第三章 非线性分析
线性和非线性方程组的解法
3.2.4 迭代的收敛性
♦ 松弛法的收敛性分析； – A = Q -R = (D -ωL)/ω –[(1-ω)D+ωU]/ω； – QX = RX + B； – Xk+1 = Q-1RXk + Q-1B； – Xk+1 = (D -ωL)-1[(1-ω)D+ωU]Xk + Q-1B； ♦ 收敛的必要条件； – 0<ω<2；
3.2.2 Gauss-Seidel迭代法
♦ Gauss-Seidel迭代法；
k x1 +1 k+1 x2 k xn +1
k x1 +1 k+1 x2 k xn +1
= = L =
= =
[b −(a x +L+ a x )]/ a [b −(a x + a x +L+ a
Hale Waihona Puke [b −(a x +L+ a x )]/ a [b −(a x + a x +L+ a
1 k 12 2 k 21 1 k 1n n
11
]
X [k] = D−1B − (I − D−1A) X [k−1]
[
]
3.2.1 简单迭代法
♦ 简单迭代法的特征； – X[k] = D-1B - (I - D-1A)X[k-1] – 一阶；
L =
– Xk+1 = ω·(D-1LXk+1 + D-1UXk+D-1B)+(1-ω)·Xk； – Xk+1 = ω·(D-1LXk+1 + D-1UXk+D-1B)+(1-ω)·Xk；
非线性控制系统理论与应用
非线性控制系统理论与应用第一章线性控制系统概述线性控制系统是一类基于线性系统理论的控制系统。
线性系统是指系统的输入与输出成比例的关系，即如果输入信号增加一倍，输出信号也会增加一倍。
线性系统具有稳定性和可控性的优点，因此在控制系统设计中有广泛的应用。
线性控制系统分为时不变系统和时变系统两种。
在时不变系统中，系统参数固定不变。
在这种情况下，可以针对系统的等效传递函数或状态方程进行设计和分析。
时变系统中，系统参数随时间变化。
需要对系统进行时变分析，以便针对不同时间点设计控制器。
第二章非线性控制系统概述非线性系统是指系统的输入与输出不成比例的关系。
非线性系统不同于线性系统的特点是可能出现复杂的动态行为和稳定性问题。
因此，非线性系统的控制设计比线性系统更加复杂，需要更高级的系统理论和控制方法。
非线性控制系统包括分段线性系统、滞后系统、时变系统和混沌系统等。
非线性控制系统设计需要掌握许多高级数学工具，如微积分、变分法、拓扑学、非线性动力学和控制理论等。
第三章非线性控制系统的分析由于非线性系统比线性系统更为复杂，因此非线性控制系统的分析也更加困难。
但是，通过一些数学工具和技术，可以对非线性系统进行分析和解决。
非线性系统最重要的特征之一是稳定性。
非线性系统有时会出现不稳定的情况。
在设计非线性控制系统时，需要对系统的稳定性进行分析，以便在设计和实现控制器时考虑哪些因素会对稳定性产生影响。
另外一个重要的因素是动态行为。
非线性系统可能显示出复杂的动态行为，如周期性行为或混沌行为。
在非线性控制系统设计中，控制器必须能够应对这些复杂的动态行为。
第四章非线性控制系统的设计在非线性控制系统设计中，需要考虑许多因素。
首先，需要选择适当的控制策略，如状态反馈、输出反馈、模糊控制或神经网络控制。
其次，需要选择适当的控制器类型，如比例控制器、PID控制器或先进控制器。
最后，在设计非线性控制系统时，需要注意以下几个方面：1、控制器必须能够适应系统的非线性特性。
第三章粘弹性流体的本构方程
第三章非线性粘弹流体的本构方程1．本构方程概念本构方程（constitutive equation），又称状态方程——描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。
不同材料以不同本构方程表现其最基本的物性，对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑为其最重要的中心任务，这也是建立高分子材料流变学理论的基础。
两种。
唯象性方法，一般不追求材料的微观结构，而是强调实验事实，现象性地推广流体力学、弹性力学、高分子物理学中关于线性粘弹性本构方程的研究结果，直接给出描写非线性粘弹流体应力、应变、应变率间的关系。
