函数1
函数的概念(一)
R R
R
4ac b 2 a 0时{ y | y } 4a 4ac b 2 a 0时{ y | y } 4a
二次函数
y ax2 bx c (a 0)
【预习自测】 1、已知集合 A {1, 2,3} ， B {1, 2,3, 4} ， C {2, 4,6} ， D {2, 4, 6,8} ， 对应关系是 f : x 2 x ，则下列对应中是函数的有_________________. （1） f : A C ； （2） f : A D ； （3） f : B C ； （4） f : B D
小结：对应 f : A B 表示A到B的函数必须且只须满足
集合A中的每个元素在集合B中都有元素与之对应 集合A中的每个元素在集合B中只有唯一元素与之 对应 另外，值域是集合B的子集。
2、下列关于
y = f ( x )的说法，正确的是（ A、 y 等于 f 与 x 的积
B、
）
y f ( x) 不一定是解析式
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的值域。 {f(x)|x∈A} B 问题： 试说明函数定义中有几个要素？
定义域、对应关系、值域。
3、已学函数的定义域和值域
⑴ 一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)
3.已学函数的定义域和值域
根据下图中的曲线可知，时间t的变化范围是数集A ={t|1979≤t≤2001}， 臭氧层空洞面积S的变化范围是 数集B ={S|0≤S≤26}. 并且，对于数集A中的每一 个时刻t，按照图中的曲线，在数集B中都有惟一确定的 臭氧层空洞面积S和它对应.
1函数的定义
① y=x (x≥0) ③ y=x
② y=x (x≠0)
④
y=|x|=
x
(x x(
x
0) 0)
3. 区间的表示：
设a、b是两个实数，而且a<b,规定：
①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫闭区 间。表示为：[a，b].
②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫开区 间。表示为（a,b）.
③不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫 半开半闭。分别表示为：[a, b)、(a, b].
2倍与 y对应; y=3x+1
记作： y=f(x ) x∈A
其中x叫做自变量，x的取值范围 叫做 函数的定义域。与x对应的y的值叫做函数 值，函数值的集合叫做值域。
构成函数的三要素：定义域、值域、对应 法则。
如：一次函数 y =f(x)=ax+b (a≠0) 定义域R、值域R
反比例函数：y =f(x)= k/x (k≠0) 定义域:A={x|x≠0}；值域:B={y|y≠0} 二次函数：y=ax2+bx+c (a≠0)
x x
2, 且x 2 1, 或x 1
x x
2, 且x 1
2
或
x x
2, 1
且x
2
x 1, 且x 2 ；或 x 1, 且x 2。
例6 已知a满足下列条件：
（1） 3 2a 1, 3a 1
(2) 点p(a,2a 6)在坐标系中 位于第四象限. 试求a的取值范围
解： 2a 1 3a 1 2 / 3 a 2 2a 1 3 3a 1
如： ①
A f：乘2加1 B
3
1
4
2
5
6
第5章 函数1
第5章 函数
(2) Ａ到Ｂ的所有不同的满射有６个， 分别为 f1＝｛（ａ， g1）， （ｂ， g1 ）， （ｃ， g2）｝ f2＝｛（ａ， g1 ）， （ｂ， g2）， （ｃ， g1 ）｝ f3＝｛（ａ， g1 ）， （ｂ， g2）， （ｃ， g2）｝ f4＝｛（ａ， g2）， （ｂ， g1 ）， （ｃ， g2）｝ f5＝｛（ａ， g1 ）， （ｂ， g2）， （ｃ， g1 ）｝ f6＝｛（ａ， g1 ）， （ｂ， g2）， （ｃ， g2）｝
ｐ： A→A是双射， 则称ｐ为集合A上的n阶置换 记为 阶置换， 阶置换
a1 p= p( a1 )
a2 L an p ( a2 ) L p ( an )
第5章 函数
例2 若A＝｛1， 2， 3｝, 试写出A上的全部置换。 解 A上的全部置换有3!＝6个,分别为
1 p1 = 1 1 p3 = 2
第5章 函数
定义 5.1 ― 2 设有函数f： A→B， g： C→D， 若 有A＝C、 B＝D且对所有的x∈A， 有f(x)＝g(x)， 则称 函数f和g相等， 记为f＝g。 定义 5.1 ― 3 集合A到集合B的所有函数的集合记 为BA， 即 BA＝｛f|f： A→B｝
第5章 函数
定理 5.1 ― 1 当A和B是有限集合时,有 |BA|＝|B||A| 证明 设|A|＝m， |B|＝n（m， n∈Ｎ）； 又设A＝｛a1， a2， …， am｝。 因为 Df＝A，所以 f＝｛(a1， f(a1))， (a2， f(a2))， …， (am ， f(am))｝。 ， 而每个f(ai)（i∈Ｎm）都有n种可能，所以A到B的不 同函数共有 {n·n·…·n } ＝n m个 M个 即 |BA|＝|B||A|
第5章 函数
第一章 函数
第一讲函数及其表示知识梳理考点一 函数定义域一、 具体函数的定义域例1、（2015•湖北）函数()256lg 3x x f x x -+=+-的定义域为（ ）A ．()2，3B ．(]24，C ．()(]23，3，4 D ．()(]136-，3，例2、（2019•江苏）函数y =的定义域是 ．例3、已知函数函数()1lg 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域_______________.变式练习1. （山东）函数()f x =的定义域为（ ）A ．()0，2B ．(]02，C ．()2+∞，D ．[)2+∞，2. （2018秋•宜昌期中）函数()012f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．B ．[)2+-∞，C ．112+22⎡⎫⎛⎫-∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，，D ．1+2⎛⎫∞⎪⎝⎭，3. （2020•广东学业考试）函数()f x =的定义域是（ ）A ．4+3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，B ．53⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-，C ．