10-2二重积分的计算
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高等数学同济第六版上册课件10-2二重积分的计算
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
1 ( )
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
（在积分中注意使用对称性）
1.
计算 I
D
sin y
y
d
，其中区域
D 为曲线 y
x 及直线
y=x 所围成。
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
y 3x 0 所围成的平面闭区域.
解
y
3x
0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y
0
1
6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy
3 d
r 4sin 2 rdr 15(
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标系计算二重积分
如果积分区域为：a x b, 1( x) y 2( x).
［X－型］
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
其中函数1( x) 、2( x) 在区间 [a,b]上连续.
f ( x, y)d 的值等于以 D 为底，以曲面 z
x
dx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则
D
:
y 1
x y
2 2
o
1 x 2x
I
2
dy
1
y2xyd x
2
1
高等数学A10-2二重积分的计算(1)
前赤壁赋
10-2 二重积分的计算
（宋）苏轼
寄蜉蝣于天地,
渺沧海之一粟.
哀吾生之须臾，
羡长江之无穷.
10-2 二重积分的计算
第二节 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、小结与思考
10-2 二重积分的计算
一、利用直角坐标系计算二重积分
(1) 在直角坐标系下用平行于 y
坐标轴的直线网来划分区域 D，
则面积元素为
d dxdy
o
D
x
故二重积分可写为
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D
D
10-2 二重积分的计算
(2) 如果积分区域 D如图所示，那么可用不等式表示为
a x b, 1( x) y 2( x). ［X－型］
其中ri 为 ri与 ri ri 的平均值.由此当 ri , i 充分小 时，极坐标系下的面积元素 d rdrd.
10-2 二重积分的计算
其次, 直角坐标系与极坐标系有如下变换关系
x r cos
y
r
sin
最后, 两坐标系下积分区域 D 形状不变，因此有
f ( x, y)d f (r cos , r sin )rdrd .
D
o
10-2 二重积分的计算
D
D
以下我们讨论极坐标下的二重积分的计算．
r 1( ) r 2( )
DD
r 1( )
r 2( ) D
r 2( )
D
o
Ao
Ao
A
r 1( ) 0
10-2 二重积分的计算
（宋）苏轼
寄蜉蝣于天地,
渺沧海之一粟.
哀吾生之须臾，
羡长江之无穷.
10-2 二重积分的计算
第二节 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、小结与思考
10-2 二重积分的计算
一、利用直角坐标系计算二重积分
(1) 在直角坐标系下用平行于 y
坐标轴的直线网来划分区域 D，
则面积元素为
d dxdy
o
D
x
故二重积分可写为
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
D
D
10-2 二重积分的计算
(2) 如果积分区域 D如图所示，那么可用不等式表示为
a x b, 1( x) y 2( x). ［X－型］
其中ri 为 ri与 ri ri 的平均值.由此当 ri , i 充分小 时，极坐标系下的面积元素 d rdrd.
10-2 二重积分的计算
其次, 直角坐标系与极坐标系有如下变换关系
x r cos
y
r
sin
最后, 两坐标系下积分区域 D 形状不变，因此有
f ( x, y)d f (r cos , r sin )rdrd .
D
o
10-2 二重积分的计算
D
D
以下我们讨论极坐标下的二重积分的计算．
r 1( ) r 2( )
DD
r 1( )
r 2( ) D
r 2( )
D
o
Ao
Ao
A
r 1( ) 0
D10_2(1)直角坐标下二重积分的计算法
(
x) a
y x
2
b
(
x)
(由下到上)
1(x), 2 (x) 为[a, b]区间上的连续函数,
a, b为常数.
y y 2(x) D
x o a y 1(x)b x
特点: 穿过区域D且垂直于x轴的直线与区域D的边界
至多有两个交点.
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
计算公式 令 f (x, y) 0
课堂练习6： 交换积分次序
2
2
1.
2
dx
x f x, ydy
dy f (x, y)dx
0
y
0
0
1
y
2.
1
dx
x f x, ydy
dy f (x, y)dx
0
y2
0
x
例5. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线 所围成的闭区域.
及直线解:由dx源自 21 1 2x2 3x4
0
dx
2
x
2 3
x3
3 5
x5
1 0
32 15
课堂练习3：
二次积分形式
课堂练习4：
计算二重积分 D xdxdy
1 x y 1
0
1
例3 计算 I D y 1 x2 y2 d , 其中D 是直线 y＝x,
x＝-1, 及y＝1 所围的闭区域.
