从集合的观点理解充分条件和必要条1
高一数学第一章(第18课时)充分条件与必要条件(1)
课题：1.8 充分条件与必要条件（一）教学目的：1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础.教学重点：正确理解三个概念，并在分析中正确判断教学难点：充分性与必要性的推导顺序一、复习引入：同学们，当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题—充分条件与必要条件.二、讲解新课：⒈符号“⇒”的含义前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p⇒q，或者q⇐p；如果由p推不出q，命题为假，记作p简单地说，“若p则q”为真，记作p⇒q（或q⇐p）；“若p则q”为假，记作p q（或q p）.符号“⇒”叫做推断符号.例如，“若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 ⇒x2>0；又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：两三角形全等⇒两三角形面积相等.说明：⑴“p⇒q”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”.⑵“p⇒q”也可写为“q⇐p”，有时也用“p→q”.练习：课本P35练习：1⑴⑵⑶⑷.答案：⑴⇒；⑵⇒；⑶；⑷.⒉什么是充分条件？什么是必要条件？如果已知p⇒q，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.在上面是两个例子中，“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.⒊充分条件与必要条件的判断1.直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p 的必要条件”.（条件与结论是相对的）三、范例例1指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：⑴ p：x=y；q：x2=y2.⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等.分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断.解：⑴由p⇒q，即x=y⇒x2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件.⑵由p⇒q，即三角形的三条边相等⇒三角形的三个角相等，知p是q 的充分条件，q是p的必要条件；又由q⇒p，即三角形的三个角相等⇒三角形的三条边相等，知q也是p 的充分条件，p也是q的必要条件.练习：课本P35练习：2⑴⑵⑶⑷.答案：⑴∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；⑵∵q⇒p，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件；⑶∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.⑷∵p⇒q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵q⇒p，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件.以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断.2.利用逆否命题判断：即“若┐q⇒┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.例2(补)如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆B. 请回答：⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.解法1(直接判断)：⑴∵“A为绿色⇒B为绿色”是真的，∴由定义知，“A 为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.⑵如图2⑴，∵“红点在B内⇒红点在A内”是真的，∴由定义知，“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.解法2(利用逆否命题判断)：⑴它的逆否命题是：若“B不为绿色”则“A 不为绿色”. ∵“B不为绿色⇒ A不为绿色”为真，∴“A为绿色”是“B为绿色”的充分条件；“B为绿色”是“A为绿色”的必要条件.⑵它的逆否命题是：若“红点不在A内”，则“红点一定不在B内”. 如图2⑵，∵“红点不在A内⇒红点一定不在B内”为真，∴“红点在B内”是“红点在A内”的充分条件；“红点在A内”是“红点在B内”的必要条件.如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？下面我们以例2为例来说明.先说充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.例如，说“A为绿色”是“B为绿色”的一个充分条件，就是说“A为绿色”，它足以保证“B为绿色”.它符合上述的“若p则q”为真（即p⇒q）的形式.再说必要性：必要就是必须，必不可少.从例2的图可以看出，如果“B为绿色”，A可能为绿色，A也可能不为绿色.但如果“B不为绿色”，那么“A不可能为绿色”.因此，必要条件简单说就是：有它不一定，没它可不行.它满足上述的“若非q则非p”为真（即┐q⇒┐p）的形式.总之，数学上的充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常生活中的“充分”、“必要”意义相近，不过，要准确理解它们，还是应该以数学定义为依据.