4533⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．4533⎛⎤⎥⎝⎦，4. （2013•山东）函数()f x =的定义域为（ ）A ．(]30-，B ．(]31-，C ．(](]33-∞--，，0 D ．()(]3-∞-，-3，15. （2017•深圳一模）函数y = ）A ．()2-，1B ．[]2-，1C ．()01，D ．(]01，6. 已知函数()()lg tan 1f x x =-则()f x 的定义域是________________.二、 抽象函数定义域例1、（2019•西湖区校级模拟）已知函数()f x 的定义域为()11-，，则 函数()()11g x f f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的定义域为（ ）A ．()1，2B ．()0，2C ．()01，D ．()11-，例2、（2019秋•辛集市校级月考）已知函数()21f x -的定义域为()0，1，则函数()13f x - 的定义域是（ ） A ．112⎛⎫⎪⎝⎭，B ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．()11-，D ．203⎛⎫⎪⎝⎭，例3、（2019秋•景德镇期中）若函数()y f x =的定义域为[]11-，，则()||1y f x =-的 定义域为（ ）A ．[]11-，B ．[]10-，C ．[]01，D ．[]22-，例4、已知()f x 是定义域在[)1+-∞，上的单调增函数，则不等式()222x x f e f -⎛⎫≥- ⎪⎝⎭ 的解集是_________. 变式练习1. （2019秋•崂山区校级期中）已知函数()y f x =的定义域为[]6-，1， 则函数()()212f xg x x +=+的定义域是（ ）A ．()(]22-∞--，，3B ．(]11-，3C ．722⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，D ．[﹣，﹣2）(]2-，2. 已知函数()24y f x =-的定义域是[]15-，，则函数2x f ⎛⎫⎪⎝⎭的定义域是______________.3. 函数)1(+x f 的定义域[)32，-∈x ，求)21(+xf 的定义域.4. 设函数()2342||xf x e x +=-++，则不等式()()253f x f x -<-成立的x 的 取值范围是__________________.5. （2019秋•河南月考）已知函数f （x ）的定义域是[]1，4，则函数()2()1x f g x x =-的定义域为（ ）A ．[)(]01，1，2B ．()0，2C ．[]0，2D ．()()0112，，6. （2019秋•城关区校级期中）已知函数()1f x +的定义域为[]21-，，则 函数()()122g x f x x =+--的定义域为（ ） A ．[]1，4 B ．[]03， C ．[)(]12，2，4 D ．[)(]123，2，三、已知函数定义域求参例1、函数25lg 4y kx kx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的定义域为R ，则实数k 的取值范围是 ．例2、已知函数y =[]3-，6，求实数a b ，的值．例3、已知函数()2f x ax bx =+是定义在[]1a a -，2上的偶函数，那么a b +的值是例4、已知()f x 是定义在()4-，4上的奇函数，它在定义域内单调递减，若a 满足()()1230f a f a -+-<.求a 的取值范围.变式练习1. 已知函数()2log 21a y ax x =++．（1）若此函数的定义域为R ，求a 的取值范围；（2）若此函数的定义域为(()22+-∞-+∞，，求a 的值．2. 已知函数()f x =（Ⅰ）若()f x 的定义域为R ，试求a 的取值范围．（Ⅱ）若()f x 在[]2，3上有意义，试求a 的取值范围．3. 已知函数()22lg1a xy x a -=-+的定义域为集合A ，若4A ∉，则实数a 的取值集合是 ．4. 已知()f x 是偶函数，且()f x 在[)0+∞，上是增函数，如果()()12f ax f x +≤-在112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上恒成立，则实数a 的取值范围是_________________.考点二 抽象函数的解析式例1、 已知()y f x =是一次函数，且有()1615f f x x =-⎡⎤⎣⎦，则()f x 的解析式为 ．例2、已知函数)14fx =-，则()f x 的解析式为 ．例3、已知函数22113f x x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式，及 ()3f 及()2f 的值.变式练习1. （1）已知()f x 是一次函数，且()94f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x 的解析式．（2）已知()f x 为二次函数，且()02f =，()()11f x f x x +-=-，求()f x ．2. 若)1fx =+()f x 的解析式为（ ）A ．()2f x x x =-B ．()()20f x x x x =-≥C ．()()21f x x x x =-≥D ．()2f x x x =+3. 已知()2211x f x x -=+，则()f x 的解析式为（ ）A ．()21x f x x =+B ．()221xf x x=-+ C ．()221xf x x =+ D ．()21xf x x =-+4. 若)1f x =+则()3f = ；()f x = ．5. 已知函数()1221x f x x -=-+，则()f x =（ ） A ．2x +1﹣2x ﹣1B ．2x +1﹣2x +1C ．2x ﹣1﹣2x +1 D ．2x ﹣1﹣2x ﹣16. 若函数()f x 对于任意实数x 恒有()()231f x f x x --=-，则()f x 等于（ ） A ．1x +B ．1x -C ．21x +D ．