 物理
用 ri 左叉乘上述方程组且对 i 求和，因内力矩合之为零且牵连矩
（惯性力矩）合之为零，固有
d [ n
dt i1
(ri miri)]
n
(ri
F (e) i
)
i 1
即有质点组对质心的动量矩定理：
dJ M dt
大学 物理
若
vxc
恒矢
烟花的质心轨迹
大学 物理
动量矩定理 与
动量矩守恒定律
大学 物理
（1）对某一固定点O 的动量矩定理
dJ M dt
n
n
其中 J (ri pi ) ， M (ri Fi(e) ) 。
i 1
i 1
a
(r
r2
)i
(r
2r)
j
大学 物理
ari a j
ar
r r2
：加速度径向分量，称为径向加速度。r是径
i 1
d dt
p
n
其中 p mivi
i 1
大学 物理
可得
dp dt
n i 1
F (e)
i
，其中
n p mivi
三大守恒原理的确立
三大守恒原理的确立经典力学最常用的是对质点进行矢量分析和建立运动微分方程的方法。
这两种办法在解决单质点，以及有限约束的问题时，得心应手。
但是，当面对的是多质点、多约束的情况时，直接运用这两种方法也就显得太过困难了。
为了解决这个问题，十七、十八世纪的科学家们逐渐发展了动量定理、动量矩定理和活力定理——三大运动定理以及它们在封闭系统环境下的三个积分形式的守恒定律。
经典力学最常用的是对质点进行矢量分析和建立运动微分方程的方法。
这两种办法在解决单质点，以及有限约束的问题时，得心应手。
但是，当面对的是多质点、多约束的情况时，直接运用这两种方法也就显得太过困难了。
为了解决这个问题，十七、十八世纪的科学家们逐渐发展了动量定理、动量矩定理和活力定理——三大运动定理以及它们在封闭系统环境下的三个积分形式的守恒定律。
质心运动守恒定律最早提出运动量守恒定律基本思想的是笛卡儿。
后来荷兰的惠更斯从碰撞问题的研究中也得出了碰撞前后，系统的共同质心运动速度为常数的结论。
最终系统得出这一定律的是牛顿，他在《原理》一书运动的基本定律之后的推论中明确提出了“质心运动守恒定律”，他写道：“两个或两个以上的物体的共同重心，不会因物体本身之间的作用而改变其运动或静止的状态；因此，所有相互作用着的物体如无外来作用和阻碍，其共同重心将或者静止，或者在等速沿一直线运动。
”如果有外力作用，质心的运动就好象一个质点一样，它的质量等于系统中所有物体的总质量，它所受的力即系统所受的所有外力的矢量和，这就是质心运动定理。
而所谓的质心运动守恒定律事实上是这个定理的特殊情况。
动量矩守恒定律由开普勒的第二定律（面积定律），实际上已经具有了动量矩守恒定律的意义。
牛顿在《原理》中把它推广到有心力运动的一切场合，指出一个质点在指向一固定点的力作用下，其半径（由中心点出发）在相等的时间内扫过的面积相等。
这个原理的普遍表述形式为：一个系统只在内力作用下运动时，各点对某中心的动量矩之和才为常数。
动量矩定理与动量矩守恒律.ppt
微商等于诸外力对同一点的力矩的矢量和.
分量式：
d
dt
n
mi ( yi zi
i 1
n
zi yi )
(
yi
F (e) iz
i 1
zi
F (e iy
)
)
d
dt
n
mi (zi xi
i 1
n
xi zi )
(
zi
F (e) ix
i 1
xi
F (e) iz
)
d
dt
n
mi (xi yi
i 1
n
i 1
i 1
i 1
n i 1
(ri mi
dri) dt
n i 1
(ri
Fi
(e)
)
质点组对质心的动量矩定理
dJ
M
dt
意义：质点组对质心c的动量矩对时间的微商等
于所有外力对质心的力矩之后.
注意：（1）形式与固定点动量矩定理相同.
惯性力力矩为0的物理意义？
（2）质心c是动点，对任一动点不成立.
