等差数列的性质及求和
等差数列与等差数列的求和
等差数列与等差数列的求和等差数列（Arithmetic Progression）是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的差值都相等的数列。
等差数列的求和是指将等差数列中的所有项相加的操作。
一、等差数列的定义等差数列可以用以下形式表示：an = a1 + (n-1)d其中，an为等差数列的第n项，a1为等差数列的首项，d为等差数列的公差。
二、等差数列的性质1. 公差的概念：等差数列中相邻两项之间的差值称为公差。
公差d可以用来确定等差数列中的任意一项。
2. 通项公式：根据等差数列的定义，我们可以得到等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d。
这个公式可以帮助我们快速计算等差数列中的某一项的值。
3. 求和公式：等差数列求和时，有一个重要的公式可以用来计算等差数列的前n项和Sn：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，Sn为等差数列的前n项和，n为项数，a1为首项，an为末项。
三、等差数列的求和方法1. 如果给定等差数列的首项a1、末项an和项数n，我们可以直接利用求和公式计算等差数列的和。
例如：给定一个等差数列的首项为2，末项为10，项数为5，我们可以通过求和公式计算其和：Sn = (5/2)(2 + 10) = 302. 如果给定等差数列的首项a1、公差d和项数n，我们也可以通过递推的方式来计算等差数列的和。
递推计算的步骤如下：- 首先，计算等差数列的首项a1和末项an。
- 其次，计算等差数列的项数n。
- 然后，利用求和公式计算等差数列的和。
例如：给定一个等差数列的首项为3，公差为4，项数为6，我们可以通过递推的方式计算其和：a1 = 3an = a1 + (n-1)d = 3 + (6-1) * 4 = 23Sn = (6/2)(3 + 23) = 78综上所述，等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的差值都相等的数列。
我们可以通过等差数列的通项公式和求和公式来计算等差数列中任意一项的值和前n项的和。
等差数列的性质和求和公式
等差数列的性质和求和公式等差数列是数学中常见且重要的数列类型之一。
它的性质和求和公式在数学和实际应用中具有广泛的应用。
本文将介绍等差数列的性质，讨论其求和公式，并举例说明。
1. 等差数列的定义和性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。
以$a_1$表示首项，$d$表示公差，$n$表示项数，则等差数列可以表示为：$$a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, ..., a_1 + (n-1)d$$其中，$a_k$表示第$k$项。
等差数列具有以下性质：(1) 首项：$a_1$(2) 公差：$d$(3) 第$n$项：$a_n = a_1 + (n-1)d$(4) 第$n$项和：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$2. 等差数列的求和公式为了求得等差数列的前$n$项和$S_n$，我们可以利用等差数列的性质和求和公式。
首先，我们知道等差数列的第$n$项和$S_n$可以表示为：$$S_n = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + ... + (a_1 + (n-1)d)$$将等差数列中的各项按照首项与公差的关系进行重排，可以得到：$$S_n = (a_1 + a_1 + (n-1)d) + (a_1 + d + a_1 + (n-2)d) + ... + (a_1 + (n-1)d + a_1)$$将每对括号内的两项相加，可以得到：$$S_n = (2a_1 + (n-1)d) + (2a_1 + (n-1)d) + ... + (2a_1 + (n-1)d)$$由于括号内的每项都相同，因此可以简化为：$$S_n = n(2a_1 + (n-1)d)$$这就是等差数列的求和公式。
3. 求和公式的应用举例接下来，我们通过几个具体的例子来说明等差数列的求和公式的应用。
例1：求等差数列$5, 8, 11, 14, 17$的前$5$项和$S_5$。
等差数列与等差数列的求和与通项公式
等差数列与等差数列的求和与通项公式等差数列是指数列中任意两项之间的差值都是相等的数列。
在数学中，等差数列是一种常见的数列类型，具有许多独特的性质和特点。
本文将介绍等差数列的定义、性质以及如何求和与求通项公式。
一、等差数列的定义与性质等差数列的定义：对于数列a₁，a₂，a₃，…，aₙ，如果存在一个常数d，使得对于任意的整数n≥2，有aₙ - aₙ₋₁ = d，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的性质：1. 公差：等差数列中任意两项之间的差值称为公差，通常用字母d 表示。
2. 通项公式：等差数列中第n项的表达式称为通项公式，通常用字母aₙ表示。
