河南省郑州市第47中学10-11学年高二下学期第二次月考(数学文)
河南省高二下学期第一次月考数学试卷(文科)
河南省高二下学期第一次月考数学试卷（文科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为（）.A .B .C .D .2. （2分）观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二下·安阳期中) 复数z1=1+bi，z2=﹣2+i，若的实部和虚部互为相反数，则实数b 的值为（）A . 3B .C . ﹣D . ﹣34. （2分）已知U=R，函数y=ln（1﹣x）的定义域为M，集合N={x|x2﹣x＜0}．则下列结论正确的是（）A . M∩N=NB . M∩（∁UN）=∅C . M∪N=UD . M⊆（∁UN）5. （2分）若直线y=kx+4+2k与曲线y=有两个交点，则k的取值范围是（）A . [1，+∞）B . [﹣1，﹣）C . （， 1]D . （﹣∞，﹣1]6. （2分） (2016高二下·黑龙江开学考) 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A . 105B . 16C . 15D . 17. （2分） (2020高一上·安庆期末) 若函数的图像经过点 ,则其图像必经过点（）A .B .C .D .8. （2分）(2016·安徽模拟) 若将函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣的图象向右平移φ个单位，所得函数是奇函数，则φ的最小正值是（）A .B .C .D .9. （2分）等差数列中，，，设是数列的前n项和，则S8＝（）A . -16B . 16C . -32D . 3210. （2分） (2016高一上·天水期中) 若log2a＜0，（）b＞1，则（）A . a＞1，b＞0B . a＞1，b＜0C . 0＜a＜1，b＞0D . 0＜a＜1，b＜011. （2分）已知向量，，则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件12. （2分）若复数z满足，则等于（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·黑龙江期中) 设△ABC中，角A，B，C的对边分别为a、b、c，且2sinA=sinB+sinC，a=2，则△ABC面积的最大值为________．14. （1分） (2016高一下·信阳期末) 某同学在求解某回归方程中，已知x，y的取值结果（y与x呈线性相关）如表：x234y64m并且求得了线性回归方程为 =﹣ x+ ，则m等于________．15. （1分） (2017高一下·珠海期末) 已知，则△ABM 与△ACM 的面积的比值为________．16. （1分） (2017高二下·太和期中) 已知F是椭圆C： + =1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为________．三、解答题 (共5题；共40分)17. （5分） (2018高二下·聊城期中) 设复数的共轭复数为，且，，复数对应复平面的向量，求的值和的取值范围.18. （10分） (2017高二上·河南月考) 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，点在抛物线上.（1）写出该抛物线的标准方程及其准线方程；（2）过点作两条倾斜角互补的直线与抛物线分别交于不同的两点 ,求证：直线的斜率是一个定值.19. （5分）(2017·石家庄模拟) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点M（m，2），其焦点为F，且|MF|=2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设E为y轴上异于原点的任意一点，过点E作不经过原点的两条直线分别与抛物线C和圆F：（x﹣1）2+y2=1相切，切点分别为A，B，求证：直线AB过定点F（1，0）．20. （10分） (2015高三上·辽宁期中) 数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N* ．（1）证明：数列{ }是等差数列；（2）设bn=3n• ，求数列{bn}的前n项和Sn ．21. （10分） (2016高一上·沽源期中) 如图1：已知正方形ABCD的边长是2，有一动点M从点B出发沿正方形的边运动，路线是B→C→D→A．设点M经过的路程为x，△ABM的面积为S．（1）求函数S=f（x）的解析式及其定义域；（2）在图2中画出函数S=f（x）的图象．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共40分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。
2023-2024学年河南省郑州市十校高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省郑州市十校高二（上）期中数学试卷一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分．1．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →2．直线3x +2y ﹣1＝0的一个方向向量是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2）3．如图所示，三棱锥O ﹣ABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，且OM →=3MA →，BN →=NC →，则MN →=（ ）A ．14a →+13b →+13c → B ．−14a →+13b →+13c → C ．−34a →+12b →+12c →D ．34a →+12b →+12c →4．已知方程x 22−m+y 2m+1=1表示的曲线是椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，2）B ．(−1，12)∪(12，2)C ．(−1，12)D ．(12，2)5．直线l 1：ax +3y +1＝0，l 2：2x +（a ﹣1）y ﹣1＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为（ ） A ．3B ．2C ．﹣3或2D ．3或﹣26．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|•|MF 2|的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．67．设直线l 的方程为x ﹣y sin θ+2＝0，则直线l 的倾斜角α的范围是（ ） A ．[0，π] B ．[π4，π2]C ．[π4，3π4]D ．[π4，π2)∪(π2，3π4]8．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．√3010B ．12C ．√3015D ．√1510二、多项选择题：共4小题，每个小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知空间向量a →，b →，c →，下列命题中不正确的是（ ） A ．若向量a →，b →共线，则向量a →，b →所在的直线平行B ．若向量a →，b →所在的直线为异面直线，则向量a →，b →一定不共面 C ．若存在不全为0的实数x ，y ，z 使得x a →+y b →+z c →=0→，则a →，b →，c →共面 D ．