二元函数中值定理的简单应用

目录一、引言 (1)二、主要定理的证明、应用 (1)2.1二元函数中值定理的第一种形式 (1)2.11定理及推论的证明 (1)2.12定理及推论的应用 (2)2.2二元函数中值定理的第二种形式 (5)2.21定理及推论的证明 (5)2.22定理及推论的应用 (5)2.3二元函数中值定理的不等式形式 (6)2.31定理及推论的证明 (6)2.32定理及推论的应用 (8)三、结论 (9)四、参考文献 (9)五、致谢 (9)数学科学学院本科学年论文二元函数中值定理的简单应用二元函数中值定理的简单应用内容摘要给出了二元函数中值定理的三种不同形式：含一个参变量型、含两个参变量型和不等式型.在每一种形式下我们都给出主要定理的证明，充分了解定理的生成以及内容.此外，在就给出的定理的各种形式以及他们的推论加以推广、运用，得到许多在多元函数中得到广泛运用的重要定理.关键词：二元函数中值定理一、引言我们知道，一元函数的中值定理是数学分析中的一个重要定理，他深刻的揭示了函数在某些区间上的增量与函数在该区间内某点处的导数及区间的长度之间的关系，是利用导数研究函数性质的基础，本文将中值定理推广到二元函数（多元函数的代表），并利用最基本的公式、定理证明一些重要的结论和定理.二、主要定理的证明、应用2.1二元函数中值定理的第一种形式2.11定理及推论的证明定理 1 若二元函数(,)f x y 在点000(,)p x y 的邻域G 存在两个偏导数，则G y y x x ∈∆+∆+∀),(00，全改变量0000,(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆)y y y x f x y y x x f y x ∆∆++∆∆+∆+=),('),('200010θθ 其中.10,1021<<<<θθ 证明：显然，若点G y y x x ∈∆+∆+),(00，则点)(0,0y y x ∆+与G y x x ∈∆+),(00，且连接两点),(00y y x x ∆+∆+与),(00y y x ∆+或),(00y y x x ∆+∆+与),(00y x x ∆+的线段也属于G ，如图1,为此，将全改变量z ∆改写为如下形式：),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆)],(),([)],(),([00000000y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+= 上述等式右端第一个方括号内，y y y ∆+=0是常数，只是x 由0x 变到x x ∆+0；第二个方括号内0x x =是常数，只是y 由0y 变到y y ∆+0.根据一元函数中值定理，有),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆y y y x f x y y x x f y x ∆∆++∆∆+∆+=),('),('200010θθ 其中.10,1021<<<<θθ 2.12 定理及推论的应用定理2 若二元函数),(y x f 在点),(000y x p 的邻域G 存在两个偏导数，且两个偏 数在点),(000y x p 连续，则二元函数),(y x f 在点),(000y x p 可微. 证明：（利用二元函数中值定理）G y y x x ∈∆+∆+∀),(00，根据定理，将全改变量z ∆写为：),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆y y y x f x y y x x f y x ∆∆++∆∆+∆+=),('),('200010θθ 其中.10,1021<<<<θθ 已知偏导数在),(000y x p 连续，有.),('),('00010αθ+=∆+∆+y x f y y x x f x x 0lim 0=→αρβθ+=∆+),('),('00200y x f y y x f y y 0lim 0=→βρ从而有.),('),('0000y x y y x f x y x f z x x ∆+∆+∆+∆=∆βαρβραρβαy x yx ∆+∆≤∆+∆0→+≤βα )0(→ρ或 )(ρβαo y x =∆+∆ 于是， ),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆)(),('),('0000ρo y y x f x y x f x x +∆+∆= 即函数),(y x f 在点),(000y x p 可微.注：偏导数连续是二元函数可微的充分条件，而不是必要条件.定理3 若二元函数),(y x F z =在以点),(00y x 为中心的矩形区域D （边界平行坐标轴）满足下列条件：1) ),('y x F x 与),('y x F y 在D 连续（从而),(y x F 在D 连续）； 2) 0),(00=y x F ； 3) 0),('≠y x F y . 则：1) 0>∃δ与0>β，),(00δδ+-=∆∈∀x x x 存在唯一一个)(x f y =（隐函数）使0)](,[≡x f x F ，00)(y x f =，且ββ+<<-00)(y x f y . 2) )(x f y =在区间连续.3) )(x f y =在区间∆有连续导数，且),(),()('''y x F y x F x f y x -=.