3. 求和公式：等差数列的前n项和的表达式称为求和公式，通常用字母Sₙ表示。
二、等差数列的通项公式为了求等差数列的第n项，我们需要知道首项和公差。
首项a₁可以通过给定的数列第一项得到，公差d可以通过数列中任意两项之间的差值得到。
等差数列的通项公式可以通过以下公式得到：aₙ = a₁ + (n - 1) * d其中，aₙ表示等差数列的第n项，a₁表示首项，n表示项数，d表示公差。
三、等差数列的求和公式当我们想求等差数列的前n项和时，可以使用求和公式。
求和公式可以帮助我们快速计算等差数列的和，而不需要逐一相加。
等差数列的求和公式可以通过以下公式得到：Sₙ = (n / 2) * (a₁ + aₙ)其中，Sₙ表示等差数列的前n项和，n表示项数，a₁表示首项，aₙ表示第n项。
四、例题与应用例题1：已知等差数列的首项为3，公差为2，求该等差数列的第10项和前10项和。
解：根据等差数列的通项公式，可以得到第10项：a₁₀ = 3 + (10 - 1) * 2 = 21根据等差数列的求和公式，可以得到前10项和：S₁₀ = (10 / 2) * (3 + 21) = 120例题2：一个等差数列的首项为5，公差为3，已知前n项和为85，求n的值。
解：根据等差数列的通项公式和求和公式，可以得到以下方程：(n / 2) * (5 + aₙ) = 85(n / 2) * (5 + (5 + (n - 1) * 3)) = 85通过解方程，可以得到n的值为7。
等差数列与等差数列求和公式
等差数列与等差数列求和公式等差数列是指数列中的每个元素与它的前一个元素之差都相等的数列。
等差数列的求和公式可以帮助我们快速计算数列中所有元素的和。
本文将介绍等差数列的定义、特点以及求和公式的推导过程。
一、等差数列的定义与特点等差数列的定义是指一个数列中的每个元素与它的前一个元素之差都相等。
这个相等的差值称为公差，通常用字母d表示。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d，则数列中的任意一项可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中n表示数列中的第n个元素。
等差数列有以下几个特点：1. 公差为常数：等差数列中的每个相邻元素之差都是相等的，这个差值在整个数列中保持不变。
2. 首项与公差确定整个数列：等差数列的首项和公差确定了整个数列的所有元素。
3. 等差数列的相邻元素之和相等：等差数列中，相邻两个元素之和都等于中间元素的两倍。
二、等差数列求和公式的推导为了更加方便地计算等差数列的和，我们需要推导出等差数列求和公式。
下面将介绍一种常见的推导方法——倍差法。
假设等差数列的首项为a₁，公差为d，数列的前n项和为Sn。
我们可以利用倍差法进行推导，具体步骤如下：1. 将数列分为两行，第一行是从首项开始的数列，第二行是从末项开始的数列。
两行的所有元素分别相加，得到两个和分别为Sn和Sn。
第一行：a₁ a₂ a₃a₄⋯aₙ₋₁第二行：aₙaₙ₋₁aₙ₋₂⋯a₂ a₁2. 将两行对应的元素相加，得到一个新的数列。
每一项的和都等于首项与末项的和。
Sn + Sn = (a₁ + aₙ) + (a₂ + aₙ₋₁) + (a₃ + aₙ₋₂) + ⋯ + (aₙ +a₁)3. 根据等差数列的性质，利用等差数列的通项公式将上式进行变形。
Sn + Sn = (2a₁ + (n-1)d) + (2a₁ + (n-2)d) + (2a₁ + (n-3)d) + ⋯ +(2a₁ + d)4. 对上式进行化简，得到Sn = n(2a₁ + (n-1)d) / 2这就是等差数列求和公式。
等差数列与等差数列的求和公式
等差数列与等差数列的求和公式等差数列是数学中一种常见的数列形式，它的特点是每一项与前一项之间的差值都相等。
等差数列在数学中有着重要的应用，尤其是在代数和数学分析中。
本文将介绍等差数列的定义、性质以及等差数列的求和公式。
一、等差数列的定义和性质等差数列可以用以下形式来表示：a，a+d，a+2d，a+3d，...，其中a为首项，d 为公差。
首项a表示数列中的第一个数，公差d表示相邻两项之间的差值。
等差数列的性质如下：1. 公差相等性：等差数列中的任意两个相邻项之间的差值都相等，即a(n+1) - a(n) = d。
2. 通项公式：等差数列的第n项可以用通项公式表示为a(n) = a + (n-1)d，其中n为项数。
3. 首项和末项：等差数列的首项为a，末项为a(n) = a + (n-1)d。
4. 项数与公差关系：等差数列的项数n可以通过公式n = (a(n) - a + d) / d来计算。
二、等差数列的求和公式等差数列的求和公式是指将等差数列中的所有项相加得到的结果。
求和公式有两种形式，一种是部分和公式，另一种是总和公式。
1. 部分和公式：等差数列的部分和公式表示为Sn = (n/2)(a + a(n))，其中Sn表示前n项的和。
2. 总和公式：等差数列的总和公式表示为S = (n/2)(a + l)，其中S表示所有项的和，l为末项。
等差数列的求和公式是通过对数列中的项数、首项和末项进行运算得到的。
这些公式的推导过程可以通过数学归纳法来证明，但在此不做详细展开。
三、等差数列的应用等差数列在数学中有着广泛的应用，特别是在代数和数学分析中。
