开方表演示

二、笔算开ｎ次方根的方法 笔算开ｎ
• • • • • • • • • • • • ④a=13,找下一个 找下一个b, 找下一个 条件是：（ 条件是：（10a+b）^n-(10a)^n<=c ） ：（ (130+b)^3-130^3<=c=476560 (130+b)^3=2673560 b取最大值，所以b=8。 取最大值，所以 。 取最大值 差c=2673560-138^3=45488 C=c*10^n+下一段合成 下一段合成=45488*10^3+0000=45488000 下一段合成 ⑤a=138,找下一个 找下一个b, 找下一个 条件是：（ 条件是：（10a+b）^n-(10a)^n<=c ） ：（ (1380+b)^3-(1380)^3<=45488000 B取最大，所以b=7 取最大，所以 取最大 所以，最后结果为13.87… 所以，最后结果为
2 1 1
3
2
2
二、笔算开ｎ次方根的方法 笔算开ｎ • 原理：
• 设被开方数为Ｘ，开ｎ次方，设前一步的 根的结果为ａ，现在要试根的下一位，设 为ｂ，则有：（10*a+b）^n(10*a)^n<=c.(前一步的差与本段的合成)， 且b取最大值，正整数。
二、笔算开ｎ次方根起源与发展
• 到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的 欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决 了。他的处理不可通约量的方法，出现在 欧几里得《原本》第5卷中。欧多克斯和狄 德金于1872年给出的无理数的解释与现代 解释基本一致。
一、起源与发展
• 今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然 反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之 处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大 冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关， 几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可 以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动 摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉 和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从 此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何 公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大 革命！
二、笔算开ｎ次方根的方法 笔算开ｎ
• 结论 • 以此原理不管是整数，小数，只要有意义， 开几次方根都可以用这种方法进行笔算。
三、中学里的开方运算
• 课标要求：
三、中学里的开方运算
三、中学里的开方运算
• 中学中所涉及的开方运算方法 • 利用计算器求立方根 • 平方表 11^2=121 12^2=144 13^2=169 14^2=196 15^2=225 16^2=256 17^2=289 18^2=324 19^2=361 20^2=400 21^2=441 22^2=484 23^2=529 24^2=576 25^2=625
我们的目的是：得到开方表
目录
• • • • 起源于发展 手工运算开方 中学里的开方运算 我们的成果
一、起源与发展
• 2大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥 拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中 不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为 “四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为： 宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥 拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此 也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整 数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为1的直角 三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根 本信条，导致了当时认识上的“危机”，从而产生了 第一次数学危机。
二、笔算开ｎ次方根的方法 笔算开ｎ • 实例 实例1
• 开平方根的办法是，首先将130321这个数从个位起两位 两位的分组：13,03,21。再从最高位（或最高两位）开始 试平方根的最高位，由于3^2<13<4^2，所以应该商3，再 用13-3^2=4，再将4与后面两位03，组成一个新数403作 为被除数，用20（这是一个固定的数，以后经常用到）乘 以第一次试的商3得到60作为除数试商（假设试出的商为 a），则必须满足(60+a)*a<=403，且a是最大的一个符合 上述条件的数，则a=6。再用403-66*6=7，再用7与最后 两位21组成一个新数721作为被除数，用20乘以前两次试 的商组成的数36的乘积（即720）作为除数来试商（假设 商b），需要满足(720+b)*b<=721，则b=1，刚好除尽。 所以这样笔算出来的结果是361。