33x +考点三 分段函数一、 求函数值例1、（2015•新课标Ⅱ）设函数()()211log 2121x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，，，则()()22log 12f f -+=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12例2、（2020•汉中二模）设()[]210(6)10x x f x f f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，，，则()5f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13例3、已知()()sin 023202x x f x f x x π⎧≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，，，则53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ． 变式练习1. （2017秋•抚顺期末）若()()()200x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，，，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52.（2019•西湖区校级模拟）已知函数()()()3log 020x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，，，则19f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值为 ．3.（2017春•普宁市校级月考）已知()()sin 08520x x f x f x x π⎧≥⎪=⎨⎪++<⎩，，则()2016f -的值为（ ）A ．810B ．809C ．808D ．8064.（2019•深圳模拟）已知函数()()22log 0log 0x x a x x f x a x x ⎧>⎪=⎨+-<⎪⎩，，()01a a >≠且，若()()21224f f +-=，则a =二、求参数或自变量的值或范围例1、（2019•全国）已知()2200x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，，，若()()20f a f +-=，则a = .例2、(2018·全国卷Ⅰ)设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是( )A ．(]-∞，-1B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，例3、(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝()+1020x x x f x x ≤⎧=⎨>⎩，，则满足()1+12f x fx ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的x 的 取值范围是________．例4、（上海）设()()201x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩，，，若()0f 是()f x 的最小值，则a 的 取值范围为（ ）A ．[]1-，2B ．[]10-，C ．[]12，D ．[]02，变式练习1. （2019•佛山模拟）已知函数()()2cos f n n n π=，且()()1n a f n f n =++，则123100=a a a a +++⋅⋅⋅+（ ） A ．0B ．100C ．100-D ．102002. （江苏）已知函数()21010x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，，，则满足不等式()()212f x f x ->的x 的范围是 ．3. （2018秋•苏州期末）已知函数()2211222x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，，，，若()3f x =，则x = ．4. （2018秋•罗湖区校级月考）若函数()1sin x af x x x x a ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，，，的值域是[]1-，1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2π⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，B ．(]1-∞-，C ．[11]-，D ．(][)11+-∞-∞，，家庭作业1. （2020•郑州二模）设函数y =A ，函数()ln 3y x =-的定义域为B ，则AB =（ ）A ．()3-∞，B ．()83--，C ．{}3D ．[)-3，3 2. 函数f （x ）的定义域为12⎛⎫⎪⎝⎭，3，则()lg 1f x +的定义域为（ ）A ．()0+∞，B ．12⎛⎫⎪⎝⎭，3C ．1100100⎛⎫ ⎪⎝⎭，D．100⎫⎪⎪⎝⎭3. 已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠ ⎪⎝⎭，则()2f -=（ ）A ．72-B ．92C ．72 D ．92-4. （2015•新课标Ⅰ）函数()()12221log 11x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，，且()3f a =-，则()6f a -=（ ）A ．74-B ．54-C ．34-D ．14-5. （2020•焦作一模）已知函数()1212log 18212x x x f x x ⎧+≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，，．若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） AB ．12CD6.已知函数()()2lg 3f x mx mx m =--+的定义域为R ，则实数m 的取值范围为 ．7.（江苏）已知函数()21010x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩，，，则满足不等式()()212f x f x ->的x 的范围是 ．8.