(完整版)《勾股定理》专题复习(含问题详解)

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八年级上册数学第一章勾股定理基本题型总结(经典全面)

CA BDBAC DB专题复习：勾股定理1、勾股定理考点一、勾股定理定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

解释：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2(古时候把直角三角形中较短边叫做“勾”，较长的直角边为“股”，斜边称为“弦”)典型例题例题1、（1）在直角三角形ABC中，AC=5，BC=12，求AB的长。

（2）在直角三角形ABC中，AB=25，AC=20，求BC的长。

常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10等技巧总结：利用勾股定理，在直角三角形中，已知两边可求第三边；一般情况下，用a，b 表示直角边，c表示斜边，则有a2+b2=c2，还可以有其他形式的变式。

例题2、一个零件的的形状如图所示，已知AC=3，AB=4，BD=12,求CD的长.例题3、如图所示，已知三角形ABC中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC边上的高。

技巧总结：有时某些线段不可以直接写出来，可以用数学转化的思想，构造直角三角形，再求出答案，也可以用勾股定理建立方程去求。

例题4、如图，台风过后某小学的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部点C8米处，已知旗杆长16米，则旗杆是在距底部多少米处断裂？技巧总结：要用勾股定理的变形公式。

例题5、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

技巧总结：分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=4×21ab ＋c 2，右边S=（a+b ）2，左边和右边面积相等，即4×21ab ＋c 2=（a+b ）2 对应的课堂练习：1. 下列说法正确的是（）A .若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（） A ．c b a =+ B.c b a >+ C.c b a <+ D.222c b a =+ 3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为20 4．在R t A B C ∆中， 90=∠C ，（1）如果a =3，b =4，则c = ；（2）如果a =6，b =8，则c = ；（3）如果a =5，b =12，则c = ；(4) 如果a =15，b =20，则c = .5．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为_______1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系：；⑵若D 为斜边中点，则斜边中线；⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边：；⑷三边之间的关系：。

专题04 勾股定理压轴题型汇总(解析版)