以本构方程中的参数，如粘度、模量、松弛时间等，表征材料的特性。
分子论方法，重在建立能够描述高分子材料大分子链流动的正确模型，研究微观结构对材料流动性的影响。
采用热力学和统计力学方法，将宏观流变性质与分子结构参数（如分子量，分子量分布，链段结构参数等）联系起来。
为此首先提出能够描述大分子链运动的正确模型是问题关键。
根据研究对象不同，象性方法和分子论方法虽然出发点不同，逻辑推理的思路不尽相同，而最终的结论却十分接近，表明这是一个正确的科学的研究基础。
目前关于高分子材料，特别浓厚体系本构方程的研究仍十分活跃。
同时，大量的实验积累着越来越多的数据，它们是检验本构方程优劣的最重要标志。
从形式上分，速率型本构方程，方程中包含应力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。
积分型本构方程，利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的迭加来描述材料的非线性粘弹性。
积分又分为单重积分或多重积分。
判断一个本构方程的优劣主要考察：1）方程的立论是否科学合理，论据是否充分，结论是否简单明了。
2）一个好的理论，不仅能正确描写已知的实验事实，还应能预言至今未知，但可能发生的事实。
3）有承前启后的功能。
例如我们提出一个描写非线性粘弹流体的本构方程，当条件简化时，它应能还原为描写线性粘弹流体的本构关系。
03非线性分析要点
第三部分非线性分析第一章非线性有限元概述1.1非线性行为1、 非线性结构的基本特征是结构刚度随载荷的改变而变化。
如果绘制一个非线 性结构的载荷一位移曲线，则 力与位移的关系是非线性函数。
2、 引起结构非线性的原因：a 几何非线性：大应变，大位移，大旋转 （例如钓鱼竿的变形）b 材料非线性：塑性，超弹性，粘弹性，蠕变c 状态改变非线性：接触，单元死活3、 非线性行为一一分析方法特点A 不能使用叠加原理！B 结构响应与路径有关，也就是说加载的顺序可能是重要的。
C 结构响应与施加的载荷可能不成比例。
1.2非线性分析的应用1、 一些典型的非线性分析的应用包括： 非线性屈曲失稳分析金属成形研究碰撞与冲击分析制造过程分析（装配、部件接触等）材料非线性分析 （塑性材料、聚合物）2、 橡胶底密封：一个包含几何非线性（大应变与大变形），材料非线性（橡胶）， 及状态非线性（接触）的例子。
2.1非线性方程组的解法1、求解一个结构的平衡问题通常等于求解结构的总位能的驻值 问题。
结构总位能n ： 口 "3弋门心 2、 增量法：就是将荷载分成一系列的荷载增量，即 ANSYS 中的荷载步或荷载子 步。
A 要点：在每一个荷载增量求解完成后，继续进行下一个荷载增量之前， 刚度矩阵以反映结构刚度的变化。
B 增量法的优点：可以追踪结构变形历程，这对于材料或几何非线性（特别是 极限值屈曲分析）十分有用。
C 增量法的缺点：随着荷载步增量的增加而产生积累误差，导致荷载-位移曲 线飘移。
D 对飘移进行平衡修正，可以大大提高增量法的精度。
应用最广的就是在每一 级载荷增量上用Newton-Raphsor 或其变形的迭代法。
3、 迭代法：割线刚度法：收敛性差，因此很少应用切线刚度法Newto n-Ra phsor 迭代法：切向刚度法中 2.2 Newto n-Ra phsor 迭代法 1、 优点：对于一致的切向刚度矩阵有 二次收敛速度。
非线性方程(组)的数值解法#
第三章 非线性方程(组)的数值解法一．取步长1h =，试用搜索法确立3()25f x x x =--含正根的区间，然后用二分法求这个正根，使误差小于310-。
【详解】因为是要寻找正根，因此，可选含根区间的左端点为0。
(0)5f =-，(1)5f =-，(2)1f =-，(3)16f =，因此，(2,3)中有一个正根。
这就确立了含根区间。
接下来，我们用二分法求这个正根，使误差小于310-，计算结果如下表 迭代次数k ak b k x0 2 3 2.5 1 2 2.5000 2.250 0 2 2 2.2500 2.125 0 3 2 2.1250 2.062 5 4 2.0625 2.1250 2.093 8 5 2.0938 2.1250 2.109 4 6 2.0938 2.1094 2.101 6 7 2.0938 2.1016 2.097 7 8 2.0938 2.0977 2.095 7 92.09382.09572.094 7二．对方程2()2sin 20f x x x =--=，用二分法求其在区间[]1.5,2内的根，要求误差小于0.01。