（2017春•双辽市校级月考）已知函数()()()()2211222x x f x x x xx +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩ （1）在坐标系中作出函数的图象； （2）若()12f a =，求a 的取值集合．第二讲 单调性考点梳理考点一：单调函数的定义自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的考点二：复合函数单调性形如()()x g f y =类的函数叫做复合函数同增异减：“同增”指内层函数和外层函数单调性相同时，整体为单调递增函数；“异减”指内层函数和外层函数单调性不同时，整体为单调递减函数. （1）当()0≠x f 时，函数()x f 和()x f 1单调性相反； （2）当()x f 非负时，函数()x f 和()x f 单调性相同.考点三：单调性的性质1.增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减2.()()x f k x g ⋅=，当0>k 时，()()x g x f ,单调性相同；当0<k 时，()()x g x f ,单调性相反3.奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点的区间上单调性相反题型一.判断单调性例1、 下列函数()x f 中，满足“对任意()0,,21∞-∈x x ，当21x x <时，都有()()21x f x f <”的是（ ）A ．()x x f 24-=B ．()21-=x x f C ．()222--=x x x f D ．()x x f -=例2、已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是（ ）A ．B ．C ．D ．例3、性质①()()R x x f x f ∈=-,；②在()∞+，0对任意()2121,x x x x ≠，都有()()()[]02121<--x f x f x x .下列函数中，性质①②均满足的是（ ）A ．13+-=x y B ．⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+--=0,10,122x x x x x x yC ．114-=x y D ．()x x x y -+=1lg2变式训练1.下列函数既是偶函数，又在()∞+，0上为减函数的是（ ） A.1-=x y B ．xy 1ln= C ．xxy --=22 D ．⎪⎩⎪⎨⎧<->+=0,20,222x x x x x x y2.设函数()x f y =在R 上为增函数，则下列结论一定正确的是（ ） A ．()x f y 1=在R 上为减函数 B ．()x f y =在R 上为增函数 C ．()[]2x f y =在R 上为增函数 D ．()x f y -=在R 上为减函数题型二.求单调区间例1、画出下列函数的图像，并写出其单调区间.① ()21+-=x x f ; ②()2.-=x x x f ； ③()⎩⎨⎧>+-≤+=0,220,12x x x x x f例2、设函数()⎪⎩⎪⎨⎧><++-≤≤-=20,1220,12x x x x x x x f 或则函数()x f 的单调递增区间为( )A ．()()2,1,0,∞-B ．()()2110，，，C ．(][]1,0,0,∞-D ．()()2,1,0,∞-变式训练1.如果函数()x f y =在区间I 上是增函数，且函数()xx f y =在区间I 上是减函数，那么称函数()x f y =是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”.若函数()542+-=x x x f 是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为（ ）A ．[)∞+，2 B ．[]52， C ．[]50， D ．[]20，2.函数()R x x f y ∈=,的图象如图所示，则函数()()x f x g ln -=的单调减区间是（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛e 10，B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,1e C ．[)∞+，1 D ．⎥⎦⎤⎝⎛e 10，和[)∞+，1题型三.单调性的运用应用(一) 比较函数值或自变量的大小例1、已知函数()x f 的图象关于直线1=x 对称，当112>>x x 时，()()[]()01212<--x x x f x f 恒成立，设()()e f c f b f a ==⎪⎭⎫⎝⎛-=,2,21，则c b a ,,的大小关系为( ) A ．b a c >> B ．a b c >> C ．b c a >>D ．c a b >>2、已知函数()x x x f 2sin -=，且()3.022,31log ,23ln f c f b f a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则以下结论正确的是（ ） A ．b a c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>变式训练1.定义在R 上的函数()x f 满足：①()1-=x f y 的图象关于直线1=x 对称；②对任意的(]0,,21∞-∈x x ，当21x x ≠时，不等式()()02121>--x x x f x f 成立。
1 第一章 函数 1第一节2
9x 4 , x 0
3x 1 , 0 x 1 x, x 1
1,0 x 1 ,则函数 f ( x 3) 的 例8 设 f ( x ) 2,1 x 2
定义域是
A.
C.
1,0 x 1 解 f ( x) 2,1 x 2 1,0 x 3 1 1, 3 x 2 f ( x 3) 2,1 x 3 2 2, 2 x 1 故函数 f ( x 3) 的定义域: [3, 1].
cot(arc cot x) x
思考：
求下列函数的定义域
x2 y arcsin 3
(2) 复合函数 设有函数链 y f (u ), u D f
且 Rg D f
则
① ②
称为由①, ②确定的复合函数 , u 称为中间变量. 注: 1) 函数g 与函数 f 构成的复合函数 通常记为
直接函数 y f ( x )和反
y yx y f ( x)
Q(b, a) 函数 y ( x ) 的图形关于直线 y x 是对称的. O
x
例如： y＝ex 的反函数为x=lny;
y=3x2的反函数?