解. D 按X型解
b
dx
2 (x) f (x, y) dy
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
a
1( x)
c
1(y)
二重积分的概念及计算
小曲顶柱体
2)“常代变”
(k ,k )
在每个 中任取一点
则
Vk f (k , k ) k (k 1, 2,, n)
3)“近似和”
n
f (k , k ) k
k 1
D
k
Page 3
4)“取极限”
( k ) max P1P2 P1 ,P2 k
令
max 1 k n
( k )
n
V
Page 17
例5. 估计 I
D
x2
d
y2
2xy
16
的值,
其中
y
D
为
0 x 1, 0 y 2.
解: 被积函数 f (x, y)
1
(x y)2 16
2
D
D 的面积 2
在D上 f (x, y)的最大值 M f (0,0) 1 o 1 x
4
f (x, y) 的最小值 m f (1, 2) 1 1
故 2 I 2 , 0.4 I 0.5
32 42 5
54
Page 18
8. 设函数
在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,
D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上
y
(1) f (x, y) f (x, y), 则
D1
D f (x, y) d 2D1 f (x, y) d
oD x
设曲顶柱的底为
z y 2(x)
D
(
x,
y)
1
(
x) a
y x
2
b
(x)
y
D
任取 截面积为
平面
截柱体的
o a x0 b x y 1(x)
2)“常代变”
(k ,k )
在每个 中任取一点
则
Vk f (k , k ) k (k 1, 2,, n)
3)“近似和”
n
f (k , k ) k
k 1
D
k
Page 3
4)“取极限”
( k ) max P1P2 P1 ,P2 k
令
max 1 k n
( k )
n
V
Page 17
例5. 估计 I
D
x2
d
y2
2xy
16
的值,
其中
y
D
为
0 x 1, 0 y 2.
解: 被积函数 f (x, y)
1
(x y)2 16
2
D
D 的面积 2
在D上 f (x, y)的最大值 M f (0,0) 1 o 1 x
4
f (x, y) 的最小值 m f (1, 2) 1 1
故 2 I 2 , 0.4 I 0.5
32 42 5
54
Page 18
8. 设函数
在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,
D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上
y
(1) f (x, y) f (x, y), 则
D1
D f (x, y) d 2D1 f (x, y) d
oD x
设曲顶柱的底为
z y 2(x)
D
(
x,
y)
1
(
x) a
y x
2
b
(x)
y
D
任取 截面积为
平面
截柱体的
o a x0 b x y 1(x)
10-2 二重积分的计算法
.
dy
dy
( y ) ( y ) ( y )
f ( x , y )dx
.
f ( x , y )d x
. . .
o
3 5 x 返回
10. 将二重积分换序
I dy
y
y
f ( x, y )dx
y
1
x
2
x
e dy
y x
y x2
1
1 2
3 1 x(e e )dx e e. 8 2
x
返回
二、极坐标系
D: x y 和 x y
之间的环域
引例 1
I
f ( x , y )d xdy
D
为什么引用极坐标计算二重积分
y
I
1
返回
e dx, e dx,
x2
1 x
sin x dx x
1 2
例 14 计算积分 I dy e dx dy e dx.
y 1 y
1 4 1 2 1 2
y x
y x
y
解 e dx 不能用初等函数表示
y x
先改变积分次序.
原式 I 1dx
2
y x
i i
i
D
i
对D进 行 分 割 ：
i i i i
o o
i
A 返回
二重积分 在极坐标下 的计算法：
D
2 ( ) f ( cos , sin ) d f ( x , y )dxdy d 1 ( )
dy
dy
( y ) ( y ) ( y )
f ( x , y )dx
.
f ( x , y )d x
. . .
o
3 5 x 返回
10. 将二重积分换序
I dy
y
y
f ( x, y )dx
y
1
x
2
x
e dy
y x
y x2
1
1 2
3 1 x(e e )dx e e. 8 2
x
返回
二、极坐标系
D: x y 和 x y
之间的环域
引例 1
I
f ( x , y )d xdy
D
为什么引用极坐标计算二重积分
y
I
1
返回
e dx, e dx,
x2
1 x
sin x dx x
1 2
例 14 计算积分 I dy e dx dy e dx.
y 1 y
1 4 1 2 1 2
y x
y x
y
解 e dx 不能用初等函数表示
y x
先改变积分次序.
