第二章弹性力学基础2 105页PPT文档
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弹性力学与有限元完整版ppt课件
z 0 yz =zx 0
x、y、xy
x
{ } y
xy
x
y
xy
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41
2.2 平面应变问题
1 平面应变问题的概念
– 弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大 小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直， 并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
– 可以认为柱体是无限长的。如果从中任取一个横截 面，则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是 对称的。因此物体变形时，横截面上的各点只能在 其自身平面内移动。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 • 体力的因次：[力]
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15
2 一点的应力状态
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16
• ①应力表示方法
材料力学中接触过斜截 面上的应力，斜截面上应 力可以分成正应力、剪应 力；
复杂物体任意截面上的应 力可分为
1个与平面垂直的正应力、 2个平面内剪应力。
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17
•正应力分量 3个：
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
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6
• 弹性：假定“完全弹性”关系，是抽象出
来的理想模型。
• 完全弹性是指在一定温度条件下，材料的 应力和应变之间具有一一对应的关系。
• 应力—应变关系称为本构关系。
yz zy
xz zx
剪应力不再区分哪个是作用面或作用方向 。
x
y
•应力分量：
、 、 、 、 、 x y z x y y z zx
{
}
z
xy
yz
x、y、xy
x
{ } y
xy
x
y
xy
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41
2.2 平面应变问题
1 平面应变问题的概念
– 弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大 小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直， 并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
– 可以认为柱体是无限长的。如果从中任取一个横截 面，则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是 对称的。因此物体变形时，横截面上的各点只能在 其自身平面内移动。
• 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 • 体力的因次：[力]
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15
2 一点的应力状态
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16
• ①应力表示方法
材料力学中接触过斜截 面上的应力，斜截面上应 力可以分成正应力、剪应 力；
复杂物体任意截面上的应 力可分为
1个与平面垂直的正应力、 2个平面内剪应力。
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17
•正应力分量 3个：
• 塑性变形：
– 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始 状态，——即存在永久变形。应力和应变之间的关系 不再一一对应，与时间、与加载历程有关。
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6
• 弹性：假定“完全弹性”关系，是抽象出
来的理想模型。
• 完全弹性是指在一定温度条件下，材料的 应力和应变之间具有一一对应的关系。
• 应力—应变关系称为本构关系。
yz zy
xz zx
剪应力不再区分哪个是作用面或作用方向 。
x
y
•应力分量：
、 、 、 、 、 x y z x y y z zx
{
}
z
xy
yz
弹性力学基础知识PPT课件
应力矩阵
应变矩阵
19
20
弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置变化，质点位置 的改变称为位移（displacement）。位移可分解为x、y、z 三个坐标轴上的投影，称为位移分量。沿坐标轴正方向的 位移分量为正，反之为负。
位移的矩阵表示为 弹性体发生变形时，各质点的位移不一定相同，因此位移
也是x、y、z的函数。
• 完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性 的应力与应变关系。
• 研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
8
1 弹性力学的基本假设
5. 小变形假设
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引 起的尺寸变化。
• —— 物体的弹性性质处处都是相同的。
