抽屉原理(二)
第一讲 抽屉原理(二)
抽屉原理(二)把所有整数按照除以某个自然数m 的余数分为m 类，叫做m 的剩余类或同余类，用[0],表示. 每一个类含有无穷多个数，例如中含有[1]m −[1],[2],[3],...,[1]1,21m m ++3m 1,1+,，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n +1个自然数中，总有两个自然数的差是n 的倍数.1. 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数.2. 求证: 从47个正整数中，一定可以找到两个正整数的差是46的倍数．3. 求证: 存在正整数使得. i N47|111i "个4. 从任意13个自然数中，总可以找到若干个数，它们的和是13的倍数． 1213,,,a a a "5. 对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除.6. 任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数.7. 对于任意的11个整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除.8. 证明：17个整数中，必可找到5个数，这5个数之和为5的倍数.9. 任给12个整数，证明：其中必存在8个数，将它们用适当的运算符号连起来后运算的结果是3 465的倍数.10. 对任给的63个互异的正整数，试证：其中一定存在四个正整数，仅用减号，乘号和括号将它们适当地组合为一个算式，其结果是1984的倍数．1,,a a "6311. 试证明：在17个不同的正整数中，必定存在若干个正整数，仅用减号、乘号和括号可将它们组成一个算式，算式的结果是21879的倍数。
12. 郑老师和肖同学是足球迷，同时又对趣味数学题感兴趣. 一次在看足球比赛时，肖同学说：我知道红方有20名队员，编号恰好是1到20,，今天上场的11名队员中，一定有一名队员的号码是另一名队员号码的偶数倍。
郑老师听后点点头，接着说：我还知道红队上场队员中每四名队员中，必定有两名队员号码之差是3的倍数。
六年级下第19讲抽屉原理二
六年级下第19讲抽屉原理二在数学的奇妙世界里，抽屉原理是一个非常有趣且实用的知识。
之前我们已经学习了抽屉原理一，现在让我们一起来探索抽屉原理二。
首先，咱们来回顾一下什么是抽屉原理。
简单地说，就是如果把 n ＋ 1 个物品放进 n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里会放有两个或者更多的物品。
那抽屉原理二又是什么呢？它是抽屉原理的进一步拓展和深化。
比如说，把多于 mn 个物品任意放进 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉里的物品数量不少于 m ＋ 1 个。
为了更好地理解这个原理，咱们来看几个具体的例子。
假设现在有10 支铅笔，要放进 3 个文具盒里。
按照抽屉原理二，如果平均每个文具盒放 3 支铅笔，那么 3 个文具盒一共放了 9 支铅笔，还剩下 1 支铅笔。
这剩下的 1 支铅笔无论放进哪个文具盒，都会使得其中一个文具盒里至少有 4 支铅笔。
再比如说，有 25 个苹果，要放进 6 个篮子里。
如果平均每个篮子放 4 个苹果，那么 6 个篮子一共放了 24 个苹果，还剩下 1 个苹果。
这个剩下的苹果不管放进哪个篮子，都会导致有一个篮子里至少有 5 个苹果。
那么，我们在解决实际问题的时候，怎么运用抽屉原理二呢？比如这样一道题：一个班级有 40 名学生，他们的数学考试成绩分别为 60 分到 100 分之间的整数。
那么，至少有几名同学的成绩是相同的？咱们来分析一下，60 分到 100 分一共有 41 个不同的分数。
把这 41 个分数看作 41 个抽屉，把 40 名学生看作 40 个物品。
40÷41 ＝ 040，平均每个抽屉放 0 个物品，还剩下 40 个物品。
所以至少有 1 个抽屉里会有 1 个或更多的物品，也就是说至少有 2 名同学的成绩是相同的。
再看这道题：从 1、2、3、、100 这 100 个数中，任意取出 51 个数。
