迭代 分治 穷举 回溯等 算法概念的引入
算法设计中的分治与回溯策略
算法设计中的分治与回溯策略算法设计中的分治与回溯策略是两种常用的问题解决方法，它们在解决复杂问题时具有重要的作用。
本文将介绍分治与回溯策略的基本概念和应用场景，并通过实例详细探讨它们的具体应用。
一、分治策略分治策略是一种将问题划分为更小的子问题，并通过在子问题上递归地应用相同的方法来解决原问题的方法。
它包含以下三个基本步骤：1. 分解（Divide）：将原问题分解为若干个规模较小且相互独立的子问题。
2. 解决（Conquer）：递归地解决每个子问题，如果子问题的规模足够小，则直接求解。
3. 合并（Combine）：将子问题的解合并为原问题的解。
分治策略的经典应用是归并排序和快速排序。
以归并排序为例，其思想是将待排序的序列划分为若干个子序列，分别进行排序，然后将排好序的子序列合并成最终有序序列。
这个过程中，分解步骤是通过将序列划分为两个子序列，解决步骤是递归地对子序列进行排序，合并步骤是将排好序的子序列合并。
二、回溯策略回溯策略是一种通过穷举所有可能的解并逐步构建可行解的方法。
它通常用于求解组合优化问题、排列问题和搜索问题。
回溯法的基本思想如下：1. 选择（Choose）：在每一步选择中，我们都有多个选择可以进行尝试。
2. 约束（Constraint）：对选择进行约束条件的限制，以排除不满足要求的选择。
3. 撤销（Un-choose）：如果发现当前选择并不是正确的解，可以撤销上一步或几步的选择，进行其他尝试。
回溯策略经常使用递归来实现，其关键是正确地定义选择、约束和撤销的操作。
回溯法可以通过剪枝操作来减少搜索空间，提高求解效率。
回溯策略的一个典型应用是八皇后问题。
八皇后问题是要求在一个8×8的棋盘上放置8个皇后，使得任意两个皇后都不能相互攻击。
回溯法通过逐行放置皇后，并检查每个位置是否满足约束条件，如果满足则进入下一行继续放置，如果不满足则进行回溯，尝试其他选择。
结语分治策略和回溯策略都是算法设计中常用的解决复杂问题的方法。
穷举,选代,递推的使用方法
"穷举"、"选代"和"递推"是三种不同的方法，通常在不同的数学或计算问题中使用。
以下是对这三种方法的详细解释：1. 穷举（Exhaustive Enumeration）：▪定义：穷举是一种通过逐个尝试所有可能的情况来解决问题的方法。
在这种方法中，系统性地列举所有可能的解，然后检查哪一个满足给定的条件。
▪使用场景：穷举通常用于解决相对较小且离散的问题，其中可能的解的数量是有限的。
这种方法在保证完备性的同时，可能会因为遍历所有可能性而效率较低。
2. 选代（Iteration）：▪定义：选代是通过迭代或循环的方式逐步逼近解决问题的方法。
它通常包括多次迭代，每一次迭代都在先前的结果基础上进行调整，直至达到满足条件的解。
▪使用场景：选代常常用于需要逐步调整和逼近的问题，例如数值计算、优化问题等。
选代方法可以通过不断改进当前解决方案来逐渐接近最优解。
3. 递推（Recursion）：▪定义：递推是一种通过在问题中使用相同的解决方法，但在较小的规模上进行的方法。
递推问题通常将大问题拆解为较小的子问题，并通过解决子问题来解决原始问题。
▪使用场景：递推经常用于解决具有递归结构的问题，例如分治算法、动态规划等。
递推关注的是将问题划分为可重复解决的子问题，然后将这些解决方案合并以解决原始问题。
示例：▪穷举：在密码破解中，穷举法会尝试所有可能的密码组合，直到找到正确的密码。
▪选代：在求解方程或最优化问题时，使用迭代方法，每一次迭代都尝试使解更接近真实解。
▪递推：在斐波那契数列中，递推公式为 F(n) = F(n-1) + F(n-2)，利用相邻两项的关系递推计算出数列的值。
这三种方法都有其适用的场景和优劣势，选择使用哪种方法通常取决于问题的性质和规模。
在实际应用中，很多问题可能会结合使用这些方法的不同特点来更有效地解决。
回溯算法————备课用
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
方法来快速的得到解，因此，我们只能采取 最基本的枚举法来求解。 但我们知道，在n×n的棋盘上放置n个棋子 n 的所有放置方案有Cn 2种，而这个数字是非常 庞大的，直接枚举肯定会超时。