原式 I 1dx
2
y x
i i
i
D
i
对D进 行 分 割 ：
i i i i
o o
i
A 返回
二重积分 在极坐标下 的计算法：
D
2 ( ) f ( cos , sin ) d f ( x , y )dxdy d 1 ( )
最新10二重积分的计算
10二重积分的计算10二重积分的计算1、试将二重积分«Skip Record If...»化为两种不同的二次积分,其中区域«Skip Record If...»分别为：1）由直线«Skip Record If...»及双曲线«Skip Record If...»所围成的区域。
2）«Skip Record If...»3）«Skip Record If...»4）环形闭区域：«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»2、改变下列二次积分的次序1）«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
2）«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
3）«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
3、画出积分区域，并计算二重积分1）«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»是由抛物线«Skip Record If...»所围成的闭区域。
解：原式«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»2）«Skip Record If...»，其中«闭区域。
10-2二重积分的计算方法
a
a
2a
原式 dy y2
0
a
a a2 y 2
f ( x, y)dx
2a 2a
2a
dy
0
a
2a
2 2
a a y
f ( x, y)dx dy y 2 f ( x, y )dx
a 2a
积分的计算
根据给定的二 重积分画出积 分区域D
D
根据积分区域的形 状和被积函数确定 积分次序和积分限
积分区域如图
原式 dy
1 0 1 y
f ( x , y )dy的次序.
y 1 x
f ( x , y )dx .
0
例3 改变积分次序.
0 dx 0
1
2 x x2
f ( x , y )dy 1 dx 0
2
2 x
f ( x , y )dy
解
积分区域如图
原式
y 2 x
第九章 重积分
第四节 二重积分的计算
一、直角坐标系下的二重积分
1. 计算公式的推导
由二重积分的几何意义知, 当f (x, y)0时,
V f ( x, y)d 曲顶柱体的体积
D
基本思想：把柱体切成许多薄片，这些薄片的体积之和就 是柱体的体积 问题：① 如何计算薄片的体积？ ② 如何求出柱体的体积？
说明： ① 上式右端，先将x看作常数，而对变量y作定积分，得到 的结果是只含x, 不含 y 的函数式，再将所得的结果对x求积 分。
②
[
a
b
y2 ( x )
y1 ( x )
f ( x, y)dy]dx dx
a
b
y2 ( x )
10-2二重积分的计算
D o
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,
三、利用极坐标计算二重积分
1. 直角坐标与极坐标
y
y
A (x, y)
O
x
x
r A (r, )
O
x = 常数 y = 常数
直线 直线
r = 常数
= 常数
圆周 射线
2. 极坐标下计算 I f (x, y) d D 当被积函数或围成积分区域的边界曲线含 x2 y2 ,
通常可以利用极坐标来计算此二重积分.
r 2 ( ) r 1( )
o
d
2 ( ) f (r cos , r sin )r d r
1( )
特别,
对
D :
0 r ( ) 0 2
r ( )
f (r cos , r sin ) r d r d
D 2
( )
d f (r cos , r sin ) r d r
0
0
2
y
y2 x
则
D
:
y2 1
x y
y 2
2
o 1
D
4x
y x2
2 y2
D xyd 1dy y2 xy d x
2 1
1 2
x
2
y
y2 y2ຫໍສະໝຸດ dy1 22 [ y( y 2)2 y5 ] dy
1
化二重积分为二次积分时，要兼顾以下两个方面 来选择适当的积分次序：
1. 考虑积分区域 D 的特点，对 D 划分的块数越少 越好；
穿入点的横坐标 x 1( y), 穿出点的横坐标 x 2 ( y), 则1(y) x 2(y)
(3) I d 2 (y) f (x, y) dx d y d d y 2 (y) f (x, y) dx
二重积分的概念及计算讲解
1
D
解: 积分域 D 的边界为圆周
o 1 2 3x x y 1
它与 x 轴交于点 (1,0) ,
而域 D 位
于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而
(x y)2 (x y)3
D (x y)2 d D (x y)3 d
Page 14
例2. 判断积分
解: 分积分域为D1, D2 , D3, 则
1
(
k
,
k
)
k
x
(k ,k ) k
Page 6
两个问题的共性：
(1) 解决问题的步骤相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”
(2) 所求量的结构式相同
曲顶柱体体积:
n
V
lim
0 k 1
f
(k , k ) k
平面薄片的质量:
n
M
lim
0
k
1
(
k
,
k
)
k
Page 7
二、二重积分的定义及可积性
D f (x, y) d D (x, y) d
特别, 由于 f (x, y) f (x, y) f (x, y)
D f (x, y)d D f (x, y) d
6. 设
D 的面积为 ,
age 12
7.(二重积分的中值定理)