三、对质心的动量矩定理
在 cxyz 动系中：
mi
d2 dt
左矢乘
ri
2
Fi
ri
(i)
F (e)
i
(mirc
并对i求和：
)
n
(ri miri) (i
)
)
n
(ri
Fi
(
e)
)
n
ri(mirc )
i 1
i 1
i 1
i 1
其中：
n ri(mirc ) n rc miri rc n miri 0
力学11-动量矩,动量矩定理,动量矩守恒定律
v
∴ ∑ miυi = 0 v
v
转动时， 转动时，
∴ ∑ miυi = 0
结论： 结论： 无论刚体静止，快转或慢转，其各质点动量之和恒为零。 无论刚体静止，快转或慢转，其各质点动量之和恒为零。 即动量已不能确切的反映刚体转动的运动状态， 即动量已不能确切的反映刚体转动的运动状态， 必须引入新的物理量——动量矩（角动量） 动量矩（ 必须引入新的物理量 动量矩 角动量）
A外 + A = mgs 内
∆Ek = 1 mυ 2 + 1 Jω 2 2 2 = 1 mR2ω 2 + 1 MR2ω 2 2 4 mgs 2 ω= 并非匀速） R 2m + M （并非匀速）
+
2mg 2 mg 1 ds dω = = β= (2m + M )R R 2m + M 2 s dt dt
L = rp = mrv
Lz = r × p = r × mv
2
Lz = rmυ = r mω = J zω
第六章 刚体力学基础 动量矩
10
质点作任何运动都可以用动量矩来描述其运动状态
例 质点对圆心的动量矩。 行星在椭圆轨道上的动量矩。 质点对圆心的动量矩。 行星在椭圆轨道上的动量矩。 v v mυ1 L v v v mυ2 ov v r2 o r1 mυ r
三. 定轴转动的动能定理 ——力矩的持续作用规律 力矩的持续作用规律
作用下，角坐标由θ 设刚体在外力矩 M 作用下，角坐标由 1→ θ2， 角速度ω1 → ω2 ， 由刚体转动定理： 角速度 由刚体转动定理：
dω M = Jβ = J dt
Mdθ = Jωdω
对于整个运动过程
∫θ
θ2
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3、动量矩定理及其守恒定律描写质点组运动规律的三个基本定理，我们已经讲了其中的一个基本定理，也就是质点组的动量定理，我们还由质点组动量定理导出了质点组的动量守恒规律和质心运动定理。
下面准备要讲的是关于质点组整体运动规律的另外二个基本定理，即动量矩定理与动能定理。
现在先讲质点组的动量矩定理与动量矩守恒规律。
动量矩的概念我们在质点力学部分已经有过接触。
在讨论质点的动量矩定理时，我曾经强调过一提到取矩，不管是计算动量矩也好，还是计算力矩也好，首先必需要明确指出以那一点为取矩的中心，或者对那一轴取矩。
对质点如此，那么对质点组也得如此，讨论质点组的动量矩也同样要首先指出以那点为取矩中心，现在我们就先以任一固定点为取矩中心，推出： 一、质点组对固定点o 的动量矩定理：1、 质点组动量矩的定义：假设由n 个质点组成的质点组，其中第i 个质点对固定点0的矢径i r，定义质点组的总动量矩等于组内所有质点对固定点0的动量矩的矢量和，即：)(1in i i r m r J ∑=⨯=。
这就是质点组动量矩的定义式。
与质点组动量定理的推导相类似，质点组的动量矩定理也可以由牛顿第二定理直接导出：根据牛顿第二定律得质点组中第i 个质点的动力学方程为：()()e i i i i i f f r m '+= ,用i r 乘等式的两边：()e i i i i i i i i f r f r r m r ⨯+⨯=⨯）（并对n 个这样类似的方程求和，则有：()e i i ii i i ii i i if r f r r m r ⨯+⨯=⨯∑∑∑）（ (1)此等式的右边的第一项是质点组内所有内力对固定点的力矩的矢量和。
可以证明这项矢量和必定等于零。
为了推算简单起见。
先证明i,j 两个质点所受的一对内力对固定点O 的力矩的矢量和等于零。