分析： N=4时，右图是一组解
要素一： 解空间
一般想法：利用二维数组，用[i,j]确定一个皇后位置！ 优化：利用约束条件，只需一维数组即 可！ x:array[1..n] of integer; x[i]：i表示第i行皇后 x[i]表示第i行上皇后放第几列
4.1骑士游历问题分析
骑士并不是在任何位置的下一步都有8种选择，选择 的减少由以下原因造成：
当前位置靠近棋盘的边缘 某些选择已经是走过的格 子，不能再重复。因此， 走过的路需要标记，回退 的路也要清除标记
4.1 回溯法解决骑士游历问题
规定“下一个选择的顺序”—这在所有回溯问 题中都很重要，只是有的问题顺序太明显而不 需要定义 每一个格子用坐标表示，每个格子增加一个标 记变量，表示该格子走过与否
回溯部份： 即状态恢复，使其恢复到进 入该分支前的状态，继续新的 分支 x[k]:=0; Dec(k);
程序实现： 回溯算法可用非递归和递归两种方法实现！
非递归写法： begin x[1] ← 0 Flag ← true k←1 while k>0 do begin While flag do x[k] ← x[k] +1 while x[k]<=n and (not place(k)) do begin K:=k+1; x[k] ← x[k] +1; if x[k]<=n then if k=n then sum ← sum+1 else begin k ← k+1 x[k] ← 0 end else k ← k-1 end
简述算法概念
简述算法概念一、算法概念算法是指用于解决问题的一系列步骤，它可以被看作是一种计算模型。
在计算机科学中，算法是指用于解决特定问题的一组有限指令序列。
这些指令描述了一个计算过程，当按照给定的顺序执行时，能够在有限时间内产生输出结果。
二、算法的分类1. 按照求解问题的性质分类(1) 数值型问题：求解数学方程、求解数值积分等。
(2) 组合型问题：如图论、网络流等。
(3) 几何型问题：求解几何图形之间关系等。
2. 按照设计思路分类(1) 贪心算法：每次选择最优策略，希望最终得到全局最优解。
(2) 分治算法：将原问题分成若干个规模较小且结构与原问题相似的子问题，递归地求解这些子问题，再将结果合并成原问题的解。
(3) 动态规划算法：将大规模复杂的问题分割成若干个小规模简单的子问题进行求解，并保存每个子问题的答案，在需要时查找已经保存好的答案来避免重复计算。
3. 按照求解策略分类(1) 穷举算法：列举所有可能的情况，再从中选出最优解。
(2) 迭代算法：通过不断迭代逼近最优解。
(3) 随机化算法：通过随机选择策略来求解问题。
三、算法的评价标准1. 正确性：算法所得结果应该与问题的实际结果一致。
2. 时间复杂度：衡量算法执行所需时间的指标，通常使用大O记号表示，例如O(n)、O(nlogn)等。
3. 空间复杂度：衡量算法执行所需空间的指标，通常使用大O记号表示，例如O(n)、O(nlogn)等。
4. 可读性：算法应该易于理解和修改，使得程序员能够快速地进行开发和维护工作。
四、常见数据结构与算法1. 数组与链表数组是一种线性数据结构，它可以存储相同类型的元素，并且可以通过下标访问。
链表也是一种线性数据结构，它由节点组成，每个节点包含一个数据元素和一个指向下一个节点的指针。
数组和链表都可以用来实现栈和队列等数据结构。
2. 排序算法排序是计算机科学中最基本的问题之一，它的目的是将一组数据按照某种规则进行排列。
常见的排序算法包括冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序、归并排序等。
算法的演变历程
算法的演变历程
算法在中国古代文献中称为“术”，最早出现在《周髀算经》《九章算术》。
从唐代开始，关于算法论述的书就一直在出现，比如唐代的《算法》、宋代的《杨辉算法》、元代的《丁巨算法》、明代的《算法统宗》、清代的《开平算法》等。
在西方，最早关于算法的论述是9世纪的波斯数学家花拉子米。
这个波斯数学家在当时提出了算法的概念，随后传到了欧洲。