专题04 勾股定理压轴题型汇总一、单选题1．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为52，则点F到BC的距离为（）A．55B．255C．455D．433【答案】B【分析】首先求出ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据12•BD•h＝12•BF•DF，求出BD即可解决问题．【详解】解：∵DG＝GE，∵S∵ADG＝S∵AEG＝52，∵S∵ADE＝5，由翻折可知，ADB∵ADE，BE∵AD，∵S∵ABD＝S∵ADE＝5，∵BFD＝90°，∵12•(AF+DF)•BF＝5，∵12•(4+DF)•2＝5，∵DF＝1，∵DB＝22BF DF+＝2212+＝5，设点F到BD的距离为h，压轴题型汇总1则12•BD•h＝12•BF•DF，即：1121 22=⨯⨯，∵h，故选：B．【点睛】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理二次根式的运算等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．2．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，下列四幅图是爱思考的小红同学用如图所示的七巧板拼成的，则这四个图形的周长从大到小排列正确的是（）A．乙＞丙＞甲＞丁B．乙＞甲＞丙＞丁C．丙＞乙＞甲＞丁D．丙＞乙＞丁＞甲【答案】A【分析】设最小的直角三角形的直角边长为1，根据勾股定理，分别表示出七块七巧板各边的长度，计算每个图形中重合的线段和，和越大，周长越小．【详解】解：设七巧板中最小的边长为1根据勾股定理，可以得出其余的边长分别为2，分别求出各图中重合的线段的长度和，和越大，则周长越小；甲图中重叠的线段和为：；乙图中重叠的线段和为：；丙图中重叠的线段和为；丁图中重叠的线段和为：；∵6755++++∵乙＞丙＞甲＞丁故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理，不规则图形的周长，解题关键是明确总周长一定，重叠的线段和越大，则周长越小．3．如图，在ABC 中，点D 是边AB 上的中点，连接CD ，将BCD △沿着CD 翻折，得到ECD ，CE 与AB 交于点F ，连接AE ．若6,42AB CD AE ===,，则点C 到AB 的距离为（）A ．72B ．C ．3D ．【答案】C【分析】连接BE ，延长CD 交BE 于G 点，过C 作CH ∵AB 于H ，由折叠的性质及中点性质，可得∵AEB 是直角三角形，且G 点是BE 的中点，从而CG ∵BE ，由勾股定理可求得BE 的长，则根据∵ABC 的面积相等一方面可表示为12AB CH ，另一方面其面积为∵BCD 与∵ACD 面积的和，从而可求得CH 的长．【详解】连接BE ，延长CD 交BE 于G 点，过C 作CH ∵AB 于H ，如图所示由折叠的性质，得：BD =ED ，CB =CE∵CG 是线段BE 的垂直平分线∵BG =12BE∵D 点是AB 的中点∵BD =AD ，BCD ACD SS =∵AD =ED∵∵DAE =∵DEA∵BD =ED∵ ∵DEB =∵DBE∵∵DAE +∵BEA +∵DBE =180°即∵DAE +∵DEA +∵DEB +∵DBE =180°∵2∵DEA +2∵DEB =180°∵∵DEA +∵DEB =90°即∵AEB =90°在Rt ∵AEB 中，由勾股定理得： BE∵BG =∵BCD ACD ABC S S S += ∵11222CD BG AB CH ⨯=∵224CD BG CH AB ⨯===故选：C ．【点睛】本题考查了直角三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定，利用面积相等求线段的长，关键是得出CG ∵BE ，从而可求得∵BCD 的面积也即∵ABC 的面积．4．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为斜边作三个等腰直角ABD △，ACE ，BCF △，图中阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，若已知Rt ABC 的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（）A ．4SB ．143S S S +-C ．234S S S ++D ．123S S S +-【答案】A【分析】设AC =m ，BC =n ，ABC 的面积为S ，用含有m ，n 的代数式分别表示相关线段，继而表示相应的面积，确定面积与m ，n ，S 之间的关系，从而作出判断．【详解】设AC =m ，BC =n ，ABC 的面积为S ，∵Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为斜边作三个等腰直角ABD △，ACE ，BCF △，∵S =1mn 2，AB ，∵AE =EC ，BF =CF ，AD =BD在直角三角形AED 中，ED ，∵DC =EC -ED )m n -，∵4S =11111AE ED=22222mn S •=⨯=，故4S 的值可以确定，∵A 选项符合题意；设AC ，BD 的交点为G ，则3S +ADG S =1122)S CD AE m n =•=-△ADC =24()1m mn -， 1S +ADG S =222241S AD m n +==△ADB ， ∵143S S S +-=224m n ++12S -24()1m mn -=2+4n S ，与n 有关系，故代数式的值不能确定，∵B 选项不符合题意；∵3S +ADG S =24()1m mn -，1S +ADG S =224m n +，∵13S S -=21+42n S ， ∵234S S S ++=212BF +12S +1S -21-42n S =24n +12S +1S -21-42n S =1S ，无法确定， ∵C 选项不符合题意；∵123S S S +-=21+42n S +24n =21+22n S ，与n 有关， ∵D 选项不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形面积的割补，灵活运用性质和勾股定理计算阴影的面积是解题的关键．5．已知a 、b 为两正数，且12a b += ） A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】B【分析】如图所示，构造Rt∵BEA 和Rt∵AFC 使得 BE =a ，EA =2，AF =3，FC =b ，然后根据勾股定理构可得ABAC 当A ，B ，C 三点共线时有最小值，在根据勾股定理计算即可．【详解】解：如图所示，构造Rt∵BEA 和Rt∵AFC 使得 BE =a ，EA =2，AF =3，FC =b ，根据勾股定理可得：AB AC所以：AB AC BC +≥，∵当A ，B ，C 三点共线时+AB AC 有最小值，即BC ，在Rt∵BDC 中13BC ==．故选：B【点睛】本题主要考查勾股定理，能够根据二次根式的特点，数形结合，构造出直角三角形表示所求式子是解题的关键．6．如图，在Rt ABC △中，90,30,ACB ABC CD ︒∠︒=∠=平分ACB ∠．边AB 的垂直平分线DE 分别交,CD AB 于点,D E ．以下说法错误的是（）A ．60BAC ∠=︒B ．2CD BE =C ．DE AC =D 12BC AB =+ 【答案】B【分析】利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论．【详解】解：如图，连接BD 、AD ，过点D 作DM∵BC 于M ，DN∵CA 的延长线于N ，A 、在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒，∵60BAC ∠=︒．故此选项说法正确；B 、∵DM∵BC ，DN∵CA∵∵DNC ＝∵DMC ＝90°，∵CD 平分∵ACB ，∵∵DCN ＝∵DCM ＝45°．∵∵DCN ＝∵CDN ＝45°．∵CN=DN ．则∵CDN 是等腰直角三角形．同理可证：∵CDM 也是等腰直角三角形，=．，∵DM=DN= CM=CN ，∵MDN ＝90°．∵DE 垂直平分AB ，∵BD=AD ，AB=2BE ．∵Rt∵BDM∵∵ADN ，∵∵BDM=∵AND ．∵∵BDM+∵ADM =∵AND+∵ADM ＝∵MDN ．∵∵ADB=90°．=．即．∵在Rt∵AND 中，AD 是斜边，DN 是直角边，∵AD ＞DN ．∵2BE ＞CD ．故此选项说法错误．C 、∵BD=AD ，∵ADB=90°，∵∵ABD 是等腰直角三角形． ∵DE=12AB ．在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒， ∵AC=12AB ．∵DE=AC ．故此选项说法正确．D 、∵Rt∵BDM∵∵ADN ，∵BM=AN ．∵CN=AC+AN=AC+BM=CM ．∵BC=BM+CM=AC+2BM ．，． ∵AC=12AB ，12AB+BC ．故此选项说法正确．故选：B ．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键．7．如图，直角三角形纸片ABC 中，6AB =，8AC =，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点1P ；设1P D 的中点为1D ，第2次将纸片折叠，使点A 与点1D 重合，折痕与AD 交于点2P ；设21P D 的中点为2D ，第3次将纸片折叠，使点A与点2D重合，折痕与AD交于点3P，则3AP的长为（）A．46325⨯B．36352⨯C．35325⨯D．23352⨯【答案】D 【分析】先求出AD的长，再由折叠的性质可得AP1=23AD1，AP2=23AD2，AP3=23AD3，计算出AD3的长度，可得AP3的长．【详解】解：∵∵BAC=90°，AB=6，AC=8，，∵D为斜边BC中点，∵AD=12BC=5，由折叠可知：AD1=34AD，AP1=12AD，∵AP1=23AD1，AD2=34AD1=916AD，AP2=12AD1=38AD，∵AP2=23AD2，可知：AP3=23AD3，AD1=34AD=354⨯，AD2=34AD1=916AD=24352⨯，∵AD3=34AD2=2433542⨯⨯=36352⨯，∵AP 3=23AD 3=25352⨯，故选D ．【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理、直角三角形的性质等几何知识点及其应用问题；灵活运用翻折变换的性质，正确找出命题中隐含的数量关系是关键；对运算求解能力提出了较高的要求．8．如图，等边ABC 的边长为8．P ，Q 分别是边,AC BC 上的点，连结,AQ BP ，交于点O ．以下结论：①若AP CQ =，则BAP ACQ ≌；②若AQ BP =，则120AOB ∠=︒；③若,7AP CQ BP ==，则5PC =；④若点P 和点Q 分别从点A 和点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动（到达点C 就停止），则点O经过的路径长为）A ．①②③B ．①④C ．①②D ．①③④【答案】B【分析】第①个选项直接找到对应的条件，利用SAS 证明全等即可；第②③结论都有两种情况，准确画出图之后再来计算和判断；第四个结论要先判断判断轨迹(通过对称性)在来计算路径长．【详解】①在三角形∵BAP 和∵ACQ 中：AP CQ BAC C AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩则∵BAP∵∵ACQ (SAS) ；①正确；②如图1，题中AQ=BP，存在两种情况：在1P的位置，∵AOB=120°，在2P的位置，∵AOB的大小无法确定；②错误；③本问与AP=CQ这个条件无关，如图，P还是会有两个位置即：1P、2P，当在1P时，作BE∵AC于E点，则E为AC中点，∵AB=8，AE=12AC，∵BE=，又BP=7，∵1PE==,∵CP=CE+PE=5，当在2P时，同理解∵BCP，得CP= CE-PE=3；故③错；④由题可得：AP=BQ，由对称性可得O的运动轨迹为∵ABC中AB边上的中垂线则∵AB=8，∵BC=AB=8，则AB=∵运动轨迹路径长为④正确；∵正确的为①④；故选：B ．【点睛】此题考查了三角形全等，利用等边三角形的性质找出相应的全等条件是关键，还考查了等边三角形是周对称图形这一性质．9．图中不能证明勾股定理的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论222+=a b c ，找出不能证明的那个选项．【详解】解：A 选项不能证明勾股定理；B 选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式()22142a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ； C 选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式()22112222a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ； D 选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式222112222c ab a b ab +⨯=++⨯，可得222+=a b c ．故选：A ．【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．10．如图，在△ABC 和△ADE 中，△BAC =△DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接B ，D 和B ，E ．下列四个结论：①BD =CE ，②BD △CE ，③△ACE +△DBC=30°，④()2222BE AD AB =+．其中，正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】①由AB=AC ，AD=AE ，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 得出三角形ABD 与三角形ACE 全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE ；②由三角形ABD 与三角形ACE 全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD 垂直于CE ；③由等腰直角三角形的性质得到∵ABD+∵DBC=45°，等量代换得到∵ACE+∵DBC=45°； ④由BD 垂直于CE ，在直角三角形BDE 中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．【详解】解：如图，① ∵∵BAC=∵DAE=90°，∵∵BAC+∵CAD=∵DAE+∵CAD ，即∵BAD=∵CAE ，∵在∵BAD 和∵CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∵∵BAD∵∵CAE （SAS ），∵BD=CE ，故①正确；②∵∵BAD∵∵CAE ，∵∵ABD=∵ACE ，∵∵ABD+∵DBC=45°，∵∵ACE+∵DBC=45°，∵∵DBC+∵DCB=∵DBC+∵ACE+∵ACB=45°+45°=90°，∵∵BDC=90°，∵BD∵CE ，故②正确；③∵∵ABC 为等腰直角三角形，∵∵ABC=∵ACB=45°，∵∵ABD+∵DBC=45°，∵∵ABD=∵ACE∵∵ACE+∵DBC=45°，故③错误；④∵BD∵CE ，∵在Rt∵BDE 中，利用勾股定理得BE 2=BD 2+DE 2，∵∵ADE 为等腰直角三角形，∵AE=AD ，∵DE 2=2AD 2，∵BE 2=BD 2+DE 2=BD 2+2AD 2，在Rt∵BDC 中，BD BC <，而BC 2=2AB 2，∵BD 2<2AB 2，∵()2222BE AD AB <+故④错误，综上，正确的个数为2个．