连续, 为D 的面积 , 则至少存在一点
D f (x, y)d f ( , )
证: 由性质6 可知,
m
1
D
f
(x,
y) d
M
由连续函数介值定理, 至少有一点
f
( ,
)
1
D
f
(x,
成教Ch10_2二重积分的计算
0
dy ．
2．积分
∫
R
0
R − x dx ∫
2 2 R 0
R2 − x2
0
dy
R2 − x2 0
是否能看成是积分 ∫
R 2 − x 2 dx 与积分 ∫ dx
dy 的乘积？
《经济数学》教案
华东理工大学数学系
15/40
作业：P170（习题10.2）
1(1)(3)(5)(8), 2(2)(4)(6), 3(1)(3)(5)
华东理工大学数学系
4/40
y=x2
1 x2+y2=4
x
O y 1 x=y2
x
1
4
x
《经济数学》教案
曲顶柱体体积的计算： 设f(x，y)≥0，则以曲面z= f(x，y)为顶， 以闭区域 D 为底的 曲顶柱体的体积为 V = ∫∫ f ( x, y )dσ ． 设 D 为X−−型区域：
D
z y=ϕ2(x) y A(x0) D O y=ϕ1(x) a
O −1
1
x
10/40
例2 例 2 计算 ∫∫ y 1 + x 2 − y 2 dσ ，其中 D 是由直线 y=1、x=−1
D
及y=x 所围成的闭区域． 解 画出区域D， 可把D看成是X−−型区域：−1≤x≤1，x≤y≤1． 于是 y 1 + x − y dσ = ∫ [ ∫ y 1 + x 2 − y 2 dy ]dx ∫∫
《经济数学》教案 华东理工大学数学系
∆ri
x
18/40
按二重积分的定义 ∫∫ f ( x, y )dσ = lim ∑ f (ξ i ,η i ) ∆σi ．
D
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2
2
8 y 2 2y
I f ( x, y ) d x d y d y
D
0
f ( x, y )d x
8
例5. 计算
其中D 由
y 4 x , y 3x , x 1 所围成. 解: 令 f ( x, y ) x ln( y 1 y 2 )
2
4
y 3x
u 1 dudv ev 2 D
0
2
a
r 2
dr
(1 e
由于 e
x2
a 2
)
的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
14
注: 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的反常积分公式
x2 e 0
dx
2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例6的结果, 得
故①式成立 .
x y h k u u x y h v k v
x u y u
x v y v
hk J (u, v) hk
19
因此面积元素的关系为 d J (u , v) d u d v
从而得二重积分的换元公式:
D f ( x, y) d x d y f ( x(u, v), y (u, v)) J (u, v) d u d v D
则
c
d
d y
2 ( y)
x 1 ( y)
1 ( பைடு நூலகம்)
f ( x, y ) d x
c o
x
2
当被积函数 f ( x, y )在D上变号时, 由于
f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) 2 2
f1 ( x, y )
18
x k o( ) x4 x1 x(u, v k ) x(u, v) v (u , v) 同理得 y2 y1 y h o( ) u (u , v) y k o( ) y4 y1 v (u , v) 当h, k 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 x2 x1 y2 y1 M 1M 2 M 1M 4 x4 x1 y4 y1
f 2 ( x, y ) 均非负
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
3
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有
D f ( x, y) dx d y
d x
a b
2 ( x)
1 ( x)
d
y
y 2 ( x)
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
例3. 计算
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
sin x d x
0
2
7
例4. 交换下列积分顺序
I dx
0
2
x2 2 0
f ( x, y )d y
2 2 2
dx
8 x 2 0
f ( x, y )d y
y
x2 y2 8
解: 积分域由两部分组成:
0 y 1 x 2 0 y 8 x 2 2 D1 : , D2 : 2 2 y1 x 0 x2 2 x2 2 2 D1 D2 将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则 o
22 2 x
2y x 8 y D: 0 y2
v
vk v
M4 M1
在 u ov坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域 D, 任取其中一个小矩 形, 其顶点为
D
M3 M2
o
u uh u
(u, v) , (u h, v), M1 M2 (u h, v k ) , M 4 (u, v k ). M3
1
D3
o
x
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
D