证明：其中一定有两个数的差等于 50。
我们可以把这 100 个数分成 50 组：（1，51）、（2，52）、（3，53）（50，100）。
第24讲 抽屉原理二—完整版
第24讲抽屉原理二内容概述抽屉原理在数字、表格、图形等具体问题中有较复杂的应用。
能够根据已知条件合理地选取和设计“抽屉”与“苹果”，有时还应构造出达到最佳状态的例子。
兴趣篇1．将60个红球、8个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？答案：7个解析：红球有60个，而白球只有8个，那么排在一起时白球就把红球分割成了9个部分．60÷9 =6……6，根据抽屉原理，在这9部分中至少有一部分包含6+1=7个红球，因此至少有7个红球连在一起，2．17名同学参加一次考试，考试题是3道判断题（答案只有对或错），每名同学都在答题纸上依次写上了3道题目的答案．请问：至少有几名同学的答案是一样的？答案：3名解析：3道题一共有2×2×2 =8种不同的答案．把17个同学分成8组，由抽屉原理可知，至少有一组中有3个同学，因此在考试中至少有3个同学的答案一样．3．将1至6这6个自然数随意填在图24 -1的六个圆圈中，试说明：图中至少有一行的数字之和不小于8。
答案：1+2+3+4+5+6=21．所以每行平均数为7，第一行最大为6，小于7．所以至少有一行大于7解析：如果三行中每行的数字和都小于8，那么每行的数字和只能都是7．在第一行中只有一个圆圈，必须要在其中填人数字7，但是我们可以选择的只有1至6，这就出现了矛盾．究其原因，“每行的数字和都小于8”是错误的，因此至少有一行的数字之和不小于8．4．从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数．请说明：(1)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(2)在这51个数中，一定有两个数差1．答案：(1)构造50个抽屉：(1.51)，(2，52)．(3.53)．…．,(50，100)，51个数至少有2个数落入同一个抽屉(2)构造50个抽屉：(1，2)，(3.4)，(5，6)，…，(99，100)，51个数至少有2个教落入同一个抽屉解析：(1)我们把这100个数分成50组：(1，51)，(2，52)，…，(50，100).从中选出51个数，由抽屉原理可知，必有两个数属于同一组，那么这组中的两个数的差就是50.(2)我们按照如下方式把这100个数分成50组：(1，2)，(3，4)，…，(99，100).从中选出51个数，由抽屉原理可知，必有两个数属于同一组，那么这组中的两个数的差恰好是1．5．从1，2，3，…，21这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于4？答案：12个解析：将这些数分成12组：(1，5)，(2，6)，(3，7)，(4,8),(9,13),(10,14),(11,15),(12,15),(17, 21)，18，19，20.每组中最多有一个数被选中，否则将有两个数的差为4，因此为了让每两个数的差都不等于4，最多从这21个数中选出12个．而选出12个是可以的：1，2，3，4，9，10，11，12, 17, 18, 19, 20.6．从1至11这11个自然数中至少选出多少个不同的数，才能保证其中一定有两个数的和为12？答案：7个解析：把和为12的两个数分成一组，这样就把这11个数分成6组：(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8),(5，7)，6．要保证一定有两个数的和为12，就要保证至少有两个数属于同一组．由抽屉原理可知，从这12个数中选出7个数，就一定有两个数属于同一组．此时这两个数的和就是12．如果我们从6组中各取一个数，则取出的这6个数中，没有两个数的和是12，因此本题的答案就是至少选出7个不同的数.7．100个数都不能被19整除，那么这些数除以19得到的100个余数中至少有几个是相同的？答案：6个解析：这些数除以19的余数有18种可能，100÷18=5……10，根据抽屉原理，至少有6个是相同的．