故选：B ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．二、填空题11．如图，△ABC 中，AB ＝BC ，AD △BC 垂足为D ，BE ＝AC ，△EAC ＝3△C ，BD ＝7，AC ﹣2AE ＝8，则AE 的长为 __．【答案】11【分析】在BC 上截取CM ＝AE ，连接AM ，通过论证∵AFB ∵∵BDA 和Rt∵EFB ∵Rt∵EFB ，为证明∵AEM ∵∵MCA 作准备条件，设MC ＝AE ＝x ，用含x 的代数式表示AB ，AC ，进而使用勾股定理建立方程，求解AE 的长．【详解】解：过点B 作BF ∵EA 于点F ，∵∵FAO +∵AOF ＝∵OBD +∵BOD ＝90°，∵∵AOF ＝∵BOD ，∵∵FAO ＝∵OBD∵∵EAC ＝3∵C ，∵AB ＝BC ，∵∵BAC ＝∵C∵∵EAB ＝2∵C∵∵BAD +∵FAO ＝180°﹣2∵C∵∵ABC ＝180°﹣2∵C ＝∵ABF +∵OBD ，∵∵ABF +∵OBD ＝∵BAD +∵FAO∵∵ABF ＝∵BAD∵AD ∵BC ，∵∵F ＝∵ADB ＝90°在∵BFA 和∵ADB 中，F ADB ABF BAD AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵∵AFB ∵∵BDA （AAS ）∵BF ＝AD在Rt∵EFB 和Rt∵CDA 中，EB AC BF AD =⎧⎨=⎩∵Rt∵EFB ∵Rt∵CDA （HL ）．在BC 上截取CM ＝AE ，连接AM ．在∵AEB 和∵MCA 中，AE MC E C BE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．∵∵AEB ∵∵MCA （SAS ）．∵AB ＝AM ．∵AD ∵BC ，∵AD 垂直平分BM ．∵BD ＝DM ＝7．设AE ＝MC ＝x ，∵AC ＝8+2x ，DC ＝7+x ，AB ＝14+x ．在∵ABD 和∵ADC 中，据勾股定理得，AB 2﹣BD 2＝AC 2﹣DC 2＝AD 2，即（14+x ）2﹣72＝（8+2x ）2﹣（7+x ）2．化简得x 2﹣5x ﹣66＝0，解得x 1＝11，x 2＝﹣6（舍去），∵AE 的长为11．故答案为：11．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．12．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 、E 分别在AC 、BC 上，且AD BE =，连接DE ，若四边形BADE 的面积是5，6AB =，则DE 的长为________.【答案】4【分析】作DF AB ⊥交AB 于F ，EH AB ⊥交 AB 于H ，DG EH ⊥交EH 于G ，可得四边形 DFHG 为矩形，设EH a =，DF b =，则有EG EH DF a b =-=-，容易证得 ()AFD EHB AAS ≅，可得6DG a b =--，根据5BADE S =四边形，得到 5ADE DFHE EHB S S S ++=梯形，即有()()11165222ab a b a b ab ++--+=，化简得 ()22610a b a b +=+-，根据DE【详解】解：如图示，作DF AB ⊥交AB 于F ，EH AB ⊥交 AB 于H ，DG EH ⊥交EH 于G ，∵四边形DFHG 为矩形，∵DF GH =，DG FH =，设EH a =，DF b =，∵EG EH DF a b =-=-，在ABC 中，90ACB ∠=︒∵90A B ∠+∠=︒，在ADF 中，90AFD ∠=︒∵90A ADF ∠+∠=︒，∵B ADF ∠=∠又∵AD BE =，90AFD EHB ∠=∠=︒∵()AFD EHB AAS ≅∵AF EH a ==，DF BH b ==∵6FH AB AF BH a b =--=--∵6DG FH a b ==--∵5BADE S =四边形，∵5ADE DFHE EHB S S S++=梯形即：()()11165222ab a b a b ab ++--+=∵()22610a b a b +=+- Rt DGE 中，DE =4= 故答案是：4．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．13．如图，在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 、E 为BC 上两点，45DAE ∠=︒，F为ABC 外一点，且FB BC ⊥，FA AE ⊥，则下列结论：①CE BF =；②222BD CE DE +=；③14ADE EF S AD ⋅＝；④2223CE BE AE +=，其中正确的是（写代号）________．【答案】①②③【分析】根据等腰直角三角形的性质，判断出∵AFB ∵∵AEC ，即可得出CE =BF ，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④．【详解】解：①∵∵BAC =90°，FA ∵AE ，∵DAE =45°，∵∵CAE =90°-∵DAE -∵BAD =45°-∵BAD ，∵FAB =90°-∵DAE -∵BAD =45°-∵BAD ，∵∵FAB =∵EAC ，∵AB =AC ，∵BAC =90°，∵∵ABC =∵ACB =45°，∵FB ∵BC ，∵∵FBA =45°，∵∵AFB ∵∵AEC ，∵CE =BF ，故①正确，②：由①中证明∵AFB ∵∵AEC ，∵AF =AE ，∵∵DAE =45°，FA ∵AE ，∵∵FAD =∵DAE =45°，∵∵AFD ∵∵AED ，连接FD ，∵FB =CE ，∵CE 2+BD 2=FB 2+BD 2=FD 2=DE 2，故②正确，③：如图，设AD 与EF 的交点为G ，∵∵FAD =∵EAD =45°，AF =AE ，∵AD ∵EF ，EF =2EG ，∵S ∵ADE =12•AD •EG =12•AD •12EF =14• AD •EF ，故③正确，④∵FB 2+BE 2=EF 2，CE =BF ，∵CE 2+BE 2=EF 2，在Rt ∵AEF 中，AF =AE ，AF 2+AE 2=EF 2，∵EF 2=2AE 2，∵CE 2+BE 2=2AE 2，故④错误．故答案为：①②③．【点评】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角直角三角形的性质，此题涉及的知识面比较广，解题时要注意仔细分析，难度较大．14．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，D 为AC 中点，E 为边AB 上一动点，当四边形BCDE 有一组邻边相等时，则AE 的长为_____________．【答案】2或3或135．【分析】分BC BE =、CD DE =、BE DE =三种情况考虑，当BC BE =时，由AE AB BE =-即可求出AE 的长度；当CD DE =时，过点D 作DF AE ⊥于F ，通过解直角三角形可得出AF 的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可得出AE 的长度；当BE DE =时，过点D 作DF AE ⊥于F ，设EF x =，则52BE x =-，利用勾股定理表示出2DE 的值，结合BE DE =即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出x 的值，进而即可得出AE 的长度，综上即可得出结论．【详解】解：在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，4AB ∴=，AC =， D 为AC 中点，AD CD ∴=当四边形BCDE 有一组邻边相等时，由以下三种情况．①如图1，当BC BE =时，2BE BC ∴==，422AE AB BE ∴=-=-=；②如图2，当CD DE =时，作DF AE ⊥，垂足为点F ，AD CD DE ∴===12AF EF AE ∴==，在Rt ADF 中，1122DF AD ===32AF ∴==， 32232AE AF ∴==⨯=； ③如图3，当BE DE =时，作DF AE ⊥，垂足为点F ，35422BF AB AF ∴=-=-=，设EF x =，则52BE BF EF x =-=-，在Rt DEF △中，DF =，52DE BE x ==-，EF x =， 222EF DF DE ∴+=，即22252x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1110x =，即1110EF =， 311132105AE AF EF ∴=+=+=．故答案为：2或3或135．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形以及解一元一次方程，分三种情况寻找AE 的长度是解题的关键．15．如图，在四边形ABCD 中，45B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，PA PD =，90APD ∠=︒，AB CD BC+=______．【分析】通过等腰直角三角形构建一线三等角模型求解即可．【详解】解：如图所示，分别过A 、D 作AE BC ⊥于E ，DF BC ⊥于F∵90AEP DFP ∠=∠=︒∵90APE PAE ∠+∠=︒,90DPF PDF ∠+∠=︒∵90APD ∠=︒∵90APE DPF +=︒∠∠∵APE DPF ∠=∠ ,PAE DPF ∠=∠在AEP △与DFP △中APE DPF PA PDPAE DPF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∵()AEP DPF ASA ≅△△∵AE PF = ，PE DF =45,C ∠=︒45,FDC C ∴∠=∠=︒,DF FC PE ∴==在Rt ABE △中，45B ∠=︒∵AB ==同理可得：CD ==∵)()2BE CF AB CD BC BE CF ++===+2 ．【点睛】本题考察特殊的直角三角形，灵活运用一线三等角模型及特殊直角三角形三边关系是解题的关键．16．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点D 在BC 上，点E 为Rt ABC △外一点，且ADE为等边三角形，60CBE ∠=︒，若7BC =，4BE =，则ADE 的边长为__________．【答案】【分析】在BC 的延长线上取点F ，使得60AFD ∠=︒，证()AFD DBE AAS △≌△，得4FD BE ==，AF BD =，设CF x =，则4CD x =-，3BD x =+，再由含30角的直角三角形的性质得2AF x =，则23x x =+，解得3x =，即可解决问题．【详解】解：在BC 的延长线上取点F ，使得60AFD ∠=︒，∵ADE 是等边三角形，∵AD DE AE ==，60ADE ∠=︒，∵ADB AFD DAF ADE EDB ∠=∠+∠=∠+∠，∵DAF EDB ∠=∠，在AFD 和DBE 中，60AFD DBE DAF EDBAD DE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∵()AFD DBE AAS △≌△，∵4FD BE ==，AF BD =，设CF x =，则4CD x =-，)743(BD x x =--=+，∵90ACB ∠=︒，∵90ACF ∠=︒，∵906030CAF ∠=︒-︒=︒，∵22AF CF x ==，∵23x x =+，解得：3x =，∵3,CF AC ==∵1CD =，∵AD ===故答案为：【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质．三、解答题17．如图，△MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，求运动过程中，点D到点O的最大距离．＋1【分析】取AB的中点E，连接OE、DE、OD，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得．【详解】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，∵OD≤OE＋DE，∵当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，∵AB＝2，BC＝1，AB＝1，∵OE＝AE＝12DE，∵OD＋1．【点睛】此题考查勾股定理，三角形三边的关系，矩形的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半的性质．18．如图，是由边长为1的小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．五边形ABCDE的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）五边形ABCDE的周长为．（2）在AB上找点F，使E，C两点关于直线DF对称；（3）设DF交CE于点G，连接AG，直接写出四边形AEDG的面积；（4）在直线DF上找点H，使△AHB＝135°．【答案】（1）20（2）见解析；（3）10；（4）见解析．【分析】（1）根据勾股定理求出五边形ABCDE各边的长，相加即可；（2）连接EC，作DF∵EC交AB于点F即可；（3）分成两个三角形求面积即可；（4）利用等腰直角三角形的性质求解即可．【详解】DE=，解：（1）由题意，5AB BC CD===，AE5∵五边形ABCDE的周长故答案为：20（2）如图，连接EC ，作DF ∵EC 交AB 于点F ，点F 即为所求作．∵5DE CD ==，DF ∵EC ，∵CE GE =，∵点D ，G 是CE 垂直平分线上的点，∵DF 是CE 的垂直平分线，∵E ，C 两点关于直线DF 对称；（3）∵EG =AG AE ==∵222AG AE EG +=，∵AEG △是直角三角形；∵11521022AEG DEG AEDG S S S =+=⨯⨯⨯=四边形．（4）如图，过点A 作AH ∵DF 于H ，连接BH ，则点H 即为所求作．∵BK KH =BH ==∵222KH B H K B +=．∵BHK 是等腰直角三角形．∵45BHK ∠=︒．∵135AHB ∠=︒．【点睛】本题考查作图-轴对称变换，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19．已知△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，△ACB ＝△ECD ＝90°．（1）如图1，若D 为△ACB 内部一点，请判断AE 与BD 的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若D 为AB 边上一点，AD ＝5，BD ＝12，求DE 的长．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知△CAE =90°，AC =AE ，45ABC ∠=︒，AB =BC =1，求BE 的长．图1 图2 图3【答案】（1）AE BD =，理由见解析；（2）13；（3【分析】（1）证明AEC BDC ≌△△即可得AE BD =；（2）方法同（1）证明AEC BDC ≌△△，从而90,EAD ∠=︒AE BD =，最后由勾股定理即可求得DE（3）根据（1）（2）的方法作点C 关于AB 对称点C '则BC BC '=，连接,BC EC ''，证明BC E '∠=90︒，通过证明C AC '△≌C AE '△得CC C E ''=，在Rt BC E '中用勾股定理求得BE 的长．【详解】（1）如图∵ACB 和∵ECD 都是等腰直角三角形，∵ACB ＝∵ECD ＝90°,,1290,2390CE CD CA CB ∴==∠+∠=︒∠+∠=︒13∠∠∴=∴AEC BDC ≌△△(SAS)∴AE BD =．