第6章 因子分析
06 第六章 R-Q型因子分析
X = nW
于是有
（6.24）
F=
nWU
∧−1 2
=
nF R
∧−1 2
即
（6.24）
FR =
1
F
∧−1 2
n
（6.25）
其中各记号同前文一致。 现在用图 4-9 中汇水盆地的样本为例说明R-Q型因子分析的计算与应用。由样本中 25
个样品 6 个变量作R型因子分析后得因子负载矩阵A于表 5-2。它就是R-Q型因子分析中要求 的R型负载AR。表 5-2 对应的R型因子得分矩阵F列表 5-3，由（6.25）式可求得R-Q型因子分 析中要求的Q型的负载AQ=FR，所得结果列于表 6-1。
三、R-Q 型因子分析的图示
矩阵AR和AQ都是p列的，这意味着m维变量空间和n维样品空间样品都可用一p维因子空
3
间代替，因为p＜＜min(n，m)，故原始空间维数约简了许多。 由于下面的关系成立
AR ARΤ = W ΤW
AQ AQΤ = WW Τ
可见，变量间关系完全保留在ARARΤ中，样品间关系完全保留在AQAQΤ中。
一、R-Q 型因子分析的相似性矩阵
我们考虑用相关系数作为变量间相似性的度量，用欧氏距离作为样品间的相似性度量，并
以此建立起变量间相似性矩阵与样品间相似性矩阵的联系。设原始数据矩阵为如下的形式：
Xn×m=(xij)n×m 其中xij为样品i变量j的观测值；并对数据作如下变换，即类似与标准化变换：
（6.1）
n
j =1
j =1
∑ (xij − x j )2
i =1
(6.8)
∑m
=
(xkj − xLj ) 2
n
= hkk + hLL − 2hkL
第六章 因子分析
因此：因子也是综合变量；因子具有更 明确的指标意义；具有不同意义的因子 便于揭示事物变化的内在结构；提取少 量重要因子可以达到降维和简化分析的 作用。
（二）因子分析的一般模型：
令因子为 F(factor)，当我们研究 m 个因子对实 际问题的影响时可以建立因子模型，即
X i ai1F1 ai 2 F2 aim Fm + i 。 其中的 F 是对所有
（三）基本思想：
基于对因子的认识，因子分析的基本思想就是通过变 量（或样品）的相关系数矩阵（或相似系数矩阵）内 部结构的研究，找出能控制所有变量（或样品）的少 数几个随机变量去描述多个变量（或样品）之间的相 关（或）相似关系。在分解原始变量的基础上，从中 归纳出潜在的“类别”，相关性较强的变量归为一类， 不同类间变量的相关性则较低。从而实现因子分析的 两个目的：一简化分析，二将原变量分类，对公因子 的意义作出合理可信的解释。
而进行因子分析的起点就是因子模型，我们通 过估计因子模型中的参数即因子负荷和方差对 各因子的重要程度进行衡量，并利用因子负荷 矩阵所体现的各变量或样品之间的相关程度提 取出具有明确意义的公因子F，赋予其有实际 背景的解释进而给以命名，从而达到降维和分 类的目的。
三、因子分析的数学原理。
因R型因子分析应用广泛，故本章的解释均是 以R型因子分析为对象。 （一）正交因子模型： 因子分析的一般模型为：
X 1 a11F1 a12 F2 a1m Fm 1 X 2 a21F1 a22 F2 a2 m Fm 2 X p a p1F1 a p 2 F2 a pm Fm p
i
可将上式写成简单的矩阵形式
第六章 温度因子分析
不同生态系统生产力
化，形成与此相应的植物发育节律，称为物候。 • 植物发芽、生长、现蕾、开花、结实、落叶、 休
眠等生长发育阶段的开始和结束称为物候期。 • 植物物候具有稳定性，可以用来指导林业生产。
影响物候的因素
• 纬度、经度和海拔 • 霍普金斯通过研究发现： • 在北美洲温带，每向北移动纬度1度，或向
东移动经度5度，或海拔上升124m，植物 在春天和初夏 物候会延迟4天。这一规律称 为霍普金斯定律。 • 南京和北京，纬度相差6度，桃、李开花 间 差19天；但到4、5月间，两地物候相差9天。
二、关于温度的一些生态概念
• （一）三基点温度 • 最适温度：生物生长发育或生理活动得以
正常进行的温度范围。 • 最低温度和最高温度：植物生长发育和生
理活动的低温和高温限度。 • 合称为三基点温度。
• （二）积温： 积温既能说明某一地区的热 量条件，又能说明生物各生长发育阶段或 整个生长期所需要的热量条件。
• *昼夜变温与种子萌发
•
有一些植物的种子在变温下萌发良好。
低温有利于增加氧在细胞中的溶解度；提
高透性。
• 昼夜变温与生长发育 • 较低的夜温和适宜的昼温对植物生长、开花、结
实和物质的贮藏有利。 • 云南松林：1000m 3/ha。 • 波密云杉林：2000m 3/ha。 • （二）物候 • 季节明显地区，植物适应于气候条件的节律性 变
化学计量学第六章
基于已知药物的毒性和耐受性数据，利用化学计量学模型对新的候 选药物进行预测，降低药物的潜在风险。