8．(1)任给4个自然数，请说明：一定有两个数的差是3的倍数；(2)至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是7的倍数？答案：(1)自然数除以3的余数一共只有0，1，2三种，所以4个自然数中一定有两个数除以3同余，(2)8个解析：(1)我们把除以3的余数为0的自然数分成一组，余数为1的分成一组，余数为2的分成一组．这样一来，我们就把所有的自然数分成了三组．根据抽屉原理，从中选出4个自然数，必有两个数属于同一组．由分组的方法可知，属于同一组的两个数的差就是3的倍数，因此任给4个自然数，就必有两个数的差是3的倍数．(2)把自然数分成了7组，每组中的数除以7的余数分别是O，1，2，3，4，5，6．如果从每组中取出一个数，就恰好取出了7个数，其中两两的差都不是7的倍数．如果从中取出8个数，根据抽屉原理，必有两个数属于同一组，那么这两个数的差就是7的倍数．因此要保证必有两个数的差是7的倍数，就要至少选出8个数．9．A 6个朋友都住在同一条胡同里．如果这个胡同有200米长，请说明一定有两个朋友的家相距不超过10米．答案：这条200米的胡同分成5段，每段40米，根据抽屉原理，必然有两家处在同一段，他们相距不超过40米10．在一个边长为2厘米的等边三角形内（包括边界）选出5个点，请证明：一定有两个点之间的距离不大于1．答案：构造4个抽屉，5个点中一定有2个落入同一个小等边三角形中，其距离不大于1解析：如图所示，我们把三角形分成大小形状都相同的4个部分，每一部分都是边长为1厘米的等边三角形．在每个等边三角形中，任何两点的距离都不大于1厘米.一共要从大三角形中选出5个点，分属于4个小三角形．由抽屉原理可知，必有两个点在同一个小三角形中，那么这两个点之间的距离一定不大于1厘米．拓展篇1．任意写一个由数字1、2组成的六位数，从这个六位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，一定有两个相等．1、答案：从六位数中共能截出五个两位数，但一共只有11，12，21，22四种情况解析：一个六位数截取相邻两位，有5种不同的截取方法．截取后得到的5个两位数都由数字1，2组成．由数字1，2组成的两位数一共有2×2=4个不同的数，根据抽屉原理，截取得到的5个数中必有两个相等．2．如图24-2，将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明：不管怎么染，总有两列的染色方式是一样的。
抽屉原理2
至少数 = 商数 + 1
至少数= 物体数÷抽屉数 +1
例3：盒子里有同样大小的红球和 蓝球各4个。要想摸出的球一定有2 个同色的，最少要摸出几个球？ 想一想： 1、在这道题中，什么是“物体”？ 什么是“抽屉”？什么是“至少 数 ”？ 2、从题目可知，问题相当于求抽屉 原理中的（ 物体 ）？怎样求？
3
1、如果盒子里有蓝、红、黄球各6个，从盒 子里摸出两个同色的球，至少要摸出几个球？
2、有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在 一起，让你闭上眼睛去摸，让你闭上眼睛去摸， （1）你至少要摸出几根才敢保证有两根筷子 是同色的？ （2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷 子？为什么?
盒子里有红袜子和黑袜子各6只。要 想摸出的袜子一定能配成一双，最 少要摸出几只？ 物体：？只袜子 抽屉：2种颜色 至少数：2
（３）要保证取出的彩球中至少有两个是同 色的，则至少应取出多少个球？
物体：57位同学
抽屉：12个月
57÷12=4……9 4+1=5（人）
2、把15个球放进4个箱子里， 至少有（ 4 ）个球要放进同 一个箱子里。 物体：15个球
抽屉：4个箱子
15÷4=3……3 3+1=4（个）
3、把红、黄两种颜色的球各6 个放到一个袋子里，任意取出5 个，至少有（3）个同色。
物体：5个球 抽屉：2种颜色
抽屉原理(二）
把4枝笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总 有一个笔筒里至少放进2枝笔.