练习：求 y＝log3(2x－3) 的反函数。
解： 从方程 y＝log3(2x－3) 中解出x为
y log a x
(1,0)
(a 1)
y log 1 x
a
• 三角函数 正弦函数 y sin x;
y sin x
余弦函数
y cos x;
y cos x
正切函数 y tan x;
y tan x
余切函数
大学高数第一章函数和极限ppt课件
7
3.函数的奇偶性
如函数 y f (x) 的定义域 D 关于原点对称，且对于任意 xD ，均有： f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是偶函数； 若是 f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是奇函数；
lim 3x
x
28
2、当 x x0 时函数极限
定义 1.6 设函数在点 x0 附近有定义（但在这一点可以没有
定义），若 x （ x x0 ）无论以怎样的方式趋近于 x0 ，函
数 f (x) 都无限趋近于一个常数 A ，就称当 x 趋近于 x0 时，
函数以 A 为极限，记为：
lim f (x) A 或
(2)
1 x 1
ln(x 0
1)
1
1
e
x
1 1
x
e
1
D :[1 1, e 1] e
12
邻域的概念
以 x0 为中心的任何开区间称为点 x0 的邻域，记作 N x0 。 设 为任一正数，称开区间 x0 , x0 为 x0 的 邻 域，记作 N x0 , ， x0 称为邻域的中心， 称为邻域的半
无界的。
如:函数 y sin x ，在 ,内有界,且：| y | 1
10
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数，变量 u 又是
变量 x 的函数，即： y f (u) ， u (x) ， 且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分， 则称 y 是 x 的复合函数，记作： y f [(x)]
Excel函数1
Excel函数汇总（二级版）1、YEAR用途：返回某日期的年份。
其结果为1900 到9999 之间的一个整数。
语法：YEAR (serial_number)参数：Serial_number是一个日期值，其中包含要查找的年份。
日期有多种输入方式：带引号的文本串(例如"1998/01/30")实例：公式“=YEAR("2000/8/6")返回2000”,=YEAR("2003/05/01"返回2003，=YEAR(35825)返回1998。
又如：YEAR(TODAY()—YEAR(2008) =就是2014-2008=6（计算年龄的时候用）2、TODAY用途：返回系统当前日期的序列号。
参数：无语法：TODAY ()实例：公式“=TODAY()”返回2014-7-3(执行公式时的系统时间)。
3、NOW用途：返回当前日期和时间所对应的序列号。
语法：NOW() 参数：无实例：如果正在使用的是1900日期系统，而且计算机的内部时钟为2001-1-28 12:53，则公式“=NOW()”返回36919.54。
4、MINUTE用途：返回时间值中的分钟，即介于0到59之间的一个整数。
语法：MINUTE (serial_number)参数：Serial_number是一个时间值，其中包含着要查找的分钟数。
时间有多种输入方式：带引号的本串(如"6:45 PM")、十进制数(如0.78125表示6:45 PM)或其他公式或函数的结果(如TIMEVAL("6:45 PM"))。
实例：公式“=MINUTE("15:30:00")”返回30，=MINUTE(0.06)返回26，=MINUTE(TIMEVALUE("9:45 PM"))返回45。
5、HOUR用途：返回时间值的小时数。
即介于0(12:00 A.M.)到23(11:00 P.M.) 之间的一个整数。
第1章 函数的概念(第一课)
第1章函数的概念（函数基础知识部分）1函数及其表示1.1函数的概念1.1.1函数概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数)f和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，(x记作：Ay∈(，其中x为自变量，x的取值范围叫定义域，与x对应的y值叫函数值，函数=),fxx值的集合}xxf∈叫做函数的值域．({A|)1.1.2函数的内涵（三要素+ 唯一）：①函数定义中的集合必须是非空数集．②定义域的每个元素都有函数值与之对应．③定义域的每个元素都有唯一的函数值与之对应．④函数是一种确定的对应关系．1.1.3函数概念的外延①必须是非空数集，不是点集P(x,y)或者其它集合。
②定义域中每一个取值，都必须有唯一的)f和它对应．(x③对于x，)f不一定仅仅对应x．即可以多个x对应一个(xf必须是唯一确定的；反过来，一个)(xf．函数是一对一或多对一的．)(x④在坐标系中，只要)f对应了两个或两个以上的x（用竖线扫描），就不是函数，比如闭合图象就不(x可能是函数．⑤值域⊆B，值域是和定义域相对应，但是B中可以有多余的元素．1.1.4理解概念的例题：如图曲线x和y 能否构成函数？不能，因为同一个x对应了2个y值．1 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）A ．1B ．0C ．0或1D ．1或2 1.1.5 同一函数的判定方法定义域相同、对应关系相同，值域是由定义域和对应关系确定的，因此，同一函数的判定标准是：定义域和对应关系相同的函数．（值域可以作为判定）对应关系可用不同的方式表达，与使用的符号没有关系．典型例题： ①函数112--=x x y 与1+=x y 是不是同一函数？② 函数x y =与2t s =是否是同一个函数？③函数2t s =与函数2)(t y =是否是同一函数？2 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ）⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷343()f x x x =-，3()1F x x x =-；⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f ．A ．⑴、⑵ B．⑵、⑶ C．⑷ D．⑶、⑸ 1.2函数定义域1.2.1 定义域一般用集合或区间表示，定义域分自然定义域和实际应用的定义域．自然定义域，要求函数有意义；在实际应用中，应满足实际情况． 