对于空间的任意一个向量p →，总存在实数x ，y ，z 使得p →=x a →+y b →+z c →10．已知直线l ：（a +2）x ﹣y +2a ﹣3＝0在x 轴上的截距是y 轴上截距的2倍，则a 的值可能是（ ） A ．−52B ．0C ．32D ．﹣211．已知直线mx ﹣y +2m ﹣1＝0与曲线y =√1−x 2有且仅有1个公共点，则m 的取值可能是（ ） A ．13B ．23C ．1D ．4312．如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1，BB 1的中点，则（ ）A ．直线FC 1与底面ABCD 所成的角为30°B ．平面AB 1E 与底面ABCD 夹角的余弦值为23C ．直线FC 1与直线AE 的距离为√305D ．直线FC 1与平面AB 1E 的距离为13三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点B 是点A （3，4，5）在坐标平面Oxy 内的射影，则|OB →|= ．14．已知两条平行直线l 1：2x ﹣7y ﹣8＝0，l 2：6x ﹣21y ﹣1＝0，则l 1与l 2间的距离为 ． 15．圆x 2+y 2﹣4＝0与圆x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为 ． 16．已知椭圆x 2a 2+y 28=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e =13．若P 是椭圆上任意一点，A 是椭圆的右顶点，则△PF 1F 2的周长为 ，PF →•PA →的最大值为 ．四、解答题：共6小题，共计70分17．（10分）求适合下列条件的椭圆标准方程： （1）与椭圆x 22+y 2＝1有相同的焦点，且经过点（1，32）；（2）经过A （2，−√22），B （−√2，−√32）两点． 18．（12分）经过椭圆x 22+y 2＝1的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求AB 的长．19．（12分）如图所示，一动圆与圆x 2+y 2+6x +5＝0外切，同时与圆x 2+y 2﹣6x ﹣91＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．20．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），边AB 上的中线CM 所在直线方程为y ＝2x ﹣5，边AC 上的高BH 所在直线方程为y =12x −52．求： （1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程．21．（12分）已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0， （1）求证：直线l 恒过定点；（2）判断直线l 被圆C 截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m 的值以及最短长度．22．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点． （1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角B ﹣A 1D ﹣B 1的平面角的正切值．2023-2024学年河南省郑州市十校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：共8小题，每个小题5分，共40分．1．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）A ．b →+c →，b →，b →−c →B ．a →，a →+b →，a →−b →C ．a →+b →，a →−b →，c →D ．a →+b →，a →+b →+c →，c →解：由共面向量的充要条件可得：对于A 选项，b →=12（b →+c →）+12（b →−c →），所以b →+c →，b →，b →−c →三个向量共面；对于B 选项，同理：a →，a →+b →，a →−b →三个向量共面； 对于D 选项，a →+b →+c →=(a →+b →)+c →，所以三个向量共面； 故选：C ．2．直线3x +2y ﹣1＝0的一个方向向量是（ ） A ．（2，﹣3）B ．（2，3）C ．（﹣3，2）D ．（3，2）解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量， ∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3）， 故选：A ．3．如图所示，三棱锥O ﹣ABC 中，OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，且OM →=3MA →，BN →=NC →，则MN →=（ ）A ．14a →+13b →+13c →B ．−14a →+13b →+13c →C ．−34a →+12b →+12c →D ．34a →+12b →+12c →解：∵OM →=3MA →，BN →=NC →，∴MN →=ON →−OM →，ON →=12（OB →+OC →），∴MN →=12(b →+c →)−34a →．故选：C ． 4．已知方程x 22−m+y 2m+1=1表示的曲线是椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，2）B ．(−1，12)∪(12，2)C ．(−1，12) D ．(12，2)解：根据题意，方程x 22−m+y 2m+1=1表示的曲线是椭圆，则{2−m ＞0m +1＞02−m ≠m +1，解可得：﹣1＜m ＜2，且m ≠12，故m 的取值范围为（﹣1，12）∪（12，2）； 故选：B ．5．直线l 1：ax +3y +1＝0，l 2：2x +（a ﹣1）y ﹣1＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为（ ） A ．3B ．2C ．﹣3或2D ．3或﹣2解：∵直线l 1：ax +3y +1＝0，l 2：2x +（a ﹣1）y ﹣1＝0，l 1∥l 2， ∴2a =a−13≠−11，∴a ＝3，故选：A ．6．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|•|MF 2|的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．6解：F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，|MF 1|+|MF 2|＝6，所以|MF 1|•|MF 2|≤(|MF 1|+|MF 2|2)2=9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时，取等号， 所以|MF 1|•|MF 2|的最大值为9． 故选：C ．7．设直线l 的方程为x ﹣y sin θ+2＝0，则直线l 的倾斜角α的范围是（ ） A ．[0，π] B ．[π4，π2]C ．[π4，3π4]D ．[π4，π2)∪(π2，3π4]解：直线l 的方程为x ﹣y sin θ+2＝0，设直线的倾斜角为α， ①当sin θ＝0时，α=π2，②当sin θ≠0时，直线的斜率k ＝tan α=1sinθ，所以tan α∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）， 所以α∈[π4，π2)∪(π2，3π4]， 综上所述：α∈[π4，3π4]； 故选：C ．8．