06 化学计量学的未来发展与 挑战
新技术与新方法的开发与应用
人工智能与机器学习
利用人工智能和机器学习技术，开发更高效、准确的化学计量学 模型和方法，提高预测能力和应用范围。
高通量实验技术
加强国际间的学术交流与合作，引进 国外先进技术和经验，推动化学计量
学的国际合作与共同进步。
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感谢您的观看
解决复杂化学问题
化学计量学可以解决一些复杂的 化学问题，例如混合物分析、化 学反应动力学和热力学等，为化 学研究和工业生产提供有力支持。
促进跨学科交流和
应用
化学计量学的跨学科性质有助于 促进数学、统计学和计算机科学 等学科与化学的交流和应用，推 动相关领域的发展。
化学计量学的发展历程
早期发展
化学计量学早期的发展主要集中在化学分析和仪器分析方面，强调 测量方法的优化和误差控制。
数据质量控制与管理
建立完善的数据质量控制和管理体系，确保 数据的准确性和可靠性。
跨学科合作与人才培养
跨学科合作
加强化学计量学与其他学科领域的合 作，如生物学、物理学、医学等，拓
展化学计量学的应用领域。
人才培养
加强化学计量学领域的人才培养，提 高研究人员的理论和实践水平，促进
化学计量学的持续发展。
学术交流与合作
化学计量学第六章
目 录
• 化学计量学概述 • 化学计量学的基本原理 • 化学计量学在数据处理中的应用 • 化学计量学在化学分析中的应用 • 化学计量学在药物研发中的应用 • 化学计量学的未来发展与挑战
第六章 因子分析
9
寻找基本结构
在多元统计中，经常遇到诸多变量之间存在强相关的问题，它 会对分析带来许多困难。通过因子分析，可以找出几个较少的有实
际意义的因子，反映出原来数据的基本结构。
例如：调查汽车配件的价格中，通过因子分析从 20 个指标中概 括出原材料供应商、配件厂商、新进入者、后市场零部件厂商、整 车厂和消费者6个基本指标。从而找出对企业配件价格起决定性作用 的几个指标。
本包含了原来变量的所有信息。
12
主成分分析的数学模型
13
主成分分析与因子分析公式上的区别
y1 a11 x1 a12 x2 a1 p x p
主成分分析
y2 a21 x1 a22 x2 a2 p x p y p a p1 x1 a p 2 x2 a pp x p
由于umn为随机向量X的相关矩阵的特征值对 应的特征向量的分量，特征向量之间彼此正交， 实际上从X到F的转换关系是可逆的，即：
x1 11 F1 21 F2 p1 Fp x2 12 F1 22 F2 p 2 Fp x F F F 1p 1 2p 2 pp p p
1、因子分析的核心：用较少的、相互独立的因 子反映原有变量的绝大部分信息。 因子分析的数学模型：设有p个变量，每个变量 的均值为0，标准差为1。将每个原有变量用k个 （k<p）因子f1,f2,…,fk 的线性组合表示，即
x1 a11 f1 a12 f 2 a1k f k 1 x2 a21 f1 a22 f 2 a2 k f k 2 x p a p1 f1 a p 2 f 2 a pk f k p
多元统计分析陈钰芬课后答案
多元统计分析陈钰芬课后答案第1章多元正态分布1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？第1章多元正态分布1、在数据处理时，为什么通常要进行标准化处理？数据的标准化是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。
在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。
其中最典型的就是0-1标准化和Z标准化。
2、欧氏距离与马氏距离的优缺点是什么？欧氏距离也称欧几里得度量、欧几里得度量，是一个通常采用的距离定义，它是在m维空间中两个点之间的真实距离。
在二维和三维空间中的欧氏距离的就是两点之间的距离。
缺点：就大部分统计问题而言，欧氏距离是不能令人满意的。
每个坐标对欧氏距离的贡献是同等的。
当坐标表示测量值时，它们往往带有大小不等的随机波动，在这种情况下，合理的方法是对坐标加权，使变化较大的坐标比变化较小的坐标有较小的权系数，这就产生了各种距离。
当各个分量为不同性质的量时，“距离”的大小与指标的单位有关。
它将样品的不同属性之间的差别等同看待，这一点有时不能满足实际要求。
没有考虑到总体变异对距离远近的影响。
马氏距离表示数据的协方差距离。
为两个服从同一分布并且其协方差矩阵为Σ的随机变量与的差异程度:如果协方差矩阵为单位矩阵,那么马氏距离就简化为欧氏距离,如果协方差矩阵为对角阵,则其也可称为正规化的欧氏距离。
优点：它不受量纲的影响，两点之间的马氏距离与原始数据的测量单位无关。
