高考纠错专题29离散型随机变量的分布列、期望与方差(解析版)

专题29 离散型随机变量的分布列、期望与方差（解析版） 易错点1：二项式展开式的通项公式、n 次独立重复试验中事件A 发生k 次的概率与二项分布的分布列三者易记混；

通项公式：1r n r r r n T C a b -+= （它是第ｒ＋１项而不是第ｒ项）；

事件A 发生k 次的概率：()(1)k k n k n n P k C p p -=-；

()=,0,1,2,3,01,1k k n k n p k C p q k n p p q 且ξ-==<<+=；

易错点2：混淆二项分布和超几何分布的期望和方差；

题组一

1．(2018全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，(4)(6)P X P X =<=，则p =

A ．0．7

B ．0．6

C ．0．4

D ．0．3

【解析】由题意，X~B(10,p),所以DX=10×p×(1-p)=2.4,p=0.4或0.6，又(4)(6)P X P X =<=，即()()644466101011C p p C p p -<-，得1,0.62

p p >=所以

2.（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则DX = ．

【解析】由题意，X~B(100,0.02),所以DX=100×0.02×(1-0.02)=1.96

题组二

3．（2019全国I 理21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．

（1）求X 的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时， 最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．

(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；

(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．

【解析】（1）解：X 的所有可能取值为﹣1，0，1．

(1)1P X ，(0)11P X ,(1)1P X

∴X 的分布列为：

X

﹣1 0 1 P 1 11 1

（2）（i ）证明：∵α＝0.5，β＝0.8，

∴由（1）得，a ＝0.4，b ＝0.5，c ＝0.1．

因此p i ＝0.4p i ﹣1+0.5p i +0.1p i +1（i ＝1，2，…，7），

故0.1（p i +1﹣p i ）＝0.4（p i ﹣p i ﹣1），即（p i +1﹣p i ）＝4（p i ﹣p i ﹣1），

又∵p 1﹣p 0＝p 1≠0，

∴{p i +1﹣p i }（i ＝0，1，2，…，7）为公比为4，首项为p 1的等比数列；

（ii ）解：由（i ）可得，

8818877

61001p 1441143p p p p p p p p p ∵p 8＝1，∴183

=

41p ∴P 4＝（p 4﹣p 3）+（p 3﹣p 2）+（p 2﹣p 1）+（p 1﹣p 0）+p 0＝4413p 1＝1257

． P 4表示最终认为甲药更有效的概率．

由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为41p 0.0039257，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案

合理．

4．（2018全国卷Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之

前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为)10(<

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)(p f ，求)(p f 的最大值点0p ．

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

（i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，

求EX ；

（ii ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作

检验？

【解答】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C 202p 2(1-p)18

.

因此f′(p)= C 202[2p(1-p)18-18p 2(1-p)17]=2 C 202p(1-p)17(1-10p)

令f′(p)=0，得p=0.1.当p ∈(0,0.1)时，f′(p)>0；当p ∈(0.1,1)时，f′(p)<0. 所以f(p)的最大值点为p 0=0.1.

（2）由（1）知，p=0.1.

（i ）令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y ～B(180,0.1)，X=40+25Y ，

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=40+25×180×0.1=490.

（ii ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于EX>400，故应该对余下的产品作检验.

5．（2017新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，

售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。