【详解】用二分法求解方程在[]1.5,2内的根，要求误差小于0.01，计算结果如下表： 迭代次数k ak b k x0 1.5 2 1.75 1 1.7500 2.0000 1.8750 2 1.8750 2.0000 1.9375 3 1.9375 2.0000 1.9688 4 1.9375 1.9688 1.9531 51.95311.96881.9609三．用不动点迭代法，建立适当的迭代格式，求方程3()10f x x x =--=在0 1.5x =附近的根，要求误差小于610-。
【详解】310x x --=，等价于x =。
这样，可以建立不动点迭代格式1k x +=当0x ≥时，总有23110(1)133x -'<=+≤<，因此，迭代格式对于任意初始值00x ≥总是收敛的。
三阶非线性
3.3.3 三阶非线性控制系统一．实验要求1． 了解和掌握非线性控制系统重要特征—自激振荡，极限环的产生及性质。
2． 了解和掌握用描述函数法分析非线性控制系统的稳定性和自振荡的原理。
3． 观察和分析二种三阶非线性控制系统的相平面图。
二．实验原理及说明1． 非线性控制系统重要特征——自激振荡非线性控制系统在符合某种条件下，即使没有外界变化信号的作用，也能产生固有振幅和频率的稳定振荡，其振幅和频率由系统本身的特性所决定；如有外界扰动时，只要扰动的振幅在一定的范围内，这种振荡状态仍能恢复。
这种自振荡只与系统的结构参数有关，与初始条件无关。
对于非线性系统的稳定的自振荡，其振幅和频率是确定的，并且可以测量得到。
振幅可用负倒特性曲线-1/N(A)曲线的自变量A 的大小来确定，而振荡频率由线性部分的G （j ω）曲线的自变量ω来确定。
注：所得的振幅和频率是非线性环节的输入信号的振幅和频率，而不是系统的输出信号。
产生自振荡的条件为：1)()(=A N j G ω πω−=∠+∠)()(A N j G （3-3-20）产生自激振荡在三阶非线性控制系统中是常见的，因此在这里作详细说明。
注：线性控制系统虽能也能产生等幅振荡，但这是在临界稳定的情况下才能产生，一旦系统系数发生微小变化，这种临界状就将被破坏，振荡将消失。
2． 极限环的研究在非线性控制系统出现的自振荡现象，在相平面图中将会看到一条封闭曲线，即极限环。
极限环的类型有： ①．稳定的极限环当∞时，相轨迹从内部或外部卷向极限环。
②．不稳定的极限环当③．半稳定的极限环当轨迹卷离极限环。
在一些复杂的非线性控制系统中，有可能出现两个或两个以上的极限环。
3． 用描述函数法分析非线性控制系统 ⑴ 描述函数的定义非线性环节的描述函数的定义为非线性环节的输入正弦波信号与稳态输出的基波分量的复数比。
描述函数法是非线性控制系统的一种近似分析法。
主要是用来分析无外作用的情况下，非线性控制系统的稳定性和自振荡问题。
精选-第三章 钢筋混凝土弯压构件截面非线性分析
第三章 钢筋混凝土弯压构件截面非线性分析§3.1 实验研究图3-1 钢筋混凝土梁试验几何关系：截面上的应变与距中性轴的距离成正比——中性轴位置变化图3-2 截面中性轴位置的变化图3-3 钢筋混凝土受弯构件截面的六个应力状态t <ε εt u ε s εs =f y > ε y > εy εc u I I aII aIII aIIIII图3-4 钢筋混凝土梁截面极限状态下应力-应变分布图3-5a 梁跨中弯矩-挠度曲线 图3-5b 跨中截面弯矩-曲率曲线图3-5梁跨中截面弯矩-相对受压区高度关系曲线0.40.60.81.0M crM yM u 0fM/M uf cr f y f u habA shx nε cε sf0.40.60.81.0M crM yM u 0M/M u0.50.40.30.20.1x n =x n /h 00.40.60.81.0ⅠaⅡaⅢaⅠⅡⅢM crM yM u 0fM/M u§3.2 受弯构件正截面分析线性与非线性比较（1）受弯构件截面线性分析的基本思路图3-7 