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ） A ．√3010B ．12C ．√3015D ．√1510解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， 如图，取BC 的中点为O ，连结OF ，D 1F 1∥B 1C 1，D 1F 1=12B 1C 1，OB ∥B 1C 1，OB =12B 1C 1， 则四边形D 1F 1OB 是平行四边形， ∴BD 1与AF 1所成角就是∠AF 1O ， 由BC ＝CA ＝CC 1，设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则CO ＝1，AO =√5，AF 1=√5，D 1B =√D 1B 12+B 1B 2=√2+4=√6，在△AF 1O 中，由余弦定理，可得cos ∠AF 1O =AF 12+F 1O 2−AO 22AF 1⋅F 1O =5+6−52×√5×√6=√3010， ∴BD 1与AF 1所成角的余弦值是√3010． 故选：A ．二、多项选择题：共4小题，每个小题5分，共20分．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知空间向量a →，b →，c →，下列命题中不正确的是（ ） A ．若向量a →，b →共线，则向量a →，b →所在的直线平行B ．若向量a →，b →所在的直线为异面直线，则向量a →，b →一定不共面C ．若存在不全为0的实数x ，y ，z 使得x a →+y b →+z c →=0→，则a →，b →，c →共面 D ．对于空间的任意一个向量p →，总存在实数x ，y ，z 使得p →=x a →+y b →+z c →解：向量a →，b →共线，则a →与b →所在的直线也可能重合，故A 错误；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a →，b →都共面，故B 错误； 实数x ，y 不全为0， 不妨设x ≠0，则a →=(−y x )b →+(−z x)c →，故由共面向量定理知，a →，b →，c →共面，故C 正确； 只有当a →，b →，c →不共面时，空间任意一向量才能表示为得p →=x a →+y b →+z c →，故D 错误． 故选：ABD ．10．已知直线l ：（a +2）x ﹣y +2a ﹣3＝0在x 轴上的截距是y 轴上截距的2倍，则a 的值可能是（ ） A ．−52B ．0C ．32D ．﹣2解：依题意可得a ≠﹣2，当a =32时，直线l 为72x −y =0，此时横纵截距都等于0，满足题意；当a ≠32时，直线l 在x 轴上的截距为3−2a a+2，在y 轴上截距2a ﹣3，则3−2aa+2=2×(2a −3)，得a =−52或a =32（舍去）． 综上所述，a 的值为−52或32． 故选：AC ．11．已知直线mx ﹣y +2m ﹣1＝0与曲线y =√1−x 2有且仅有1个公共点，则m 的取值可能是（ ） A ．13B ．23C ．1D ．43解：由直线mx ﹣y +2m ﹣1＝0可知恒过定点A （﹣2，﹣1）， 曲线y =√1−x 2表示x 2+y 2＝1（y ≥0），即圆的上半圆， 作出图形如图所示：而直线mx ﹣y +2m ﹣1＝0，与上半个圆相切于B 时，有一个交点，此时√1+m 2=1，解得m =43，直线夹在CD 直接时，直线mx ﹣y +2m ﹣1＝0与曲线y =√1−x 2有且仅有1个公共点，C （﹣1，0），D （1，0）， 所以：0+11+2≤m ＜0+1−1+2，即m ∈[13，1），故选：ABD ．12．如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1，BB 1的中点，则（ ）A ．直线FC 1与底面ABCD 所成的角为30°B ．平面AB 1E 与底面ABCD 夹角的余弦值为23C ．直线FC 1与直线AE 的距离为√305D ．直线FC 1与平面AB 1E 的距离为13解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 对于A ，F （1，1，12），C 1（0，1，1），FC 1→=（﹣1，0，12），平面ABCD 的法向量AA 1→=（0，0，1）， 设直线FC 1与底面ABCD 所成的角为θ，则sin θ=|AA 1→⋅FC 1→||AA 1→|⋅|FC 1→|=12√54=√55，∴直线FC 1与底面ABCD 所成的角为arcsin√55，故A 错误； 对于B ，A （1，0，0），B 1（1，1，1），E （0，0，12），AB 1→=（0，1，1），AE →=（﹣1，0，12），设平面AB 1E 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AB 1→=y +z =0n →⋅AE →=−x +12z =0，取z ＝2，得n →=（1，﹣2，2）， 设平面AB 1E 与底面ABCD 夹角为α，则cos α=|AA 1→⋅n →||AA 1→|⋅|n →|=23，∴平面AB 1E 与底面ABCD 夹角的余弦值为23，故B 正确；对于C ，FC 1→=（﹣1，0，12），AE →=（﹣1，0，12），FE →=（﹣1，﹣1，0），∴直线FC 1与直线AE 的距离为： d ＝|FE →|•√1−(|FC 1→⋅FE →||FC 1→|⋅|FE →|)2=√2⋅√1−(√54⋅2)2=√305，故C 正确；对于D ，∵FC 1∥AE ，AE ⊂平面AB 1E ，FC 1⊄平面AB 1E ，∴FC 1∥平面AB 1E ，又AF →=（0，1，12），平面AB 1E 的法向量n →=（1，﹣2，2），∴直线FC 1与平面AB 1E 的距离为：h =|AF →⋅n →||n →|=19=13，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知点B 是点A （3，4，5）在坐标平面Oxy 内的射影，则|OB →|= 5 ． 解：∵点B 是点A （3，4，5）在坐标平面Oxy 内的射影， ∴B （3，4，0），则|OB →|=√33+42+02=5． 故答案为：5．14．已知两条平行直线l 1：2x ﹣7y ﹣8＝0，l 2：6x ﹣21y ﹣1＝0，则l 1与l 2间的距离为23159√53．解：因为l 1即为6x ﹣21y ﹣24＝0， 所以l 1与l 2间的距离d =|−24−(−1)|√6+21=23477=23√9×53=23159√53． 故答案为：23159√53．15．圆x 2+y 2﹣4＝0与圆x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为 2√2 ． 解：圆x 2+y 2﹣4＝0与圆x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的方程相减得：x ﹣y +2＝0， 由圆x 2+y 2﹣4＝0的圆心（0，0），半径r 为2， 且圆心（0，0）到直线x ﹣y +2＝0的距离d =|0−0+2|√2=√2， 则公共弦长为2√r 2−d 2=2√4−2=2√2． 故答案为：2√2． 16．已知椭圆x 2a 2+y 28=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e =13．若P 是椭圆上任意一点，A 是椭圆的右顶点，则△PF 1F 2的周长为 8 ，PF →•PA →的最大值为 12 ． 解：因为椭圆x 2a 2+y 28=1的离心率e =13，所以c a=13，又b 2＝8，即b =2√2，所以a ＝3，c ＝1． 所以x 29+y 28=1，F 1（﹣1，0），A （3，0），△PF 1F 2＝2a +2c ＝8，设椭圆上的一点P （x ，y ），则PF 1→⋅PA →=(−1−x ，−y)⋅(3−x ，−y)=19(x −9)2−4， 所以当x ＝﹣3时，PF 1→⋅PA →取得最大值12， 故答案为：8；12．