证明：如图所示，质点组内i,j 两个质点的相互作用的内力为：j 对i 的作用力为ji f，它的反作用力作用在j 上，用ij f表示。
因为它们是一对作用与反作用力，所以ij f = -ji f。
O 为任意一固定点。
这两个力对O 点的力矩矢量和就是ijj ji i f r f r ⨯+⨯jiji ji j i ij j ji i ji ij f r f r r f r f r f f ⨯=⨯-=⨯-⨯∴-=)(。
因为这两个矢量在同一方向上，所以=0。
另外我们所取的两个质点是任意的，所以上面得到的结果对质点组中任意二个质点都成立。
既然成对的内力矩等于零，而总内力矩正是一一成对的内力矩之和。
所以由此可以推理得到：质点组中所有的内力对任一固定点0的力矩之和恒等于零。
即：0)(=⨯∑i i ii f r ,又因为)(i i i i i i r m r dtd r m r ⨯=⨯ 将它们代入（1）式则有 ())(e i i i i i if r f r r m r ⨯+⨯=⨯ 这里的)(1i n i i r m r J ∑=⨯= 是质点的总动量距J .所以它可写成为：)(e iii f r dt J d ⨯=∑ 令ee i ii M f r =⨯∑)( 则又可简写为 e M dt J d= 这就是质点组动力学的第二个基本定理叫做质点组的动量矩定理。
它表明质点组对任一固定点的动量矩对时间的变化率，就等于作用在质点组上所有外力对该固定点的力矩的矢量和。
它在以固定点O 为原点的固定直角坐标系上的三个分量式为：()()())(iye i iize i i i i i i i fz f y y z z y m dt d-=-∑∑()()())(iz e i i iz e i i i i i i i f x f z z x x z m dt d-=-∑∑()()())(ix e i i iy e i i i i i i i f y f x x y y x m dt d-=-∑∑动量矩定理的这三个分量式说明了什么物理意义？说明了质点组对某一固定轴的动量矩对时间的变化率，等于作用在质点组上的所有外力对该轴的力矩之和。
由这个定理我们再一次看到内力是不能改变质点组整体的动量矩，只有外力才有可能引起质点组的总动量矩的变化。
由质点组的动量矩定理可直接推出质点组的动量矩守恒定律。
二、动量矩守恒定律：如果作用在质点组上的所有外力对固定点的力矩之和等于零：()0=⨯=∑ie i i ef r M由动量矩定理可得其第一积分为：C J=。
可见对同一固定点质点组的动量矩守恒，总动量矩等于恒矢量。
这个关系就是质点组的动量矩守恒定律。
要注意力矩之和等于零并不意味着外力之和一定等于零，这句话反过来说也不成立，也就是说外力之和等于零并不意味着外力矩之和等于零。
为什么道理？我不讲了。
留给大家课外去思考。
与动量守恒的情形类似，如果作用在质点组上所有外力对某固定点的力矩之和虽然不等于零，但是，对通过该定点的某一固定轴例如x 轴的力矩之和为零，即 ()()0)(=-=∑iy e iiiz e i ex f z f yM 时，则质点组的动量矩在这一轴上的分量是守恒的，等于一常量 ，即 x x C J = 。
上面推导得到的质点组的动量矩定理和动量矩守恒定律只对惯性系中的固定点或固定轴成立。
如果我们选择质点组的质心为取矩中心，这时质点组相对质心（坐标系）的动量矩的变化将遵循咋样的规律呢？现在我们就着手研究这个问题，也就是推出质点组对质心的动量矩定理。
三、质点组对质心的动量矩定理：1、 推导：假设由n 个质点组成的质点组中C 点是它的质心，取质心为一坐标原点，并固定一坐标系z y x c '''-，它随着质心一起相对固定坐标系z y x ⋅⋅-0平动。
如果质心有加速度时，平动坐标系就具有加速度，此时它就不再是惯性系，质点组上每个质点都将受到惯性力的作用，所以质点组对质心的动量矩定理得从非惯性系的动力学方程导出。
除此之外，我们也可以根据用坐标转换的关系，再根据质点组对固定点的动量矩定理推出质点组对质心的动量矩定理。
前一种方法就是我们课本上介绍的那种方法。