材料力学理论应力分析方法几何关系：截面上的应变与距形心轴的距离成正比——中性轴位置固定0y εεf =+y ——计算应变点到截面形心轴的距离物理关系：应力-应变关系为线弹性0()E E y σεεf ==+平衡条件：22223222022d ()d d d 12hh h h h h h h M b y y E y b y ybh E b y y E b y y E σεf εf f----==+=+=⎰⎰⎰⎰（2） 钢筋混凝土受弯构件正截面非线性分析的基本思路图3-8 钢筋混凝土截面根据平截面假定，y x h y x y nsnc-+=+=+=0000εεεεf εεy ——计算应变点的坐标sx nh 0A s bεt opεbotfyε xhA byε0物理关系：应力-应变关系为非线性 钢筋：弹全塑性关系εσs s E =， 当s y y E f =≤εεy s f =σ， 当y εε>混凝土：我国规范建议的全曲线分为上升段和水平段。
第三章几何非线性
在大应变问题中，对数应变并不能自动适应任意大的旋转。
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-19
真实应力或 Cauchy 应力
与对数应变 l 共轭的一维应力是真实应力 ,真实应力的计算是当 前的力 F 除以当前（或变形的）面积 A ：
F A
真实应力通常也称为 Cauchy 应力。
1 G U T U I 2
这种应变在计算时直接忽略了旋转矩阵 的形式写出，如下式所示：
。 G 可以变形梯度
R
u u T u T u G X X X X
几何非线性 – 5.7版本
u
Y
X
X
x
• 如果我们观察物体上一个点的运动，它的初始位置是 X ，最终 位置是 x ，它运动的量 u 为
u x X
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-24
变形梯度
变形梯度是物体变形多少的一个度量，它的定义是：
变形梯度 F 包含的信息有：
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-22
将非线性应变定义扩展至一般的三维情况
• 在二维或三维问题中，当物体承受大应变变形时，不只长度发生 改变，而且厚度、面积与体积都发生改变。
A0 A
P
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-23
运动与变形
• 当物体承受一些外载时，它将移动和变形。
l l0
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第三章非线性分析在工程结构实际中，常常会遇到许多不符合小变形假设的问题，例如板和壳等薄壁结构在一定载荷作用F，尽管应变很小，甚至未超过弹性极限，但是位移较大，材料微单元会有较大的刚体转动位移。
这时平衡条件应如实地建立在变形后的位形上，以考虑变形对平衡的影响。
同时应变表达式也应包括位移的二次项。
这样，结构的几何形变关系将是非线性的。
这种由于大位移和大转动引起的非线性问题称为几何非线性问题。
在涉及几何非线性问题的有限元方法中，可以采用两种不同的表达格式来建立有限元方程。
一种格式是所有静力学和运动学变量总是参考于初始位形的完全拉格朗日格式，即在整个分析过程中参考位形保持不变。
而另一种格式中，所有静力学和运动学的变量参考于每一载荷步增量或时间步长开始的位形，即在分析过程中参考位形是不断被更新的，这种格式就称为更新的拉格朗日格式。
下面将分别具体讨论大变形情况下应变和应力度量，几何非线性有限元方程的建立以及系数矩阵的形成。
在涉及几何非线性问题的有限元方法中，可以采用两种不同的表达格式来建立有限元方程。
一种格式是所有静力学和运动学变量总是参考于初始位形的完全拉格朗日格式，即在整个分析过程中参考位形保持不变。
而另一种格式中，所有静力学和运动学的变量参考于每一载荷步增量或时间步长开始的位形，即在分析过程中参考位形是不断被更新的，这种格式就称为更新的拉格朗日格式。
下面将分别具体讨论大变形情况下应变和应力度量，几何非线性有限元方程的建立以及系数矩阵的形成。