2、把27个苹果放在4个筐,不管怎么放， 总有一个筐里至少放进( ）个苹果。
计算绝招
至少数 = 商数 + 1
至少数= 物体数÷抽屉数 +1
要把a个物体放进n个抽屉， 如果a÷n =b …… c
抽屉原理(二)— 数论中的抽屉原理
数论中的抽屉原理（组合）一、数论中的抽屉原理& 最不利原则——“和差倍”1. 题型（1）两数之和或两数之差是m（2）两数之和或两数之差是m的倍数2. 解题思路题型（1）根据题意构造抽屉题型（2）根据余数的特征进行分组，构造抽屉二、注意事项1. 相邻两数必互质。
题型一：根据题意构造抽屉1.从2、4、6、…、30这15个偶数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数之和是34 .2.从1 ~ 11这11个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中一定有两个数之和是12 .3.从1 ~ 99这99个自然数中，最多选出多少个数，使得其中每两个数之和都不等于100？4.从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍。
5.从1 ~ 21这21个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差等于4？6.从1 ~ 99这99个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数之差都不等于5？7.如果在1，2，… …，n中任取19个数，都可以保证其中必有两个数的差是6，那么n最大是多少？8.从1 ~ 50这50个自然数中，至少选出多少个数，才能保证其中必有两个数互质？题型二：根据余数构造抽屉1.在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除。
2.至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是7的倍数？3. 1 ~ 17中，至少拿出多少个数才能保证：（1）里面一定有5的倍数？（2）一定有两个数的和是5的倍数？4. 1 ~ 35中，至少拿出多少个数才能保证一定有两个数的和是8的倍数？5.从1至17这17个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被5整除．请问：最多能取出多少个数？6.任选7个不同的数，请说明：其中必有2个数的和或者差是10的倍数。
巩固练习1.从1 ~ 19这19个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差等于4？2.从1 ~ 19这19个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的差是4的倍数？3.从1 ~ 25这25个自然数中，至少取出多少个数，才能保证其中必有两数的和是6的倍数？4.从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除．请问：最多能取出多少个数？5.在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？。
六年级数学抽屉原理(二)
第2讲抽屉原理(二)例1今年入学的一年级新生中，有181人是同一年出生的。
这些新生中，至少有多少人是同一年的同一个月出生的?例2有红、黄、蓝三种不同的玩具若干个，每名同学从中任意拿2个。
至少多少名同学中一定有两名所拿的玩具种类相同?例3布袋里有4种不同颜色的小球，每种颜色的球至少2个，每次任意摸出2个，然后再放回去。
要保证有10次所摸的结果是一样的，至少要摸多少次?例4某旅游团一行50人，随意游览甲、乙、丙三地。
至少有多少人游览的地方完全相同? 例5六(2)班的同学参加一次数学考试，满分为106分，全班最低分是75分。
已知每人得分都是整数，并且班上至少有3人的得分相同。