后来便出现了“algorithm”这个词，意思是“花拉子米”的运算法则。
这就是西方算法单词的由来。
在现代的数学认知当中，欧几里得算法被西方人认为是史上第一个算法。
回溯算法的步骤
回溯算法的步骤回溯算法的步骤回溯算法是一种通过穷举所有可能的解来求解问题的算法。
它通常用于求解组合优化问题、排列问题和子集问题等。
下面我们将介绍回溯算法的步骤。
1. 定义问题在使用回溯算法之前，需要先定义好要解决的问题。
例如，如果要求解一个排列问题，那么就需要确定排列中元素的个数和范围。
2. 确定状态空间树状态空间树是指所有可能解的集合。
在回溯算法中，状态空间树通常用于表示所有可能的决策路径。
例如，在排列问题中，每一个节点代表一个元素被选中或未被选中。
3. 确定约束条件约束条件是指限制解决方案可行性的条件。
在回溯算法中，必须遵守约束条件才能得到有效的解决方案。
例如，在排列问题中，每个元素只能出现一次。
4. 确定搜索顺序搜索顺序是指按照什么顺序遍历状态空间树。
在回溯算法中，搜索顺序通常有两种：深度优先搜索和广度优先搜索。
5. 编写递归函数递归函数是实现回溯算法最重要的部分。
递归函数的作用是遍历状态空间树，找到所有可行的解决方案。
在编写递归函数时，需要考虑以下几个方面：（1）确定终止条件：当搜索到状态空间树的叶子节点时，需要确定终止条件，返回当前路径是否符合要求。
（2）确定回溯条件：当搜索到某个节点时，如果发现该节点不符合约束条件，则需要回溯到上一个节点。
（3）确定状态变化：在搜索过程中，需要记录每个节点的状态变化。
例如，在排列问题中，需要记录哪些元素已经被选中。
6. 调用递归函数最后一步是调用递归函数，并将初始状态作为参数传入。
在调用递归函数之后，程序会自动遍历状态空间树，并找到所有可行的解决方案。
总结回溯算法是一种常见的求解组合优化问题、排列问题和子集问题等的算法。
它通过穷举所有可能的解来求解问题，在实际应用中有着广泛的应用。
在使用回溯算法时，需要先定义好要解决的问题，并按照上述步骤进行操作。
算法常见解题思路
算法解题可以采用许多不同的思路和方法，以下是一些常见的解题思路：
1. 贪心算法（Greedy Algorithm）：每一步都选择当前情况下看起来最优的选择，以期望最终获得全局最优解。
2. 动态规划（Dynamic Programming）：将复杂问题分解为较小的子问题，并借助已解决的子问题的结果来解决更大的问题，通常使用记忆化搜索或者自底向上的迭代方法。
3. 分治算法（Divide and Conquer）：将问题划分为两个或多个相对简单的子问题，分别求解，然后将子问题的解合并以得到原问题的解。
4. 回溯算法（Backtracking）：通过穷举所有可能的解，并逐步构建可行解，当发现当前解不能满足要求时，回退选择继续尝试其他路径。
5. 搜索算法：根据问题的性质，采用广度优先搜索（BFS）或深度优先搜索（DFS）等搜索策略来遍历问题的解空间，寻找满足条件的解。
6. 排序和查找算法：根据问题的特点，选择合适的排序算法（如快速排序、归并排序、堆排序等）或查找算法（如二分查找、哈希查找等）来解决问题。
7. 图算法：根据问题的图结构特点，采用广度优先搜索（BFS）、深度优先搜索（DFS）、最短路径算法（Dijkstra、Floyd-Warshall）、最小生成树算法（Prim、Kruskal）等图算法来解决问题。
8. 数学模型和优化算法：将问题转化为数学模型，并采用数学方法或优化算法（如线性规划、整数规划、贪心算法、遗传算法等）来求解。
以上仅为一些常见的解题思路，选择合适的算法思路需要根据问题的特点和复杂度进行综合分析和评估。
对于复杂的问题，常常需要结合多种思路和方法来解决，以达到更好的解题效果。
论述对分治算法的理解
论述对分治算法的理解分治算法是一种常用的问题解决方法，它将一个大问题划分为若干个小问题，然后分别解决这些小问题，并将它们的解合并起来得到原问题的解。
通过将问题划分为子问题，分治算法能够有效地降低问题的复杂度，提高问题的解决效率。
分治算法的基本思想是将一个复杂的问题分解为若干个相互独立且结构相同的子问题，然后分别解决这些子问题，并将它们的解合并起来得到原问题的解。