前一种方法我在课堂上就不讲了，大家课外自己可以去看书。
现在我们就采用后一种方法来推出质点组对质心的动量矩定理。
如上图所示，质点组中任一质点i 其质量为 i m 。
此质点组对固定坐标原点的位置矢径为 i r ，相对质心的位置矢径用c r ' 表示，质心C 相对固定点O 的位置矢径为c r •。
根据矢量合成定理可得：i c i r r r '+=……（1）已知质点组相对固定点O 的动量矩定理是：()e ii i i i i i f r r m r dt d ⨯=⨯∑∑……（2） 将（1）代入（2）式的左边：即'⨯'+⨯='⨯'+⨯'+'⨯'+⨯='+⨯'+=⨯∑∑∑∑∑∑∑∑ii ii c i ic ii ii c i ii ii i c c i ic i c i ii c ii i i r m r r m r r m r r m r r m r r m r r r m r r r m r )()( (3)可以证明第2和第3两项都等于0。
c iii i c i i r r m r m r⨯'=⨯'∑∑)(，然而对质心坐标系z y x c '''-'来说0='cr ，那么根据质心的定义式知0='='∑∑ii iii c mr m r， 0='∴∑iii r m0='⨯'∴∑c i ii r m r 0='∑ii i r m 0='∴∑ii i rm 也就等于0。
于是可知0='⨯='⨯∑∑i iii c i i cr m r r m r这就证明第2和第3两项确实都等于0。
再将（1）代入（2）式的右边则有：)()()()()()(e i ii i e i c i e i i e i i c e i ii c ie i if r f r f r f r f r r f r ⨯'+⨯=⨯'+⨯=⨯'+=⨯∑∑∑∑∑∑根据质心运动定理知：()∴=∑ie i cf r m它又等于)(e i ii cc f r r m r ⨯'+⨯∑……（4）我们将得到的结果（3）（4）代入（2）式则有：()e i ii i c i i i i i i i c f r r m r r m r dt d r m r dt d ⨯'+⨯='⨯'+⨯∑∑∑ ∑⨯=⨯i i i c c i c r m r r m r dt d ()e i ii i i i i f r r m r dt d ⨯'='⨯∴∑∑由所得到的这个最后结果可以看出：∑'⨯'iii irm r是质点组对质心的总动量矩。
可用符号c J表示，所以等式的左侧就是质点组对质心的动量矩对时间的一阶微商，而等式的右侧是作用在质点组上的所有外力对质心C 的力矩矢量和，用符号ec M 表示的话，上式就可简写为：e c cM dtJ d= ——此等式就是质点组相对质心平动参照系的动量矩定理，简称为质点组对质心的动量矩定理。
这里要注意质心平动参照系它不一定是惯性系。
因为我们前面的推导没有对它是不是惯性系加过限止，所以它有可能是非惯性系，也就是说，质心的动量矩定理对质心平动参照系是不是惯性系都是成立的。
将它与对固定点O 的动量矩定理：e o oM dtJ d=相比较，可见他们具有完全相同的形式，唯一的区别是两者的取矩中心不同，一个是以质心为取矩中心，一个是以固定点为取矩中心。
总之，2、结论：质点组的动量矩对时间的一阶微商等于作用在质点组上的所有外力矩之和。
这个结论不仅对惯性系中的固定点成立，对质心也是成立的，但是对其它的动点一般是不成立的。
如图所示，如果我们将平动（参照）坐标系固定在非质心的其它动点上，在此情况下，质点组中任一质点的位置矢径在定、动坐标系中的关系应该是：'+='i o i r r r，质心位置矢径的关系是：'+='c o c r r r。
与推导质点组对质心的动量距定理的方法一样，不难推出质点组对动点0'的动量距的变化规律，在课堂上我不再详细的推导了，只给出他的结果，有兴趣的同学不妨课外去推导一下，也是有好处的，不感兴趣的就不用勉强了。
由推导得到的结果是o c e i ii i i i i r m r f r r m r dt d '⨯'-⨯'='⨯'∑∑ 。