理论力学质点系习题

j
B
o
v
i
A x
（2）向心力的平均值多大和方向 答案：(d) (a) 0
mv2 (c) R
v2 (b) m R 2mv2 (d) R
t2
2mv2 F j R
t1 p 2mv F j R t t v
Fdt
一船浮于静水中，船长L，质量为m，一个 质量也为m的人从船尾走到船头。不计水和 空气的阻力，则在此过程中船将 （A）不动（B）后退L （Ｃ）后退L/2（Ｄ）后退L/3
B
v

O R
mg
v0
2
A
v m g cos m R
v gRcos
小球从B点时脱出后， 作抛体运动。经过t时，到 达O点，则由抛体运动规律， 可知
B
vt
1 2 gt 2
O R
12 rOB v t gt 2
mg
从向量几何关系，易得
1 2 vt R tan gt cos 2 2 1 sin 2 v gR 解之，得： 2 cos
如图所示，一个小球以速 度v0从一半径为R的竖直圆 轨道最低点A处水平射出， 沿光滑圆轨道运动到B点脱 离轨道抛出，然后经过圆 心O，求小球初始速度v0 。
B
O
v0
R
A
解：
小球运动到B点时刚 好脱出，这时轨道正好没 有支持力，向心力由重力 在BO方向上的分量提供。 设小球运动到B点时速度 为v，速度方向与水平方 向夹角为，则由牛顿第 二定律，有 2
相撞小车上的小球
小车A和B的质量均为M，B车上挂有质量为 M/4的金属球C（如图），C球相对于B车静 止，其悬线长为L=0.4m。两车以相同的速率 v=1.8m/s在光滑水平上相向而行，相碰后扣 在一起。（设碰撞时间很短，g=10m/s2）求： (1) C球摆到最高点时的速度。 (2) C球到最高点时，摆线与竖直方向的夹角。
3-20 一人从10.0m深的井中提水，起 始桶中装有10.0kg的水，由于水桶漏水，每 升高1.00m要漏去0.20kg的水．求水桶被匀 速地从井中提到井口，人所作的功．
10 一人造地球卫星质量为m, 在地球 表面上空2倍于地球半径R的高度沿圆轨道 运行，用m、R、引力常数G和地球质量M 表示(1)卫星的动能；(2)系统的引力势能. 2 Mm v Mm 2 G ，得 mv G 解 (1) 由 m 2 3R 3R (3R) 1 Mm 2 Ek mv G R 2R 2 6R Mm (2) EP G 3R
O
dp d [(l y )v] l lg N dt dt y 2 v (l y )a 2 v 2ay, a g 作用于桌面上的压力等于已落 N 3gy 到桌面上链条的重量的三倍。
y
质量为M的木块放置在光滑水平桌面上， 质量为m，速度为v0的子弹水平射入木块， 子弹在木块内经距离d后相对于木块静止。 假设木块对子弹的阻力恒定，则从子弹射 入木块到子弹相对于木块静止这段时间内， 木块向前滑动的距离L为————。
水平光滑细杆上穿一质量为m的小环，环上 系有长度为l的细绳，其另一端挂一质量为M 的小球。用手将小球拉到杆的高度，并将绳 拉直，然后将小球自静止释放。当绳与杆角 度为时，试求：（1）此时绳的角速度； （2）此时小环离开出发点的距离x。
O m x l M
mvm MvM , x 0
Ml sin vm mM
vM ,m l
vM , x vM ,m, x vm l sin vm
M xl (1 cos ) mM
1 2 1 2 mv m Mv M Mgl sin 0 2 2 2(m M ) g sin vM , y l cos 2 l (m M cos )
y
v0
u
v0 cos
m v v0 cos u o M m x m v u M m v0 sin mv0 sin 则 x vt v g M mg u
x
x
[例] 有一质量为m0的宇宙飞船以初速 v0 穿过宇宙 尘埃，由于尘埃粘贴到飞船上，使飞船的速度发 生改变．求飞船的速度与其在尘埃中飞行时间的 关系. (设想飞船的外形是面积为S 的圆柱体）
(SI )
运动，则在t=2s到t=4s时间内，作用在该质点上的 合外力所做的功为________。
480J
3、质点自某高度以初速 v0 水平抛出，已知落地时速率 为 v ，试求其运动时间为多 少？ 1 1 2 2 解：由机械能守恒定律 mv0 mgh mv 2 2
1 2 又有竖直方向 h gt 2 解得 t
A
B
(A) 弹簧由初态恢复为原长的过程中，以A、 B、弹簧为系统，动量守恒 (B) 在上述过程中，系统机械能守恒 (C) 当A离开墙后，整个系统动量守恒，机 械能不守恒 (D) A离开墙后，整个系统机械能守恒，动 量为零
B
动能定理的应用
• 质量为5Kg的质点，由静止开始沿曲线
2 r 2t i 3tj
mv0 (m M )v
1 2 fL Mv 2 1 2 1 2 f ( L d ) mv mv 0 2 2 m L d mM
Eg3-34 如图，物体质 量 m 2 kg ，沿固定 的四分之一圆弧由A静 止滑下，到达B点时的 1 速率 v 6 m s ，求摩 擦力作的功．