四、解答题：共6小题，共计70分17．（10分）求适合下列条件的椭圆标准方程： （1）与椭圆x 22+y 2＝1有相同的焦点，且经过点（1，32）；（2）经过A （2，−√22），B （−√2，−√32）两点．解：（1）由已知椭圆方程可得焦点坐标为（±1，0），则可设所求的椭圆方程为：x 2m+y 2m−1=1(m ＞1)，代入点（1，32），解得m ＝4或14（舍），所以所求椭圆方程为：x 24+y 23=1， （2）设所求的椭圆方程为：x 2m+y 2n=1(m ＞0，n ＞0，m ≠n)，代入已知两点可得：{ 4m+12n =12m +34n =1，解得m ＝8，n ＝1， 故所求的椭圆方程为：x 28+y 2=1． 18．（12分）经过椭圆x 22+y 2＝1的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，求AB 的长．解：∵椭圆方程为x 22+y 2＝1，∴焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），∵直线AB 过左焦点F 1倾斜角为60°，∴直线AB 的方程为y =√3（x +1），将AB 方程与椭圆方程消去y ，得7x 2+12x +4＝0设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得x 1+x 2=−127，x 1x 2=47∴|x 1﹣x 2|=√(−127)2−4×47=4√27因此，|AB |=√1+3•|x 1﹣x 2|=8√27． 19．（12分）如图所示，一动圆与圆x 2+y 2+6x +5＝0外切，同时与圆x 2+y 2﹣6x ﹣91＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．解：（方法一）设动圆圆心为M （x ，y ），半径为R ，设已知圆的圆心分别为O 1、O 2，将圆的方程分别配方得：（x +3）2+y 2＝4，（x ﹣3）2+y 2＝100，当动圆与圆O 1相外切时，有|O 1M |＝R +2，…①当动圆与圆O 2相内切时，有|O 2M |＝10﹣R ，…②将①②两式相加，得|O 1M |+|O 2M |＝12＞|O 1O 2|，∴动圆圆心M （x ，y ）到点O 1（﹣3，0）和O 2（3，0）的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为O 1（﹣3，0）、O 2（3，0），长轴长等于12的椭圆，∴2c ＝6，2a ＝12，∴c ＝3，a ＝6，∴b 2＝36﹣9＝27，∴圆心轨迹方程为x 236+y 227=1，轨迹为椭圆．（方法二）：由方法一可得方程√(x +3)2+y 2+√(x −3)2+y 2=12，移项再两边分别平方得：2√(x +3)2+y 2=12+x ，两边再平方得：3x 2+4y 2﹣108＝0，整理得x 236+y 227=1． 所以圆心轨迹方程为x 236+y 227=1，轨迹为椭圆．20．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），边AB 上的中线CM 所在直线方程为y ＝2x ﹣5，边AC 上的高BH 所在直线方程为y =12x −52．求：（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程．解：（1）由题意可得边AC 上的高BH 所在直线方程为y =12x −52，所以直线AC 边所在的直线的斜率为﹣2，则设它的方程为y ＝﹣2x +b ，代入（5，1），可得b ＝11，即2x +y ﹣11＝0，点C 在中线CM 所在直线方程为y ＝2x ﹣5上，所以联立方程组{y =−2x +11y =2x −5，解得x ＝4，y ＝3，故C 点坐标为（4，3）， （2）设B （m ，n ），则M （m+52，n+12），把M 的坐标代入直线方程为y ＝2x ﹣1，把点B 的坐标代入y =12x −52，可得{n+12=2×m+52−5n =12m −52，解得m ＝﹣1，n ＝﹣3，故点B （﹣1，﹣3）， 故直线BC 斜率为k =3−(−3)4−(−1)=65， 故可设直线BC 的方程为y =65x +p ，把B （﹣1，﹣3）代入可得p =−95，故直线BC 的方程为y =65x −95．21．（12分）已知圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y ﹣7m ﹣4＝0，（1）求证：直线l 恒过定点；（2）判断直线l 被圆C 截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m 的值以及最短长度．解：（1）证明：直线l 的方程可化为（2x +y ﹣7）m +（x +y ﹣4）＝0（3分）联立{2x +y −7=0x +y −4=0解得{x =3y =1 所以直线恒过定点（3，1）（6分）（2）当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长．（8分）当直线l ⊥CP 时，直线被圆截得的弦长最短直线l 的斜率为k =−2m+1m+1，k CP =1−23−1=−12由−2m+1m+1．(−12)=−1解得m =−34 此时直线l 的方程是2x ﹣y ﹣5＝0圆心C （1，2）到直线2x ﹣y ﹣5＝0的距离为d =|2−2−5|√5=√5）⬚ 所以最短弦长是|AB|=2|AP|=4√5（12分）22．（12分）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角B ﹣A 1D ﹣B 1的平面角的正切值．（1）证明：∵AB ＝AC ＝2，D 是B 1C 1的中点．∴A 1D ⊥B 1C 1，∵BC ∥B 1C 1，∴A 1D ⊥BC ，∵A 1O ⊥面ABC ，A 1D ∥AO ，∴A 1O ⊥AO ，A 1O ⊥BC∵BC ∩AO ＝O ，A 1O ⊥A 1D ，A 1D ⊥BC∴A 1D ⊥平面A 1BC（2）解，如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系．则BC =√2AC =2√2，A 1O =√AA 12−AO 2=√14， 易知A 1(0，0，√14)，B(√2，0，0)，C(−√2，0，0)，A(0，√2，0)，D(0，−√2，√14)，B 1(√2，−√2，√14)，A 1D →=(0，−√2，0)，BD →=(−√2，−√2，√14) 设平面A 1BD 的法向量为m →=(x ，y ，z)，由，{m →⋅A 1D →=0m →⋅BD →=0得{−√2y =0−√2x −√2y +√14z =0， 取z ＝1，得m →=(√7，0，1) 又平面A 1DB 1的法向量为n →=(0，0，1)， ∴cos ＜m →，n →＞=11×2√2=√24 ∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的正切值√7．。
2024-2025学年河南新乡市河南师范大学附属中学高二(上)月考数学试卷(10月份)(含答案)
