等差数列求和性质二精品资料
等差数列的性质和求和公式
等差数列的性质和求和公式等差数列是数学中常见且重要的数列类型之一。
它的性质和求和公式在数学和实际应用中具有广泛的应用。
本文将介绍等差数列的性质，讨论其求和公式，并举例说明。
1. 等差数列的定义和性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。
以$a_1$表示首项，$d$表示公差，$n$表示项数，则等差数列可以表示为：$$a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, ..., a_1 + (n-1)d$$其中，$a_k$表示第$k$项。
等差数列具有以下性质：(1) 首项：$a_1$(2) 公差：$d$(3) 第$n$项：$a_n = a_1 + (n-1)d$(4) 第$n$项和：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$2. 等差数列的求和公式为了求得等差数列的前$n$项和$S_n$，我们可以利用等差数列的性质和求和公式。
首先，我们知道等差数列的第$n$项和$S_n$可以表示为：$$S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + ... + (a_1 + (n-1)d)$$将等差数列中的各项按照首项与公差的关系进行重排，可以得到：$$S_n = (a_1 + a_1 + (n-1)d) + (a_1 + d + a_1 + (n-2)d) + ... + (a_1 + (n-1)d + a_1)$$将每对括号内的两项相加，可以得到：$$S_n = (2a_1 + (n-1)d) + (2a_1 + (n-1)d) + ... + (2a_1 + (n-1)d)$$由于括号内的每项都相同，因此可以简化为：$$S_n = n(2a_1 + (n-1)d)$$这就是等差数列的求和公式。
3. 求和公式的应用举例接下来，我们通过几个具体的例子来说明等差数列的求和公式的应用。
例1：求等差数列$5, 8, 11, 14, 17$的前$5$项和$S_5$。
等差数列求和性质二
结论 : 若an 是等差数列, 则a10n 还是等差 2.等差数列an , a1 a2 a3 35, a2 a3 a4 63, 求a3 a4 a5 转为a1和d 法一 : 基本量思想 法二 : 整体做差 3. an 是等差数列, Sn是前n项的和, 求证 : S6 , S12 S6 , S18 S12也成等差 推广 : 若an 是等差数列, Sn , S2n Sn , S3n S2n也成等差
2o .n 13时, an 0
Tn a1 a2 an
a1 a2 an Sn
(a1 a12 ) (a13 an ) S12 ( Sn S12 ) Sn 2 S12
n2 24n
n2 24n, ( n 12) Tn 2 n 24n 288,( n 13)
等差数列an , Sn 100, S2n 500, 求S3n 等差数列an , S3 30, S6 100, 求S9 等差数列an , Sk 40, S3k 345, 求S2k
1.等差数列an , a10 30, a20 50, 求a40 转为a1和d 法一 : 基本量思想 法二 : a10,a20 , a30, 还成等差
2.根据an模型, 寻找通项中的正负转折项(包括零)
a1 0, d 0 a1 0, d 0
, , , , ,
Sn递增, S1最小
Sn递减, S1最大
Sn在转折项有最大值
Sn在转折项有最小值
, , , , , ,
等差数列求和
等差数列求和等差数列求和是初中数学中的重要知识点，它在数学中有着广泛的应用。
通过学习等差数列求和，我们可以更好地理解数列的性质和规律，并且能够解决一些实际问题。
在本文中，我将以举例、分析和说明的方式，详细介绍等差数列求和的方法和应用。
一、等差数列的概念和性质等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项之差都相等的数列。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
等差数列的性质有很多，其中最重要的是等差数列的通项公式和求和公式。
二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式是指通过已知的一些条件，可以直接求出数列中任意一项的公式。