• 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状， 并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为 均匀材料。
• 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料 6
1 弹性力学的基本假设 3. 各向同性假设
• ——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质， 这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。
17
z
oy x
τyz
τyx
σy
应力分量
符号规定： 图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元 体面的应力称为正应力。 正应力记为 ,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴 的方向。 平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx 、τyz表示，其
第一下标y表示所在的平面，第二下标x、y分别表示沿
1，没有正应力，没有正应变 2，没有正应变，没有正应力 3，没有应变，没有位移 4，没有位移，没有应变
应变矩阵
19
20
弹性体变形实际上是弹性体内质点的位置变化，质点位置 的改变称为位移（displacement）。位移可分解为x、y、z 三个坐标轴上的投影，称为位移分量。沿坐标轴正方向的 位移分量为正，反之为负。
位移的矩阵表示为 弹性体发生变形时，各质点的位移不一定相同，因此位移
也是x、y、z的函数。
• 完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性 的应力与应变关系。
• 研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。
8
1 弹性力学的基本假设
5. 小变形假设
——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。
——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引 起的尺寸变化。
• —— 物体的弹性性质处处都是相同的。
• 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状， 并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为 均匀材料。
• 对于环氧树脂基碳纤维复合材料，不能处理为均匀材料 6
1 弹性力学的基本假设 3. 各向同性假设
• ——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质， 这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。
17
z
oy x
τyz
τyx
σy
应力分量
符号规定： 图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元 体面的应力称为正应力。 正应力记为 ,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴 的方向。 平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx 、τyz表示，其
第一下标y表示所在的平面，第二下标x、y分别表示沿
1，没有正应力，没有正应变 2，没有正应变，没有正应力 3，没有应变，没有位移 4，没有位移，没有应变
弹性力学基础教学课件PPT
圆柱坐标：r—径向；θ—周向；z—轴向
dq
z
qr
zr
z
zq
r
q
qz
dr
rz dz
rq
r
dq dr
dz
r rq rz
o
y
ij qr
q
qz
q
r
zr zq z
x
➢圆柱坐标下的平衡微分方程
rr1 r qqr z zrr rq0
rrq1 r qq zzq2 rrq0
yz
1（wv） 2 y z
zx
1（uw） 2 z x
yz
x
1 2（z2vxy2wx）（2）
zx
y
12（x2wyz2uy）（3）
以上三个式子分别两两相加然后再减去第3 式，可得到：
yx
z
xz
y
yz
x
2u yz
xy
z
yz
x
xz
y
2v xz
• 左面三式分别对 X，Y,Z求偏导
• 平面问题应变协调方程
➢ 平面变形--物体内所有质点都只在一个坐标平面内发生变形，
而在该平面的法线方向没有变形。
➢ 发生变形的平面称为塑性流平面，它始终保持为平面，不会
发生扭曲、倾斜。
➢ 假设没有变形的方向为坐标的Z向，则Z方向上的位移分量 w=0; 其余两个位移分量与Z坐标无关，对Z的偏导数为零。
• 角标符号：同一个物理量的不同分量用同一个字母加不同
的的下标来表示。比如：
3根坐标轴：x,y,z
3个方向余弦：l,m,n, 3个基准矢量：i,j,k,
Xi (i=1,2,3)或（i=x,y,z) ni (i=1,2,3)或（i=x,y,z) ei (i=1,2,3)或（i=x,y,z)
第二章 弹性力学的基本理论
2
0 0 0
0 0 0
0
0
0
x （2－18）
y
0 0 0
0
0
z
yz
0 0
0
0
66
zx xy
61
弹性力学简明教程
二、平面问题
平面问题｛ 平面应力问题 平面应变问题 1、平面应力问题:
z zx zy 0
xz yz 0
由（2－15）式知：
z
fy
0
(2-4)
xz
x
yz
y
z
z
fz
0
x
0
0
0
y 0
0
0 z
0
z y
z
0
x
x
y x
0
36
y
z yz
zx xy
61
fx fy fz
31
0 31
H P 0
36
61
31
31
(2-6)
弹性力学简明教程