（2）如图∵ACB 和∵ECD 都是等腰直角三角形，∵ACB ＝∵ECD ＝90°,,1290,2390CE CD CA CB ∴==∠+∠=︒∠+∠=︒,45B CAB ∠=∠=︒13∠∠∴=∴AEC BDC ≌△△(SAS)∴AE BD =，4B ∠=∠490EAD CAB ∴∠=∠+∠=︒在Rt ADE △中，12,5AE BD AD ===13ED ∴==．（3）如图：作点C 关于AB 对称点C '，连接,BC EC ''则1BC BC '==,AC AC '=，455ABC ∠∠==︒90C BC '∴∠=︒C C '∴==AB BC BC '==BAC BCA BAC '∴∠=∠=∠1(18045)67.52BC A '=∠=⨯︒-︒=︒ 267.5135CAC '∴∠=⨯︒=︒360C AE CAE CAC ''∴∠=︒-∠-∠36067.5290=︒-︒⨯-︒135=︒CAC C AE ''∴∠=∠又AE AC AC '==1112(180)(180135)22.5,22C AE '∴∠=∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒ 1134(180)(180135)22.522C AC '∠=∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒ 13∠∠∴=∴167.522.590BC E BC A ''∠=∠+∠=︒+︒=︒在C AC '△与C AE '△中13AC AC C AE C AC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠='∠''⎩'∴C AC '△≌C AE '△（AAS ）CC C E ''∴==在Rt BC E '中C E '，1BC '=BE ∴．【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，找到三角形全等的条件或通过辅助线构造三角形全等的条件是解题的关键．20．已知在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 边上一点，连接AD ，在直线AD 右侧作等腰△ADE ，AD =AE ．（1）如图1，若△BAC =△DAE =90°，连接CE ．求证：△ABD △△ACE ；（2）如图2，若△BAC =△DAE =120°，AB =AC =2．①当AE △BC 时，求线段BD 的长；②取AC 边的中点F ，连接EF ．当点D 从点B 运动到点C 过程中，求线段EF 长度的最小值与最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）①BD =；②线段EF 长度的最小值为12【分析】（1）由“SAS ”可证得ABD ACE △≌△；（2）①如图1，过点D 作DM ∵AB 于点M ，连接CE ，根据∵BAC =∵DAE =120°求出∵BAD =∵CAE ，然后根据平行性质求出∵ABC =∵ACB =∵EAC =30°，得到ABD △是等腰三角形，然后就可以求解了．②如图2，取AB 中点G ，连接DG ，CG ，由“SAS ”可证AFE AGD △≌△，可得GD=EF , 当GD ∵BC 时，GD 有最小值．当点D 与点C 重合时，DG 有最大值为CG ，即EF 也有最大值．【详解】证明：（1）∵∵BAC =∵DAE =90°，∵∵BAD =∵CAE ．∵AB =AC ，AD =AE ，∵ABD ACE △≌△（SAS ）；（2）解：①如图1，过点D 作DM ∵AB 于点M ，连接CE ，∵∵BAC =∵DAE =120°，∵∵BAD =∵CAE ．∵∵BAC =120°，AB =AC ，∵∵ABC =∵ACB =30°．∵AE ∵BC ，∵∵EAC =∵ACB =30°，∵∵BAD =30°，∵AD =BD ，∵BM 12=AB =1，∵DM ∵BD = ②如图2，取AB 中点G ，连接DG ，CG ，∵AB =AC =2，点F 是AC 中点，点G 是AB 中点，∵AG =BG =AF =CF =1．∵∵BAC =∵DAE =120°，∵∵BAD =∵CAE ．∵AD=AE，AG=AF，∵AFE AGD△≌△（SAS），∵GD=EF，∵DG有最小值，EF也有最小值，∵当GD∵BC时，GD有最小值．∵∵BAC=120°，AB=AC，∵∵ABC=30°，GD∵BC，BG=1，∵GD12=，BD=当点D与点C重合时，DG有最大值为CG，即EF也有最大值．∵BD=BC∵CD=，∵CG==∵线段EF长度的最小值为12．故答案为：最小值是12【点睛】本题是三角形综合题，考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．一、单选题1．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，在△ABC中，AC=BC，△ACB=90°，点D在BC 上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A．8B．10C．12D．14【答案】B【分析】过点C作CO∵AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．由DC＝2，BD＝6，得到BC＝8，连接BC′，由对称性可知∵C′BA＝∵CBA＝45°，于是得到∵CBC′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：过点C 作CO ∵AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接CP ．此时DP ＋CP ＝DP ＋PC ′＝DC ′的值最小．∵DC ＝2，BD ＝6，∵BC ＝8，连接BC ′，由对称性可知∵C ′BA ＝∵CBA ＝45°，∵∵CBC ′＝90°，∵BC ′∵BC ，∵BCC ′＝∵BC ′C ＝45°，∵BC ＝BC ′＝8，根据勾股定理可得DC ′10．故选：B ．【点睛】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P 为何位置时 PC ＋PD 的值最小是解题的关键．2．（2020·宁波市第十五中学九年级期中）如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ACB ∆的顶点A 在ECD ∆的斜边DE 上，AB 、CD 交于F ，若6AE =，8AD =，则AF 的长为（）A ．5B ．407C ．285D ．6【答案】B【分析】连接BD ，自F 点分别作FG AD ⊥，FH BD ⊥交AD 、BD 于G 、H 点，通过证明ECA DCB ≅，可得45,6E CDB AE BD ︒∠=∠===，根据勾股定理求出AB 的长度，再根据角平分线的性质可得FG FH =，根据三角形面积公式可得34BF AF =，代入10AF BF AB +==中即可求出BF 的值．【详解】如图，连接BD ，自F 点分别作FG AD ⊥，FH BD ⊥交AD 、BD 于G 、H 点∵ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形∵90,45ECD ACB EDC E ︒︒∠=∠=∠=∠=90ECA ACD DCB ︒∴∠=-∠=∠在∵ECA 和∵DCB 中CA CB ECA DCB CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ECA DCB ∴≅45,6E CDB AE BD ︒∴∠=∠===45EDC ︒∠=90ADB EDC CDB ︒∴∠=∠+∠=在Rt∵ADB中，AB 8,6AD BD ==10AB ∴=45CDB EDC ︒∠=∠=∵DF 是∵ADB 的角平分线,FG AD FH BD ⊥⊥FG FH ∴=18421632ADF BDF AD FG S AD S BD BD FH ∆⨯∴====⨯ ∵∵ADF 底边AF 上的高h 与∵BDF 底边BF 上的高h 相同142132ADF BDF AF h S AF S BF BF h ∆∆⨯∴===⨯ 34BF AF ∴= 10AF BF AB +== 3104AF AF ∴+= 407AF ∴=故答案为：B．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理、角平分线的性质、三角形面积公式是解题的关键．3．（2020·四川）（2019秋•陇西县期中）若△ABC中，AB＝7，AC＝8，高AD＝6，则BC的长是（）A．B．C．D．以上都不对【答案】C【分析】在∵ABC中，由∵A可能是锐角或是钝角，高AD可能线段BC上或BC的延长线上，分两种情况求解，根据勾股定理，线段和差求出线段BC的长为是．【详解】解：（1）当高AD在BC上时，如图1所示：∵AD∵BC，∵在Rt∵ABD中，由勾股定理得，BD=又∵AB＝7，AD＝6，∵BD=同理可得：DC＝，又∵BC＝BD+DC，∵BC=；当高AD在BC的延长线上时，如图2所示：∵AD∵BC，∵在Rt∵ADC中，由勾股定理得，DC=又∵AC＝8，AD＝6，∵DC==，同理可得；DB=又∵BC＝DC﹣DB，∵BC＝综合所述：BC的长是故选：C．【点睛】本题综合考查了勾股定理的运用，线段的和差计算等相关知识，重点掌握勾股定理的运用，易错点三角形可能是锐角三角形或钝角三角形．BC=，AD、CE分别是4．（2019·浙江温州市·九年级）如图，在ABC中，AC=13ABC的高线与中线，点F是线段CE的中点，连接DF．若DF CE⊥，则AB=（）A．10B．11C．12D．13【答案】A【分析】连接DE，根据直角三角形的性质得到AB=2DE，根据线段垂直平分线的性质得到DE=DC，得到AB=2CD，根据勾股定理列式计算得到得到答案．解：连接DE ，∵AD∵BC ，点E 是AB 的中点，∵AB=2DE ， ∵DF∵CE ，点F 是线段CE 的中点，∵DE=DC ， ∵AB=2CD ，在Rt∵ABD 中，222AD AB BD =-，在Rt∵ACD 中，222AD AC DC =-，∵22AC DC -=22AB BD -，即2222(2)(13)CD CD CD -=--，解得，CD=5， ∵AB=2CD=10，故选：A ．【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握定理是关键．5．（2020·杭州市建兰中学九年级月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3．若S 1+S 2+S 3＝12，则下列关于S 1、S 2、S 3的说法正确的是（）A ．S 1＝2B ．S 2＝3C ．S 3＝6D ．S 1+S 3＝8【答案】D【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，得出CG NG =，CF DG NF ==，再根据三个正方形面积公式列式相加：12312S S S ++=，求出2GF 的值，从而可以计算结论即可．解：八个直角三角形全等，四边形ABCD ，EFGH ，MNKT 是正方形，CG NG ∴=，CF DG NF ==，21()S CG DG ∴=+，222CG DG CG DG =++⋅，22GF CG DG =+⋅，22S GF =，2223()2S NG NF NG NF NG NF =-=+-⋅，2222212322312S S S GF CG DG GF NG NF NG NF GF ∴++=+⋅+++-⋅==，24GF ∴=，24S ∴=，12312S S S ++=，138S S ∴+=，故选：D ．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出2312GF =是解决问题的关键．6．（2019·常熟市第一中学八年级月考）如图，在ABC 中，,904C AC ︒∠==cm ，3BC =cm ，点D 、E 分别在AC 、BC 上，现将DCE 沿DE 翻折，使点C 落在点'C 处，连接AC '，则AC '长度的最小值（）A ．不存在B ．等于 1cmC ．等于 2 cmD ．等于 2.5 cm【分析】当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，根据勾股定理得到AB=5cm，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，于是得到结论．【详解】解：当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，∵∵C=90°，AC=4cm，BC=3cm，∵AB=5cm，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，∵AC′=AB-BC′=2cm．故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．7．（2020·四川省岳池中学八年级月考）在△ABC中，△BCA=90△,AC=6,BC=8,D是AB的中点，将△ACD沿直线CD折叠得到△ECD，连接BE，则线段BE的长等于（）A．5B．75C．145D．365【答案】C【分析】根据勾股定理及直角三角形的中线、翻折得CD=DE=BD=5，CE=AC=6，作DH∵BE于H，EG∵CD于G，证明∵DHE∵∵EGD，利用勾股定理求出75EH DG==，即可得到BE.【详解】∵∵BCA=90∵，AC=6，BC=8， ∵22226810AB AC BC ，∵D 是AB 的中点，∵AD=BD=CD=5，由翻折得：DE=AD=5，∵EDC=∵ADC ，CE=AC=6，∵BD=DE ，作DH∵BE 于H ，EG∵CD 于G ，∵∵DHE=∵EGD=90︒，∵EDH=12∵BDE=12（180︒-2∵EDC ）=90︒-∵EDC ，∵∵DEB= 90︒-∵EDH=90︒-(90︒-∵EDC)=∵EDC ，∵DE=DE ，∵∵DHE∵∵EGD ，∵DH=EG ，EH=DG ，设DG=x ，则CG=5-x ，∵2EG =2222DE DG CE CG -=-，∵222256(5)x x -=--，∵75x =， ∵75EH DG ==， ∵BE=2EH=145，故选：C.【点睛】此题考查翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，将求BE 转换为求其一半的长度的想法是关键，由此作垂线，证明∵DHE∵∵EGD ，由此求出BE 的长度.8．（2021·山西）如图，在长方形纸片ABCD 中，8AB cm =，6AD cm =. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，则AF 的长为（）A ．254cmB ．152cmC ．7cmD ．132cm 【答案】A【分析】由已知条件可证∵CFE∵∵AFD ，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm ，设AF=xcm ，则DF=(8-x)cm ，在Rt∵AFD 中，利用勾股定理即可求得x 的值.【详解】∵四边形ABCD 是长方形，∵∵B=∵D=900，BC=AD,由翻折得AE=AB=8m ，∵E=∵B=900,CE=BC=AD又∵∵CFE=∵AFD∵∵CFE∵∵AFD∵EF=DF设AF=xcm ，则DF=（8-x ）cm在Rt∵AFD 中，AF 2=DF 2+AD 2,AD=6cm ，222(8)6x x =-+254x cm = 故选择A.【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.二、填空题9．（2021·华东师范大学青岛实验中学八年级期中）如图，在Rt ABC 中，ACB 90,AC 6,BC 8∠=︒==，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E 、F 分别是AD 、AC 上的动点，则CE EF +的最小值为________．。