以下是一些等差数列的应用示例：1. 等差数列可以用来表示时间序列中的变化规律，比如每天的气温变化、股票价格的涨跌等。
2. 等差数列可以用来解决一些实际问题，比如计算等差数列中的某一项的值，或者计算前n项的和。
3. 等差数列可以用来表示数学中的一些模型，比如等差数列可以用来表示等速直线运动中的位移变化。
常见等差数列求和公式
常见等差数列求和公式常见等差数列求和公式是数学中非常重要且常用的公式之一。
它能够帮助我们快速准确地求解等差数列的和，而不需要一个一个地相加。
本文将围绕这一公式展开讨论，探讨其原理和应用。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指数列中的任意两个相邻项之差都相等的数列。
换句话说，等差数列中每一项与它前面一项的差都是相同的常数，这个常数称为公差。
等差数列的性质包括：1. 等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等差数列的前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示前n项的和。
二、等差数列求和公式的推导要理解等差数列求和公式的推导过程，首先需要明确等差数列的通项公式。
通项公式告诉我们，等差数列中的每一项都可以表示为首项与公差的线性函数。
因此，我们可以将等差数列的前n项和表示为一个关于n的二次函数。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。
根据等差数列的通项公式，我们可以将等差数列的第n项表示为an = a1 + (n-1)d。
将这个式子代入前n项和的公式中，得到Sn = (a1 + (a1+ (n-1)d)) * n / 2，化简后可得Sn = n(a1 + an) / 2。
三、等差数列求和公式的应用等差数列求和公式在数学中有着广泛的应用。
它可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和，从而解决一些实际问题。
以下是一些应用实例：1. 求解等差数列的和：假设有一个等差数列，首项为3，公差为4，求前10项的和。
根据等差数列求和公式，我们可以得到Sn = 10(3 + (3 + 9*4)) / 2 = 270。
2. 求解等差数列中某几项的和：假设有一个等差数列，首项为2，公差为3，求第4项到第8项的和。
根据等差数列求和公式，我们可以得到Sn = 5(2 + (2 + 7*3)) / 2 = 85。
3. 求解等差数列中的未知量：假设有一个等差数列，前n项的和为S，首项为a1，公差为d，求第n项。
等差数列的求和公式
等差数列的求和公式等差数列是数学中一个常见的数列类型，其中相邻的两个数之间差值固定。
求和公式是用来计算该数列中的所有数值之和的公式。
在本文中，我们将介绍等差数列的求和公式以及如何使用它进行计算。
1.等差数列的定义和性质等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差保持相等的数列。
假设等差数列的首项为a，公差为d，则第n项表示为an = a + (n-1)d。
其中n为项数，a为首项，d为公差。
等差数列的性质包括：- 任意两个项之和与其平均数的关系：an + a(1) = an-1 + a(2) = ... = a(1) + an- 等差数列的前n项和与后n项和的关系：S(n) = n/2 * (a(1) + an) - n项和与首项和末项的关系：S(n) = n/2 * (a + an)2.等差数列的求和公式等差数列的求和公式是用来计算该数列中的所有数值之和的公式。
根据等差数列的性质，我们可以得到以下两个求和公式：- 等差数列前n项和的求和公式：Sn = n/2 * (a + an)- 等差数列首项至第n项和的求和公式：Sn = n/2 * (a(1) + an)这两个公式可以根据具体的问题来选择使用，通常情况下我们更常用的是第一个公式。
下面我们将用实例来说明如何使用等差数列的求和公式。
3.求和公式的应用实例假设有一个等差数列，首项为3，公差为5，要求计算该数列的前10项之和以及前15项之和。
根据求和公式Sn = n/2 * (a + an)，我们可以计算得到：- 前10项之和：S(10) = 10/2 * (3 + a(10)) = 10/2 * (3 + (10-1)5) =10/2 * (3 + 45) = 10/2 * 48 = 10 * 24 = 240- 前15项之和：S(15) = 15/2 * (3 + a(15)) = 15/2 * (3 + (15-1)5) =15/2 * (3 + 70) = 15/2 * 73 = 15 * 36.5 = 547.5因此，该等差数列的前10项之和为240，前15项之和为547.5。
等差数列的性质与计算
等差数列的性质与计算等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列。
在数学中，等差数列是一种常见且重要的数列形式。
本文将探讨等差数列的性质以及如何进行计算。
一、等差数列的性质1. 公差（公共差值）：等差数列中相邻两项之差称为公差，用d表示。
2. 首项：等差数列中的第一项，记作a1。