二、空间问题的平衡微分方程
弹性力学简明教程
§2 平衡微分方程
一、平面问题的平衡微分方程
y
y
y
dy
x
fy
yx
yx
y
dy
xy
xy
x
dx
y
xy
dy c dx
fx
yx
x
x
x
dx
o(z)
x y
平衡微分方程：
Fx 0 Fy 0
微元体：厚度为1
平面问题的特点：
一切现象都看作是在一个平面内发生的
Fx 0 Fy 0
Mc 0
第2章_1 弹性力学基础与地震波—弹性力学基础PPT课件
受力后线段长度的相对变化—正应变 正交角度的变形—剪应变
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5
分析：
介质中某一点Ａ的正应变与剪应 变的定义还与ＡＢ线的取向有关
在三维空间中，介质中任意一点 的正应变有３个取值，分别记为： e11,e22,e33
介质中任意一点的剪应变有６个 取值，分别 记为： e12,e13,e21,e23,e31,e32
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10
设ｘ处质元ｔ时刻的位移为u(x,t)， 运动速度则为（考虑小形变） ｘ处质元ｔ时刻的加速度为
设均匀杆的密度为ρ，则长度为ｄｘ的小质元的运动方程为
即
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11
一维均匀弹性杆的波动方程
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12
一维均匀弹性杆的波动方程
波动方程的一般解形式为
ｆ可以是任意的连续函数。以上形式的解称为达朗伯（D’Alembert）解，即波动 方程的行波解。
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9
四、波动方程
弹性介质中，任一处质点产生一个扰动，即该处质点发生一个小位移，由于介 质的弹性性质，该处的运动会影响相邻点，扰动就会向周围传播。波动方程就是 对弹性介质中扰动激发和传播规律的数学表达。
均匀弹性杆的一维波动方程
忽略体力，一维均匀杆中质点受力运动描述
分析截面积为Ｓ的均匀弹性杆上、长度为dx的小质元受力运动情况，暂忽略 体力的作用。
16
三维均匀介质中的波动方程
由赫姆霍茨定理，任意一个矢量场ｕ都 可以表达为一个无旋度的矢量场和一个 无散度的矢量场之和，并略去体力
即有
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17
三维均匀介质中的波动方程
* 三维弹性介质中可以存在两种以不同速度传播的波，一种是以较快
的速度α传播的无旋波ｕ１，在地球内部传播的这种波通常称为Ｐ波 （Primary wave），因为它首先到达记录台站；
弹性力学ppt课件
x
y
z
o
图1-5
*
图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元体面的应力称为正应力。 正应力记为σy,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴的方向。
σy
x
y
z
o
图1-6
（2）符号规定：
平行于单元体面的应力称为切应力，用 、 表示，其第一下标y表示所在的平面，第二下标x、z分别表示沿坐标轴的方向。如图1－6所示的 、 。
*
其它x、z正面上的应力分量的表示如图1－7所示。
凡正面上的应力沿坐标正向为正，逆坐标正向为负。
图1-7
x
y
z
o
平行于单元体面的应力如图示的τyx、τyz，沿x轴、z轴的负向为正。
图1-8
图1－8所示单元体面的法线为y的负向，正应力记为 ,沿y轴负向为正。
x
y
01
弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
02
1-4 弹性力学的学习方法
理解：偏微分方程组的直接求解是十分困难的，理解基本方程的意义。
做题：适当做题。
记忆：不要过分拘泥于细节，应着眼于推导的主要过程，公式的推导和记忆，最好通过矩阵形式和张量。
化简：善于利用小变形略去高阶小量，要分清主要边界和次要边界。
变形状态假定：
小变形假定--假定位移和形变为很小。
＜＜1弧度（57.3°）.
例：梁的 ≤10－3 ＜＜1,
a.位移＜＜物体尺寸,
例：梁的挠度v＜＜梁高h.
*
b.简化几何方程：在几何方程中，由于 可略去 等项,使几何方程成为线性方程。
小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡 条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后 的尺寸。
y
z
o
图1-5
*
图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元体面的应力称为正应力。 正应力记为σy,沿y轴的正向为正,其下标表示所沿坐标轴的方向。
σy
x
y
z
o
图1-6
（2）符号规定：
平行于单元体面的应力称为切应力，用 、 表示，其第一下标y表示所在的平面，第二下标x、z分别表示沿坐标轴的方向。如图1－6所示的 、 。
*
其它x、z正面上的应力分量的表示如图1－7所示。
凡正面上的应力沿坐标正向为正，逆坐标正向为负。
图1-7
x
y
z
o
平行于单元体面的应力如图示的τyx、τyz，沿x轴、z轴的负向为正。
图1-8
图1－8所示单元体面的法线为y的负向，正应力记为 ,沿y轴负向为正。
x
y
01
弹性力学基本假定，确定了弹性力学的研究范围:
理想弹性体的小变形问题。
02
1-4 弹性力学的学习方法
理解：偏微分方程组的直接求解是十分困难的，理解基本方程的意义。
做题：适当做题。
记忆：不要过分拘泥于细节，应着眼于推导的主要过程，公式的推导和记忆，最好通过矩阵形式和张量。
化简：善于利用小变形略去高阶小量，要分清主要边界和次要边界。
变形状态假定：
小变形假定--假定位移和形变为很小。
＜＜1弧度（57.3°）.