1.2.2 区间的概念和表示方法① 闭区间 ② 开区间 ③ 半开半闭区间 ④ 半开半闭区间 ⑤ （-∞，+∞）⑥ [a ，+∞），（a ，+∞） ⑦（-∞，b ]，（-∞，b ）1.2.3 举例： ①请用集合和区间两种方法表示函数11-=x y 的定义域．② 求解函数131)(-++-=x x x f 的定义域，课本19页练习第1题．3 求函数12-=x xx y 的定义域．函数422--=x x y 的定义域 ．4 求下列函数定义域：（1）83y x x =++- （2）11122--+-=x xx y总结：求解定义域，不可化简、多个限制条件一般是交集形式，大多用不等式表示，注意考虑完整，不能有遗漏的项目． 1.2.4 定义域有意义的几种情况 ① 分母不为0．② 0不能有0次冪或负次幂． ③ 三角函数的tanα，α≠2kπ+2π，k ∈Z 这三条类似分母不为0．④ 偶次方根或绝对值为非负数．⑤ 对数函数的真数必须为正数． 这两条是非负数或正数的限制． ⑥ 二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）．⑦ 指数和对数函数x a y =，a >0，且a ≠1． 这两条是对参数的限制． ⑧ 上述几种情况可能组合或层叠在一起．⑨ 涉及到多个复合函数计算时，要注意所有的复合函数定义域都满足给定的条件！ 1.3求定义域或解析式的方法1.3.1 直接法或观察法① 求函数153+-=x xx xy 的定义域．（1）xx x y -+=11；（2）6512+-+=x x x y .1.3.2 二次函数性质或图象法 ①求函数x x x y +-=)1(的定义域．1.3.3 待定系数法、方程组（对抽象函数适用） ①已知一次函数)(x f 满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求)(x f 表达式． 已知)(x f 是二次函数，且442)1()1(2+-=-++x x x f x f ，求)(x f 的解析式1.3.4 分离目标变量法、分离常数法、反函数法 ①课本24页习题1．2第5题，已知函数)(x f =62-+x x ，求解定义域和值域．1.3.5 换元法（注意定义域）（换元放前面） ① 已知44)1(2++=+x x x f ，求函数)(x f 的解析式． 5 已知)1(-x f =x ，求)(x f ． 6已知x x x f +=+2)21(，求)(x f 的解析式.1.3.6 整体法（配凑法） ①已知2)1()1(xx x x f +=-，求函数)(x f 的解析式．7 已知函数xxx xf 31)11(22++=+，求)(x f 的解析式.8已知2211()x x x f xx+++=，求()f x 的表达式．1.3.7 赋值法、特殊值法 ①设函数)(x f 的定义域为R ， 1)0(=f ，对于任意实数有)12()()(+--=-y x y x f y x f ，求)(x f 的解析式．特殊值法，在选择题中应用极广，应完全掌握．在特殊值法中用得最多的是0，1，－1，以及使数值为0，1，－1的情况为最多．1.3.8 图像法：根据图象求函数解析式，在分段函数，一次函数、二次函数、多种基本函数的复合方程中较多1.3.9 分段函数的定义域与值域对应关系（全程搜索） ①下图是由一次函数和二次函数构成的分段函数，请根据图象写出函数的解析式)(x f ．若)(x f =2，求x 的值．②已知分段函数)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+.2,2,11,,1,42x x x x x x 若3)(=x f ，求x 的值．③2011浙江高考 设函数)(x f =⎩⎨⎧>≤-.1,,0,2x x x x 若)(a f =4，则实数a =A ．－4或－2B ．－4或2C ．-2或4D ．－2或2④已知分段函数)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+.2,2,11,,1,42x x x x x x 若3)(=x f ，求x 的值．⑤2011江苏 已知实数0≠a ，函数)(x f =⎩⎨⎧≥--<+.1,2,1,2x a x x a x 若)1()1(+=-a f a f ，则a 的值为 ．⑥2010江苏 已知函数)(x f =⎩⎨⎧<≥+.0,1,0,12x x x 满足不等式)2()1(2x f x f >-的x 的取值范围是 ．⑦设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．131设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 ．2若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f = ．3已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x xx x x f ，若()10f x =,则x = ．1.3.10 实际问题的定义域课本24页，习题2．4的A 组．第9题．一个圆柱形容器底部直径为d cm ，高是h cm ，现以v s cm /3的速度向容器注入某种溶液，求容器内溶液高度x cm 关于注入溶液的时间t s 的函数解析式，并写出函数的定义域和值域．分析：直径是d ，高是h ，容器的体积确定为：42hd π，速度×时间 = 溶液体积，溶液高度x 与t 的关系．高度与体积的关系：vt x d =42π，因此t dvx 24π=． 0≤x ≤h ．这里x 是函数，t 是自变量，因此要表达为：t dvx 24π=，由于t 是自变量，因此还要给出定义域：[0，vd h 42π]．结论：解应用题时，一定要注意定义域的范围；要搞清楚自变量和函数，并不是只要是x 就是自变量，是y 就是函数．。
1和任何函数的卷积
1和任何函数的卷积
卷积是数学中的一种运算方法，它将两个函数合并为一个新的函数。
具体而言，我们可以将函数1与另一个函数进行卷积运算。
卷积可以描述两个函数之间的某种重叠关系。
在卷积计算中，我们将函数1与另一个函数的某个值进行乘法运算，然后将结果与其他位置的函数值继续相乘，并将所有乘积结果相加。
通过卷积可以得到一个新的函数，该函数展示了函数1与另一个函数之间的相互作用。
卷积具有平移不变性和线性性质，这使得它在信号处理和图像处理等领域中得到广泛应用。
需要注意的是，卷积是一个数学运算，其结果并不依赖于具体的函数形式。
因此，我们可以将函数1与任何其他函数进行卷积运算，无论这些函数的形式如何。
第一节函数
则称 f 为定义在D上的函数f : D R, x y, x D
其中称D为函数的定义域，记作D（f），D中的每一个 根据映射 f 对应于一个y ，记作y =f(x)，称为函数 f 在 x的函数值，全体函数值的集合称为函数的值域
单调增加 (或单调减少).