由标准化数据和中心化数据计算出的二点之间的马氏距离相同。
马氏距离还可以排除变量之间的相关性的干扰。
缺点：夸大了变化微小的变量的作用。
受协方差矩阵不稳定的影响，马氏距离并不总是能顺利计算出。
3、当变量X1和X2方向上的变差相等，且与互相独立时，采用欧氏距离与统计距离是否一致？统计距离区别于欧式距离，此距离要依赖样本的方差和协方差，能够体现各变量在变差大小上的不同，以及优势存在的相关性，还要求距离与各变量所用的单位无关。
第六章对应分析
对应分析的基本原理
由原始资料阵X出发，计算规格化的概率矩阵P， 使变量与样品具有相同比例大小，在空间定义两 两样品点或两两变量点之间的距离，定义样品点 和变量点的协差阵分别为B和A。A和B的非0特 征根相同，而特征根又表示各个公共因子所提供 的方差，因此变量空间中的公共因子与样品空间 中对应的各个公共因子在总方差中所占的百分比 完全相同，从几何意义来看，即诸样品点与样品 空间中各因子轴的距离和诸变量点与变量空间中 相对应的各因子轴的距离完全相同，因此，可以 把变量点和样品点同时反映在同一个因子轴所确 定的平面上（即取同一个坐标系），根据接近的 程度，将变量点与样品点一起考虑进行分类。
对应分析的基本思想
通过一个过渡矩阵Z将R型因子分析和Q 型因子分析有机地结合起来。首先给出变 量点的协差阵A和样品点的协差阵B，由于 A和 B有相同的非零特征根，这些特征根又 正是各个公共因子的方差，因此可以用相 同的因子轴同时表示变量点和样品点，即 把变量点和样品点同时反映在具有相同坐 标轴的因子平面上，以便对变量点和样品 点一起考虑原始资料阵X出发，计算规格化的 概率矩阵P；相当于改变了测度尺度， 使变量与样品具有相同比例大小；
二﹑ 计算过渡矩阵Z； 三﹑ 进行因子分析
1.R型因子分析 2.Q型因子分析
对应分析的微机实现
对应分析在SPSS中的实现
在SPSS的数据编辑窗口中点help→syntax guide→categories ， 其 中 的 ANACOR 和 correspondence为对应分析过程，可通过 编简单的程序来实现对应分析。
第六章 对 应 分 析
【教学目的】通过本章的教学应使学生 掌握对应分析的基本思想和基本原理， 掌握用对应分析法分析研究解决实际问 题的方法。
06 第六章 R-Q型因子分析
-.156
19
-.180
-.104
7
-.142
-.180
20
-.116
.010
8
-.150
-.220
21
-.118
-.030
9
-.054
-.138
22
-.090
.640
10
-.120
-.012
23
.056
1.290
11
-.126
-.246
24
-.110
.134
12
-.012
-.160
25
.082
.124
R-Q 型因子分析是一种广义概念，它可能包括不同的方法。例如周蒂（1985）提到用主分 析可作为一种 R-Q 式因子分析方法，但这一方法至今未被重视。另一种方法是对应分析，或称 对应因子分析，这是目前用得最多的方法。这两种方法都有一定理论基础，在效果上各有特点。 本章主要介绍这两种方法的基本思想、计算方法与应用，更详细的论述可参考专门性文献。
§2 对应分析
对应分析也称作对应因子分析，它也是一种 R-Q 型因子分析。对应分析的理论比较复 杂，在此仅简要介绍其基本原理与计算方法，并给出计算实例。
对应分析的基本思路与上述 R-Q 型因子分析类似，目的在于同时揭示样品与样品、变 量与变量、样品与变量间的相互关系，并用作图方法将这种关系表现出来，因此也将原始的 m 或 n 维空间压缩为同一 p 维（p＜＜min(m，n)）的因子空间。
（6.4）
1
∑ ∑ hkL =
m
(xkj − x j )(xLj − x j ) = n
m
xkj xLj
− x j xkj
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第六章 因子分析
一、填空题
1.因子分析常用的两种类型为 和 。
2.因子分析是将具有错综复杂关系的变量（或样品）综合为数量较少的几个因子，以再现_____________与____________之间的相互关系。
3．因子分析就是通过寻找众多变量的 来简化变量中存在的复杂关系的一种方法。
4．因子分析是把每个原始变量分解成两个部分即 、 。
5．变量共同度是指因子载荷矩阵中_______________________。
6．公共因子方差与特殊因子方差之和为_______。
7．求解因子载荷矩阵常用的方法有 和 。
8．常用的因子旋转方法有 和 。
9．Spss 中因子分析采用 命令过程。
10．变量i X 的方差由两部分组成，一部分为 ，另一部分为 。
二、判断题
1．在因子分析中，因子载荷阵不是唯一的。
（ ）