例：梁的 ≤10－3 ＜＜1,
a.位移＜＜物体尺寸,
例：梁的挠度v＜＜梁高h.
*
b.简化几何方程：在几何方程中，由于 可略去 等项,使几何方程成为线性方程。
小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡 条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后 的尺寸。
第二章弹性力学基础2.ppt
理。在图1-8a中的P A和P B所作的功就不是发生在它本身
(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡的不存在位移)，而 是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a) 来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。
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虚功原理
必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两 个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位 移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但 并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的 刚体位移。
h
的下自由表面上，f x
(s)
fy (s) 0
方向余弦l 0, m 1, 代入(2—15)
xy 0 ， y 0
3，在 y 1 h 的上表面上，x处 2
f
x
(
s)
0，f
y
(
s)
1 l
qx
方向余弦l 0, m 1, 代入(2—15)
xy 0
y
1 qx l
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4，x l 的固定端是位移边界条件， 有u v 0 (w 0)
§3.2 边界条件
表示弹性体在边界上位移与约束、或者应力与面力间的关 系式。分为：位移边界条件，应力边界条件，混合边界条件
1、位移边界条件：如在弹性体部分边界 su 上给定约束位移
分量 u (s) 和 v (s) ，则对于此边界上的每一点，位移函
数 u 和 v 应该满足条件
(u)s u(s)， (v)s v (s) （在Su上）
圣维南原理可以大大简化局部边界上的应力边界条 件，为计算带来了很大便利。
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F
F
F
F/2 F/2
F/2
(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡的不存在位移)，而 是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a) 来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。
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虚功原理
必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两 个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位 移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但 并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的 刚体位移。
h
的下自由表面上，f x
(s)
fy (s) 0
方向余弦l 0, m 1, 代入(2—15)
xy 0 ， y 0
3，在 y 1 h 的上表面上，x处 2
f
x
(
s)
0，f
y
(
s)
1 l
qx
方向余弦l 0, m 1, 代入(2—15)
xy 0
y
1 qx l
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4，x l 的固定端是位移边界条件， 有u v 0 (w 0)
§3.2 边界条件
表示弹性体在边界上位移与约束、或者应力与面力间的关 系式。分为：位移边界条件，应力边界条件，混合边界条件
1、位移边界条件：如在弹性体部分边界 su 上给定约束位移
分量 u (s) 和 v (s) ，则对于此边界上的每一点，位移函
数 u 和 v 应该满足条件
(u)s u(s)， (v)s v (s) （在Su上）
圣维南原理可以大大简化局部边界上的应力边界条 件，为计算带来了很大便利。
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F
F
F
F/2 F/2
F/2
弹性力学基础教学课件PPT
弹性力学基础教学课 件
目录
• 引言 • 弹性力学基本概念 • 弹性力学基本方程 • 弹性力学问题解法 • 弹性力学应用实例 • 总结与展望
01
引言
课程简介
弹性力学基础是一门介绍弹性力学基本原理和方法的课程，旨在为学生提供解决 工程问题中弹性力学问题的能力。
本课程将介绍弹性力学的基本概念、基本原理、基本方法以及在工程实践中的应 用，帮助学生建立对弹性力学的基本认识，培养其解决实际问题的能力。
弹性力学基本方程
平衡方程
静力平衡方程
描述了弹性体在力的作用下保持平衡的状态，表达了物体内 部各点的应力与外力之间的关系。
运动平衡方程
在考虑了物体运动的情况下，描述了弹性体在力的作用下保 持运动的平衡状态，涉及到速度和加速度。
几何方程
应变与位移关系
描述了物体在受力变形过程中，位移 与应变之间的关系。
应变与速度关系
描述了物体在受力变形过程中，速度 与应变之间的关系。
本构方程
弹性本构方程
描述了弹性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到弹性模量和泊松比等 参数。
塑性本构方程
描述了塑性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到屈服准则和流动法则 等参数。