例2的问题，若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想.四、练习：（补充题）用“充分”或“必要”填空，并说明理由：⒈“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的充分条件；⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的必要条件；⒊“x≠3”是“|x|≠3”的充分条件；⒋“x-1=0”是“x2-1=0”的充分条件；⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的充分条件；⒍“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要条件；⒎对于一元二次方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b2-4ac≥0”是“这个方程有两个正根”的必要条件；⒏“a=2，b=3”是“a+b=5”的充分条件；⒐“a+b是偶数”是“a和b都是偶数”的必要条件；⒑“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分 条件.五、小结：本节主要学习了推断符号“⇒”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法.判断充分条件与必要条件的依据是：若p ⇒q （或若┐q ⇒┐p ），则p 是q 的充分条件；若q ⇒p （或若┐p ⇒┐q ），则p 是q 的必要条件.六、作业：1．课本P 34-35内容，熟悉巩固有关内容.2．设A 是C 的充分条件，B 是C 的充分条件，D 是C 的必要条件，D 是B 的充分条件，那么，D 是A 的什么条件？A 是B 的什么条件？解：由题意作出逻辑图（右图），便知，D 是A 的必要条件；A 是B 的充分条件.3．预习：课本P 35-36内容. 课 题：1.1集合－集合的概念（2）教学目的：（1）进一步理解集合的有关概念，熟记常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义（3）会运用集合的两种常用表示方法 教学重点：集合的表示方法教学难点：运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：上节所学集合的有关概念1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法（1）自然数集：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + ，{} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}所有整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R ，{}数数轴上所有点所对应的=R3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（2）“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写二、讲解新课： （二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只 有一个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条 件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合 例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或 23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法4、何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？ 答：不是因为集合}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集（三） 有限集与无限集1、 有限集：含有有限个元素的集合2、 无限集：含有无限个元素的集合3、 空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x三、练习题：1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且2、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n∈-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 四、小结：本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念：有限集、无限集、空集2．集合的表示方法：列举法、描述法、文氏图五、课后作业： 六、板书设计（略）七、课后记：七、板书设计（略）八、课后记：。
高一上数学必修一第一章《充分条件、必要条件》知识点梳理