那么，六(2)班至少有多少名同学?1．参加数学竞赛的210名同学中，至少有多少名同学是同一个月出生的?2．一副扑克牌共54张，至少从中取出多少张牌，才能保证其中必有3种花色(大王、小王不算花色)?3．六年级(1)班的40名学生中，年龄最大的是13岁．最小的11岁，其中必有多少名学生是同年同月出生的?4．有红、黄、蓝、白4色小球各l0个，混合放在一个暗盒里。
一次至少摸出多少个，才能保证有6个小球是同色的?5．数学爱好者俱乐部有37名同学，他们都订阅了《小学生数学报》、《数学奥林匹克》、《智力》中的一种或几种，那么其中至少有多少名同学所订阅的报刊种类完全相同?6．5名同学在一起练习投篮，共投进了41个球，那么至少有一个人投进了多少个球? 7．李老师从图书馆借来一批图书分给三(1)班48名同学。
分的结果是，他们当中总有人至少分到3本书。
这批图书至少有多少本? 8．有规格尺寸相同的6种颜色的袜子各20双，混装在箱内，从箱内至少取出多少只袜子才能保证能凑成3双袜子?9．某班同学的语文考试成绩都是整数，其中最高分为95分，最低分为82分。
已知全班至少有4人的成绩相同，这个班至少有多少名学生?10．一个盒子里有同样大小的珠子30颗，其中有10颗红色，8颗白色，7颗黄色，5颗绿色。
抽屉原理(二)
3、五年级某班有学生42 人，从学校图书室借来 130本图书，是否有人至 少能借到3本或3本以上 的图书？
4、要拿出25个苹果，最 多从几个抽屉中拿，才能 保证从其中一个抽屉里至 少拿了7个苹果。
1、一副扑克牌，拿走两个王。 至少抽出多少张，才能保证至少 有两张牌花色相同？ 2、一副扑克牌，拿走两个王。 至少抽出多少张，才能保证至少 有两张牌大小相同？
8÷3=2（只）……2（只）
“抽屉原理”又称“鸽巢原理”， 最先是由19世纪的德国数学家
狄利克雷 （1805～1859）
狄利克雷提出来的，所以又称
“狄利克雷原理”。
抽屉原理 在有些问题中，“抽屉”和 “物体”不是很明显，需要我们 制造出“抽屉”和“物体”。这
是比较困难的，一方面需要同学 们去分析题目中的条件和问题， 另一方面需要多做一些题来积累
5÷2=2（本）……1（本）
把7本书进2个抽屉中，不管 怎么放，总有一个抽屉至少 放进多少本书？为什么？
7÷2=3（本）……1（本）
把9本书进2个抽屉中，不管 怎么放，总有一个抽屉至少 放进多少本书？为什么？
9÷2=4（本）……1（本）
把 5 本书进 2 个抽屉，总有 一个抽屉至少放3本书。
把 7 本书进 2 个抽屉，总有 一个抽屉至少放4本书。
1.如果把6个苹果放入4个抽 屉中，至少有几个苹果被放 到同一个抽屉里呢？ 2.如果把8个苹果放入5个抽 屉中，至少有几个苹果被放 到同一个抽屉里呢？
只要物体数量是抽屉 数量的1倍多，总有一个 抽屉里 至少放进2个的物 体。
把5本书放进2个抽屉中.
例2、把5本书进2个抽屉中， 可以怎样放？不管怎么放，总 有一个抽屉至少放进（ ） 本书。这是为什么？
四年级奥数-抽屉原理与最不利原理(二)
【例3】(★★★) 口袋中有三种颜色的筷子各10 根，问： ⑴至少取多少根才能保证 种颜色都取到 ⑴至少取多少根才能保证三种颜色都取到？ ⑵至少取多少根才能保证有2双颜色不同的筷子？ ⑶至少取多少根才能保证有2双颜色相同的筷子？
【例2】(★★) 在一个盒子里装着形状相同的三种口味的果冻，分别是苹果口味、巧 克力 味和香芋 味的，每种果冻都有20个，现在闭着眼睛从盒子里 克力口味和香芋口味的，每种果冻都有20个，现在闭着眼睛从盒子里 拿果冻。请问： ⑴至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中有香芋口味的？ ⑵至少要从中拿出多少个，才能保证拿出的果冻中至少有两种口味？
【例7】(★★★) 口袋中有红、黄、蓝3种颜色的玻璃球各50个，闭着眼睛最少要摸出多 少个球，才能保证红球数与黄球数的和比蓝球数多，黄球数与蓝球数 的和比红球数多，红球数与蓝球数的和比黄球数多？
【例6】(★★★) 口袋里有红、绿、蓝、黄、白5种颜色的袜子各50只，为确保从口袋取 出10双袜子（两只袜子颜色相同即为 双），那么应从 袋里取出袜 出10双袜子（两只袜子颜色相同即为一双），那么应从口袋里取出袜 子的最少只数是多少？
两只手套颜色相同即为一双口袋里有红绿蓝黄白5种颜色的袜子各50只为确保从口袋取出10双袜子两只袜子颜色相同即为一双那么应从口袋里取出袜出10双袜子两只袜子颜色相同即为双那么应从袋里取出袜子的最少只数是多少