三、中学里的开方运算
• 立方表 1^3=1 2^3=8 3^3=27 4^3=64 5^3=125 6^3=216 7^3=343 8^3=512 9^3=729 10^3=1000
三、中学里的开方运算
公式 ⅰ(
a ) = a ( a ≥ 0)
2
ab = a • b (a ≥ 0, b ≥ 0)
a ( a ≥ 0)
− a ( a < 0)
a
a = b
2
=
a b
a
=
(a ≥ 0,b ≥ 0)
我们的成果
• 程序演示 • 开方表
• 目的通过查阅资料， • 利用计算方法课程中所学习过的误差分析、 数值逼近（函数插值 、函数逼近等）、方 程求根等算法知识点，给出自己的数值求 解算法，构造出自己的开方表，并进行一 定的误差分析； • 进一步，在给定假设误差的前提下，讨论 新的算法，探讨获得满足误差要求开方表 的条件和可行算法。
2
一、起源与发展
• 1
无理数的产生 第一次数学危机 毕达哥拉斯悖论 （公元前500年） 公元前370年 毕氏学派的欧多克斯 给比例下新定义。
欧多克斯和狄德金 1872年 无理数的解释
美索不达米亚人长于计算，这不只是与他们优良的记数系统有 关。美索不达米亚的学者还表现出发展程序化算法的熟练技巧。他 们创造了许多成熟的算法，开方根计算就是有代表性的例子之一。 这种开方程序既简单又有效：设 x = a 是所求平方根，并设 a1 是这 根的首次近似；由方程 b1 = a / a1求出第二次近似 b1 ，若 a1 偏小，则 b1 1 偏大，反之亦然。取算术平均值 a = 2 (a + b ) 为下一步近似，因为 a 2 1 b2 = a / a 2 必偏小，取算术平均值 a = 2 (a + b ) 总是偏大，再下一步近似 将得到更好的结果。这一程序实际上可以无限继续下去。耶鲁大学 收藏的一块古巴比伦泥板（编号7289），其上载有 2 的近似值， 结果准确到六十进制三位小数，用现代符号写出来是1.414 213，是 相当精确的逼近。
构造开方表算法研究
No1组
小组成员：陈林林 李雅琪 赵婷婷 席彦青 李瀚明
李杰 甄珠 李曼 彭楠 王芳
构造开方的意义
• 开方运算 • 是科学计算以及中学数学 学习过程中的一种常见的 运算形式 • 是学习和工程实践中经常 需要完成的一类基本操作， 实际运算 近似值， 不易操作， 故实际操作过程中 不同的数值解算法， 在误差分析的基础上， 对不同指数的开根号运算给 出一个可行的开方表， 某个数据开根号运算的结果 通过查阅该开方表获得。
• 1．从个位起向左每隔两位为一节，若带有小数从小数点起向右每隔 ．从个位起向左每隔两位为一节， 两位一节， 号将各节分开； 两位一节，用“，”号将各节分开； • 2．求不大于左边第一节数的平方根，为平方根最高上的数； ．求不大于左边第一节数的平方根，为平方根最高上的数； • 3．从左边第一节数里减去求得的最高位上的数的平方，在它们的差 ．从左边第一节数里减去求得的最高位上的数的平方， 的右边写上第二节数作为第一个余数； 的右边写上第二节数作为第一个余数； • 4．把商的最高位上的数乘 去试除第一个余数，所得的是整数作试 去试除第一个余数， ．把商的最高位上的数乘20去试除第一个余数 如果这个最大整数大于或等于10，就用9或 作试商 作试商)； 商(如果这个最大整数大于或等于 ，就用 或8作试商 ； 如果这个最大整数大于或等于 • 5．用最高位的数乘以 加上试商再乘以试商。如果所得的积小于或 加上试商再乘以试商。 ．用最高位的数乘以20加上试商再乘以试商 等于余数，这个试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数， 等于余数，这个试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数， 就把试商逐次减小再试，直到积小于或等于余数为止； 就把试商逐次减小再试，直到积小于或等于余数为止； • 6．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。 ．用同样的方法，继续求平方根的其他各位上的数。
二、笔算开ｎ次方根的方法 笔算开ｎ
• 实例2 实例
• • • • • • • • • 2673.56开3次方根。 开 次方根 次方根。 将被开方数以小数点为中心，向两边每隔n位分 ①2，673.560，000，… （将被开方数以小数点为中心，向两边每隔 位分 ， ， ， 表示，不足部分在两端用0补齐 补齐。） 段，用，表示，不足部分在两端用 补齐。） b，条件是：（ ：（10a+b） ②找b，条件是：（10a+b）^n-(10a)^n<=c. 初值a=0,差c=2 （最高段，从左向右算） 最高段，从左向右算） 初值 差 所以， 取最大整数值， 所以，b^n<=2,即：b^3<=2,切b取最大整数值，所以 即 切 取最大整数值 所以b=1. 下一个差c=2-1^3=1,与下一段合成，即：c=c*10^n+下一段 与下一段合成， 下一个差 与下一段合成 下一段 =1*10^3+673=1673 上一步b的值 条件是：（ ③a=1(上一步 的值 ，找下一个 条件是：（ 上一步 的值)，找下一个b,条件是：（10a+b）^n-(10a)^n<=c,即： ） 即 (10+b)^3-10^3<=1673,且b取最大整值，所以 取最大整值， 且 取最大整值 所以b=3. 下一个差c=2673-13^3=476 下一个差 C=c*10^n+下一段 下一段=476*10^n+560=476*10^3+560=476560 下一段