2024-2025学年河南师大附中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线l 的方向向量为(1,−1)，则该直线的倾斜角为( )A. π4B. π3C. 3π4D. 2π32.在△ABC 中，若a =2，b =2 3，A =30°，则B 等于( )A. 30°B. 30°或150°C. 60°D. 60°或 120°3.三棱柱ABC−DEF 中，G 为棱AD 的中点，若BA =a ，BC =b ，BD =c ，则CG =( )A. −a +b−cB. 12a−b +12cC. −12a +b +cD. −1a +12b +c4.已知不重合的平面α、β、γ和直线l ，则“α//β”的充分不必要条件是( )A. α内有无数条直线与β平行B. α内的任何直线都与β平行C. α⊥γ且γ⊥βD. l ⊥α且l ⊥β5.已知点M(2,5)，在直线l ：x−y +2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，则△MPQ 的周长的最小值为( )A. 3 5 B. 5 C. 2 5 D. 266.如图，在平行六面体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，侧面A 1ADD 1是正方形，且∠A 1AB =120°，∠DAB =60°，AB =2，若P 是C 1D 与CD 1的交点，则异面直线AP 与DC 的夹角的余弦值为( )A. 3714B.64C. 74D.6147.如图扇形AOB所在圆的圆心角大小为2π3，P是扇形内部(包括边界)任意一点，若OP=x OA+y OB，那么2x+y的最大值是( )A. 332B. 3C. 2213D. 78.已知直角三角形DEF的三个顶点分别在等边三角形ABC的边AB，BC，CA上，且∠DEF=90°，∠EDF=30°，则S△DEFS△ABC的最小值为( )A. 1B. 12C. 314D. 314二、多选题：本题共3小题，共18分。
河南省郑州市第一中学2024-2025学年高二上学期10月质量检测数学试题
河南省郑州市第一中学2024-2025学年高二上学期10月质量检测数学试题一、单选题1．设直线:80l x +=的倾斜角为α，则α=（ ） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o2．已知平面α的一个法向量为)42(n m =-r ,,，直线l 的一个方向向量为)1,(3,2u =--r，若//l α，则m =（ ） A ． 2-B ．1-C ．1D ．23．已知直线1:250l x y ++=与2:30l x ay b ++=平行，且2l 过点()3,1-，则ab=（ ） A ．3-B ．3C ．2-D ．24．如图，在正三棱锥P ABC -中，点G 为ABC V 的重心，点M 是线段PG 上的一点，且3PM MG =，记,,PA a PB b PC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则AM =u u u u r（ ）A ．311444a b c -++r r rB ．311434a b c -++r r rC ．111444a b c -++r r rD ．111434a b c -++r r r5．已知从点()1,5-发出的一束光线，经过直线220x y -+=反射，反射光线恰好过点()2,7，则反射光线所在的直线方程为（ ） A ．2110x y +-= B ．410x y --= C ．4150x y +-=D ．90x y +-=6．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC V 是等边三角形，1AA =2AB =，则点C 到直线1AB 的距离为（ ）ABCD7．已知实数,x y 满足21y x =-，且12x -≤≤，则63y x --的取值范围为（ ）A ．[)9,3,4∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦B ．93,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)9,3,4∞∞⎛⎤-⋃+ ⎥⎝⎦D ．9,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．在正三棱锥P ABC -中，3PA AB ==，点M 满足()2PM xPA yPB x y PC =++--u u u u r u u u r u u u r u u u r，则AM 的最小值为（ ） ABCD．二、多选题9．已知空间向量()()()1,2,3,23,0,5,2,4,a a b c m =+=-=r r r r ，且ar//c r，则下列说法正确的是（ ） A．b =rB ．6m =C ．()2b c a +⊥r r rD．cos ,b c =r r 10．下列说法正确的是（ ）A ．任何一条直线都有倾斜角，不是所有的直线都有斜率B ．若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αC ．11y y k x x -=-不能表示过点()11,x y 且斜率为k 的直线方程 D ．设()()1,3,1,1A B -，若直线:10l ax y ++=与线段AB 有交点，则a 的取值范围是][(),42,-∞-⋃+∞11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,P M 是底面1111D C B A 内的一点（包括边界），且AP BM AC =⊥，则下列说法正确的是（ ）A ．点P 的轨迹长度为πB ．点M 到平面1A BD 的距离是定值C ．直线CP 与平面ABCDD ．PM 1三、填空题12．过点()3,1且在x 轴､y 轴上截距相等的直线方程为.13．已知向量0()(323137)(2)a b c λ=-=--=r r r,,,,,,,,,若,,a b c r r r 共面，则λ=14．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AA M =为棱11B C 上的动点（包括端点），N 为AM 的中点，则直线CN 与平面11ABB A 所成角的正弦值的取值范围为．四、解答题15．已知ABC V 的顶点坐标为()()()1,6,3,1,4,2A B C ---. (1)若点D 是AC 边上的中点，求直线BD 的方程； (2)求AB 边上的高所在的直线方程.16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB AC AB AC AA ⊥==，点,E F 分别为棱11,AB A B 的中点.(1)求证：//AF 平面1B CE ；(2)求直线1C E 与直线AF 的夹角的余弦值.17．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是矩形，11,2AC DB AA ⊥=，点P 是棱1DD 上的一点，且12DP PD =.(1)求证：四边形ABCD 为正方形； (2)求直线1AD 与平面PAC 所成角的正弦值.18．已知直线:250l kx y k -+-=与坐标轴形成的三角形的面积为S . (1)当92S =时，求直线l 的方程； (2)针对S 的不同取值，直线l 构成集合A ，讨论集合A 中的元素个数.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，2AB BC ==，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA PC =，点,E F 分别是棱,AB PC 的中点.(1)求证：DE 平面PAC；①求PA的长；②求平面PDE与平面FDB的夹角的余弦值.。
高二第二学期月考数学试卷理科及答案