勾股定理专题

专题复习勾股定理（郑默言）本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的。

如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为：。

2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个，称为勾股数。

常见勾股数如下：3、常见平方数：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=专题一、勾股定理与面积1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，则Rt ▲ABC 的面积S= 。

2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为：3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于。

5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是。

6、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为。

7、如图，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？l321S 4S 3S 2S 18、如下图，在∆ABC 中，︒=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到∆ABC 三边距离相等的点，求点P 到∆ABC 三边的距离。

9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。

10、如图①，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，则不难证明S 1=S 2+S 3 .(1) 如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，那么S 1、S 2、S 3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S 1、S 2、S 3表示，请你猜想S 1、S 2、S 3之间的关系?.专题二、勾股定理与折叠1、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在DC 边上的点G 处，求BE 的长。

专题04 勾股定理常考压轴题汇总(解析版)

专题04勾股定理常考压轴题汇总一．选择题（共23小题）1．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b的值为（）A．12B．14C．16D．18【答案】B【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴a+b＝6+8＝14，故选：B．2．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是6和3，则所走的最短线段是＝3；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是5和4，所以走的最短线段是＝；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和2，所以走的最短线段是＝；三种情况比较而言，第二种情况最短．所以它需要爬行的最短路线的长是，故选：B．3．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【答案】C【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI 上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（）A．3B．C．2D．【答案】B【解答】解：∵四边形ABGF是正方形，∴∠FAB＝∠AFG＝∠ACB＝90°，∴∠FAC+∠BAC＝∠FAC+∠ABC＝90°，∴∠FAC＝∠ABC，在△FAM与△ABN中，，∴△FAM≌△ABN（ASA），＝S△ABN，∴S△F AM＝S四边形FNCM，∴S△ABC∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵AC+BC＝6，∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC＝36，∴AB2+2AC•BC＝36，＝10.5，∵AB2﹣2S△ABC∴AB2﹣AC•BC＝10.5，∴3AB2＝57，解得AB＝或﹣（负值舍去）．故选：B．5．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2【答案】C【解答】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．6．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AC＝3，则BC长是（）A．3.5B．C．4D．5【答案】B【解答】解：以AC为直径的半圆的面积＝×π×＝π，同理：以BC为直径的半圆的面积＝π，以AB为直径的半圆的面积＝π，∴S1+S2＝π+π+△ABC的面积﹣π，∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴S1+S2＝△ABC的面积＝AC•BC＝7，∵AC＝3，∴BC＝．故选：B．7．如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm 的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（）A．（10﹣5）cm B．3cm C．（10﹣4）cm D．5cm【答案】A【解答】解：当GI最大时，GJ最小，当I运动到点A时，GI最大，此时GI＝cm，而AC2＝AB2+BC2＝42+32＝25，∴GI＝＝＝5（cm），∴GJ长度的最小值为（10﹣5）cm．故选：A．8．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．420B．440C．430D．410【答案】B【解答】解：如图，延长AB交KL于P，延长AC交LM于Q，由题意得，∠BAC＝∠BPF＝∠FBC＝90°，BC＝BF，∴∠ABC+∠ACB＝90°＝∠PBF+∠ABC，∴∠ACB＝∠PBF，∴△ABC≌△PFB（AAS），同理可证△ABC≌△QCG（AAS），∴PB＝AC＝8，CQ＝AB＝6，∵图2是由图1放入长方形内得到，∴IP＝8+6+8＝22，DQ＝6+8+6＝20，∴长方形KLMJ的面积＝22×20＝440．故选：B．9．国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A处出发先往东走9km，又往北走3km，遇到障碍后又往西走7km，再向北走2km，再往东走了4km，发现走错了之后又往北走1km，最后再往西走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．3km B．10km C．6km D．km【答案】D【解答】解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．观察图形可知AC＝9﹣7+4﹣1＝5（km），BC＝3+2+1＝6（km），在Rt△ACB中，AB＝（km）．答：门口A到藏宝点B的直线距离是km，故选：D．10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝9，BC＝6，则BD的长为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝9，BC＝6，∴，∵，∴AC•BC＝AB•CD，，，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴，故选：B．11．如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，打算用瓷砖铺上一条新路，居民走新路比走拐角近（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【答案】D【解答】解：根据勾股定理求得，AB＝＝10（m），∴AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），故选：D．12．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148B．100C．196D．144【答案】A【解答】解：设将CA延长到点D，连接BD，根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，∵∠BCD＝90°，∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，∴BD＝25，∴AD+BD＝12+25＝37，∴这个风车的外围周长是37×4＝148．故选：A．13．如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（）A．5B．C．6D．【答案】C【解答】解：如图，连接AC，取AC的中点为M，连接DM、EM，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∵AD＝8，CD＝6，∴AC＝，∵M是AC的中点，∴DM＝AC＝5，∵M是AC的中点，E是AB的中点，∴EM是△ABC的中位线，∵BC＝2，∴EM＝BC＝1，∵DE≤DM+EM（当且仅当点M在线段DE上时，等号成立），∴DE≤6，∴DE的最大值为6．故选：C．14．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm【答案】A【解答】解：∵点C为线段AB的中点，∴AC＝AB＝4cm，在Rt△ACD中，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∵CD⊥AB，∴∠DCA＝∠DCB＝90°，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴AD＝BD＝5cm，∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；∴橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．15．如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意可得∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝3﹣1＝2，则CB＝＝，那么点P表示的实数为3﹣，故选：A．16．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：如下图，设图中直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边为c，∵图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，∴可有，解得c2＝18，解得或（不合题意，舍去），∴大正方形的边长是．故选：D．17．如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A．5米B．6米C．7米D．8米【答案】C【解答】解：∵△ABC是直角三角形，BC＝3m，AB＝5m∴AC＝＝4（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AC+BC＝7米，故选：C．18．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACKJ，正方形ABFE，正方形BCIH，连接AH．CF，具中正方形BCIH面积为1，正方形ABFE面积为5，则以CF为边长的正方形面积为（）A．4B．5C．6D．10【答案】D【解答】解：过点C作CM⊥EF于点M，交AB于点N，∵正方形ABFE面积为5，正方形BCIH面积为1，∴CN⊥AB，BC＝1，AB＝MN＝，BN＝FN，∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝2，∴，即＝CN，∴CN＝，∴BN＝FM＝＝＝，∴CM＝CN+MN＝＝，∴CF＝10，∴以CF为边长的正方形面积为10．故选：D．19．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN．四块阴影部分的面积如图所示分别记为S、S1、S2、S3，若S＝10，则S1+S2+S3等于（）A．10B．15C．20D．30【答案】C【解答】解：如图，过E作BC的垂线交ED于D，连接EM．在△ACB和△BDE中，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝∠EBD，AB＝BD，∴△ACB≌△BND（AAS），同理，Rt△GDE≌Rt△HCB，∴GE＝HB，∠EGD＝∠BHC，∴FG＝EH，∴DE＝BC＝CM，∵DE∥CM，∴四边形DCME是平行四边形，∵∠DCM＝90°，∴四边形DCME是矩形，∴∠EMC＝90°，∴E、M、N三点共线，∵∠P＝∠EMH＝90°，∠PGF＝∠DGE＝∠BHC＝∠EHM，∴△PGF≌△MHE（AAS），∵图中S1＝S Rt△EMH，S△BHC＝S△EGD，∴S1+S3＝S Rt△ABC．S2＝S△ABC，∴S1+S2+S3＝Rt△ABC的面积×2＝20．故选：C．20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作S1、S2、S3，若S1＝25，S3＝16，则S2为（）A．9B．11C．32D．41【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2．∵S1＝（AB）2π＝AB2＝25，∴AB2＝25×．同理BC2＝16×．∴AC2＝AB2﹣BC2＝25×﹣16×＝9×．∴S1＝（AC）2π＝AC2＝×9×＝9．故选：A．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．若已知S△ABC＝S，则下列结论：①S4＝S；②S2＝S；③S1+S3＝S2；④S1+S2+S3+S4＝2.5S．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【答案】A【解答】解：由题意有Rt△EBD≌Rt△ABC，∴S4＝S；故①正确；过F作AM的垂线交AM于N，由题意，得Rt△ANF≌Rt△ABC，Rt△NFK≌Rt△CAT，所以S2＝S，故②正确；连接FP，FQ，由题意，可得△AQF≌△ACB，则F，P，Q三点共线，由Rt△NFK≌Rt△CAT可得Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3＝S△FPT，可得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3＝S Rt△AQF＝S，故③正确；S1+S2+S3+S4＝（S1+S3）+S2+S4+S Rt△ABC+S Rt△ABC＝S Rt△ABC×3＝S Rt△ABC＝3S，故④不正确．故选：A．22．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10B．12C．13D．14【答案】C【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．23．将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFGH．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且A′E＝ME．B′F ＝NF，C′G＝PG，D′H＝HQ，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即△A′EF，△B′FG，△C′CH．△D′HE．若FM平分∠BFE，正方形ABCD和正方形EFGH 的边长比为1：5．若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，则正方形EFCH的面积是（）A．B．C．3m D．【答案】B【解答】解：∵将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFCH．正方形ABCD和正方形EFGH的边长比为1：5．∴设正方形ABCD的边长为a，则正方形EFGH的边长为5a，设AE＝BF＝CG＝DH＝x，在△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（x+a）2+x2＝（5a）2，x2+ax﹣12a2＝0，（x+4a）（x﹣3a）＝0，x＝﹣4a（舍去）或x＝3a，∴BE＝4a，BF＝3a，EF＝5a，∵FM平分∠BFE，∴△EMF边EF上的高为BM，+S△MBF＝S△BEF，则S△BMF即，∴，∴BM＝，∵A'E＝ME＝BE﹣BM＝4a﹣a，若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，＝S△EF A'＝m，∴S△EMF∴，∴a m，∴a＝∴EF＝5a＝，＝EF＝，∴S正方形EFCH故选：B．二．填空题（共14小题）24．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为32cm．【答案】32．【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，∴BC＝7﹣3＝4（cm），由勾股定理得：AC＝＝5（cm），∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案为：32．25．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接PA，当△ABP为等腰三角形时，t的值为16或10或．【答案】16或10或．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC＝cm，∵△ABP为等腰三角形，当AB＝AP时，则BP＝2BC＝16cm，即t＝16；当BA＝BP＝10cm时，则t＝10；当PA＝PB时，如图：设BP＝PA＝x cm，则PC＝（8﹣x）cm，在Rt△ACP中，由勾股定理得：PC2+AC2＝AP2，∴（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴t＝．综上所述：t的值为16或10或．故答案为：16或10或．26．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为．【答案】．【解答】解：当BN为最大线段时，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN＝＝＝，故答案为：．27．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝136．【答案】136．【解答】解：∵BD⊥AC，∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，∴BO2+CO2＝CB2，OB2+OA2＝AB2＝36，OA2+OD2＝AD2，OC2+OD2＝CD2＝100，∴BO2+CO2+OA2+OB2＝36+100，∴AD2+CB2＝BO2+CO2+OA2+OB2＝136；故答案为：136．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（30，0）（0，12），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，点P 的坐标为（9，12）或（3，12）或（24，12）．【答案】（9，12）或（6，12）或（24，12）．【解答】解：由题意，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，有三种情况：（1）如答图①所示，PD＝OD＝15，点P在点D的左侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝12．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD﹣DE＝15﹣9＝6，∴此时点P坐标为（6，12）；（2）如答图②所示，OP＝OD＝15．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△POE中，由勾股定理得：OE＝＝＝9，∴此时点P坐标为（9，12）；（3）如答图③所示，PD＝OD＝5，点P在点D的右侧．过点P作PE⊥x轴于点E，则PE＝4．在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE＝＝＝9，∴OE＝OD+DE＝15+9＝24，∴此时点P坐标为（24，12）．综上所述，点P的坐标为：（9，12）或（6，12）或（24，12）；故答案为：（9，12）或（6，12）或（24，12）．29．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（AD和BC），门边沿D，C两点到门槛AB的距离是1尺（1尺＝10寸），两扇门的间隙CD为2寸，则门槛AB长为101寸．【答案】101．【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，如图，过D作DE⊥AB于点E，则DE＝10寸，OE＝CD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101，即门槛AB长为101寸，故答案为：101．30．如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇2号在指挥中心南偏东60°的B处，并且OA＝OB．接到行动指令后，舰艇1号向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇2号沿北偏东60°的方向以m海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达点E，F处，若∠EOF＝75°，EF＝210海里，则m的值为80．【答案】80．【解答】解：延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+30°＝150°，∠EOF＝75°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（60°+60°）＝180°，延长FB至D，使BD＝AE，连接OD，∵∠OBD＝∠OBC，∴．∠OBD＝∠A，∴△OBD≌△OAE（SAS），∴OD＝OE，∠BOD＝∠AOE，∵∠EOF＝∠AOB＝∠EOD，∴．∠EOF＝∠DOF，又∵OF＝OF，∴△EOF≌△DOF（SAS），∴EF＝AE+BF，即EF＝1.5×（60+m）＝210．解得m＝80．故答案为：80．31．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交BC于点M．若AB＝5，EF＝1，则GM的长为．【解答】解：由图可知∠AED＝90°，AB＝5，EF＝1，∵大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，故AE＝BF＝GC＝DH，设DE＝x，则在Rt△AED中，AD＝AB＝5，AE＝1+x，根据勾股定理，得AD2＝DE2+AE2，即52＝x2+（1+x）2，解得：x1＝3，x2＝﹣4（舍去）．过点M作MN⊥FB于点N，如图所示．∵四边形EFGH为正方形，EG为对角线，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EGF＝∠NGM＝45°，故△GNM为等腰直角三角形．设GN＝NM＝a，则NB＝GB﹣GN＝3﹣a，∵MN∥AF，∴△BMN∽△BAF，∴＝，将MN＝a，AF＝3，BN＝3﹣a，BF＝4代入，得＝，解得a＝，∴MN＝GN＝，在Rt△MGN中，由勾股定理，得GM＝＝＝．32．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝15km，CD＝10km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C 两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A10千米．【答案】10．【解答】解：设AP＝x千米，则DP＝（25﹣x）千米，∵B、C两村到P站的距离相等，∴BP＝PC．在Rt△APB中，由勾股定理得BP2＝AB2+AP2，在Rt△DPC中，由勾股定理得PC2＝CD2+PD2，∴AB2+AP2＝CD2+PD2，又∵AB＝15km，CD＝10km，∴152+x2＝102+（25﹣x）2，∴x＝10．故答案为：10．33．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm（杯壁厚度不计）．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B＝＝＝20（cm）．故答案为20．34．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．【答案】．【解答】解：如图，连接BP，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，∴BD＝DC，∴BP＝PC，∴PC+PQ＝BP+PQ＝BQ，∴当B，P，Q共线时，PC+PQ的值最小，∴当BQ⊥AC时，BQ的值最小，令AQ'＝a，则CQ'＝10﹣a，∵BQ'⊥AC，∴AB2﹣AQ'2＝BC2﹣CQ'2，即102﹣a2＝122﹣（10﹣a）2，解得a＝，∴BQ'＝＝，∴PC+PQ的最小值为，故答案为：．35．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为2．【答案】2．【解答】解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，BG，过B作BR⊥AG，交AG的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，∴∠GAF＝∠ACE，在△AFG和△CEA中，，∴△AFG≌△CEA（SAS），∴GF＝AE，∴AE+BF的最小值，即为BG的长，∵∠ABC＝45°，∴∠RAB＝∠EBA＝45°，∵AB＝4，∴BR＝AR＝4，∵AC＝6，∴AG＝AC＝6，∴RG＝AR+AG＝4+6＝10，∴BG＝＝＝2，即AE+BF的最小值为2．故答案为：2．36．如图，在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E，线段DE的最小值是cm．【答案】．【解答】解：∵在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∴BC2＝AB2+AC2，∴∠A＝90°，∵MD⊥AB，ME⊥AC，∴∠A＝∠ADM＝∠AEM＝90°，∴四边形ADME是矩形，∴DE＝AM，当AM⊥BC时，AM的长最短，根据三角形的面积公式得：AB•AC＝BC•AM，∴9×12＝15AM，AM＝，即DE的最小值是cm．故答案为：．37．如图，Rt△ABC中，．点P为△ABC内一点，PA2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是．【答案】．【解答】解：如图所示，取AC中点O，连接PO，BO，∵PA2+PC2＝AC2，∴∠APC＝90°，∴，∵BP+OP≥OB，∴当B、P、O三点共线时BP+OP有最小值，即此时BP有最小值，∵∠ACB＝90°，∴，∴BP＝BO﹣OP＝2，∴BP＝PO，又∠ACB＝90°，∴PC＝BO＝2，∴PC＝PO＝CO，∴△OPC是等边三角形，∴∠PCO＝60°，∠PAC＝30°∴AP＝＝2，∴，故答案为：．三．解答题（共4小题）38．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？【答案】见试题解答内容【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，∴BC＝CA．设AC为x，则OC＝9﹣x，由勾股定理得：OB2+OC2＝BC2，又∵OA＝9，OB＝3，∴32+（9﹣x）2＝x2，解方程得出x＝5．∴机器人行走的路程BC是5cm．39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）求BC边的长．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【答案】或10或16．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，∴BC＝，当AP＝BP时，如图1，则AP＝t，PC＝BC﹣BP＝8﹣t，在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2，∴62+（8﹣t）2＝t2，解得t＝；当AB＝BP时，如图2，则BP＝t＝10；当AB＝AP时，如图3，则BP＝2BC；∴t＝2×8＝16，综上，t的值为或10或16．40．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB ＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解答过程；（2）台风影响该海港持续的时间为小时．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED＝（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为28千米/小时，∴200÷28＝（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为小时．41．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）DE2＝BD2+EC2；（2）关系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．证明：将△ADB沿直线AD对折，得△AFD，连FE∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，FD＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴AF＝AC，∵∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠FAD+45°，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，∴∠FAE＝∠EAC，又∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2；解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90°得到△TAB．连接DT．∴∠ABT＝∠C＝45°，AT＝AE，∠TAE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠TBC＝∠TBD＝90°，∵∠DAE＝45°，∴∠DAT＝∠DAE，∵AD＝AD，∴△DAT≌△DAE（SAS），∴DT＝DE，∵DT2＝DB2+EC2，∴DE2＝BD2+EC2；（3）当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形．如图，与（2）类似，以CE为一边，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．若使△DFE为等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，∴当AD＝BE时，线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，且顶角∠DFE为120°．。