1 y x 解法1. 将D看作X–型区域, 则D : 1 x 2 y 2 x 2 x 2 yx 2 1 I d x x yd y 2 x y d x y 1 1 1 1 1 2 9 3 1 1 2 x 2 x d x 1 8 o 1 x 2x yx2 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 D : 1 y 2 2 2 2 2 2 9 3 2 1 1 I d y x yd x 2 x y d y 2 y 2 y d y 1 y 1 1 y 8 5
32 3 2 a ( ) 3 2 3
16
三、二重积分换元法
定理: 设 f ( x, y ) 在闭域 D上连续, 变换:
v
D
x x(u, v) (u, v) D D T : o y y ( u , v ) 满足 (1) x(u, v) , y (u, v) 在 D上一阶导数连续; y (2) 在 D上 雅可比行列式 ( x, y ) J (u , v) 0; (u , v) 定积分换元法 (3) 变换 T : D D 是一 一对应的 , o
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
( x, y ) cos J ( r , ) sin
r sin r r cos
f ( x, y ) d x d y
D D
f (r cos , r sin ) r d r d
2 0
d
( )
0
f (r cos , r sin ) r d r
D
o
12
若 f ≡1 则可求得D 的面积 1 2 2 d ( ) d D 2 0
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1)
y
r ( )
则
b
u
T D
(t ) d t ( x (t ) ) f ( x ) d x f [ ( t )] f ( x(u, v), y (u, v)) J (u, v) d u d v D f ( xa, y) d x d y D
17
x
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
x 1 ( y)
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
y y 1 ( x) c x o a bx
D2 D3
4
D
x 2 ( y)
为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可以交换积分次序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
X-型域或Y-型域 , 则
D1
2
D D D
通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为 M i ( xi , yi ) (i 1, 2, 3, 4)
T
y
M4
D
M3 M2
M1
令 h k , 则
2 2
o
x
x x2 x1 x(u h, v) x(u, v) h o( ) u (u , v)
(2) y
r ( )
D
o
(2)
D
x
o x 答: (1) 0 ;
2
2
13
例6. 计算
其中D : x 2 y 2 a 2 .
0r a 故 解: 在极坐标系下 D : , 0 2
原式
D
r d r d d 0 re
D2
x ln( y 1 y 2 )d xd y 0
9
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
二、利用极坐标计算二重积分 y
k (k 1, 2 ,, n)
k k k
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
2 2 1 k 1 (r rk ) k 2 rk k 2 k
o
r rk x
k
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk , k ), 对应有
k
rk
rk
k rk cos k , k rk sin k
10
lim f ( rk cos k , rk sin k )rk rk k
则
b
D f ( x, y) dx d y a d x ( x)
1
2 ( x)
o a y ( x) b x 1 f ( x, y ) d y
y d y
x 2 ( y)
x
D
1 ( y) x 2 ( y) 若D为Y –型区域 D : c yd
第二节 二重积分的计算法
第十章
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法
1
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f ( x, y ) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
y
y 2 ( x)
1 ( x) y 2 ( x) D: a xb
0 k 1
n
即
D f ( x, y) d D f (r cos , r sin ) r d r d
2
8 y 2 2y
I f ( x, y ) d x d y d y
D
0
f ( x, y )d x
8
例5. 计算
其中D 由
y 4 x , y 3x , x 1 所围成. 解: 令 f ( x, y ) x ln( y 1 y 2 )
2
4
y 3x
u 1 dudv ev 2 D
0
2
a
r 2
dr
(1 e
由于 e
x2
a 2
)
的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角
坐标计算.
14
注: 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的反常积分公式
x2 e 0
dx
2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例6的结果, 得
故①式成立 .