高二第二学期月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62.已知i 是虚数单位，则复数z = 2−i4+3i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.曲线y = x 2+3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（ ） A.7 B.6 C.5 D.44.（√x −1x ）9展开式中的常数项是（ ） A.-36 B.36 C.-84 D.845.已知命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0，那么命题p 的否定是（ ） A.∃a 0∈（0，+∞），a 02 - 2a 0 -3≤0 B.∃a 0∈（-∞，0），a 02 - 2a 0 -3≤0 C.∀a ∈（0，+∞），a 2 - 2a -3≤0 D.∀a ∈（-∞，0），a 2 - 2a -3≤06.已知F 1，F 2是双曲线12222=-bx a y（a ＞0，b ＞0）的下、上焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.2 C.√3 D.37.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为∧y=8.5x +7.5，则表中的m 的值为（ ）A.50B.55C.60D.658.若f （x ）=x 2 - 2x - 4lnx ，则)('x f ＜0的解集（ ）A.（0，+∞）B.（0，2）C.（0，2）∪（-∞，-1）D.（2，+∞）9.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 = - 11，a 4 + a 6= - 6，则当S n 取最小值时，n 等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.911.由曲线y =√x ，直线y = x - 2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A.103 B.4 C.163 D.612.定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+)('x f ＞1，f （0）= 4，则不等式e xf （x ）＞e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A.（0，+∞） B.（-∞，0）∪（3，+∞） C.（-∞，0）∪（0，+∞） D.（3，+∞）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜1）=12， P （X ＞2）=p ，则P （0＜X ＜1）= ______ ． 14.已知函数f （x ）=13x 3+ax 2+x +1有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ______ ． 15.已知函数xx f x f sin cos )4()('+=π，则f （π4）= ______ ．16.观察下列一组等式：①sin 230°+cos 260°+sin 30°cos 60° = 34，②sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45° = 34，③sin 245°+cos 275°+sin 45°cos 75° = 34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，√3sin C cos C - cos 2C = 12，且c =3 （1）求角C（2）若向量m⃗⃗ =（1，sin A ）与n⃗ =（2，sin B ）共线，求a 、b 的值．18.已知正数数列 {a n } 的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2√S n =a n +1． （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列{b n } 的前n 项和B n ．19.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E （X ）．20.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D（Ⅰ）求证：BD ⊥A 1C（Ⅱ）求二面角B-A 1D-C 的大小．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0），F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点P （0，2）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA ⊥OB （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．22.已知函f （x ）= ax 2 - e x （a ∈R ）．（Ⅰ）a =1时，试判断f （x ）的单调性并给予证明； （Ⅱ）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）． （i ） 求实数a 的取值范围； （ii ）证明：1)(21-<<-x f e（注：e 是自然对数的底数）【解析】1. 解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，所以a +b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个． 故选B ．利用已知条件，直接求出a +b ，利用集合元素互异求出M 中元素的个数即可． 本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 2. 解：复数z =2−i4+3i =(2−i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=5−10i 25=15−25i 在复平面内对应的点(15，−25)所在的象限为第四象限． 故选：D ．利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题． 3. 解：由题意知，y =x 2+3x ，则y ′=2x +3， ∴在点A （2，10）处的切线的斜率k =4+3=7， 故选：A ．根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点A （2，10）处的切线的斜率k ．本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．4. 解：（√x −1x ）9展开式的通项公式为T r +1=C 9r•（-1）r •x9−3r2，令9−3r 2=0，求得r =3，可得（√x −1x ）9展开式中的常数项是-C 93=-84，故选：C ．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 5. 解：根据特称命题的否定是全称命题，得； 命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0， 那么命题p 的否定是：∀a ∈（0，+∞），a 2-2a -3≤0． 故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定命题￢p 即可． 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．6. 解：由题意，F 1（0，-c ），F 2（0，c ），一条渐近线方程为y =ab x ，则F 2到渐近线的距离为√a 2+b 2=b ．设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|=2b ，A 为F 2M 的中点， 又0是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4（c 2-a 2），∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2． 