第三章非线性分析的数值计算方法3．1概述非线性问题一般包括三类：材料非线性、几何非线性和边界非线性；而在许多实际的结构中，常常是三种非线性问题的融合，因此其解析方法能够得到的解答是十分有限的。
对于非线性问题的求解，可以采用有限元分析的方法，因此非线性方程组的解法也就成为非线性问题有限元分析涉及的基本问题，也就是通常所说的非线性分析的数值计算方法I”。
常用的有Newton—Raphson法(简称N-R)和弧长法。
本文将详细介绍Newton-Raphson法和弧长法，且依据不同的约束方程形式介绍各种不同形式的弧长法并比较其准确性和可靠性，这在非线性分析计算中是非常有意义的。
3．2牛顿一拉夫森法在非线性问题的分析中，常用的一种方法就是Newton—RaphSOIl法，也称为牛顿-拉夫森(Raphson)方法，简称N—R法。
非线性方程组通常可以表示为≯0)=，0)一Q=0 (3．1)其中a是待求的未知量，尸(n)是“的非线胜函数向量，Q是独立于a的已知向量。
如果方程(3 1)式的第n次解已经得到，一般情况下(3．1)式并不能精确的满足，因此为了得到进一步的近似解d(“’，可将≯岛(⋯))表示成在“(”’附近的仅保留线性项的Taylor 展丌式，即≯㈣)；≯㈩+(组∥=。
c。
，且口0+I)=d扣)+△口0j (3．3)其中d纥是切线矩阵，即3．3弧长法对于某些物理意义上不稳定的非线性静态分析，如果仅仅使用牛顿迭代法，正切刚度矩阵可能变为降秩矩阵，从而导致严重的收敛问题，那么就可以激活另外一种迭代方法一弧长法帮助稳定性求解。
存目前的非线陛跟踪方法中，弧长控制类方法是解决极值点问题最主要的方法。
它最初由Riks和Wempner提出，在(N+1)维空间(占，五)中发展延续算法(Continuationmethod)，也就是最早的位移控制弧长法，继而由Crisfield和Ramm4．3论文涉及的ANSYS分析模块[51,52,54,55】本论文中主要使用了ANSYS程序的结构静力分析模块，涉及到几何非线性屈曲分析功能。
ANSYS程序中结构静力分析用来求解外载荷引起的位移、应力、应变和内力。
静力分析分为线性和非线性，线性分析由于能节省计算时间，因此对于单元节点多，形状规则的结构，常常使用线性分析。
非线性分析用于如塑性、蠕变、膨胀、大变形及接触面等方面。
非线性静力分析通常通过逐渐施加载荷完成，以便能获得有较高精度的解。
静力分析还包括屈曲分析，屈曲分析用于确定：(1)结构失稳的载荷(2)在特定的载荷下结构是否稳定这类分析对于确定承载结构的稳定性是很重要的。
在ANSYS中，稳定性分析分为两种：线性(特征值)屈曲和非线性屈曲。
实际上，ANSYS的屈曲分析是大变形分析的一种应用。
(】)结构的非线性结构非线性导致结构或部件的响应随外载荷不成比例变化。
实际上，所有结构本质上是非线性的，只是在对分析影响ted,时常被忽略。
然而，如果认为非线性对结构性质影响到了不可忽略的程度，则需要进行非线陛分析。
ANSYS程序可求解静态和瞬态非线性问题。
非线性静态分析将载荷分解为一系列增量的载荷步，并且在每一载荷步内进行一系列线性逼近以达到甲衡，每次线性逼近需要对方程进行一次求解(也称为平衡迭代)。
因此，非线性静态分析需要用去大量的机时。
在非线性分析中，结构刚度矩阵和载荷量依赖于求解结果，因此是未知的，为解决浚问题，ANSYS程序使用基于Newton-Raphson法的迭代过程，用一系列线性近似值逐渐收敛于实际上的非线性解。
对于静力非线性分析，可采用弧长法来控制收敛。
利用NewtonjRaphson法，刚度矩阵和载荷向量每次迭代都可阱更新。
Newton．Raphson方程如下：[KL{△“}，=仁4弦”l一。
(4．1)其中：[Kl。
是根据第(i—1)次迭代的变形形状得到的刚度矩阵，{△“)，是位移向量增量，{Au}，=扣}，一曲乙，／u}，是当前迭代的位移向量，p 4}是外载荷向量，妒”L足基于(i-1)次迭代位移的Newton-Raphson存储载荷。
每个子步载荷的划分和最大平衡迭代数均可由用户控制，平衡迭代进行到收敛或达到最大迭代数限制为止。
对所有的非线性分析，可根据失衡力(p4KF”I一，)或两次迭代间的位移增量{△“L来检查收敛情况。