x y h k u u x y h v k v
x u y u
x v y v
hk J (u, v) hk
19
因此面积元素的关系为 d J (u , v) d u d v
从而得二重积分的换元公式:
D f ( x, y) d x d y f ( x(u, v), y (u, v)) J (u, v) d u d v D
则
c
d
d y
2 ( y)
x 1 ( y)
1 ( பைடு நூலகம்)
f ( x, y ) d x
c o
x
2
当被积函数 f ( x, y )在D上变号时, 由于
f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) 2 2
f1 ( x, y )
18
x k o( ) x4 x1 x(u, v k ) x(u, v) v (u , v) 同理得 y2 y1 y h o( ) u (u , v) y k o( ) y4 y1 v (u , v) 当h, k 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 x2 x1 y2 y1 M 1M 2 M 1M 4 x4 x1 y4 y1
f 2 ( x, y ) 均非负
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
3
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有
D f ( x, y) dx d y
d x
a b
2 ( x)
1 ( x)
d
y
y 2 ( x)
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
例3. 计算
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
sin x d x
0
2
7
例4. 交换下列积分顺序
I dx
0
2
x2 2 0
f ( x, y )d y
2 2 2
dx
8 x 2 0
f ( x, y )d y
y
x2 y2 8
解: 积分域由两部分组成:
0 y 1 x 2 0 y 8 x 2 2 D1 : , D2 : 2 2 y1 x 0 x2 2 x2 2 2 D1 D2 将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则 o
22 2 x
2y x 8 y D: 0 y2
v
vk v
M4 M1
在 u ov坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域 D, 任取其中一个小矩 形, 其顶点为
D
M3 M2
o
u uh u
(u, v) , (u h, v), M1 M2 (u h, v k ) , M 4 (u, v k ). M3
1
D3
o
x
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
D
1 y x 解法1. 将D看作X–型区域, 则D : 1 x 2 y 2 x 2 x 2 yx 2 1 I d x x yd y 2 x y d x y 1 1 1 1 1 2 9 3 1 1 2 x 2 x d x 1 8 o 1 x 2x yx2 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 D : 1 y 2 2 2 2 2 2 9 3 2 1 1 I d y x yd x 2 x y d y 2 y 2 y d y 1 y 1 1 y 8 5
32 3 2 a ( ) 3 2 3
16
三、二重积分换元法
定理: 设 f ( x, y ) 在闭域 D上连续, 变换:
v
D
x x(u, v) (u, v) D D T : o y y ( u , v ) 满足 (1) x(u, v) , y (u, v) 在 D上一阶导数连续; y (2) 在 D上 雅可比行列式 ( x, y ) J (u , v) 0; (u , v) 定积分换元法 (3) 变换 T : D D 是一 一对应的 , o
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
( x, y ) cos J ( r , ) sin
r sin r r cos
f ( x, y ) d x d y
D D
f (r cos , r sin ) r d r d
2 0
d
( )
0
f (r cos , r sin ) r d r
D
o
12
若 f ≡1 则可求得D 的面积 1 2 2 d ( ) d D 2 0
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1)
y
r ( )
则
b
u
T D
(t ) d t ( x (t ) ) f ( x ) d x f [ ( t )] f ( x(u, v), y (u, v)) J (u, v) d u d v D f ( xa, y) d x d y D
17
x
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
x 1 ( y)
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
y y 1 ( x) c x o a bx
D2 D3
4
D
x 2 ( y)
为计算方便,可选择积分次序, 必要时还可以交换积分次序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
X-型域或Y-型域 , 则
D1
2
D D D
通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边 形, 其对应顶点为 M i ( xi , yi ) (i 1, 2, 3, 4)
T
y
M4
D
M3 M2
M1
令 h k , 则
2 2
o
x
x x2 x1 x(u h, v) x(u, v) h o( ) u (u , v)
(2) y
r ( )
D
o
(2)
D
x
o x 答: (1) 0 ;
2
2
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例6. 计算
其中D : x 2 y 2 a 2 .
0r a 故 解: 在极坐标系下 D : , 0 2
原式
D
r d r d d 0 re
D2
x ln( y 1 y 2 )d xd y 0
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在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
二、利用极坐标计算二重积分 y
k (k 1, 2 ,, n)
k k k
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
2 2 1 k 1 (r rk ) k 2 rk k 2 k
o
r rk x
k
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk , k ), 对应有
k
rk
rk
k rk cos k , k rk sin k
10
lim f ( rk cos k , rk sin k )rk rk k
则
b
D f ( x, y) dx d y a d x ( x)
1
2 ( x)
o a y ( x) b x 1 f ( x, y ) d y
y d y
x 2 ( y)
x
D
1 ( y) x 2 ( y) 若D为Y –型区域 D : c yd
第二节 二重积分的计算法
第十章
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 三、二重积分的换元法
1
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f ( x, y ) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
y
y 2 ( x)
1 ( x) y 2 ( x) D: a xb
0 k 1
n
即
D f ( x, y) d D f (r cos , r sin ) r d r d