故选：B ．首先求出F 2到渐近线的距离，利用F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 7. 解：由题意，x .=2+4+5+6+85=5，y .=25+35+m+55+755=38+m5，∵y 关于x 的线性回归方程为y ^=8.5x +7.5， 根据线性回归方程必过样本的中心， ∴38+m5=8.5×5+7.5，∴m =60． 故选：C ．计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论． 本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．8. 解：函数f （x ）=x 2-2x -4lnx 的定义域为{x |x ＞0}， 则f '（x ）=2x -2-4x =2x 2−2x−4x，由f '（x ）=2x 2−2x−4x ＜0，得x 2-x -2＜0，解得-1＜x ＜2，∵x ＞0，∴不等式的解为0＜x ＜2， 故选：B ．求函数的定义域，然后求函数导数，由导函数小于0求解不等式即可得到答案．本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，是基础题． 9. 解：∵△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列， ∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①； 又sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴sin 2B=sin A •sin C=34，②由①②得：sin A •sin （120°-A ）=sin A •（sin 120°cos A-cos 120°sin A ）=√34sin 2A+12•1−cos2A2=√34sin 2A-14cos 2A+14 =12sin （2A-30°）+14 =34，∴sin （2A-30°）=1，又0°＜∠A ＜120° ∴∠A=60°． 故选D ．先由△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，得sin 2B=sin A •sin C ，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．10. 解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d =2×（-11）+8d =-6，解得d =2， 所以S n =−11n +n(n−1)2×2=n 2−12n =(n −6)2−36，所以当n =6时，S n 取最小值．故选A ．条件已提供了首项，故用“a 1，d ”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．11. 解：联立方程{y =x −2y=√x得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y =√x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为：S=∫(40√x −x +2)dx =(23x 32−12x 2+2x)|04=163．故选C ．利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y =√x ，直线y =x -2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．12. 解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13. 解：随机变量X～N（μ，σ2），可知随机变量服从正态分布，X=μ，是图象的对称轴，可知P（X＜1）=12，P（X＞2）=p，P（X＜0）=p，则P（0＜X＜1）=12−p．故答案为：12−p．直接利用正态分布的性质求解即可．本题考查正态分布的简单性质的应用，基本知识的考查．14. 解：函数f（x）=13x3+ax2+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2-4＞0，解得，a＞1或a＜-1．故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．本题考查导数的运用：求极值，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于基础题．15. 解：由f（x）=f′（π4）cosx+sinx，得f′（x）=-f′（π4）sinx+cosx，所以f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，f′（π4）=-√22f′（π4）+√22．解得f′（π4）=√2-1．所以f（x）=（√2-1）cosx+sinx则f（π4）=（√2-1）cosπ4+sinπ4=√22（√2−1）+√22=1．故答案为：1．由已知得f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，从而f（x）=（√2-1）cosx+sinx，由此能求出f（π4）．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．16. 解：观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=34，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．证明：sin2x+sinx（√32cosx−12sinx）+（√32cosx−12sinx）2=sin2x+√32sinxcosx-12sin2x+34cos2x-√32sinxcosx+14sin2x=3 4sin2x+34cos2x=34．故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，写出结果．本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．答案和解析【答案】1.B2.D3.A4.C5.C6.B7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.A13.12−p14.（-∞，-1）∪（1，+∞）15.116.sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos2（30°-x）=3417.解：（1）∵√3sinCcosC−cos2C=12，∴√32sin2C−1+cos2C2=12∴sin（2C-30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵m ⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n ⃗ =(2，sinB)共线， ∴sin B-2sin A=0∴sin （120°-A ）=2sin A 整理可得，cosA =√3sinA 即tan A=√33∴A=30°，B=90° ∵c =3．∴a =√3，b =2√3 18.