这种将问题分解为子问题并分别解决的过程可以递归地进行，直到问题的规模足够小，可以直接求解为止。
分治算法的三个步骤包括分解、解决和合并。
在分解阶段，将原问题划分为若干个规模较小的子问题；在解决阶段，递归地求解这些子问题；在合并阶段，将子问题的解合并起来得到原问题的解。
分治算法的关键是如何将问题划分为子问题，并找到合适的合并方式。
分治算法的典型应用包括排序、查找和计算等。
例如，在快速排序算法中，将一个待排序的数组划分为两个子数组，然后分别对这两个子数组进行排序，最后合并起来得到有序的数组。
在二分查找算法中，将一个有序数组划分为两个子数组，然后根据查找值的大小决定在哪个子数组中继续查找，直到找到目标元素或者确定目标元素不存在。
在矩阵乘法算法中，将两个矩阵划分为四个子矩阵，然后分别对这四个子矩阵进行乘法运算，并将它们的结果合并起来得到最终的乘积矩阵。
分治算法的优点是能够有效地降低问题的复杂度。
通过将问题划分为子问题，分治算法能够将原问题的规模减小为子问题的规模的多项式级别，从而降低问题的复杂度。
分治算法还具有良好的可扩展性和模块化性，可以方便地将问题划分为子问题，并对子问题进行独立求解。
然而，分治算法也有一些局限性。
首先，分治算法的效率高度依赖于问题的划分方式和合并方式。
如果划分方式不合理或者合并方式不恰当，可能会导致算法的效率低下。
其次，分治算法通常需要额外的空间来存储子问题的解，这可能会导致算法的空间复杂度较高。
分治算法是一种常用的问题解决方法，通过将问题划分为子问题并分别解决，然后将子问题的解合并起来得到原问题的解。
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例子
1. 设计一个算法求解4排列问题，即输出4个数 字 1 2 3 4 所有的排列； 2
回溯法
回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于规模的大小的 限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验，当发现 当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解，倘若当前的 候选解除了还不满足问题的规模的要求外，还满足其他所有要 求，则继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候 选解满足包括问题规模在内的所有要求的时候，该候选解就是 问题的一个解。 在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为 回溯。 扩大当前候选解的规模称为试探。 回溯法(探索与回溯法)是一种选优搜索法，按选优条件向前搜 索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优 或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走 的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯 点”。
自动门刚安装好的时候，我们可以认为它是关上的，所以关闭状态是自动门 的初始状态。 在理想情况下，自动门会一直运行，所以它没有接受状态，接受状态集F是空 集。
例子
密码锁：以四位密码校验作为状态机的例子，连续输入 2479就可以通过密码测试
统计一篇英文文章里的单词个数。 有多种方法可以解这道题，这里我们选择用有穷状态机来解，做法如下： 先把这篇英文文章读入到一个缓冲区里，让一个指针从缓冲区的头部一直移到缓冲区的尾部，指针 会处于两种状态：“单词内”或“单词外”，加上后面提到的初始状态和接受状态，就是有穷状态 机的状态集。缓冲区中的字符集合就是有穷状态机的字母表。 如果当前状态为“单词内”，移到指针时，指针指向的字符是非单词字符(如标点和空格)，那状态 会从“单词内”转换到“单词外”。如果当前状态为“单 词外”， 移到指针时，指针指向的字符 是单词字符(如字母)，那状态会从“单词外”转换到“单词内是初始状态。 指针指向缓冲区的尾部时是接受状态。 每次当状态从“单词内”转换到“单词外”时，单词计数增加一。 这个有穷状态机的图形表示如下：