04
弹性力学问题解法
总结词
弹性梁的弯曲问题
总结词
实际工程应用
详细描述
在建筑工程、机械工程和航空航天工程等领域，弹性梁的弯曲问题具有广泛的应用。例如，在桥梁和建筑结构中， 梁是主要的承载构件，其弯曲变形会影响结构的稳定性和安全性。通过掌握弹性力学的基本原理和方法，可以更 加准确地分析梁的弯曲问题，优化梁的设计和计算。
弹性薄板的弯曲问题
越广泛。未来可以进一步研究和发展更加高效、精确的数值计算方法，
目录
• 引言 • 弹性力学基本概念 • 弹性力学基本方程 • 弹性力学问题解法 • 弹性力学应用实例 • 总结与展望
01
引言
课程简介
弹性力学基础是一门介绍弹性力学基本原理和方法的课程，旨在为学生提供解决 工程问题中弹性力学问题的能力。
本课程将介绍弹性力学的基本概念、基本原理、基本方法以及在工程实践中的应 用，帮助学生建立对弹性力学的基本认识，培养其解决实际问题的能力。
弹性力学基本方程
平衡方程
静力平衡方程
描述了弹性体在力的作用下保持平衡的状态，表达了物体内 部各点的应力与外力之间的关系。
运动平衡方程
在考虑了物体运动的情况下，描述了弹性体在力的作用下保 持运动的平衡状态，涉及到速度和加速度。
几何方程
应变与位移关系
描述了物体在受力变形过程中，位移 与应变之间的关系。
应变与速度关系
描述了物体在受力变形过程中，速度 与应变之间的关系。
本构方程
弹性本构方程
描述了弹性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到弹性模量和泊松比等 参数。
塑性本构方程
描述了塑性体在受力变形过程中，应力与应变之间的关系，涉及到屈服准则和流动法则 等参数。
04
弹性力学问题解法
总结词
弹性梁的弯曲问题
总结词
实际工程应用
详细描述
在建筑工程、机械工程和航空航天工程等领域，弹性梁的弯曲问题具有广泛的应用。例如，在桥梁和建筑结构中， 梁是主要的承载构件，其弯曲变形会影响结构的稳定性和安全性。通过掌握弹性力学的基本原理和方法，可以更 加准确地分析梁的弯曲问题，优化梁的设计和计算。
弹性薄板的弯曲问题
越广泛。未来可以进一步研究和发展更加高效、精确的数值计算方法，
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小结
物体内的应力是与作用面有关的，前面经常提到基本位置函
数 x ， y， xy 只是表示一点的 x , y 坐标面上的应力分量。
在校核强度条件时，还要求求出通过此点的任一斜面上的应 力。斜面上的全应力 p 可以分解为沿坐标方向的分量
（ p x ，p y ）或沿斜面法向、切向的分量（ n， n ）。 1、首先求斜截面应力分量（ p x ，p y ）由三角形微分体
(m ylxy)sfy(s) （ 在 Su上 ）(2— 15)
Fx 0,
h/2
h/2
(
h/2
x)xldy1
h/2 fx(y)dy,
Fy 0,
h/2
h/2
(
h/2
xy)xldy1
h/2 f y(y)dy,
(b)
Mz 0,
(lxmyx)s fx(s) (mylxy)s fy(s) （在Su上）
1，在x0的自由表面上，fx(s) fy(s)0 方向余弦l 1,m0,代入(2—15)
x 0 x 0 xy 0 xy 0
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2，在y12h的下自由表面上，fx(s)fy(s)0 方向余弦l0,m1,代入(2—15)
h/2
Fx 0, ( h/2 x)xl dy1 FN,
h/2
Fy 0, h/2(xy)xl dy1 FS,
(c)
Mz 0,
h/2 h/2
(x)xl
dy1
y
M。
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虚功原理及虚功方程
图示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程：
PA ＝ b PB a
数 u 和 v 应该满足条件
( u ) s u ( s ) ， ( v ) s v ( s ) （ 在 S u 上 ）
此即平面问题的位移（约束）边界条件。
特殊地：对于完全固定约束， uv0则
(u)s0, (v)s0
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s 2、应力边界条件：如在弹性体部分边界 上给定面力分
量 f x (s) 和 f y ( s ) ，在边界上任一点取出一个微分体（见
(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡的不存在位移)，而 是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a) 来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。
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虚功原理
必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两 个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位 移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但 并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的 刚体位移。
圣维南原理可以大大简化局部边界上的应力边界条 件，为计算带来了很大便利。
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F
F
F
F/2 F/2
F/2
F/2
F/2
F/2
F/A
F/A
F
F
应力分析
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应用圣维南原理必须注意：