高一上必修一第一章《集合与常用逻辑用语》知识点梳理1.2.3 充分条件、必要条件学习目标1．理解充要条件的概念，并会判断和证明p 是q 的充要条件.2．培养逻辑推理能力．重难点重点：掌握充要条件的概念和判断方法.难点：能利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要性的证明．一、充分条件、必要条件我们已经接触过很多形如“如果p ，那么q”①的命题，例如：（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半；（3）如果x>2，那么x>3；（4）如果a>b 且c>0，那么ac>bc.在“如果p ，那么q”形式的命题中，p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.若“如果p ，那么q”是一个真命题，则称由p 可以推出q ，记作p q读作“p 推出q”；否则，称由p 推不出q ，记作p q ，读作“p 推不出q”.例如，上述例子中，（1）是一个真命题，即“两条直线都与第三条直线平行”可以推出“这两条直线也互相平行”，这也可记作两条直线都与第三条直线平行这两条直线也互相平行；而（3）是一个假命题，即x>2推不出x>3，这也可记作x>2⇏x>3.①“如果p ，那么q”也常常记为“如果p ，则q”或“若p ，则q”，【尝试与发现】当p q 时，我们称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；当p q 时，我们称p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.事实上，前述课前导读中的“充分”“必要”与这里的充分条件、必要条件表示的是类似的意思.因此， “如果p ，那么q”是真命题，⇒⇒⇒p q ，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已.例如，因为“如果x=-y ，则x 2=y 2”是真命题，所以x=-y x 2=y 2，x=-y 是x 2=y 2的充分条件，x 2=y 2是x=-y 的必要条件.再例如，因为命题“若A∩B≠∅，则A≠∅”是真命题，所以A∩B≠∅ A≠∅A∩B≠∅是A≠∅的 条件A≠∅是A∩B≠∅的 条件【思考与辨析】【典型例题】例1 判断下列各题中，p 是否是q 的充分条件，q 是否是p 的必要条件：（1）p:x ∈Z ，q:x ∈R ；（2）p:x 是矩形，q:x 是正方形。
《充分条件、必要条件》集合与常用逻辑用语
《充分条件、必要条件》集合与常用逻辑用语汇报人：日期:•集合与常用逻辑用语概述•充分条件•必要条件•充分条件与必要条件的联系与区别•集合与充分条件、必要条件的应用目录01集合与常用逻辑用语概述由具有某种特定性质的元素组成的整体，称为集合。
集合元素子集集合中的每一个成员称为元素。
如果一个集合中的每一个元素都是另一个集合中的元素，那么称这个集合为另一个集合的子集。
03集合的基本概念0201集合的基本概念如果一个集合是另一个集合的子集，但并非等于另一个集合，则称这个集合为真子集。
真子集并集交集补集将两个或多个集合中的所有元素组合在一起，形成一个新的集合，称为并集。
在两个或多个集合中共有的元素组成的集合，称为交集。
在全集中去掉一个或多个集合的所有元素后，剩余的元素组成的集合，称为补集。
常用逻辑用语简介01命题用语言表述一个事实或观点，称为命题。
02真命题如果一个命题符合实际情况，称为真命题。
03假命题如果一个命题不符合实际情况，称为假命题。
04充分条件如果一个条件成立，可以导致另一个条件成立，则称这个条件为充分条件。
05必要条件如果一个条件的成立必须依赖于另一个条件，则称这个条件为必要条件。
06充分必要条件如果一个条件既是充分条件又是必要条件，则称这个条件为充分必要条件。
02充分条件在计算机科学中，充分条件通常指一个程序的输入能够完全确定程序的输出，而不依赖于其他任何输入或程序的状态。
充分条件的定义充分条件又称“充分条件”或“充足条件”，指的是在逻辑推理中，只要有这个条件就足以推导出结论，无需考虑其他条件。
在数学中，充分条件指的是如果有一个集合A，使得集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么称A是B的充分条件。
充分条件的分类充分条件的分类主要有以下几种充分条件归纳判断：指的是在某个时间点或某个事件发生之前，如果有多个事件发生，则可以推导出另一个事件一定会发生。
充分条件假言判断：指的是在某个时间点或某个事件发生之前，如果有某个事件发生，则可以推导出另一个事件一定会发生。
充分条件和必要条件集合关系洋葱数学
【引言】洋葱数学是一种数学上的概念，它描述了充分条件和必要条件之间的集合关系。
在数学领域中，充分条件和必要条件是非常重要的概念，它们在逻辑推理和数学证明中起着至关重要的作用。
本文将对充分条件和必要条件的集合关系以及洋葱数学进行详细的介绍和分析。
【正文】1. 充分条件和必要条件的定义充分条件和必要条件是逻辑推理中常用的概念，它们用来描述一个命题成立的条件。
具体地说，如果某个条件是一个命题成立的必要条件，那么这个条件成为这个命题的必要条件；如果某个条件是一个命题成立的充分条件，那么这个条件成为这个命题的充分条件。
举例来说，对于命题“一个数是偶数的充分必要条件是它能被2整除”，在这个命题中，“能被2整除”就是这个命题的充分条件，也是它的必要条件。
2. 充分条件和必要条件的集合关系在数学中，充分条件和必要条件之间的关系可以用集合论来描述。
通常情况下，充分条件和必要条件是不同的，它们分别构成两个集合。
如果一个条件同时是一个命题的充分条件和必要条件，那么这个条件将同时属于这两个集合。
这种关系可以用集合的交和并的概念来表达，即两个集合的交集表示它们的共有元素，而两个集合的并集表示它们的所有元素的集合。
用数学符号表示，设A为一个命题的充分条件的集合，B为一个命题的必要条件的集合，则A∩B表示A和B的共有元素的集合，A∪B表示A和B的所有元素的集合。
通过集合的交和并的概念，我们可以更清晰地理解充分条件和必要条件之间的集合关系。
3. 洋葱数学的概念洋葱数学是一个描述充分条件和必要条件之间集合关系的概念。
在洋葱数学中，我们把充分条件和必要条件分别看作两个集合，并把它们的关系比喻成洋葱的结构。
具体来说，我们把充分条件和必要条件分别看作两个集合，在一定情况下，它们会有一部分共有的元素，这部分共有的元素构成了“洋葱”的中心，而充分条件和必要条件各自的非共有元素构成了“洋葱”的不同层次，形成了一种由内而外的结构。
4. 洋葱数学的应用洋葱数学在数学推理和证明中有着重要的应用价值。
集合充分条件、必要条件、充要条件间关系论文
小议集合与充分条件、必要条件、充要条件间的关系设a、b为两个集合。
则ab是指：xaxb ①即有：”xa”是”xb”的充分条件，“xb”是”xa”的必要条件。