对于等差数列而言，通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。
通过这个公式，我们可以快速计算出等差数列中任意一项的值。
例如，对于等差数列1，3，5，7，9，如果要求第10项的值，可以使用通项公式an = a1 + (n-1)d，代入a1=1，d=2，n=10，得到a10=1+(10-1)×2=19。
因此，等差数列1，3，5，7，9的第10项为19。
三、等差数列的求和公式等差数列的求和公式是指通过已知的一些条件，可以直接求出数列中前n项的和。
对于等差数列而言，求和公式可以表示为：Sn = (a1 + an) × n / 2，其中Sn表示前n项的和，a1表示第一项，an表示第n项，n表示项数。
通过这个公式，我们可以快速计算出等差数列前n项的和。
例如，对于等差数列1，3，5，7，9，如果要求前5项的和，可以使用求和公式Sn = (a1 + an) × n / 2，代入a1=1，an=9，n=5，得到S5 = (1 + 9) × 5 / 2 = 25。
因此，等差数列1，3，5，7，9的前5项的和为25。
四、等差数列求和的应用举例等差数列求和在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些具体的例子：例1：小明每天存钱，第一天存1元，第二天存2元，第三天存3元，以此类推。
等差数列与等差数列求和公式的推导
等差数列与等差数列求和公式的推导等差数列是数学中常见的一种数列形式，它的特点是每一项与前一项之间的差值是一个固定的常数。
在实际应用中，等差数列求和公式是非常有用的，可以用来计算一系列等差数列的总和。
本文将介绍等差数列的概念、性质以及等差数列求和公式的推导过程。
一、等差数列的概念与性质等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都是一个常数。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示数列的第n项，n表示项数。
等差数列具有以下性质：1. 公差d是等差数列的重要特征，可以通过任意两项的差值来计算得到。
2. 等差数列的首项和末项之和等于两倍的中间项，即a₁ + aₙ = a₍ₙ₊₁₎ + a₍ₙ₋₁₎ = a₍₂ₙ₎。
3. 等差数列的前n项和可以表示为Sn = (n/2)(a₁ + aₙ)。
二、等差数列求和公式的推导等差数列求和公式是通过对数列的前n项进行求和得到的。
下面将介绍等差数列求和公式的推导过程。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sn。
首先，我们可以将Sn表示为每一项的和的形式：Sn = a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + ... + (a₁ + (n-1)d)接下来，我们可以将Sn中的每一项与第一项a₁进行配对，形成n个和为a₁ + aₙ的项：Sn = (a₁ + aₙ) + (a₁ + a₍ₙ₋₁₎) + ... + (a₁ + a₍₂ₙ₋₁₎)由等差数列的性质可知，这n个和为a₁ + aₙ的项相等于n/2个和为a₁ + aₙ的中间项的和，即：Sn = n/2 * (a₁ + aₙ)这就是等差数列求和公式的推导过程。
三、等差数列求和公式的应用等差数列求和公式在实际应用中有着广泛的应用。
通过等差数列求和公式，我们可以快速计算等差数列的前n项和，从而简化计算过程。
例如，我们有一个等差数列的首项为3，公差为2，我们想要计算前10项的和。
等差数列求和性质
课 时 栏
＝25×9＋92×(9－1)d，
目 开 关
解得d＝－2，所以Sn＝25n＋n2(n－1)(－2)
＝－(n－13)2＋169，
由二次函数性质可知，当n＝13时，Sn有最大值169.
研一研·问题探究、课堂更高效
方法二 先求出d＝－2，因为a1＝25>0，
本 课
由aann＝＋1＝252－5－22nn－≤10≥，0，
关
－5，－3, 2 －1,1,3，…，
a1＝_-5_， d＝_2_
Sn＝n_2_－__6_n_
(Sn)min＝__-9__, 此时 n＝__3__
研一研·问题探究、课堂更高效
2.2.2（二）
3
4,2,0，－2， a1＝_4__， －4，…， d＝_-2__
Sn＝－__n_2_＋__5_n
(Sn)max＝__6__, 此时n＝_2_或__3__
＋…＋|an|，求Tn.
解 ∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.