1、不能离开“静力等效”的条件（力等效、力矩等效）； 2、不仅变换的面力必须与原面力静力等效，而且只能在局 部边界上进行静力等效变换。原理中提到的“近处”也是指 局部边界的附近区域（根据实际经验，这个区域一般是变换 面力边界的1～2倍范围内，此范围外可以认为是“远处”）。 3、圣维南原理指出：在近处范围内，应力随面力的变换发 生显著变化；此范围外对应力的影响很小，可略。即：在小 边界上进行面力的静力等效变换，仅仅改变局部区域的应力 分布，对其他大部分区域的应力没有显著影响。
(lxm yx)sfx(s) (m ylxy)sfy(s) （ 在 Su上 ）(2— 15)
AB边：
(lxmyx)s 0 xcosyxsin0 (mylxy)s 0 ysinyxcos0
AC边(注意-y方向)：
(l x m yx )s 0 x cos yx sin 0 (m y l xy )s 0 y sin yx cos 0
还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力 方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。
Hale Waihona Puke fy(x)xl fx(s)
y
( ) xy xl fy(s) (a)
(a)要求在边界上y值不同的各点，应力分量与
对应的面力分量必须处处对等。这种严格的边界
条件是较难满足的
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l
l
fx
xy
fy
x
h/2 O h/2
y dy
x M F S F N
x
fx
xy
fy
(lxm yx)sfx(s)
其中 f x ( s ) 和 f y ( s ) 在边界上是坐标的已知函数，l，m 是
边界面外法线的方向余弦。
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3.混合边界条件: 部分位移边界条件,部分应力边界条件。
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例:图示薄板悬梁,试确定边界条件
q
1
O
z
O
x
h
l yy
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z zx zy 0
薄板梁内可视为平面应力状态,板内各点的应力分量中 由：
的平衡条件可得
p x lx m y,x p y m y lxy
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2、分别计算（ p x ，p y ）在斜面法向和切向的投影，
求得斜面上的正应力和切应力：
n lp x m p y l2x m 2y 2 lm x y
n lp x m p y lm (yx ) ( l2 m 2 )x y
B
ds
n py
px
n
n p
yx
(a)
cosnxl cosnym
(b)
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O
x
yx y
P
A
xy
x
B
n py
px
n pn
Fx 0;
p xd s xld s xym d s 0 p x l x m xy
同 理 Fy 0; 得
一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。
对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑
它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假 想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移 上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原
理。在图1-8a中的P A和P B所作的功就不是发生在它本身
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圣维南原理的推广（局部影响原理）：
如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（应力主矢 量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显 著的应力，远处的应力可以不计。如：
p p
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l
l
f x xy
fy x
h/2 O
h/2
y dy
FS FN M x
x
fx
xy
(lxm yx)sfx(s) (m ylxy)sfy(s) （ 在 Su上 ）(2— 15)
圣维南原理
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圣维南原理
圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力 变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同， 对于同一点的主矩也相同），那么面力作用点近处 的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响 可以不计。
xy 0，y 0
3， 在 y 1 h 的 上 表 面 上 ， x处 2
fx(s)
0，
fy
(s)
1 l
qx
方 向 余 弦 l 0, m 1, 代 入 (2 — 15)
xy 0
y
1 qx l
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4，x l 的固定端是位移边界条件， 有u v 0 (w0)
p y m y l xy
(b)
y
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O
x 令角 ，有
yx y
l cos
P
A
m sin
求法向和切向应力
xy
x
B
px
n
n
px cospy sin py cospx sin
n
py
p
xcos2ysin22xysincos
(b) xy(cos2sin2)(yx)sincos
y
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设经过P点的某一斜面上的切应力为零，
xy(cos2sin2)(yx)sincos0 即 ：xy sincos 1tan2