Hash table 简介
哈希查找 基本思想：在记录的存储地址和它的关键字 之间建立一个确定的对应关系；这样，不经 过比较，一次存取就能得到所查元素的查找 方法
散列函数能使对一个数据序列的访问过程更加迅速有效，通过散列函数，数据元素将被 更快地定位。 实际工作中需视不同的情况采用不同的哈希函数，通常考虑的因素有： · 计算哈希函数所需时间 · 关键字的长度 · 哈希表的大小 · 关键字的分布情况 · 记录的查找频率 1. 直接寻址法：取关键字或关键字的某个线性函数值为散列地址。 即H(key)=key或H(key) = a· + b，其中a和b为常数（这种散列函数叫做自身函数）。若其 key 中H(key）中已经有值了，就往下一个找，直到H(key）中没有值了，就放进去。 2. 数 字分析法：分析一组数据，比如一组员工的出生年月日，这时我们发现出生年月日的前几 位数字大体相同，这样的话，出现冲突的几率就会很大，但是我们发现年月日的后几位表 示月份和具体日期的数字差别很大，如果用后面的数字来构成散列地址，则冲突的几率会 明显降低。因此数字分析法就是找出数字的规律，尽可能利用这些数据来构造冲突几率较 低的散列地址。 3. 平方取中法：取关键字平方后的中间几位作为散列地址。 4. 折叠法：将关键字分割成位数相同的几部分，最后一部分位数可以不同，然后取这几部分 的叠加和（去除进位）作为散列地址。数位叠加可以有移位叠加和间界叠加两种方法。移 位叠加是将分割后的每一部分的最低位对齐，然后相加；间界叠加是从一端向另一端沿分 割界来回折叠，然后对齐相加。 5. 随机数法：选择一随机函数，取关键字的随机值作 为散列地址，通常用于关键字长度不同的场合。 6. 除留余数法：取关键字被某个不大 于散列表表长m的数p除后所得的余数为散列地址。即 H(key) = key MOD p,p<=m。不仅可 以对关键字直接取模，也可在折叠、平方取中等运算之后取模。对p的选择很重要，一般取 素数或m，若p选的不好，容易产生同义词。
例子:斐波那契序列; 以兔子繁殖为例 用月份n作为参数,表示计算第几个月后兔子 的总数,i循环变量,迭代条件为:3<=I<=n 程序中迭代变量为fib fib1.fib2
由递归引出的分治
一、求解大规模问题的复杂性 二、化整为零、分而治之
分解 分治 合并
p1 n1
s0 s1
P n
p2 n2
例子
假定有n个物体和一个背包，物体i 有质量wi，价值为pi，而背包的载荷能力为M。若将物体i 的一部分xi（1<=i<=n,0<=xi<=1)装入背包中，则有价值pi*xi。在约束条件 （w1*x1+w2*x2+…………+wn*xn)<=M下使目标(p1*x1+p2*x2+……+pn*xn)达到极大，此处 0<=xi<=1,pi>0,1<=i<=n.这个问题称为背包问（Knapsack problem）。
Void trial(int I,int n) {
If(i>n) 输出当前布局； Else for(j=1;j<=n;++j){
在第i行第j列放置一个棋子； If(当前布局合法) trial(i+1,n); 移走第i行第j列的棋子；
}
}
贪心算法
所谓贪心算法是指，在对问题求解时，总是做 出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从 整体最优上加以考虑，他所做出的仅是在某种 意义上的局部最优解。 贪心算法没有固定的算法框架，算法设计 的关键是贪心策略的选择。必须注意的是，贪 心算法不是对所有问题都能得到整体最优解， 选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状 态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前 状态有关。 所以对所采用的贪心策略一定要仔细分析其 是否满足无后效性。
什么是迭代
迭代法是一种常用的算法设计方法,迭代是 一个不断用新值取代变量的旧值,或由旧值 递推出变量的新值的过程.