如果对于区间I上任意两点 x1, x2，当 x1 x2均 有 f ( x1 ) f ( x2 ) (或 f ( x1 ) f ( x2 )), 则称函数y=f(x) 在区间Ｉ上严格单调增加(或严格单调减少).
单调函数图形特征: 严格单调增加的函数的图形是沿x 轴正向上升的； 严格单调减少的函数的图形是沿x 轴正向下降的；
x r cos t
y
r
s
in
t
, (0 t )
三、函数的特性 1.函数的有界性 定义 设函数y=f (x)的定义域为D, 数集 X D ， 如果存在正数M, 使得对于任意的 x X , 都有不等式 | f ( x ) | M 成立, 则称 f (x)在X上有界, 如果这样的M不 存在, 就称函数 f (x)在X上无界. 注: 如果M为 f (x)的一个界, 易知比 M大的任何一 个正数都是 f (x)的界. 如果f(x)在X上无界, 那么对于任 意给定的正数M, X中总有相应的点 x, 使 | f ( x ) | M
第一章 函 数
第一节 函数的概念 第二节 反函数与复合函数 第三节 初等函数 第四节 函数模型
第一节 函数的概念 一、函数的概念 二、具有特性的几类函数
第一节 函数的概念
一、函数的概念 常量：如果一个量在某过程中保持不变, 总取同
一值, 则称这种量为常量. 常量通常用a, b, c， 表示.
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一、选择题（共 21 小题；共 105 分） 1. 某星期天下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车 站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程 ������（公里）和 所用时间 ������（分）之间的函数关系．下列说法中错误的是 ( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
17. 小亮家与姥姥家相距 24 km，小亮 8：00 从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈 8：30 从家出发， 乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程 ������（km）与北京时间 ������ （时）的函数图象如图所示．根据图象得到小亮结论，其中错误的是 ( )
3 ������
则 ������ 与 ������ 之间的函数表达式可能是 ( A. ������ = ������
B. ������ = 2������ + 1
11. 小李与小陆从 ������ 地出发，骑自行车沿同一条路行驶到 ������ 地，他们离出发地的距离 ������（单位：km） 和行驶时间 ������ （单位：h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
A.
B.
C. 度 ������ 之间的关系用图象描述大致是 ( )
D.
3. 如图，火车匀速通过隧道（隧道长等于火车长）时，火车进入隧道的时间 ������ 与火车在隧道内的长
A.
B.
C.
D.
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4. 某商户以每件 8 元的价格购进若干件“四季如春植绒窗花”到市场去销售，销售金额 ������（元）与销 售量 ������（件）的函数关系的图象如图所示，则降价后每件商品销售的价格为 ( )
A. 乙的速度是 4 米/秒 B. 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点 12 米 C. 甲从起点到终点共用时 83 秒 D. 乙到达终点时，甲、乙两人相距 68 米 16. 甲骑摩托车从 ������ 地去 ������ 地，乙开汽车从 ������ 地去 ������ 地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停 止，设甲、乙两人间距离为 ������（单位：千米），甲行驶的时间为 ������ （单位：小时），������ 与 ������ 之间 的函数关系如图所示，有下列结论： ①出发 1 小时时，甲、乙在途中相遇； ②出发 1.5 小时时，乙比甲多行驶了 60 千米； ③出发 3 小时时，甲、乙同时到达终点； ④甲的速度是乙速度的一半． 其中，正确结论的个数是 ( )
A. 小莹的速度随时间的增大而增大 B. 小梅的平均速度比小莹的平均速度大 C. 在起跑后 180 秒时，两人相遇 D. 在起跑后 50 秒时，小梅在小莹的前面
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8. 甲、乙两人沿相同的路线由 ������ 地到 ������ 地匀速前进，������，������ 两地间的路程为 20 千米，他们前进的 路程为 ������ （单位：千米），甲出发后的时间为 ������ （单位：小时），甲、乙前进的路程与时间的函 数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是 ( )
A.
B.