(xy) (cos2sin2) 2
则该斜面上仅有正应力，该正应力称为P点的一个主应力，而 该斜面称为P点的一个应力主面，该斜面的法线方向（也即 主应力的方向）称为P点的一个应力主向。同时存在另外一 个与此方向垂直的应力主向。
hh//22(x)xldy1y
h/2 h/2
f
x(y)dyy。
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l
l
f x xy
fy x
h/2 O
h/2
y
y dy
FS FN M x
x
fx
xy
fy
如 果 不 是 给 出 面 力 的 分 布 ， 而 是 直 接 单 位 宽 度 上 面 力 的 主 矢 量 F N ,F S , 和 主 矩 M ， 则 在 x l 的 小 边 界 上 ， 三 个 积 分 边 界 条 件 成 为 ：
杠杆绕支点转动，位移位：
B＝ b A a
则：PAAPBB＝ 0
上式以功的形式表述：图a的平衡力 系在图b的位移上作功时，功的总和 必须等于零，叫虚功原理
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虚功原理
进一步分析。当杠杆处于平衡状态时，
小结
物体内的应力是与作用面有关的，前面经常提到基本位置函
数 x ， y， xy 只是表示一点的 x , y 坐标面上的应力分量。
在校核强度条件时，还要求求出通过此点的任一斜面上的应 力。斜面上的全应力 p 可以分解为沿坐标方向的分量
（ p x ，p y ）或沿斜面法向、切向的分量（ n， n ）。 1、首先求斜截面应力分量（ p x ，p y ）由三角形微分体
(m ylxy)sfy(s) （ 在 Su上 ）(2— 15)
Fx 0,
h/2
h/2
(
h/2
x)xldy1
h/2 fx(y)dy,
Fy 0,
h/2
h/2
(
h/2
xy)xldy1
h/2 f y(y)dy,
(b)
Mz 0,
(lxmyx)s fx(s) (mylxy)s fy(s) （在Su上）
1，在x0的自由表面上，fx(s) fy(s)0 方向余弦l 1,m0,代入(2—15)
x 0 x 0 xy 0 xy 0
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2，在y12h的下自由表面上，fx(s)fy(s)0 方向余弦l0,m1,代入(2—15)
h/2
Fx 0, ( h/2 x)xl dy1 FN,
h/2
Fy 0, h/2(xy)xl dy1 FS,
(c)
Mz 0,
h/2 h/2
(x)xl
dy1
y
M。
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虚功原理及虚功方程
图示一平衡的杠杆，对C点写力矩平衡方程：
PA ＝ b PB a
数 u 和 v 应该满足条件
( u ) s u ( s ) ， ( v ) s v ( s ) （ 在 S u 上 ）
此即平面问题的位移（约束）边界条件。
特殊地：对于完全固定约束， uv0则
(u)s0, (v)s0
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s 2、应力边界条件：如在弹性体部分边界 上给定面力分
量 f x (s) 和 f y ( s ) ，在边界上任一点取出一个微分体（见
(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡的不存在位移)，而 是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a) 来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。
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虚功原理
必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两 个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位 移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但 并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的 刚体位移。
圣维南原理可以大大简化局部边界上的应力边界条 件，为计算带来了很大便利。
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F
F
F
F/2 F/2
F/2
F/2
F/2
F/2
F/A
F/A
F
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应用圣维南原理必须注意：
1、不能离开“静力等效”的条件（力等效、力矩等效）； 2、不仅变换的面力必须与原面力静力等效，而且只能在局 部边界上进行静力等效变换。原理中提到的“近处”也是指 局部边界的附近区域（根据实际经验，这个区域一般是变换 面力边界的1～2倍范围内，此范围外可以认为是“远处”）。 3、圣维南原理指出：在近处范围内，应力随面力的变换发 生显著变化；此范围外对应力的影响很小，可略。即：在小 边界上进行面力的静力等效变换，仅仅改变局部区域的应力 分布，对其他大部分区域的应力没有显著影响。
(lxm yx)sfx(s) (m ylxy)sfy(s) （ 在 Su上 ）(2— 15)
AB边：
(lxmyx)s 0 xcosyxsin0 (mylxy)s 0 ysinyxcos0
AC边(注意-y方向)：
(l x m yx )s 0 x cos yx sin 0 (m y l xy )s 0 y sin yx cos 0
还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力 方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。
Hale Waihona Puke fy(x)xl fx(s)
y
( ) xy xl fy(s) (a)
(a)要求在边界上y值不同的各点，应力分量与
对应的面力分量必须处处对等。这种严格的边界