m2
v0
r0 4 R
v R m1
库伦散射：一个粒子从远处以速率v0射向 一个原子序数为Z的重原子核附近，受到库 仑力的作用而改变了运动方向。原子核离 粒子原运动路径延长线的垂直距离，称为瞄 准距离b，试求在散射过程中粒子离原子核 最近距离。
A
Hale Waihona Puke R=4 m O m=2 kg
不动
v=6 m·-1 s
v B
解法1 应用动能定理求 A R=4m O 1 WG WFf WFN mv 2 0 2 m=2kg WG mgR WFN 0 ； v B 1 v=6m·-1 s WFf mv 2 mgR 44 J 不动 2 Ff 解法2 应用功能原理求 FN WFf Ek 2 Ep2 (Ek1 Ep1 ) 1 mv 2 mgR G=mg 2
解：分析在最高位置时， y 系统水平方向的动量守
u
v0
恒。以地面为参考系，
取图示坐标。
o

x
设人向后抛出物体后水平速率为 v ，则（哪一 式是正确的？）
m M v0 cos Mv mu m M v0 cos Mv mv0 u m M v0 cos Mv mv u
完全弹性碰撞
• 质量为M，高为h的滑轨，放在光滑水平地面上， 其底部恰与水平面相切。质量为m的小物块自滑 轨顶端由静止下滑，则 （1）物块滑到地面的速度为v=___________； （2）整个下滑过程中，滑轨对物块所作的功为 W=______。
v
2 gh M M (1 ) m m
1 W mgh M 1 m
3-34 如图所示，一个质量为 m 的小球， 从内壁为半球形的容器边缘点 A 滑下．设容 器质量为m’，半径为R，内壁光滑，并放置在 摩擦可以忽略的水平桌面上．开始时小球和 容器都处于静止状态．当小球沿内壁滑到容 器底部的点B时，受到向上的支持力为多大？
探究学习一例 —— 行星的俘获截面 行星的俘获截面: 一无动力的宇航 器以靶距b向目标行星靠近,行星的 半径为R.由于行星引力作用,存在 一个临界值b0 >R.对于b > b0,宇航 器将从行星旁边掠过,而不会命中 在行星着陆；反之若b ≤b0,则宇航 2 器将命中该行星.定义面积 π b0 为行星对宇航器的俘获截面,设M为行星的质量,v0为 宇航器的初速.忽略太阳及其它因素的影响,临界值b0 应满足什么关系?
v0
A
比较动力学和运动学得到的结果，可知
1 sin gR cos v gR 2 cos
2 2
于是，可得
3 cos 3
3 v gR 3
2
从A到B过程中，没有非保守力做功，小 球的机械能守恒，即
1 2 1 2 mv 0 mv mgR (1 cos ) 2 2 v0 gR (2 3 ) 由此即得
结果讨论：
MG GMm / R b0 R 1 2 2 R 1 2 Rv0 mv0 / 2
S0 b R [1
2 0 2
E p ( R) Ek ,0
]
Ek ,0 0, S0
Ep 0, S0 R
2
例5. 发射一宇宙飞船去考察一质量为 m1 ，半径 为 R 的行星，当飞船静止在空间距行星 4 R时， v0 m2 m2 以速度 发射一质量为 的仪器（ 远小于 飞船质量），要使该仪器刚好掠着行星表面着 陆， 角应是多少？着陆滑行初速度为多大？
v v0
2
2
讨论：本题初看以为是力学中的运动学问题，
往往会直接运用运动学方法求解。但会发现已 知条件少，求解周折，而采用能量方法却十分 简洁
g
例题5、 质量为 的人手中拿着一质量为 m 的 M 物体。此人用与水平面成 角的速率0 向前跳 v
去，当他到达最高点时，他将物体以相对于人为 u 的水平速率向后抛出，问由于抛出物体，他跳跃 的距离增加了多少？
非弹性碰撞
• 在由两个物体组成的系统不受外力作用而 发生非弹性碰撞的过程中，系统的 (A) 动量和动能都守恒 (B) 动量和动能都不守恒 (C) 动量守恒，动能不守恒 (D) 动量不守恒，动能守恒
C
守恒条件
• 两木块A、B的质量分别为m1和m2，用一 个质量不计、劲度系数为k的弹簧连接起 来。把弹簧压缩x0并用线扎住，放在光滑 水平面上，A紧靠墙壁，如图所示，然后 烧断扎线。判断下列说法哪个正确：