3. 通项公式：等差数列的通项公式用来表示任意一项的值，通常用an表示第n项。
通项公式可表示为：an = a1 + (n-1)d。
其中，n表示项数。
4. 数列求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式来计算。
求和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)。
其中，Sn表示前n项和。
二、等差数列的计算1. 已知两项求公差：若已知等差数列中的两项a和b，则可以通过计算差值得到公差。
公差d = b - a。
2. 已知首项和公差求任意项：若已知等差数列的首项a1和公差d，可以通过通项公式计算任意一项的值。
an = a1 + (n-1)d。
3. 已知首项和公差求前n项和：若已知等差数列的首项a1、公差d和项数n，可以通过求和公式计算前n项和。
Sn = (n/2)(a1 + an)。
三、示例1. 已知等差数列的首项为5，公差为3，求该数列的第10项的值。
根据通项公式，an = a1 + (n-1)d，代入已知条件得到an = 5 + (10-1)3，计算得到an = 5 + 27 = 32。
因此，该数列的第10项的值为32。
2. 已知等差数列的首项为2，公差为4，求该数列的前5项和。
根据求和公式，Sn = (n/2)(a1 + an)，代入已知条件得到Sn = (5/2)(2+ 2 + (5-1)4)，计算得到Sn = 5(2 + 10) = 60。
因此，该数列的前5项和为60。
总结：本文介绍了等差数列的性质与计算方法。
通过学习等差数列的公差、首项、通项公式以及求和公式，我们可以准确地计算等差数列中任意一项的值以及前n项的和。
等差数列在数学和实际生活中都具有很高的应用价值，希望本文能对读者有所帮助。
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或
3
解 ①、 ② 得
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
-360
604.5
-38 14.5
-10 32
0.7
26
例2 如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支 铅笔， 往上每一层都比它下面一层多放一支，最 上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔？
没有 常数项 的“ 二次函数 （ 注意 a 还可以是 0） ”
例1 已知数列{an}中Sn=2n2+3n，
求证：{an}是等差数列.
三、课堂练习
等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n 项为an，前n项和为Sn，请填写下表：
a1
5
100
d
10
n
10
an
95
2
sn
500
-2
2
50
15
2550
例题分析
例2 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20 分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20， 可得a1+a20=10 (2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8
分析： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10，
可求出
另外一个
简言之————“知三求一”
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
等差数列的图象1
●
●
P39例4
（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，…
●
●
●
1
●
●
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
等差数列的图象2
（2）数列：7，4，1，-2，…
●
●
●
1
2
3
4
●
a101=154
d= -1, ap+q =0
研究性问题
1. 若a12=23，a42=143， an=263，求n. d= 4 n=72
2.已知{an}为等差数列，若a10= 20 ，d= -1 ，求a 3 ?
a 3= a 10 +(3-10)d a 3=27 3. 三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的 积为12，求此三数. 6，4，2或2，4，6
等差数列的性质 例2. 在等差数列 a n 中， d 为公差，若 m , n, p, q N 且 m n p q 求证： a m a n a p a q 证明： 设首项为 a 1 ，则
a m a n a 1 ( m 1) d a 1 ( n 1) d 2 a1 ( m n 2 )d a p a q a 1 ( p 1) d a 1 ( q 1) d
3 11 2
1 13 2
即：a2 a4
a1 a5 2a3
a3 a5 a2 a6 a1 a7 2a4
思考题:已知三个数成等差数列的和 是12，积是48，求这三个数.