反过来，若”xa”是”xb”的充分条件，即xaxb，则ab。
设a、b为两个集合，则a=b是指：xaxb ②即有：”xa”是”xb”的充要条件。
反过来，若”xa”是”xb”的充要条件，即xaxb，则a=b。
设p，q为含有变量x的语句，我们引入如下两个集合：a=，b=如果ab，那么每个使p成立的变量x也使得q成立，即：若p 成立，则q也成立，也就使说，从而p是q的充分条件，q是p的必要条件。
反过来，如果p是q的充分条件，那么由p成立可以推出q成立，也就是说，若xa，则一定有xb，从而有ab。
这样一来，要判断p是q的什么条件，只需判断集合a与集合b 的关系即可。
有如下结论：①若ab，则a是b的充分条件：②若a=b，则a是b的充要条件：③除①②外的情况都是既不充分也不必要条件。
总结：小充分大必要，相等是充要。
例题讲解：例1 已知全集u={1，2，3，4，5，6}，命题p：a={1，2}，命题q：b={1，2，3，4}。
试问：①p是q的什么条件？；②的什么条件？解：①由a={1，2}，b={1，2，3，4}得ab所以p是q的充分不必要条件②从补集角度去分析：p：a在u中的补集，q：b在u中的补集。
即：p ：={3，4，5，6}，q：={5，6}有（小的补变大，大的补反而小）所以的必要补充分条件例2 已知命题p：|x-2|≥6，q：，若”pq”与”q”同时为假，求x的值。
解：由|x-2|≥6得 p：x≥8，或x≤-4又“pq”与”q”同时为假，所以 p假 q真从而x的取值范围就是p与q的集合的公共部分，即：x的值为-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、4、5、6、7、8。
例3 已知命题p：|4-x|≤6，q：x2-2x+1-a2≥0（a>0）若非p 是q的充分不必要条件，求a的取值范围。
充分必要条件与集合的关系
充分必要条件与集合的关系充分必要条件是概念性的概念，它用来描述一组从属关系，如果一个条件是充分必要条件，那么它必须被满足，以便另一个条件也被满足。
此，充分必要条件可以被定义为满足另一个条件所需的所有必要条件的集合。
本文将重点讨论充分必要条件和它们的集合之间的关系，以及如何使用集合将条件组织起来，以便更好地理解和应用充分必要条件。
首先，来看一下集合如何提供有关充分必要条件的信息。
合是一组特定约束条件，可用于表示一组充分必要条件。
例如，一个集合可以包含所有条件需要被满足，以便两个事件发生，这些事件都可以作为充分必要条件来定义。
这种情况下，集合中的元素可以用来表示这些充分必要条件；这些元素之间也可以有一定的关联。
例如，在集合中，可以有条件A和条件B，条件A必须满足，才能满足条件B，这样条件A和条件B就可以被组织成一个集合，其中条件A是充分必要条件。
其次，来看一下如何将集合与充分必要条件相结合，以便更好地理解和利用充分必要条件。
分必要条件出现在集合中的时候，它的含义通常是需要对条件A和B进行分组，以便理解其充分必要条件的含义。
也就是说，可以将条件A和条件B放到不同的集合中，以便更清楚地表达它们之间的关系。
例如，可以将条件A放到集合A中，将条件B放到集合B中，从而更清楚地表明条件A是充分必要条件，而条件B是另一组必要条件。
最后，还要提醒读者，充分必要条件可以帮助理解和应用它们，但是如何使用集合来提高理解和应用充分必要条件的效率，还需要进一步探讨。
种技术可以帮助将条件组织起来，以便更清楚地表达它们之间的关系，从而提高利用充分必要条件的效率。
总的来说，充分必要条件可以用集合来表示，集合中的元素可以用来表示一组充分必要条件。
且，这种技术有助于将这些条件组织起来，从而更好地理解和应用充分必要条件。
综上所述，集合可以用来表示一组充分必要条件，可以将条件A 和条件B放到不同的集合中，以便更清楚地表达它们之间的关系，这样就可以更好地应用充分必要条件了。
培优课 从集合的角度理解充分条件、必要条件、充要条件
培优课从集合的角度理解充分条件、必要条件、充要条件教科书给出了充分条件、必要条件的定义：“如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，也称q是p的必要条件”，大家会发现若解决每个充分(必要)条件问题都从原始定义出发，有时会让我们的思路转几个弯才能达到目的，若能转化为集合与集合之间的关系问题，用集合的观点来解决此类题目，会使问题变得简单，通俗易懂.1.依据：设集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}.若x具有性质p，则x∈A；若x具有性质q，则x∈B.若A⊆B，就说x具有性质p，则x必具有性质q，即p⇒q.类似地，B⊆A与q⇒p等价，A＝B与p⇔q等价.2.结论：A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则结论：p是q的充分条件，q是p 的必要条件；若B⊆A，则结论：q是p的充分条件，p是q的必要条件；若A＝B，则结论：p是q的充要条件.类型一充分条件、必要条件、充要条件的判断【例1】(1)若p：－2＜x＜2，q：0≤x＜16，则p是q的________条件.(2)若p：一个四边形是平行四边形，q：一个四边形是正方形，则q是p的________条件.答案(1)既不充分也不必要(2)充分条件但不是必要解析(1)令A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|0≤x＜16}，显然A B，且B A，∴p是q的既不充分也不必要条件.(2)显然B A，∴q是p的充分条件但不是必要条件.类型二充分条件与必要条件的应用【例2】已知p：－1≤x≤4，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，且p是q的充分条件但不是必要条件，则实数m 的取值范围为________.