简单抽屉原理与最不利原则(二)
【例1】(★★) 现有10把钥匙分别能开10把锁，但是不晓得哪把钥匙能开哪把锁。倒 霉李最少要试验多少次才能保证使全部的钥匙和锁相匹配？
【例4】(★★★) 一个布袋里有大小相同的颜色不同的一些球，其中红色的有10个，白 色的有9个，黄色的有8个，蓝色的有3个，绿色的有1个。那么一次最 少取出多少个球 才能保证有4个颜色相同的球？ 少取出多少个球，才能保证有4个颜色、2只黑手套、3只红手套、8只黄手套和9只绿手套放入一 个布袋 个布袋里，请问： 请问 ⑴一次至少要摸出多少只手套才能保证一定有颜色相同的两双手套？ ⑵一次至少要摸出多少只手套才能保证一定有颜色不同的两双手套？ (两只手套颜色相同即为一双)
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抽屉原理（二）
【专题导引】
在抽屉原理的第（2）条原则中，抽屉中的元素个数随着元素总数的增加而增加，当元素总数达到抽屉数的若干倍后，可用抽屉数除元素总数，写成下面的等式：
元素总数=商×抽屉数+余数
如果余数不是0，则最小数=商+1；如果余数正好是0，则最小数=商。
【典型例题】
【例1】幼儿园里有120个小朋友，各种玩具有364件。
把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？
【试一试】
1、一个幼儿园大班有40名小朋友，班里有各种玩具125件。
把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？
2、把16支铅笔放入三个笔盒内，至少有一个笔盒里的笔不少于6支。
这是为什么？
【例2】布袋里有4种不同颜色的球，每种都有10个。
最少取出多少个球，才能保证其中一定有3个球的颜色一样？
【试一试】
1、布袋中有足够多的5种不同颜色的球。
最少取出多少个球才能保证其中一定有3个颜色一样的球？
2、一个容器里放有10块红木块、10块白木块、10块蓝木块，它们的形状、大小都一样，当你被蒙上眼睛去容器中取出木块时，为确保取出的木块中至少有4块颜色相同，应至少取出多少块木块？
【例3】某班共有46名学生，他们都参加了课外兴趣小组。
活动内容有数学、美术、书法和英语，每人可参加1个、2个、3个或4个兴趣小组。
问班级中至少有几名学生参加的项目完全相同？
【试一试】
1、某班有37个学生，他们都订阅了《小主人报》、《少年文艺》、《小学生优秀作文》三种报刊中的一、二、三种。
其中至少有几位同学订的报刊相同？
2、学校开办了绘画、笛子、足球和电脑四个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。
某班有52名同学，问至少有几名同学参加课外学习班的情况完全相同？
【例4】从1至30中，至少要取出几个不同的数，才能保证其中一定有一个数是3的倍数？
【试一试】
1、在1，2，3，……，49，50中，至少要取出多少个不同的数，才能保证其中一定有一个数能被5整除？
2、从1至120中，至少要取出几个不同的数才能保证其中一定有一个数是4的倍数？
【﹡例5】将400张卡片分给若干名同学，每人都能分到，但都不超过11张，试证明：至少有七名同学得到的卡片的张数相同。
【﹡试一试】
1、把280个桃分给若干只猴子，每只猴子不超过10个。
证明无论怎样分，至少有6只猴子得到的桃一样多。
2、把61颗棋子放在若干个格子中，每个格子最多可以放5颗棋子。
证明：至少有5个格子中的棋子数目相同。
课外作业
家长签名：
1、把25个球最多放在几个盒子里，才能至少有一个盒子里有7个球？
2、一副扑克牌共54张，其中1~13点各有4张，还有两张王的扑克牌。
至少要取出几张牌，才能保证其中必有4张牌的点数相同？
3、库房里有一批篮球、排球、足球和铅球，每人任意搬运两个问：在31个搬运者中至少有几人搬运完全相同？
4、从1至36中，最多可以取出几个数，使得这些数中没有两数的差是5的倍数？
﹡5、汽车8小时行了310米，已知汽车第一小时行了25千米，最后一小时行了45千米。
证明：一定存在连续的两小时，在这两小时内汽车至少行了80千米。