当一个问题的求解过程能够由一个初值使用一个 迭代表达式进行反复迭代的时候,便可以用效率极 高的重复程序描述 迭代也是用循环结构实现的. 只不过重复的操作是不断的从一个变量的旧值出 发计算它的新值. 其基本格式如下; 迭代变量赋予初值; 循环语句 { 计算迭代式; 新值取代旧值 }
关键字 集合 hash 存储地址 集合
哈希表——应用哈希函数，由记录的关键字确定记录在 表中的地址，并将记录放入此地址，这样构成的表叫 ~ 哈希查找——又叫散列查找，利用哈希函数进行查找的 过程叫~
7.4 哈希查找
基本思想：在记录的存储地址和它的关键字之间 建立一个确定的对应关系；这样，不经过比较， 一次存取就能得到所查元素的查找方法 定义
哈希函数——在记录的关键字与记录的存储地址之间建 立的一种对应关系叫~
哈希函数是一种映象，是从关键字空间到存储地址空间的一 种映象 哈希函数可写成：addr(ai)=H(ki) ai是表中的一个元素 addr(ai)是ai的存储地址 ki是ai的关键字
其他
动态规划 随机化思想 概率分析 摊销分析 竞争分析……还有很多愿意深入了解的同学 可以看一些算法方面的书籍。
但是需要注意，常用的算法了解即可，先把编程语言和高级编程等基 础学好，算法暂时不可深入钻研。
有穷状态机（有限状态机）
有穷状态机很简单，在生活中可以找出很多这样的 例子。但是教科书里讲得太复杂了，一会儿证明确 定性有穷状态机和非确定性有穷状态机的等价性， 一会儿 证明正则表达式的 这些理论的证明于编程没有太大用处，不过状态机 本身却是文本处理利器，由于程序员在很多场合下 都是在与文本数据 打交道，所以状态机是程序员必 备的工具之一。 含义。但 是大部分人 第一次看到它时，反复的读上几遍，仍 然不知道它在说什么。幸好通过一些实例，我们可 以很容易明白有穷状态机的原理。
八皇后问题，是一个古老而著名的问题， 是回溯算法的典型例题。该问题是十九世 纪著名的数学家高斯1850年提出：在8X8 格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能 互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同 一行、同一列或同一斜线上，问有多少种 摆法。 可以简化为四皇后问题
伪代码的实现
《数据结构》一书
递归与迭代的区别
关于递归的回顾
一般定义 程序调用自身的编程思想称为递归（ recursion）。 一个过程或函数在其定义或说明中有直接或间接调用自 身的一种方法，它通常把一个大型复杂的问题层层转化 为一个与原问题相似的规模较小的问题来求解，递归策 略只需少量的程序就可描述出解题过程所需要的多次重 复计算，大大地减少了程序的代码量。递归的能力在于 用有限的语句来定义对象的无限集合。一般来说，递归 需要有边界条件、递归前进段和递归返回段。当边界条 件不满足时，递归前进；当边界条件满足时，递归返回。 注意： (1) 递归就是在过程或函数里调用自身； (2) 在使用递归策略时，必须有一个明确的递归结束条 件，称为递归出口。
S
pk nk
sk
递归与分治紧密相连
第二个例子
简单介绍算法
穷举法
穷举法又称列举法、枚举法，是蛮力策略的具体体现，是一种 简单而直接地解决问题的方法。其基本思想是逐一列举问题所 涉及的所有情形，并根据问题提出的条件检验哪些是问题的解， 哪些应予排除。 通常程序设计入门都是从穷举设计开始的。今天，计算机的运 算速度非常快，应用穷举设计程序可快捷地解决一般数量的许 多实际应用问题。 穷举法的特点是算法设计比较简单，解的可能为有限种，一一 列举问题所涉及的所有情形。 穷举法常用于解决“是否存在”或“有多少种可能”等问题。 其中许多实际应用问题靠人工推算求解是不可想象的，而应用 计算机来求解，充分发挥计算机运算速度快、擅长重复操作的 特点，穷举判断，快速简便。 应用穷举时应注意对问题所涉及的有限种情形须一一列举，既 不能重复，又不能遗漏。重复列举直接引发增解，影响解的准 确性；而列举的遗漏可能导致问题解的遗漏。