2．因子载荷阵经过正交旋转后，各变量的共性方差和各个因子的贡献都发生了变化。
（ ）
3．因子分析和主成分分析的核心思想都是降维。
（ ）
4．因子分析有两大类，R 型因子分析和Q 型因子分析；其中R 型因子分析是从变量的相似矩阵出发，而Q 型因子分析是从样品的相关矩阵出发。
（ ） 5．特殊因子与公共因子之间是相互独立的。
（ ） 6．变量共同度是因子载荷矩阵列元素的平方和。
（ ） 7．公共因子的方差贡献是衡量公共因子相对重要性指标。
（ ） 8．对因子载荷阵进行旋转的目的是使结构简化。
（ ） 三、简答题
1． 因子分析的基本思想是什么，它与主成分分析有什么区别和联系？ 2．因子模型的矩阵形式ε+=X UF ，其中：
()
()
()
u F
F ij m
p P
m
U F
⨯='
='
=εεε,,,,1
1
请解释式中F 、
ε、U 的统计意义。
3．因子旋转的意义何在？如何进行最大方差因子旋转？ 4．因子分析主要应用在哪几个方面？ 四、计算题
4．假设某地固定资产投资率1x ， 通货膨胀率2x 和失业率3x 的约相关矩阵为：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡----=525
25
152********
51*
R 并且已知该相关矩阵的各特征根和相应的非零特征根的单位特征向量分别为： 9123.01=λ ()'
-=657.0657.0369
.01α 0877.02=λ ()'-=261.0261
.0929
.02α
03=λ
要求求解因子分析模型，计算各变量的共同度和各公共因子的方差贡献并解释它们的统计意义。
2．设变量x 1,x 2和x 3已标准化，其样本相关系数矩阵为：
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=135.045.035.0163.045.063.01
R （1）对变量进行因子分析。
（2）取q=2进行正交因子旋转。
3．已知我国某年各地区的国有及非国有规模以上的工业企业经济效益资料，现做因子分析，结果如下，请说明每一个输出结果的含义及目的，并回答以下问题： （1）什么是方差贡献率？ 计算方差贡献率的目的何在？
（2） 如何利用因子分析结果进行综合评价？ 结合本例写出计算综合评价结果的公式。
表1
表2
表3
表4
5
表
五、操作题
1．10名初中男生身高、胸围、体重的数据资料如下：
（2）分别计算各变量的公共因子方差和特殊因子方差，判断哪个因子能概括原
始信息的大部分，为什么？
（3）写出方差最大正交旋转因子模型，并分析各因子的实际含义
(4)计算各个样本点的因子得分
2．对某市15个大中型工业企业进行经济效益分析，经研究确定，从有关经济效益指标中选取7个指标作分析，即固定资产产值率(X1)，固定资产利税率(X2)，资金利润率(X3)，资金利税率(X4)，流动资金周转天数(X5)，销售收入利税率(X6)和全员劳动生产率(X7)。
数据资料如下：
第一、对数据资料进行主成分分析：
(1)前两个最大特征根为_____________、______________，其对应的特征向量为__________________________________，_____________________________。
(2)第一主成分的表达式为_________________________________________ ___，该主成分包含了原始信息的_______%，第二主成分的表达式为_________________________________________，该主成分的方差贡献率为_______。
(3)如果舍弃第二主成分，则哪个原始变量的损失信息最大：_______
(4)第一个主成分与第二个变量间的相关系数为_____________
(5)第一个主成分主要反映盈利能力，现对第一主成分计算得分为_________________________________________________________________，
对得分进行排序(降序)，各企业的得分排名顺序依次为：_________________ __________________________(依企业顺序写出排名)。
若利用第一、二主成分构造综合评价函数，则两主成分的权数分别为_________、_________。
第二、对原数据资料进行因子分析：
(6)利用主成分法求解因子载荷，现提取两个因子进行分析，因子模型表示为：
(7)前三个变量(X1，X2，X3)的公共因子方差为___________、_____________、____________，特殊因子方差为________、___________、_____________。
(8)对以上模型进行方差最大正交旋转，得出旋转后的因子载荷矩阵为：。