答案 [3，＋∞)解析 因为p 是q 的充分条件但不是必要条件，所以p ⇒q 且q ⇒p ， 即{x |－1≤x ≤4}{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ≤－1，1＋m ＞4，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m ＜－1，1＋m ≥4，解得m ≥3.∴m 的取值范围为[3，＋∞).类型三 充要条件的应用【例3】 设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( )A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析 结合Venn 图可知，A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ；反之A ⊆B ⇒A ∩B ＝A ，故“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件.故选C.类型四 应用充分、必要、充要条件确定参数的值(取值范围)【例4】 (1)已知p ：x 2＋x －6＝0，q ：ax ＋1＝0(a ≠0).若p 是q 的必要条件但p 不是q 的充分条件，则实数a 的值为________.答案 －12或13解析 令A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则A ＝{－3，2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a . 由题意p ⇒q ，q ⇒p ，∴B A ，∴－1a ＝2或－1a ＝－3，∴a ＝－12或a ＝13.综上：a ＝－12或a ＝13.(2)已知p ：实数x 满足4a ＜x ＜a ，其中a ＜0，q ：实数x 满足－1≤x ≤4.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围.解 设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则A ＝{x |4a ＜x ＜a }，B ＝{x |－1≤x ≤4}.由题意p ⇒q ，∴A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4a ≥－1，a ≤4，∴－14≤a ＜0.∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0.尝试训练1.设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“0≤x ≤2”的________条件.答案 必要条件但不是充分解析 设A ＝{x |2－x ≥0}＝{x |x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤2}，显然BA ，故填必要条件但不是充分.2.－2＜x ＜2的一个必要条件但不是充分条件的是( )A.－2≤x ≤2B.－2＜x ＜0C.0＜x ≤2D.1＜x ＜3答案 A解析 由集合关系可知选A.3.不等式3x ＋a ≥0成立的充要条件为x ≥2，求实数a 的值.解 3x ＋a ≥0化为x ≥－a3.由题意⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥－a 3＝{x |x ≥2}，所以－a3＝2，a ＝－6.。
充分条件与必要条件知识点
充分条件与必要条件知识点充分条件和必要条件是高中数学中的重要概念。
虽然这些概念比较抽象，但是它们的理解对于学生来说非常重要。
下面是关于高一数学中充分条件和必要条件的知识点。
1.充分条件、必要条件和充要条件充分条件指的是，如果条件A成立，那么结果B也成立。
也就是说，条件A是B成立的充分条件。
必要条件则是指，如果条件A成立，那么结果B也成立。
也就是说，结果B是条件A成立的必要条件。
充要条件则是指，如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B。
简单来说，如果满足条件A，那么结果B必然成立；如果不满足条件A，那么结果B必然不成立。
因此，条件A是结果B的充分必要条件。
反之，如果有事物情况B，则必然有事物情况A；如果没有事物情况B，则必然没有事物情况A。
因此，结果B是条件A的充分必要条件。
简单来说，如果满足结果B，那么条件A必然成立；如果不满足结果B，那么条件A必然不成立。
因此，结果B是条件A的充分必要条件。
也就是说，条件A可以推导出结果B，结果B也可以推导出条件A。
2.充分条件、必要条件和充要条件的判断对于命题“若…，则…”，其条件与结论之间的逻辑关系如下：如果条件A成立，那么结果B也成立，用符号表示为A B。
如果条件A成立，但结果B不一定成立，用符号表示为A B。
如果条件A和结果B互相成立，用符号表示为A B。
具体来说，如果XXX且B成立，则条件A是结果B成立的充分条件，结果B是条件A成立的必要条件。
如果XXX 且B成立，则条件A是结果B成立的充分且不必要条件，结果B是条件A成立的必要且非充分条件。
如果A和B互相成立，并且B能推导出A成立，则条件B是结果A成立的充分条件，结果A是条件B成立的必要条件。
如果A和B互相成立，那么它们互为充要条件。
要证明A是B的充要条件，需要分两步：①先证明A是B成立的充分条件；②再证明A是B成立的必要条件。
如果A和B互相成立，那么它们互为充要条件。
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从集合的观点理解充分条件和必要条件
兴义五中韦长影 562400
充分条件和必要条件是每年高考必考的内容，让学生学会用集合来理解此类题目，使问题变得简单，通俗易懂，这是我们在教学中发现的诀窍，下面就这个问题再进行一下探讨。
命题“若p则q”为真，记为“
p q”，这时p是q的充分条件,q是p的
必要条件。
由前面关于集合A,B的定义知,p q,当且仅当A B,这就是说
,A
B时,p是q的充分条件,q是p的必要条件。
为使p,q有意义,一般我们仅讨论A,B非空的情况.