解 :设 这 三 个 数 为 a d ,a,a d .
a d a a d 12 设数技巧 a d a a d 4 8 已知三个数成等差 数列，且和已知时常 a 4 a 4 利用对称性设三数为： 或 a-d , a , a+d d 2 d 2 四个数怎么设？
思考题：如何求下列和？
①前100个自然数的和：1+2+3+…+100=
5050 ；
②前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)=
③前n个偶数的和：2+4+6+…+2n=
n2 ；
n(n+1) .
二、学习新课
n(a1 a n )
2 ㈠等差数列前n 项和Sn = =an2+bn
=
na1
n( n 1) 2
等差数列的性质
如果a,A,b成等差数列,那么A 叫a与b的等差中项.
在一个数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的 末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项. 如:数列:1,3,5,7,9,11,13,…中,
3 1 5 2 37
5 37 2
7 59 2
5
1 9 2
2
7
59 2
知识回顾
AAAAAAAAAAAAA 如果一个数列从第2项起， 每一项与 定义 — 它前一项的差 等于同一个常数. . . . . . . 等差数列
公差 — d =an+1-an 通项 — a =a +(n-1)d n 1 几何意义 — 等差数列各项对应的
点都在同一条直线上. 【说明】 ①数列{ an }为等差数列 an+1-an=d 或an+1=an+d
d
.
a、b 为常数
Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an
(1)
Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1
(2)
(1)+ (2)得 2Sn=n(的方法叫 倒序相加法 ； ②等差数列的前n项和公式类同于 梯形的面积公式 ； ③{an}为等差数列 Sn=an2+bn ，这是一个关于 n 的
②公差是 唯一 的，是一个常数。
复习巩固 ：
一、判定题：下列数列是否是等差数列？
①. 9 ，7，5，3，……, -2n+11， ……； ②. -1，11，23，35，……,12n-13，……； ③. 1，2，1，2，………………；
√ √
×
× √
④. 1，2，4，6，8，10， ……；
⑤. a, a, a, a, ……， a，…… ；
设这三个数分别为a-d a，a+d，则3a=12，a2-d2=12
4. 在等差数列{an}中, a1=83，a4=98，则这个数列有 多少项在300到500之间？ 40 提示： d=5, 300< an=78+5n <500 44
n=45，46，…，84
2 n 84 5
2 5
练习 梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间 还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽. 分析： 用{an}题中的等差数列，由已知条件，有 解法一:
二、填空题：
-4 (1)等差数列8，5，2，…，的第5项是 AA AAAAAAA a (2)等差数列-5，-9，-13，…的第n项是A n = -4n-1
(3)已知{an}为等差数列，a1=3，d= 2 ，an=21，则n = 10 【说明】
在等差数列{an}的通项公式中 a1、d、an、n 任知 三 个，
5
6
7
8
9
10
10 9 8 7 6 5 4
3 2 1 0
等差数列的图象3
（1）数列：4，4，4，4，4，4，4，…
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
等差数列的性质 例1 已知数列的通项公式为an=pn+q，其中p,q 是常数，且p≠0，那么这个数列是否一定是等 差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？
项数（上） 1
a1=33 ，a12=110 ，n=12
又a12=a1+(12—1)d
因此，
2
3
1 4 5 6 7 8 9 11 即 110＝33＋11d 0
12
110 1
所以 33 数列的项 d=7
1 9 8 7 6 5 4 3 2 项数（下） 12 11 0 a2=33+7=40 a3=40+47 …………a11=96+7=103
m n pq
2 a1 ( p q 2 )d
am an a p aq
等差数列的性质 P398，10 1. {an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d
an= a1+(n-1) d an= kn + b（k、b为常数） 2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项 ac b 2b= a+c 【说明】 2 an am 3.更一般的情形，an= am+(n - m) d ，d= nm am+an=ap+aq 4.在等差数列{an}中，由 m+n=p+q 注意：①上面的命题的逆命题 是不一定成立 的； ②上面的命题中的等式两边有 相 同 数 目 的项，否则不成立。如a1+a2=a3 成立吗？ 5. 在等差数列{an}中a1+an = a2+ an-1 =a3+ an-2 =…
61cm、 68m、 75cm、82cm、89cm、96cm、103cm.