在许多非线性静态分析中，载荷必须以增量形式施加以获得精度高的解。
载荷从初始载荷(通常为零)到最终载荷是斜坡变化的。
ANSYS程序具有载荷步自动划分功能，目的在于获得高精度解和收敛解。
用户仅需给定最终载荷以及将采用的最小、最大步长。
在静态和瞬态分析中，ANSYS程序可考虑多种非线性的影响，这些非线性可分为三类：材料、几何和单元非线性。
(2)几何非线性当结构位移显著地改变其刚度时，则被视为几何非线性。
ANSYS程序可解决这几类几何非线性效应：大应变、大变形、应力刚化和旋转软化。
大应变几何非线性解决人的局部变形问题，它可作为结构变形而出现，材料中地应变和转角数量没有假定，程序通过调整反映几何变化地单元形状来解决大应变问题。
大变形表示由于结构变形导致的单元空间方位变化而引起的总结构刚度变化。
这时假定是发生小应变和大转动。
程序利用更新单元方位作为结丰句变形来解决大变形问题。
ANSYS 的大转动和定常剀向刚度能力可用于梁单元和壳单元。
用于大变形分析的另一ANSYS功能是模拟随动载荷，即它总是垂直于结构单元，单元压力用于描述该载荷。
对于大变形和大应变，刚度受位移影响。
因此，需要用迭代法求解刚度变化，并使用Newton．Rphson方法。
弧长法用于解决屈曲或有阶跃可能的静态问题。
ANSYS程序用于结构的应力状态计算刚度矩阵并将其附加于刚度矩阵上，所得到的刚度矩阵用于求解新的位移。
相应地考虑应力刚度的静力分析的控制方程是：(医】+Is眦}={F} (4．2)该分析功能用类似于大变形分析的迭代方法求解。
在其他一些线性问题中，诸如模态、线性瞬态动力和谐波响应分析，ANSYS程序还考虑预应力的影响，这可通过在线性分析中采用预应力模型来完成。
(3)线性屈曲线性屈曲分析考虑了应力刚化效应，这种效应会导致结构在承受应力后抵抗横向载荷能力降低。
当压应力增加时，结构抵抗横向能力减小。
在某一载荷水平下，这种负的应力刚度超过线性结构刚度，造成结构屈曲。
ANSYS程序采用特征值公式进行线性屈曲分析。
这个公式确定了应力刚度矩阵偏离结构刚度矩阵的比例因子(特征值)。
线性屈曲的控制方程是：噼卜五陋*}_0 (4-3)其中：医]是结构刚度矩阵，口]是应力刚度矩阵，置表示比例因子的特征值，如)表示屈曲形状的特征向量。
屈曲发生的点称为分叉点。
由于力．变形曲线达到该点后可能沿两条不同路径前进，所以当超过分叉点时，结构将屈曲或在不稳定状态下承受载荷。
认识到线性屈曲不考虑任何非线性和结构缺陷这一点很重要，这些因素如果出现在真实结构中(在通常情况下正是这样的)，可能会导致屈曲载荷低于分析结果。
线性屈曲分析只能确定结构可承受的并保持稳定的最大载荷。
然而线性屈曲分析是非常有效的，且与非线性屈曲分析相比只需要相对很少的计算时间。
剥于在进行非线性屈曲分析之前研究结构的一般特性或用丁进行学术性的工程研究，线性屈曲分折是很有用的。
(4)非线性屈曲要更精确确定屈曲载荷，应该使用非线性屈曲分析。
非线性屈曲分析基本上是大变形分析的一种应用，ANSYS程序在大变形分析中把弧长法和Newten．Raphson法结合起来修正结构单元的方位。
Newton．Raphson增量法的平衡迭代公式表示如下：瞰Lml=㈣一护“L (4—4)其中：缸)，=缸L+{△“}，，{Au}。
是位移向量的增量，缸{，是当6“迭代的位移向量，第40伊)是外载荷向量，{F“j一，是根据第(i一1)次迭代的位移得到的弹性力向量。
ANSYS程序在迭代过程中通过控制以进行非线性屈益分析。
通常在大变形分析中，当结构收敛于稳定状态时平衡迭代闾的位移变化会减小。
如果结构载荷超过它的稳定极限，迭代过程中将增大(即解发散)，极限(屈曲)载荷是解开始发散时的载荷。
在非线性屈曲分析中得出的极限载荷通常比线性屈曲分析确定的分叉点低，这是由于非线性屈监能考虑真实结构中存在的初始缺陷以及几何和材料的各种非线性。
非线性屈曲的第二个应用是后屈曲分析。
许多结构在结构屈曲后继续加载将达到第二稳定状态。
如果允许迭代过程在达到或超过极限载荷时继续进行，直到该问题收敛，可确定第二稳定结构。
在极限载荷和后屈曲非线性屈曲分析中，都采用弧长法。
当单独使用增量Newton-Raphson法时，刚度矩阵可能会变成奇异矩阵，并控制收敛性。