证明：1) 的证明未涉及到本文提到的二元函数中值定理，故略之，直接用其结论.2) 隐函数)(x f y =在区间∆连续，只需证明，∆∈∀x ，函数)(x f y =在x 连续， 已知),('y x F x 与),('y x F y 闭区间);(0000ββαα+≤≤-+≤≤-y y y x x x G 连续.且0),('>y x F y .则),('y x F x 在G 有上界，),('y x F y 在G 有下界.即0>∃M 与0>m ，G y x ∈∀),(，有M y x F x ≤),('与m y x F y ≥),('给自变量x 该变量x ∆，使∆∈∆+x x ，相应的有函数)(x f y =的该变量y ∆，即)()(x f x x f y -∆+=∆或)(x x f y y ∆+=∆+ 且 ),(00ββ+-∈∆+y y y y ， 已知 0),(=y x F 与.0),(=∆+∆+x y x x F).,(),(0y x F x y x x F -∆+∆+=).,(),(),(),(y x F y y x f y y x F x y x x F -∆++∆+-∆+∆+=根据二元函数中值定理，有，.),('),('021y y y x F x y y x x F y x ∆∆++∆∆+∆+=θθ （1） 其中10,1021<<<<θθ，将(1)式改写为 x y y x F y y x x F x f x x f y y x ∆∆+∆+∆+-=-∆+=∆),('),(')()(201θθ有 )()(x f x x f y -∆+=∆.),('),('21x mMx y y x F y y x x F y x ∆≤∆∆+∆+∆+-=θθ于是=∆→∆y x 0lim 0lim →∆x .0)]()([=-∆+x f x x f即隐函数)(x f y =在x 连续，从而在∆连续.3) 隐函数)(x f y =在区间∆有连续导数，∆∈∀x ，由（1）式，有-=∆∆x y),('),('21y y x F y y x x F y x∆+∆+∆+θθ 其中10,1021<<<<θθ.已知)(x f y =在x 连续，从而当0→∆x 时，有0→∆y ，又可知),('y x F x 与),('y x F y 在D 连续，有=)('x f 0lim→∆x x y∆∆00lim→∆→∆-=y x ),('),('201y y x F y y x x F y x ∆+∆+∆+θθ-=),('),('y x F y x F y x )0),('(≠y x F y 即隐函数)(x f y =在区间∆有连续导数，且),(),()('''y x F y x F x f y x -=注：为使层次分明，定理2的结论分为三部分，实际上，这三部分可以合并，叙述以下更加简明的形式“则存在点0x 的邻域∆，在∆存在唯一一个有连续导数的隐函数)(x f y =，使0)](,[≡x f x F ，00)(y x f =，且),(),()('''y x F y x F x f y x -=. 2.2二元函数中值定理的第二种形式2.21定理及推论的证明定理4 设二元函数f 在凸区域2R D ⊂上连续，在D 所有的内点都可微，则对D 内任意两点,),(),,(D k b h a Q b a P ∈++存在某)10(<<θθ使得 ),(),(b a f k b h a f -++.),('),('k k b h a f h k b h a f y x θθθθ+++++= （2）证明：令 ).,()(tk b th a f t ++=ϕ它是定义在]1,0[上的一元函数，由定理中的条件知)(t ϕ在]1,0[上连续，在]1,0[可微，于是根据一元函数中值定理，存在)10(<<θθ使得)(')0()1(θϕϕϕ=- （3） 由复合函数的求导法则，k k b h a f h k b h a f y x ),('),(')('θθθθθϕ+++++= （4） 由于D 是凸区域，所以.),(D k b h a ∈++θθ故由（3）、（4）即得所要证的（2）式. 2.22 定理及推论的应用 定理5（中值定理的推论）若二元函数二元函数),(y x f 在凸区域D 上存在偏导数，且0),('),('==y x f y x f y x ，则),(y x f 在区域D 上是常函数.证明：,),(),,(00D y x y x ∈∀因为D 是区域⇒存在一条完全属于D 的折线将),(),,(00y x y x 连接，不妨设这折线的转接点依次是：).,(),,(),(),,(),,(11221100y x y x y x y x y x k k --⋅⋅⋅ （记y y x x k k ==,）不失一般性，可以使这些点适当的接近，从而使折线段 ),(),(11++→i i i i y x y x 11,0-⋅⋅⋅=k i也全部在区域D 内，因为),(y x f 在区域内存在偏导数，且0),('),('==y x f y x f y x 故利用中值定理),(11y x f ),(00y x f -))]((),(['01010010x x y y y x x x f x --+-+=θθ))]((),(['01010010y y y y y x x x f y --+-++θθ0=其中10<<θ.从而有 ),(11y x f ),(00y x f =同理推得,),(00y x f ),(11y x f =).,(),(),(1122y x f y x f y x f k k ==⋅⋅⋅==-- 将),(00y x 点确定),(y x 在D 中随意选取上式均成立，由此得证结论成立. 