p是q的充分条件,q是p的必要条件,即若对象x满足p,则x也一定满足q,这等价于x∈A时，必有x∈B，即A B，但是可能存在对象y∈B但y A，即y满足q却不满足p。
若A=B时，即A B且B A，就是说，满足p的对象满足q，反之，满足q的对象满足p。
因此p q，当且仅当A＝B，这时p是q的充要条件。
换句话说，A，B的描述表示虽然不同，但若它们的元素完全相同，则p与q等价（图1）。
若A∩B≠
但A∩B≠A且A∩B≠B，即满足p的对象不完全满足q；反之，
满足q的对象也不完全满足p，就是说p，q不能互相完全推出，这时p，q是既不充分也不必要条件（图2）。
例：“x是4的倍数”是“x是6的倍数”的既不充分也不必要条件。
(3) (4) (5)
若A∩B= ，即满足p的对象都不满足q，反之，满足q的对象也都不满足p,就是说p,q不能互相推出，这时p是q的既不充分也不必要条件（图3）。
也可表示为：
①，相当于，
即或
②，相当于，
即或
③，相当于，
即
例1请在下列各题中选出(A)充分不必要条件，(B)必要不充分条件，(C)充分必要条件，(D)既不充分也不必要条件四个选项中最恰当的一项填空：
(1)p∶(x-1)(x+2)=0是q∶x=-2的 .
(2)p∶x＞5是q∶x＞3的 .
(3)p∶0＜x＜5是q∶｜x-2｜＜3的 .
(4)p∶x≤2是q∶x＜2的 .
解：(1)p=｛x｜(x-1)(x+2)=0｝ q=｛x｜x=-2｝，即q p，∴填B.
(2)p=｛x｜x＞5｝q=｛x｜x＞3｝，∴填A.
(3)p=｛x｜0<x＜5＝q=｛x｜｜x-2｜＜3｝，∴填A.
(4)p=｛x｜x≤2｝q=｛x｜x＜2＝，∴填B.
例2判断下列各题中条件是结论的什么条件：
(1)条件A∶ax2+ax+1＞0的解集为R，结论B∶0＜a＜4；
(2)条件p∶A B，结论q∶A∪B=B.
错误分析：此类题的易错点是在用定义判断时，忽略了无论是A B，还是B A均要认真考虑是否有反例，这一点往往是判断充分性和必要性的关键，也是难点.如(1)题中，往往根据二次不等式的解去考虑此题，而忽略了a=0时原不等式变为1＞0这一绝对不等式的情况.在(2)题中同样容易忽略A=B这一特殊情况.
解：(1)∵△=a2-4a＜0，即0＜a＜4
∴当0＜a＜4时，ax2+ax+1＞0恒成立.故B A.
而当a=0时，ax2+ax+1＞0恒成立，∴A B.
故A为B的必要不充分条件.
(2)∵A B A∪B=B，
而当A=B时，A∪B=B，即q p，
练习：探讨下列生活中名言名句的充要关系.
（1）水滴石穿（2）骄兵必败（3）有志者事竟成
（4）头发长，见识短（5）名师出高徒（6）放下屠刀，立地成佛。
（7）兔子尾巴长不了（8）不到长城非好汉（9）春回大地，万物复苏
（10）海内存知己（11）蜡炬成灰泪始干（12）玉不琢，不成器
考虑到充要条件既是一个数学概念也是一个逻辑概念，它与人们日常生活中的推理判断密切相关，再让学生看下面的例题，让学生淘汰其中的充要条件，并踊跃发表自己的观点。
当然，生活语言不可能象数学命题一样准确，因此学生不同观点的碰撞在所难免，作为教师，只要学生的推断能在某种前提或某个角度下合乎情理，就应该肯定，在这里答案应该是开放的，不同的观点应允许共存，关键是只要学生能“学会数学地思维”。
评析对于涉及范围问题的充要条件的判断，可利用集合观点：p q时，称p是q的充分不必要条件.可用“小范围推出大范围”帮助记忆.。