C. 如图所示，根据图象判定下列结论不正确的是 (
D. )
20. 在一次自行车越野赛中，甲、乙两名选手行驶的 路程 ������ km 随时间 ������ min 变化的图象（全程）
A. 甲先到达终点 C. 第 48 min 时，两人第一次相遇
B. 前 30 min ，甲在乙的前面 D. 这次比赛的全程是 28 km
A. 小强从家到公共汽车站步行了 2 公里 B. 小强在公共汽车站等小明用了 10 分钟 C. 公共汽车的平均速度是 30 公里/小时 D. 小强乘公共汽车用了 20 分钟 2. 某游客为爬上 3 千米的山顶看日出，先用 1 小时爬了 2 千米，休息 0.5 小时后，再用 1 小时爬上 山顶，山高 ℎ（千米）与游客爬山所用时间 ������（时）间的函数关系用图象表示是 ( )
①他们都行驶了 20 km； ②小陆全程共用了 1.5 h； ③小李与小陆相遇后，小李的速度小于小陆的速度； ④小李在途中停留了 0.5 h． 其中正确的有 ( A. 4 个 ) B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
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12. 某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴 360 km 外的农村采访，全程的前一部分为高速公路， 后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的 路程 ������（单位：km）与时间 ������（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是 ( )
2 1
1
C. 2 ≤ ������ < 5 或- 5 < ������ ≤ −2 D. −3 ≤ ������ < − 或 < ������ ≤ 3
2 2 1 1
10. 已知两个变量 ������ 和 ������，它们之间的 3 组对应值如下表所示： ������ ������ ) −1 −1 0 1 1 3 C. ������ = ������ 2 + ������ + 1 D. ������ =
A. 5 元
B. 10 元
C. 12.5 元
D. 15 元
5. 小刚以 400 米/分 的速度匀速骑车 5 分，在原地休息了 6 分，然后以 500 米/分 的速度骑回出发 地．下列函数图象能表达这一过程的是 ( )
A.
B.
C. 量的关系，根据图象判断该公司盈利时销售量 (
D. )
6. 图中，������1 反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，������2 反映了该公司产品的销售成本与销售
A.
B.
C.
D.
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15. 甲、乙两人在一条长 400 米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原 地休息．已知甲先出发 3 秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离 ������（米）与乙出发的时间 ������ （秒） 之间的关系如图所示，则下列结论正确的是 ( )
A. 汽车在高速公路上的行驶速度为 100 km/h B. 乡村公路总长为 90 km C. 汽车在乡村公路上的行驶速度为 60 km/h D. 该记者在出发后 4.5 h 到达采访地 13. 某种子公司以一定价格销售"黄金 1 号"玉米种子，如果一次购买 10 千克以上（不含 10 千克） 的种子，超过 10 千克的那部分种子的价格打折，因此付款金额 ������（单位：元）与一次购买种子 数量 ������（单位：千克）之间的函数关系如果所示，下列四种说法： ①一次购买种子数量不超过 10 千克时，销售价格为 5 元/千克； ②一次购买 30 千克种子时，付款金额为 100 元； ③一次购买 40 千克种子比分两次购买且每次购买 20 千克种子少花 25 元钱． 其中正确的个数是 ( )
A. 小亮骑自行车的平均速度是 12 km/h B. 妈妈比小亮提前 0.5 小时到达姥姥家 C. 妈妈在距家 12 km 处追上小亮
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D. 9：30 妈妈追上小亮 18. 如图，点 ������ 是平行四边形 ������������������������ 边上一动点，沿 ������ → ������ → ������ → ������ 移动，设 ������ 点经过的路径长为 ������，△ ������������������ 的面积是 ������，则下列能大致反映 ������ 与 ������ 的函数关系的图象是 ( )
A. 甲的速度是 4 千米/时 C. 乙比甲晚出发 1 小时
B. 乙的速度是 10 千米/时 D. 甲比乙晚到 ������ 地 3 小时 )
9. 图中的曲线是某一函数的图象，这个函数的自变量的取值范围是 (
A. −3 ≤ ������ < − 2 或 −5 < ������ ≤ −2 B. 2 ≤ ������ < 5 或 < ������ ≤ 3
A.
B.
C.
D.
19. 如图，点 ������ 是等边 △ ������������������ 边上的一个做匀速运动的动点，它由点 ������ 开始沿 ������������ 边运动到点 ������ ， 再沿 ������������ 边运动到点 ������ 停止．设运动时间为 ������ ，△ ������������������ 的面积为 ������，则 ������ 与 ������ 的函数关系式的大 致图象是 ( )
A. 小于 4 件 C. 等于 4 件
B. 大于 4 件 D. 大于或等于 4 件
7. 在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子 800 米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅 所跑的路程 ������ （米）与所用时间 ������ （秒）之间的函数图象分别为线段 ������������ 和折线 ������������������������，如图所 示．下列说法正确的是 ( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、填空题（共 8 小题；共 40 分） 22. △ ������������������ 底边 ������������ 上的高是 6 cm，当顶点 ������ 沿底边 ������������ 向点 ������ 运动时，三角形的面积发生了变化， 如图所示． （i）如果 ������������ 为 ������ cm，那么 △ ������������������ 的面积 ������ cm2 可以表示为 （ii）在上述关系式中，常量是 ，变量是 ． cm2 变化到 cm2 ． （iii）当底边 ������������ 从 12 cm 变化到 3 cm 时，△ ������������������ 的面积从 ．