条件是较难满足的
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l
l
fx
xy
fy
x
h/2 O h/2
y dy
x M F S F N
x
fx
xy
fy
(lxm yx)sfx(s)
其中 f x ( s ) 和 f y ( s ) 在边界上是坐标的已知函数，l，m 是
边界面外法线的方向余弦。
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3.混合边界条件: 部分位移边界条件,部分应力边界条件。
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例:图示薄板悬梁,试确定边界条件
q
1
O
z
O
x
h
l yy
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z zx zy 0
薄板梁内可视为平面应力状态,板内各点的应力分量中 由：
的平衡条件可得
p x lx m y,x p y m y lxy
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2、分别计算（ p x ，p y ）在斜面法向和切向的投影，
求得斜面上的正应力和切应力：
n lp x m p y l2x m 2y 2 lm x y
n lp x m p y lm (yx ) ( l2 m 2 )x y
B
ds
n py
px
n
n p
yx
(a)
cosnxl cosnym
(b)
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O
x
yx y
P
A
xy
x
B
n py
px
n pn
Fx 0;
p xd s xld s xym d s 0 p x l x m xy
同 理 Fy 0; 得
一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。
对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑
它是否真正发生了位移，而假想它发生了位移，(由于是假 想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移 上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原
理。在图1-8a中的P A和P B所作的功就不是发生在它本身
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圣维南原理的推广（局部影响原理）：
如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（应力主矢 量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显 著的应力，远处的应力可以不计。如：
p p
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l
l
f x xy
fy x
h/2 O
h/2
y dy
FS FN M x
x
fx
xy
(lxm yx)sfx(s) (m ylxy)sfy(s) （ 在 Su上 ）(2— 15)
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圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力 变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同， 对于同一点的主矩也相同），那么面力作用点近处 的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响 可以不计。
xy 0，y 0
3， 在 y 1 h 的 上 表 面 上 ， x处 2
fx(s)
0，
fy
(s)
1 l
qx
方 向 余 弦 l 0, m 1, 代 入 (2 — 15)
xy 0
y
1 qx l
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4，x l 的固定端是位移边界条件， 有u v 0 (w0)
p y m y l xy
(b)
y
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O
x 令角 ，有
yx y
l cos
P
A
m sin
求法向和切向应力
xy
x
B
px
n
n
px cospy sin py cospx sin
n
py
p
xcos2ysin22xysincos
(b) xy(cos2sin2)(yx)sincos
y
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设经过P点的某一斜面上的切应力为零，
xy(cos2sin2)(yx)sincos0 即 ：xy sincos 1tan2
(xy) (cos2sin2) 2
则该斜面上仅有正应力，该正应力称为P点的一个主应力，而 该斜面称为P点的一个应力主面，该斜面的法线方向（也即 主应力的方向）称为P点的一个应力主向。同时存在另外一 个与此方向垂直的应力主向。
hh//22(x)xldy1y
h/2 h/2
f
x(y)dyy。
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l
l
f x xy
fy x
h/2 O
h/2
y
y dy
FS FN M x
x
fx
xy
fy
如 果 不 是 给 出 面 力 的 分 布 ， 而 是 直 接 单 位 宽 度 上 面 力 的 主 矢 量 F N ,F S , 和 主 矩 M ， 则 在 x l 的 小 边 界 上 ， 三 个 积 分 边 界 条 件 成 为 ：
杠杆绕支点转动，位移位：
B＝ b A a
则：PAAPBB＝ 0
上式以功的形式表述：图a的平衡力 系在图b的位移上作功时，功的总和 必须等于零，叫虚功原理
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虚功原理
进一步分析。当杠杆处于平衡状态时，