勾股定理(10个考点梳理+题型解读+提升训练)(原卷版)24-25学年八年级数学上学期期中考点

勾股定理（10个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC 的两直角边长分别为，斜边长为，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：a b ，c 222a b c +=，， .运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3.利用勾股定理，作出长为的线段【清单02】勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.【清单03】勾股定理逆定理 222a c b =-222b c a =-()222c a b ab =+-1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若，则△ABC 不是直角三角形.注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.【清单04】勾股数像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数【清单05】勾股定理应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题【考点题型一】一直直角三角形的两边，求第三边长【典例1】已知一直角三角形两直角边的长分别为9，12，则它的斜边长为（）A ．15B ．16C ．17D ．25【变式1-1】如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =8，AB =10，则BC 的长为（）a b c ，，222a b c +=c 2c 22a b +222c a b =+222c a b ¹+222a b c +<222a b c +>cA．6B C．24D．2【变式1-2】如图，一个零件的形状如图所示，已知∠CAB=∠CBD=90°，AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm，则CD长为（）cm．D．15A．5B．13C．1445【变式1-3】如图，∠C=∠ABD=90∘，AC=4，BC=3，BD=12，则AD的长等于．【考点题型二】等面积法斜边上的高【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AC=6，CB=8．(1)求AB的长；(2)求AB边上的高CD是多少？【变式2-1】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的高长为（）A．52B．6C．132D．6013【变式2-2】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AB=4，AC=2，则CD的长为．【变式2-3】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，则高CD=．【考点题型三】作无理数的线段【典例3】如图，在数轴上点A表示的数为a，则a的值为（）A B．―1C．―1+D．―1―【变式3-1】如图，点B，D在数轴上，OB=3，OD=BC=1,∠OBC=90°,DC长为半径作弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的是（）A B+1C1D【变式3-2】如图，OC=2,BC=1，BC⊥OC于点C，连接OB，以点O为圆心，OB长为半径画弧与数轴交于点A，若点A表示的数为x，则x的值为（）A B．C―2D．2―【变式3-3】如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A3B．3―C3D．3―【考点题型四】勾股定理的证明【典例4】用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形．请根据信息解答下列问题：(1)请用含a，b，c的代数式表示大正方形的面积．方法1：______．方法2：______．(2)根据图2，求出a，b，c之间的数量关系．(3)如果大正方形的边长为10，且a+b=14，求小正方形的边长．【变式4-1】下面四幅图中，能证明勾股定理的有（）A．一幅B．两幅C．三幅D．四幅【变式4-2】勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连接BD ，过点D 作DF ⊥BC 交BC 延长线于点F ，则DF =EC =b ―a∵S 四边形ADCB =S △ACD +S △ABC =12b 2+12ab 又∵S 四边形ADCB =S △ADB +S △DCB =12c 2+12a (b ―a )∴∴12b 2+12ab =12c 2+12a (b ―a )∴a 2+b 2=c 2请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB =90°，求证：a 2+b 2=c 2．【变式4-3】我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c 的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ）．(1)如图1，请用两种不同方法表示图中空白部分面积．方法1：S 阴影=______；方法2：S 阴影=______；根据以上信息，可以得到等式：______；(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若a=6，b=3，求阴影部分的面积．【考点题型五】直角三角形的判定【典例5】下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．8，12，13【变式5-1】以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（）A．4，8，7B．5，12，14C．2，2，4D．7，24，25【变式5-2】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A B．1,C．6,7,8D．2,3,4【变式5-3】下列几组数中，不能构成直角三角形的是（）A．9，12，15B．15，36，39C．10，24，26D．12，35，36【考点题型六】勾股定理的逆定理的运用【典例6】如图，一块四边形的空地，∠B=90°，AB的长为9m，BC的长为12m，CD的长为8m，AD的长为17m．为了绿化环境，计划在此空地上铺植草坪，若每铺植1m2草坪需要花费50元，则此块空地全部铺植草坪共需花费多少元？【变式6-1】绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积．【变式6-2】定义：顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的每一个顶点都在格点上，(1)求∠ABC的度数；(2)求格点四边形ABCD的面积．【变式6-3】如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中∠B=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，DA=24m，求这块草地的面积．【考点题型七】勾股数的应用【典例7】勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（）A ．13，14，512B ．1.5，2，2．5C ．5，15，20D ．9，40，41【变式7-1】下列各组数中，是勾股数的是( )A ．13，14，15B ．3，4，7C ．6，8，10D ．12【变式7-2】下列数组是勾股数的是（）A ．2，3，4B ．0.3，0.4，0.5C ．5，12，13D ．8，12，15【变式7-3】下列各组数中是勾股数的是（）A ．4，5， 6B ．1.5，2， 2.5C ．11，60， 61D ．12【考点题型八】构造直角三角形解决实际问题【典例8-1】如图，一架2.5m 长的梯子斜靠在墙上，此时梯足B 距底端O 为0.7m ．(1)求OA 的长度．(2)如果梯子下滑0.4m ，则梯子滑出的距离是否等于0.4m ？请通过计算来说明理由．【典例8-2】小强和小伟都喜欢放风筝．一天放学后他们互相配合又放起了风筝（如图所示），小伟想测量风筝的铅直高度CE ，于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离BD 为15m ；②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线BC （假设BC 是直的线）的长为39m ；③小强牵线的手离地面的距离DE 为1.5m ．(1)求此时风筝的铅直高度CE．(2)若小强想使风筝沿CD方向下降16m（不考虑其他因素），则他应该收线多少米？【典例8-3】台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km，BC=400km，又AB=500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．(1)求∠ACB的度数；(2)海港C受台风影响吗？为什么？(3)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【变式8-1】一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是6cm，内壁高8cm．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是5cm，则这支铅笔的长度是（）cm．A．10B．15C．20D．25【变式8-2】如图是台阶的示意图，若每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB的长度是（）A．185cm B．195cm C．205cm D．215cm【变式8-3】如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞米．【变式8-4】如图，大风把一棵树刮断，量得AC=4m，BC=3m，则树刮断前的高度为m．【变式8-5】我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺）意思为：如图，有一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面．则这根芦苇的长度是尺【变式8-6】如图，开州大道上A，B两点相距14km，C，D为两商场，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA=8km，CB=6km．现在要在公路AB上建一个土特产产品收购站E，使得C，D两商场到E站的距离相等，(1)求E站应建在离A点多少km处？(2)若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？【变式8-7】某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，当AC⊥BC时，A点到B，C两点的距离分别为500km和300km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．(1)求BC；(2)海港C受台风影响吗？为什么？【典例9】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，按图中所示方法将△BCD沿BD 折叠，使点C落在边AB的C′点．(1)求DC′的长度；(2)求△ABD的面积．【变式9-1】如图，长方形ABCD中，AB=9，BC=6，将长方形折叠，使A点与BC的中点F重合，折痕为EH ，则线段BE 的长为（）A ．53B ．4C ．52D ．5【变式9-2】如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =8cm ，BC =10cm ，则EC 的长为（）A ．3cmB ．4cmC ．3.5cmD ．5cm【变式9-3】如图，将长方形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上点F 处，若AB =3，AD =5，求EC 的长．【考点题型十】面展开图-最短路径问题【典例10-1】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是．【典例10-2】如图，圆柱形杯子容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯子内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为cm．【变式10-1】临汾是帝尧之都，有着尧都之称．尧都华表柱身祥云腾龙，顶蹲冲天吼，底座浮雕长城和黄河壶口瀑布，是中华民族历史悠久、文化灿烂的标志．如图，在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC 的中点），每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（）A．20米B．25米C．30米D．15米【变式10-24cm，A是正方体的一个顶点，B是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A爬到点B的最短路径是（）A．9B．+6C．D．12【变式10-3】如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=9cm，BC=6cm，BF=5cm，点M在棱AB上，且AM=3cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为cm．【变式10-4】如图，圆柱的底面周长是10cm，圆柱高为12cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为．【变式10-5】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是．【变式10-6】如图，学校有一块长方形花圃，有少数人为了走“捷径”，在花圃内走出一条不文明的“路”，其实他们仅仅少走了m，却踩伤了花草．【变式10-7】如图，在一个边长为6cm的正方形纸片ABCD上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是cm．。

勾股定理专题(附答案-全面、精选)

勾股定理一、探索勾股定理【知识点1】勾股定理定理内容：在RT△中，勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角典型题型1、对勾股定理的理解（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（）A、c²- a²=b²B、c²- b²=a²C、a²- c²=b²D、a²+b²= c²（2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（）A、BC²- AB²=AC²B、BC²- AC²=AB²C、AB²+AC²= BC²D、AC²+BC²= AB²2、应用勾股定理求边长（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长.（4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．3、利用勾股定理求面积（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。

（6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为。

（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x=,y=。

（8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（）A、6B、8C、10D、12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S12、、S S S S S S341234、，则+++=_____________。

【知识点2】勾股定理的验证推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。

专题01 勾股定理的基本应用(解析版)