本 课 时
当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an ＝na1＋nn2－1d＝13n＋nn2－1×(－4)
栏
目 ＝15n－2n2；
开 关
当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)
＝
本
d
课 时
na1；当 d≠0 时，此解析式可以看作二次项系数为_2__，一次项
栏 目 开
系数为_a_1_－__d2_，常数项为 0 的二次函数，其图象为抛物线 y＝
关
d2x2＋(a1－d2)x 上的点集，坐标为(n，Sn)(n∈N*)．
等差数列的性质与求和
等差数列的性质与求和等差数列是数学中的重要概念之一，它的性质和求和公式在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍等差数列的性质，探讨其求和公式的推导，并结合实例进行说明。
一、等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变的数列。
设等差数列的首项为a，公差为d，则数列的通项公式可以表示为：an = a + (n-1)d，其中n为项数根据等差数列的性质，我们可以得出以下几个重要的结论：1. 第n项与首项的关系第n项可以通过首项与公差相乘再加上n-1乘以公差来求得。
2. 公差与项数的关系项数n可以通过首项与第n项的差值再除以公差加1来求得。
3. 项数与和的关系项数n与等差数列的和Sn之间存在如下关系：Sn = (a + an) × n / 2这个公式是等差数列求和的基本公式，可以通过将首项与尾项相加再乘以项数的一半得到。
通过以上性质，我们可以更好地理解等差数列的规律，并在解决问题时运用这些性质。
二、等差数列求和公式的推导为了得到等差数列求和的公式，我们可以利用数列的性质和一些数学推导。
设等差数列的首项为a，公差为d，项数为n，数列的和为Sn。
首先，我们可以通过数列的性质得到：Sn = (a + an) × n / 2将an替换为a + (n-1)d得到：Sn = (a + (a + (n-1)d)) × n / 2化简后得：Sn = (2a + (n-1)d) × n / 2进一步化简可得：Sn = (2a + (n-1)d) × (n/2)Sn = (2a × n + (n-1)d × n) / 2Sn = (2an + dn^2 - dn) / 2Sn = an + dn^2/2 - dn/2注意到等差数列的首项为a，最后一项为an，将其替换进去得：Sn = a + (n-1)d + dn^2/2 - dn/2Sn = a + dn(n-1)/2这就是等差数列求和的公式。
等差数列求和
等差数列求和等差数列求和是数学中的一个基本概念，涉及到数列的概念和求和的方法。
下面我将详细介绍等差数列的定义、性质以及如何求等差数列的和。
1. 等差数列的定义等差数列是指数列中的相邻两项之差均为常数的数列。
等差数列通常用字母a表示首项，d表示公差。
数列的通项公式为an = a + (n-1)d，其中an表示第n项。
2. 等差数列的性质（1）等差数列的求和公式等差数列的求和公式为Sn = (n/2)(a + an)，其中Sn表示前n项和。
推导过程如下：Sn = a + (a+d) + (a+2d) + ... + (a+(n-1)d)Sn = (a + (a+(n-1)d)) + ((a+d) + (a+(n-2)d)) + ...Sn = n(a + an)/2其中an = a + (n-1)d（2）等差数列的和与项数的关系等差数列的和与项数的关系为Sn = n(a + an)/2。
通过这个公式，我们可以根据已知的前n项和和首末项来求解未知项数。
（3）等差数列的求和规律等差数列的求和规律是通过前n项和的公式实现的，公式为Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)，其中a为首项，d为公差。
3. 求解等差数列的和的步骤（1）确定题目中给出的已知条件，如首项a、公差d以及项数n。
（2）根据已知条件，代入求和公式Sn = n(a + an)/2。
（3）利用代入后的公式计算得到和的值。
（4）最后，将计算结果写出，确保答案的正确性。
4. 一些例题与解答例题1：求等差数列3，7，11，...，99的和。
解答：首项a=3，公差d=4，项数n=?根据已知条件，应用求和公式Sn = n(a + an)/2。
由an = a + (n-1)d，可得99 = 3 + (n-1)4，解得n=25。
代入公式Sn = n(a + an)/2，得到S25 = 25(3 + 99)/2 = 1300。
例题2：已知等差数列的首项为5，公差为2，若前n项和为525，则求n的值。
等差数列通项求和及其性质
等差数列通项求和及其性质1.等差数列概念及通项公式1) 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
2) 等差数列的判定方法:（1）定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。
（2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。
3) 等差数列的通项公式：如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。
说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。
通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *. 2.等差数列性质2.1等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.2已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝…. (2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.2.3等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列； 当d <0时，数列{a n }为递减数列； 当d ＝0时，数列{a n }为常数列． 3.等差数列求和（倒序相加法） 等差数列的前n 项和：① 2)(1n n a a n S +=②d n n na S n 2)1(1-+= 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。
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S偶 S奇 nd
n : 项数一半
an 1 S奇 an
中间两项比 中间两项
S偶
S2 n n(an an1 )
设等差数列有2n 1项, 则 奇数项有n 1项, 偶数项有n项
思考 : 等差数列求和公式是关于项数n的什么函数 ? 有什么特点?