例1 通过对y x y x F cos sin ),(=施用中值定理，证明对某)1,0(∈θ有6sin3sin 66cos 3cos 343πθπθππθπθπ-= 解：二元函数y x y x F cos sin ),(=在2R 上连续且可微，由中值定理知，对D 内两点)0,0(),(=b a 及).6,3(),(ππ=++k b h a )1,0(∈∃θ，有 =-++),(),(b a F k b h a F .),('),('k k b h a F h k b h a F y x θθθθ+++++⇒ =-)0,0()6,3(F F ππ6sin 3sin66cos 3cos 3πθπθππθπθπ- 即， .6sin 3sin 66cos 3cos 343πθπθππθπθπ-=2.3二元函数中值定理的不等式形式2.31定理推论的证明定理6 设二元函数),(y x f 在凸区域2R D ∈内任取一点，沿任意方向的方向导lf∂∂存在一 致有界，即存在n m ,使得,n lfm ≤∂∂≤则对D 内任意两点),,(b a P ),(k b h a Q ++有 ,),()()(n Q P P f Q f m ≤-≤ρ 其中22),(k h Q P +=ρ （5）1P 0Q 1Q 为证这个定理，先叙述一个引理.引理 设二元函数),(y x f 在凸区域D 的内点),(0b a P 沿方向L 的方向导数存在，),(y x f 在点0P 沿方向L 连续.证明:设),(y x P 为L 上的点（含于D 内），则由=-)()(0P f P f ),,(),()()(Q P Q P P f Q f ρρ-令+→0),(Q P ρ便得结论. 定理的证明：对任意,','n m ,'m m <.'n n < 先证'),()()('n Q P P f Q f m ≤-≤ρ （6）然后在（6）式取极限 ,'m m → .'n n →（先固定Q P ,）便可得（1）. 用反证法（6）式，假设存在D 内点Q P ,使'),()()(n Q P P f Q f >-ρ （7）则).(),(')(1111P f Q P n Q f +>ρ把线段11Q P 上各点按到点1P 的距离大小排列，线段11Q P 上任意两点21,t t ，当1t 到1P 的距离小于2t 到1P 的距离时，就记为,21t t <从而 可令}),()(),(')(|inf{1110Q t Q t g P f p t n t f Q Q <<=+>=ρ由引理，),(y x f 沿方向11Q P 连续，故有,101Q Q P <≤且).(),(')(1111P f Q P n Q f +=ρ 如图2.对,10Q Q Q <≤),()()(00Q Q Q f Q f ρ-'.),()](),('[)(),('011011n Q Q P f P Q n P f P Q n =+-+>ρρρf ⇒在0Q 沿11Q P 方向导数n n lf>≥∂∂'矛盾.所以，'),()()(n Q P P f Q f ≤-ρ类似可证（6）式左边，从而(5)式成立.推论 设二元函数),(y x f 在凸区域D 的内任意一点沿任意方向的方向导数lf∂∂存在且一 致有界，即存在,0>M 使.||M lf≤∂∂则对D 任意两内点Q P ,有, ),(|)()(|Q P M Q f P f ρ⋅≤- 2.32定理及推论的应用 定理7（连续性充分条件）若二元函数),(y x f 在点0P 的某邻域)(0P U 内的点沿任意方向的方向导数一致有 界，则),(y x f 在)(0P U 内连续.证明：对Q P ,∈)(0P U ，有推论,0>∃M 使 ),(|)()(|Q P M Q f P f ρ⋅≤-.0>∀ε取,Mεδ=当δρ<),(Q P 时， ε≤-|)()(|Q f P f所以，),(y x f 在点0P 的邻域)(0P U 连续.定理8 设二元函数),(y x f 在凸区域D 内任意一点沿任意方向的方向导数存在且一致有 界，则),(y x f 在D 内一致连续. 证明：设在D 内任意一点M l f ≤∂∂||（M 为正常数）则,0>∀ε取,Mεδ=.,D Q P ∈∀只要 .),(δρ<Q P便有 εερ=⋅<⋅≤-MM Q P M Q f P f ),(|)()(|故),(y x f 在D 内一致连续.结论通过本文，我们了解了二元函数中值定理的三种不同形式：含1θ、2θ两个参变量、含θ一个参变量以及不等式形式.二元函数作为一元函数向多元函数的过渡，在我们学习了一元函数中值定理之并领略其重要作用后，利用二元函数作为多元代表，进一步去研究中值定理在多元函数中的作用.在本文中，我们粗略的给出定理的应用，但是已经能够窥知中值定理，这一伟大的定理在研究多元函数起着举足轻重的作用.参考文献[1]同济大学数学研究室. 高等数学(第三版)[M]. 北京：高等教育出版社，1988.[2]T.M菲赫金哥尔茨,北京大学高等数学教研室. 微积分教程[M]. 北京：人民教育出版社，1956.[3]华东师范大学数学系. 数学分析（第二版）[M]. 北京：高的教育出版社，1991.[4]华东师范大学数学系. 数学分析（第三版）[M]. 北京：高的教育出版社，2001.[5]朱正佑. 数学分析[M]. 上海：上海大学出版社，2001.[6]刘玉链. 数学分析[M]. 北京：高的教育出版社，2008.[7]张宇萍. 多元函数中值定理[J]. 西安联合大学学报，1999，2（2）：249-252.[8]李日光，欧苡. 多元函数中值定理的不等式形式[J]. 广西师范学报（自然学报），2000，17（1）：88-90.。