专题01 勾股定理的基本应用题型一求面积1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2()24a b +=，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：设大正方形的边长为c ，则22214c a b ==+，2()24a b +=Q ，22224a ab b \++=，解得5ab =，\小正方形的面积是：1441425141042ab -´=-´=-=，故选：C ．2．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，则正方形C 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．12【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，24610C S \-=+正方形，8C S \=正方形．故选：C ．3．如图，点C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边向两侧作正方形．设6AB =，两个正方形的面积和1220S S +=，则图中BCD D 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解答】解：设AC a =，BC b =，由题意得：6a b +=，2220a b +=，222()2a b a b ab +=+-Q ，22062ab \=-，8ab \=，BCD \D 的面积118422ab ==´=．图中BCD D 的面积为4．故选：A ．4．正方形ABCD 的边长为1，其面积记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为2S ，L 按此规律继续下去，则2022S 的值为( )A ．20221()2B ．20211()2C ．2022D ．2021【解答】解：在图中标上字母E ，如图所示．Q 正方形ABCD 的边长为1，CDE D 为等腰直角三角形，222DE CE CD \+=，DE CE =，221S S S \+=．观察，发现规律：2111S ==，211122S S ==，321124S S ==，431128S S ==，¼，11()2n n S -\=．当2022n =时，202212021202211()()22S -==，故选：B ．5．如图，以正方形ABCD 的边AD 为直径作一个半圆，点M 是半圆上一个动点，分别以线段AM 、DM 为边各自向外作一个正方形，其面积分别为1S 和2S ，若正方形的面积为10，随点M 的运动12S S +的值为( )A ．大于10B ．小于10C ．等于10D ．不确定【解答】解：AB Q 为半圆的直径，90AMD \Ð=°，22210AM DM AD \+==，21S AM =Q ，22S DM =，1210S S \+=．故选：C ．6．如图，在四边形ABDE 中，//AB DE ，AB BD ^，点C 是边BD 上一点，BC DE a ==，CD AB b ==，AC CE c ==．下列结论：①ABC CDE D @D ；②90ACE Ð=°；③四边形ABDE 的面积是21()2a b +；④22111()2222a b c ab +-=´；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：//AB DE Q ，AB BD ^，DE BD \^，90B D \Ð=Ð=°．在ABC D 和CDE D 中，90AB CD B D BC DE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()ABC CDE SAS \D @D，A DCE \Ð=Ð，ACB E Ð=Ð．90A ACB Ð+Ð=°Q ，90DCE ACB \Ð+Ð=°．180DCE ACB ACE Ð+Ð+Ð=°Q ，90ACE \Ð=°，故①②正确；//AB DE Q ，AB BD ^，\四边形ABDE 的面积是21()2a b +；故③正确；Q 梯形ABDE 的面积-直角三角形ACE 的面积=两个直角三角形的面积，\22111()2222a b c ab +-=´，222a b c \+=．故③④⑤都正确．故选：A ．7．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，AD 平分BAC Ð，交BC 于点D ，6CD =，12AB =，则ABD D 的面积是( )A ．18B ．24C ．36D ．72【解答】解：作DH AB ^于D ，如图，AD Q 平分BAC Ð，DH AB ^，DC AC ^，6DH DC \==，1126362ABD S D \=´´=．故选：C ．8．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，5AC =，12BC =，分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则1234S S S S +++等于( )A ．60B ．80C ．90D ．120【解答】解：连接PF ，过点F 作FD AK ^于点D ，AB EB =Q ，90ACB ENB Ð=Ð=°，而90CBA CBE EBN CBE Ð+Ð=Ð+Ð=°，CBA EBN \Ð=Ð，()CBA NBE AAS \D @D ，故4ABC S S D =；同理ADF ABC D @D ，AC DF AQ CP \===，90QAC KDF PCD Ð=Ð=Ð=°Q ，//AQ DF \，\四边形CDFP 是矩形，90CPF \Ð=°，180QPC CPF \Ð+Ð=°，Q \，P ，F 三点共线，又FA AB =Q ，90FDA ACB Ð=Ð=°，而90FAD CAB CAB ABC Ð+Ð=Ð+Ð=°，FAD ABC \Ð=Ð，()FAD ABC AAS \D @D ，同理可证ACT FDK D @D ，2FDA ABC S S S D D \==，同理可证TPF KME D @D ，AQF ABC D @D ，13ADF ABC S S S S D D \+==，综上所证：1234133125902ABC S S S S S D +++==´´´=．故选：C ．9．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为4和10，则b 的面积为　14　．【解答】解：如图，a Q 、b 、c 都为正方形，BC BF \=，90CBF Ð=°，24AC =，210DF =，1290Ð+Ð=°Q ，2390Ð+Ð=°，13\Ð=Ð，在ABC D 和DFB D 中，13BAC FDB BC FB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ABC DFB \D @D ，AB DF \=，在ABC D 中，2222241014BC AC AB AC DF =+=+=+=，b \的面积为14．故答案为14．10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，90BAC Ð=°，3AB =，4AC =，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则空白部分的面积为 60　．【解答】解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，90BAC Ð=°Q ，3AB =，4AC =，347AO AB AC \=+=+=，3710KL \=+=，4711LM =+=，因此，矩形KLMJ 的面积为1011110´=，\空白部分的面积为22211034560---=，故答案为：60．11．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾6AE =，弦10AD =，则小正方形EFGH 的面积是　4　．【解答】解：如图，Q 勾6AE =，弦AD =弦10AB =，\股8BE ==，\小正方形的边长862=-=，\小正方形的面积224==．故答案是：4．12．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，则正方形B 的面积为　8　．【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，4186B S \+=-正方形，8B S \=正方形．故答案为：8．13．如图，在同一平面内，直线l 同侧有三个正方形A ，B ，C ，若A ，C 的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为 6　．【解答】解：如图，作LM FE ^交FE 的延长线于点M ，交JI 的延长线于点N ，Q 四边形A 、B 、C 都是正方形，且正方形A 、C 的面积分别为9、4，90EKI EDR IHG \Ð=Ð=Ð=°，29DE =，24HI =，3DE \=，2HI =，1809090EDK KHI Ð=Ð=°-°=°Q ，90DKE KHI HIK \Ð=°-Ð=Ð，在EDK D 和KHI D 中，EDK KHI DKE HIK EK KI Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EDK KHI AAS \D @D ，2DK HI \==，3DE HK ==，13232EDK KHI S S D D \==´´=；90DEF HIJ Ð=Ð=°Q ，18090DEM DEF \Ð=°-Ð=°，18090HIN HIJ Ð=°-Ð=°，90KEL KIL Ð=Ð=°Q，90MEL DEK KEM \Ð=Ð=°-Ð，90NIL HIK KIN Ð=Ð=°-Ð，//EF l Q ，//IJ l ，//EF IJ \，90EML EMN N \Ð=Ð=Ð=°，在EML D 和EDK D 中，MIL DEK EML EDK EL EK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EML EDK AAS \D @D ，EM ED EF \==，3EFL EML EDK S S S D D D \===；在LNI D 和KHI D 中，NIL HIK N KHI IL IK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()LNI KHI AAS \D @D ，IN IE IJ ==Q ，3LJI LNI KHI S S S D D D \===，336EFL LJI S S D D \+=+=，\阴影部分的总面积为6．14．如图，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为25、9、16，AEH D 、BDC D 、GFI D 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123S S S ++=　18　．【解答】解：DF DC =Q ，DE DB =，且180EDF BDC Ð+Ð=°，过点A 作AJ EH ^，交HE 的延长线于点J ，90J DFE \Ð=Ð=°，90AEJ DEJ DEJ DEF Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，AEJ DEF \Ð=Ð，AE DE =Q ，()AEJ DEF AAS \D @D ，AJ DF \=，EH EF =Q ，AHE DEF S S D D \=，同理：BDC GFI DEF S S S D D D ==，1233AHE BDC GFI DEF S S S S S S S D D D D ++=++=´，13462DEF S D =´´=，12318S S S \++=．故答案为：18．题型二求线段长15．一个大正方形，被两条线段分割成两个小正方形和两个小长方形，若两个小正方形的面积分别为10和6，则小长方形的对角线AB 的长为( )A ．4B ．6C ．10D ．16【解答】解：如图，Q 两个小正方形的面积分别为10和6，26AC \=，210BC =，由勾股定理得，4AB ===．故选：A ．16．如图，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，以AB 为边在ABC D 外作正方形，其面积为9，以BC 为斜边在ABC D 外作等腰直角三角形，其面积为4，过点B 作BD AC ^交AC 于点D ，则(AD = )A ．85B ．94C ．95D ．2【解答】解：Q 以AB 为边的正方形的面积为9，29AB \=，Q 以BC 为斜边的等腰直角三角形的面积为4，\等腰直角三角形的腰长为216BC \=，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，则5AC ===，1122ABC S AB AC AC BD D =´´=´´Q ，\1134522BD ´´=´´，解得：125BD =，由勾股定理得：95AD ===，故选：C ．17．如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，CD AB ^于D ．已知15AB =，Rt ABC D 的周长为15+，则CD 的长为( )A ．5BC ．D ．6【解答】解：如图所示：Rt ABC D Q 的周长为15+，90ACB Ð=°，15AB =，AC BC \+=，222215225AC BC AB +===，22()AC BC \+=，即222405AC AC BC BC +´+=，2405225180AC BC \´=-=，90AC BC \´=，Q 1122AB CD AC BC ´=´，90615AC BC CD AB ´\===；故选：D ．18．若ABC=，高24=，则BC的长为( )cm．AD cmAC cmD中，30AB cm=，26A．28或8B．8C．28D．以上都不对Q为边BC上的高，【解答】解：AD\Ð=Ð=°．90ADB ADCBD===，在Rt ABDD中，18CD===．在Rt ACDD中，10当点D在线段BC上时，如图1，181028=+=+=；BC BD CD当点D在线段CB的延长线上时，如图2，18108=-=-=．BC BD CD\的长为28或8．BC故选：A．19．如图，在ABCBC=，6AB=，4AC=，则DE的^于D，且5D中，CE是AB边上的中线，CD AB长　2　．【解答】解：设BD x=-，=，则5AD x在Rt ACD D 中，222CD AC AD =-，在Rt BCD D 中，222CD BC BD =-，2222AC AD BC BD \-=-，即22226(5)4x x --=-，解得，12x =，则12BD =，2DE BE BD \=-=，贵答案为：2．20．如图，锐角三角形ABC 中，2C B Ð=Ð，AB =，8BC CA +=，则ABC D 的面积为　【解答】解：过A 作AE BC ^于E ，延长BC 到D 使CD AC =，则CAD D Ð=Ð，ACB D CAD Ð=Ð+ÐQ ，2ACB D \Ð=Ð，2C B Ð=ÐQ ，B D \Ð=Ð，AB AD \=，BE DE \=，8BC CA +=Q ，8BD BC CD BC AC \=+=+=，4BE \=，AE \==，222AE CE AC \+=，即228(4)(8)BC BC +-=-，解得：5BC =，ABC \D 的面积11522BC AE ==´´=g故答案为：．21．如图所示，ABC D 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ^于点D ，则BD 的长为　3　．【解答】解：由图形可知，5BC =，BC 边上的高为3，ABC \D 的面积1155322=´´=，由勾股定理得，5AC ==，则115522BD ´´=，解得，3BD =，故答案为：3．22．如图，在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，AC 的中垂线DE 交AC 于点D ，交BC 于点E ．延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求出CD 的长；（2）求出CF 的长．【解答】解：（1）在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，则AC ===，DE Q 是AC 的中垂线，12CD AC \==（2）DF Q 是AC 的中垂线，FA FC \=，3AB =Q ，33FB FA CF \=-=-，在Rt FBC D 中，222CF BC FB =+，即2226(3)CF CF =+-，解得：152CF =．23．如图，在ABC D 中，AB AC =，AD BC ^于点D ，45CBE Ð=°，BE 分别交AC ，AD 于点E 、F ．（1）如图1，若13AB =，10BC =，求AF 的长度；（2）如图2，若AF BC =，求证：222BF EF AE +=．【解答】（1）解：如图1，AB AC =Q ，AD BC ^，BD CD \=，10BC =Q ，5BD \=，Rt ABD D 中，13AB =Q ，12AD \==，Rt BDF D 中，45CBE Ð=°Q ，BDF \D 是等腰直角三角形，5DF BD \==，1257AF AD DF \=-=-=；（2）证明：如图2，在BF 上取一点H ，使BH EF =，连接CF 、CH 在CHB D 和AEF D 中，Q 45BH EFCBH AFE BC AF=ìïÐ=Ð=°íï=î，()CHB AEF SAS \D @D ，AE CH \=，AEF BHC Ð=Ð，CEF CHE \Ð=Ð，CE CH \=，BD CD =Q ，FD BC ^，CF BF \=，45CFD BFD \Ð=Ð=°，90CFB \Ð=°，EF FH \=，Rt CFH D 中，由勾股定理得：222CF FH CH +=，222BF EF AE \+=．24．如图，在ABC D 中，AD BC ^，垂足为点D ，13AB =，5BD =，15AC =．（1）求AD 的长；（2）求BC的长．【解答】解：（1）AD BC ^Q ，90ADB CDA \Ð=Ð=°．在Rt ADB D 中，90ADB Ð=°Q ，222AD BD AB \+=，222144AD AB BD \=-=．0AD >Q ，12AD \=．（2）在Rt ADC D 中，90CDA Ð=°Q ，222AD CD AC \+=，22281CD AC AD \=-=．0CD >Q ，9CD \=．5914BC BD CD \=+=+=．题型三通过勾股定理设方程25．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD 和正方形EFGH ，即赵爽弦图．连接AC ，分别交EF 、GH 于点M ，N ，连接FN ．已知3AH DH =，且21ABCD S =正方形，则图中阴影部分的面积之和为( )A ．214B ．215C ．225D ．223【解答】解：21ABCD S =Q 正方形，221AB \=，设DH x =，则33AH DH x ==，22921x x \+=，22110x \=，根据题意可知：AE CG DH x ===，3CF AH x ==，32FE FG CF CG x x x \==-=-=，2FGN CGNS S D D \=AEM CGN S S D D =Q ，FGN AEM CGN S S S D D D \=+，\阴影部分的面积之和为：()12NGFM S NG FM FG =+×梯形1()2EM MF FG =+×12FE FG =×21(2)2x =´22x =215=．故选：B ．26．如图，在ABC D 中，90C Ð=°，点M 是AB 的中点，点N 在AC 上，MN AB ^．若8AC =，4BC =，则NC 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．【解答】解：如图，连接BN ，AB Q 的垂直平分线交AB 、AC 于点M 、N ，AN BN \=，设NC x =，则8AN BN x ==-，在Rt BCN D 中，由勾股定理得：222BN BC CN =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，即3NC =，故选：A ．27．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE a =，HG b =，则斜边BD 的长是()A B C ．a b +D ．a b-【解答】解：设CD x =，则DE a x =-，HG b =Q ，AH CD AG HG DE HG a x b x \==-=-=--=，2a bx -\=，22a b a bBC DE a -+\==-=，2222222()()222a b a b a b BD BC CD +-+\=+=+=，BD \=，故选：B ．28．在长方形ABCD 中，52AB =，4BC =，CE CF =，延长AB 至点E ，连接CE ，CF 平分ECD Ð，则BE =　76　．【解答】解：如图，延长CF ，BA 交于点G ，连接EF ，过点F 作FH CE ^于H ，过点E 作EM CF ^于M ，Q 四边形ABCD 是矩形，且52AB =，4BC =，//AB CD \，52AB CD ==，90D ABC CBE Ð=Ð=Ð=°，DCF G \Ð=Ð，CF Q 平分ECD Ð，DCF FCE \Ð=Ð，FH DF =，G ECF \Ð=Ð，EC EG \=，ECG \D 是等腰三角形，CM MG \=，CE CF =Q ，ECF \D 是等腰三角形，EM CF ^Q ，FH CE ^，EM \和FH 是等腰三角形腰上的高，EM FH DF \==，Rt CDF Rt CME(HL)\D @D ，52CM CD \==，5CG \=，Rt CBG D 中，3BG ===，设BE x =，则3EC EG x ==+，Rt CBE D 中，222(3)4x x +=+，解得：76x =，76BE \=．故答案为：76．29．如图是“赵爽弦图”， ABH D ，BCG D ，CDF D 和DAE D 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果10AB =，且:3:4AH AE =．那么AH 等于　6　．【解答】解：10AB =Q ，:3:4AH AE =，设AH 为3x ，AE 为4x ，由勾股定理得：222222(3)(4)(5)AB AH AE x x x =+=+=，510x \=，2x \=，6AH \=，故答案为：6．30．[阅读理解]如图，在ABC D 中，4AB =，6AC =，7BC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ，求线段AD 的长．解：设BD x =，则7CD x =-．AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°．在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-．又4AB =Q ，6AC =，222246(7)x x \-=--．解得2914x =，2914BD \=．AD \==．[知识迁移]（1）在ABC D 中，13AB =，15AC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ．)i 如图1，若14BC =，求线段AD 的长；)ii 若12AD =，求线段BC 的长．（2）如图2，在ABC D 中，AB =，AC =，过点A 作直线BC 的垂线，交线段BC 于点D ，将ABD D 沿直线AB 翻折后得到对应的ABD D ¢，连接CD ¢，若252AD =，求线段CD ¢的长．【解答】解：（1）)i 设BD x =，则14CD x =-，AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°，在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-，13AB =Q ，15AC =，22221315(14)x x \-=--，5x \=，5BD \=，12AD \===；)ii 在Rt ABD D 中，5BD ===，在Rt ACD D 中，9CD ===，当ABC Ð为锐角时，如图11-，5914BC BD CD =+=+=，当ABC Ð为钝角时，如图12-，954BC BD CD =-=-=；（2）如图2，连接DD ¢交AB 于点N ，则DD AB ¢^，过点D ¢作D H BD ¢^于H ，在Rt ABD D 中，254BD ==；在Rt ACD D 中，5CD ==，AB Q 垂直平分DD ¢，254D B DB ¢\==，2D D DN ¢=，1122ABD S AD BD AB DN D =×=×Q ，\252524DN ´=，DN \=2D D DN ¢\==，设HB m =，则254HD HB BD m =+=+，22222D H D D HD D B HB ¢¢¢=-=-Q ，22222525(()44m m \-+=-，154m \=，154HB \=，152541544HC HB BD CD \=++=++=，5D H ¢===，D C ¢\===．。