d 2 d n( n 1) 常数项为0 S n ( a )n Sn na1 d n 1 2 2 S 是关于项数n的二次函数 2 n
看课本P45.例4 思考你会如何处理? 2 4 等差数列5, 4 , 3 , 的前n项和为Sn , 求使得Sn最大的序号n的值. 7 7 题型二 : Sn最值问题 1.根据Sn二次模型, 寻找对称轴
等差数列an , Sn 100, S2n 500, 求S3n 等差数列an , S3 30, S6 100, 求S9 等差数列an , Sk 40, S3k 345, 求S2k
1.等差数列an , a10 30, a20 50, 求a40 转为a1和d 法一 : 基本量思想 法二 : a10,a20 , a30, 还成等差
n1 S奇 (a1 a2 n1 ) (n 1)an1 2 n S偶 (a2 a2 n ) nan1 2
S奇 n 1 S偶 n
项数之比
S奇 S偶 an1
中间项 中间项
S2 n1 (2nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1)an1
1.一个等差数列共有10项, 其中奇数项和
25 , 偶数项和15, 求a6 2
S奇 7 2.等差数列前n项和为377, n为奇数, , 求中间项 S偶 6
3.项数为奇数的等差数列,奇数项和为44,偶数项和为33, 求项数和中间项
4.项数为偶数的等差数列,奇数项和为24,偶数项和为30, 21 最后一项与第一项之差为 , 求首项, 公差, 项数 2
2o .n 13时, an 0
Tn a1 a2
a1 a2 Sn
an
(a1
a12 ) (a13
an )
n2 24n
2 ( n 12) n 24n, Tn 2 n 24n 288,( n 13)
an 0 an 1 0 an 0 an 1 0
a1 0, d 0 , , ,(0),+, , ,
等差数列an 中, a3 a9 , d 0, n为多少时,Sn最大?
a3 a9 0
等差数列an 中,a1 25, S17 S9 , 求前n项和Sn的最大值 等差数列an 中,a1 0, S17 S9 , n为多少时, Sn最大? 等差数列an 中,a1 0, S17 S9 , 你会有什么结论?
S12 ( Sn S12 ) Sn 2 S12
n2 24n 288
练习 : an 2n 10, 求数列an 的和Sn , 数列 an 的和Tn
题型四 : 奇数项和, 偶数项和
创新P 28相关结论
设等差数列有2n项, 则 奇数项有n项, 偶数项有n项
题型五 : 构成新的等差数列
小题可用划圈的方法
题型一 :已知和Sn , 求通项an
已知Sn 3n 2, 求通项公式an
解 : n 1时, a1 S1 1
( n 1) S1 , an Sn Sn1 ,( n 2)
n 2时, an Sn Sn1 3n 3n1 2 3n1 (对n 1不适用)
2.根据an模型, 寻找通项中的正负转折项(包括零)
a1 0, d 0 a1 0, d 0
, , , , ,
Sn递增, S1最小
Sn递减, S1最大
Sn在转折项有最大值
Sn在转折项有最小值
, , , , , ,
, , ,(0),, , ,
a1 0, d 0
Sn最值问题一般两个方向
1.根据Sn二次模型, 寻找对称轴
2.根据an模型, 寻找通项中的正负转折项(包括零)
题型三 : an 求和
an 2n 25, 求数列an 的和Sn , 数列 an 的和Tn
S n n2 24n
an
1o .n 12时, an 0
Tn a1 a2 an
( n 1) 1, an n 1 2 3 ,( n 2)
看课本P44.例3
2
练习P 45.2
1 已知Sn n + n, 求通项公式an , 并判断是否等差数列 ? 2
1 变式 :已知Sn n + n 1, 求通项公式an , 并判断是否等差数列 ? 2
2
思考 : 等差数列求和公式是关于项数n的什么函数 ? 有什么特点?
结论 : 若an 是等差数列, 则a10n 还是等差 2.等差数列an , a1 a2 a3 35, a2 a3 a4 63, 求a3 a4 a5 转为a1和d 法一 : 基本量思想 法二 : 整体做差 3. an 是等差数列, Sn是前n项的和, 求证 : S6 , S12 S6 , S18 S12也成等差 推广 : 若an 是等差数列, Sn , S2n Sn , S3n S2n也成等差