完整版)勾股定理知识点与常见题型总结

完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。

勾股定理的证明常用拼图的方法。

通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。

2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。

3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。

勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。

勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。

在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。

同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。

勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。

如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。

勾股定理的实际应用有很多。

例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。

现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。

同时梯子的顶端B下降至B′。

那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。

又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。

设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。

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第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm ），计算两圆孔中心A 和B 的距离为______mm ．（2）如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（）Ａ．4 Ｂ．6Ｃ．16Ｄ．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得： AB 2=902+1202=22500，所以AB=150（mm ）（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C ．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454A E A A E C A E C ++∠∠∠的度数．解：连结32A E ．32122222A A A A A E A E ==Q ，，32212290A A E A A E ∠=∠=o ， 322122Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS ）．322122A E A A E A ∴∠=∠．由勾股定理，得：4532C E C E ===，4532A E A E ===，44332A C A C ==Q ，445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）．323454A E C A E C ∴∠=∠图1 图21A 2A 3A 4A5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B 4C1A2A 3A4A5A 5E2E1E1D 1C 1B 4C3C 2C图3122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=o．即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=o．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力．专练一：1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2：1：1，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（）（A ）222a b c +=；（B ）222a b =；（C ）222c a =；（D ）222b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有（）（A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（）（A ）10.5米；（B ）7.5米；（C ）12米；（D ）8米 4、下列说法中正确的有（）（1）如果∠A+∠B+∠C=3：4：5，则△ABC 是直角三角形；（2）如果∠A+∠B=∠C ，那么△ABC 是直角三角形；（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC 是直角三角形；（4）如果三边长分别是221,2,1(1)n n n n -+>，则ABC 是直角三角形。

（A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个 5、如图4是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是（） A ． a ＞c B ．b ＞c C ．4a 2+b 2=c 2D ．a 2+b 2=c 2 6、已知直角三角形两边长分别为3、4，则第三边长为． 7、已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为10，则直角三角形图4ABC图7的两直角边的长分别为．8、利用图5（1）或图5（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为，该定理的结论其数学表达式是．9、一棵树因雪灾于A 处折断，如图所示，测得树梢触地点B 到树根C 处的距离为4米， ∠ABC 约45°，树干AC 垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为米（答案可保留根号）．10、如图6，如果以正方形ABCD 的对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去，…，已知正方形ABCD 的面积1S 为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为23S S ，，…，S n （n 为正整数），那么第8个正方形的面积8S ＝_______。

11、如图7，在ΔABC 中，AB=AC=10，BC=8．用尺规作图作BC 边上的中线AD （保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD 的长．12、已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm 和10 cm ，求这个三角形的面积.ABC DEFGHIJ图5（1）图6图5（2）13、在△ABC中，∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.14、如图8：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？15、如图9，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.图8图9专题二：能得到直角三角形吗考点分析：本部分内容是勾股定理及其逆定理的应用，它在中考试卷中不单独命题，常与其它知识综合命题典例剖析例1．如图10，A 、B 两点都与平面镜相距4米，且A 、B 两点相距6米，一束光线由A 射向平面镜反射之后恰巧经过B 点，求B 点到入射点的距离.分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.解：作出B 点关于CD 的对称点B ′，连结AB ′，交CD 于点O ，则O 点就是光的入射点，因为B ′D =DB ，所以B ′D =AC ，∠B ′DO =∠OCA =90°，∠B ′=∠CAO 所以△B ′DO ≌△ACO (SSS )，则OC =OD =21AB =21×6=3米，连结OB ，在Rt △ODB 中，OD 2+BD 2=OB 2，所以OB 2=32+42=52，即OB =5(米)，所以点B 到入射点的距离为5米.评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础例2．如果只给你一把带刻度的直尺，你是否能检验∠MPN 是不是直角，简述你的作法．分析：只有一把刻度尺，只能用这把刻度尺量取线段的长度，若∠P 是一个直角，∠P 所在的三角形必是个直角三角形，这就提示我们把∠P 放在一个三角形中，利用勾股定理的逆定理来解决此题．作法：①在射线PM 上量取PA=3㎝，确定A 点，在射线PN 上量取PB=4㎝，确定B 点．②连结AB 得△PAB ． ③用刻度尺量取AB 的长度，如果AB 恰为5㎝，则说明∠P 是直角，否则∠P 不是直角．理由：PA=3㎝，PB=4㎝，PA 2+PB 2=32+42=52，ＰＡＭＮ图11图10若AB=5㎝，则PA2+PB2=AB2，根据勾股定理的逆定理得△PAB是直角三角形，∠P是直角．说明：这是一道动手操作题，是勾股定理的逆定理在现实生活中的一个典型应用．学生既要会动手操作，又必须能够把操作的步骤完整的表述出来，同时要清楚每个操作题的理论基础．专练二：1．做一做：作一个三角形，使三边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm,哪条边所对的角是直角？为什么？2．断一断：设三角形的三边分别等于下列各组数：①7，8，10 ②7，24，25 ③12，35，37 ④13，11，10（1）请判断哪组数所代表的三角形是直角三角形，为什么？（2）把你判断是Rt△的哪组数作出它所表示的三角形，并用量角器来进行验证.3算一算：．一个零件的形状如图12，已知AC=3㎝，AB=4㎝，BD=12㎝，求：CD的长．C图124．一个零件的形状如图13所示，工人师傅按规定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？图135．如图14，等边三角形ABC内一点P，AP=3，BP=4，CP=5，求∠APB的度数.6．若△ABC的三边长为a,b,c，根据下列条件判断△ABC的形状.（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c (2)a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=07．请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格中，画出1 个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形．8．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图15，已知圆筒高108㎝，其截面周长为36㎝，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪多长油纸．专题三：蚂蚁怎样走最近图15 图14考点分析：勾股定理在实际生活中的应用较为广泛，它常常单独命题，有时也与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．如图16（1）所示，一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 位置上，如图10（2）所示，测得得BD=0.5米，求梯子顶端A 下落了多少米？分析：梯子顶端A 下落的距离为AE ，即求AE 的长．已知AB 和BC ，根据勾股定理可求AC ，只要求出EC 即可。

解：在Rt △ACB 中，AC 2=AB 2-BC 2=2.52-1.52=4，∴AC=2，∵BD=0.5，∴CD=2在中，Rt ECD EC ED CD ∆22222252225=-=-=.. ∴EC=1.5， ∴=-=-=AE AC EC 21505..，所以，梯子顶端下滑了0.5米．点评：在实际生活、生产及建筑中，当人们自身高度达不到时，往往要借助于梯子，这时对梯子的选择，及梯子所能达到的高度等问题，往往要用到勾股定理的知识来解决．但要注意：考虑梯子的长度不变．例2．有一根竹竿, 不知道它有多长. 把竹竿横放在一扇门前, 竹竿长比门宽多4尺；把竹竿竖放在这扇门前, 竹竿长比门的高度多2尺；把竹竿斜放,，竹竿长正好和门的对角线等长.问竹竿长几尺?分析：只要根据题意，画出图形，然后利用勾股定理，列出方程解之解：设竹竿长为x 尺。