解：（Ⅰ）由2√S n =a n +1，n =1代入得a 1=1， 两边平方得4S n =（a n +1）2（1），（1）式中n 用n -1代入得4S n−1=(a n−1+1)2&(n ≥2)（2）， （1）-（2），得4a n =（a n +1）2-（a n -1+1）2，0=（a n -1）2-（a n -1+1）2，（3分） [（a n -1）+（a n -1+1）]•[（a n -1）-（a n -1+1）]=0， 由正数数列{a n }，得a n -a n -1=2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，有a n =2n -1．（7分） （Ⅱ）b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，裂项相消得B n =n2n+1．（14分）19.（I ）解：设“在X 次游戏中摸出i 个白球”为事件A i （i =，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B=A 2∪A 3， 又P （A 3）=C 32C 21C 52C 32=15，P （A 2）=C 32C 22+C 31C 21C 21C 52C 32=12，且A 2，A 3互斥，所以P （B ）=P （A 2）+P （A 3）=12+15=710； （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.X ～B(2，710) 所以X 的分布列是 X 012P9100215049100X 的数学期望E （X ）=0×9100+1×2150+2×49100=75． 20.（Ⅰ）证明：分别以AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D ， ∴B （2，0，0），C （0，2√3，0），A 1（0，0，√3），D （32，√32，√3）．则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3，−√3)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12×0+√32×2√3−√3×√3=0． ∴BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）解：设平面BDA 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，∴{m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +√32y +√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x+√3z=0，取z =2，则m ⃗⃗⃗ =(√3，−3，2)；设平面A 1DC 的一个法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，3√32，−√3)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2√3，√3)，∴{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√3y +√3z =0n⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x+3√32y−√3z=0，取y =1，得n ⃗ =(−√3，1，2)．∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4×2√2=−√28．∴二面角B-A 1D-C 的大小为arccos √28．21.解：（1）∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0）， F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3， ∴{c =√32a +2c =4+2√3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx -2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x 24+y 2=1y =kx −2，得（1+4k 2）x 2-16kx +12=0，△=（-16k ）2-48（1+4k 2）＞0，由根与系数关系得x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1•x 2=121+4k 2， ∵y 1=kx 1-2，y 2=kx 2-2，∴y 1y 2=k 2x 1•x 2-2k （x 1+x 2）+4． ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴（1+k 2）x 1x 2-2k （x 1+x 2）+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2-32k 21+4k 2+4=0，解得k =±2，∴直线l 的方程是y =2x -2或y =-2x -2． 22.解：（Ⅰ）当a =1时，f （x ）=x 2-e x ，f （x ）在R 上单调递减．事实上，要证f ′（x ）=x 2-e x 在R 上为减函数，只要证明f ′（x ）≤0对∀x ∈R 恒成立即可，设g （x ）=f ′（x ）=2x -e x ，则g ′（x ）=2-e x ，当x =ln 2时，g ′（x ）=0，当x ∈（-∞，ln 2）时，g ′（x ）＞0，当x ∈（ln 2，+∞）时，g ′（x ）＜0． ∴函数g （x ）在（-∞，ln 2）上为增函数，在（ln 2，+∞）上为减函数． ∴f ′（x ）max =g （x ）max =g （ln 2）=2ln 2-2＜0，故f ′（x ）＜0恒成立 所以f （x ）在R 上单调递减； （Ⅱ）（i ）由f （x ）=ax 2-e x ，所以，f ′（x ）=2ax -e x ．若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两个根，故方程2ax-e x=0有两个根x1，x2，又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程2a=e xx有两个根，设ℎ(x)=e xx ，得ℎ′(x)=e x(x−1)x2．若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．若x＞0时，h（x）＞0．当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．要使方程2a=e xx 有两个根，需2a＞h（1）=e，故a＞e2且0＜x1＜1＜x2．故a的取值范围为(e2，+∞)．（ii）证明：由f′（x1）=0，得：2ax1−e x1=0，故a=e x12x1，x1∈（0，1）f(x1)=ax12−e x1=e x1 2x1⋅x12−e x1=e x1(x12−1)，x1∈（0，1）设s（t）=e t(t2−1)（0＜t＜1），则s′(t)=e t(t−12)＜0，s（t）在（0，1）上单调递减故s（1）＜s（t）＜s（0），即−e2＜f(x1)＜−1．。
河南省郑州市2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷
河南省郑州市2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷一、单选题1．直线3210x y +-=的一个方向向量是（）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()3,2-D ．()3,22．已知空间向量()2,2,1a =-- ，()3,0,1b = ，则向量b 在向量a上的投影向量是（）A ．⎝⎭B ．10105,,333⎛⎫-- ⎝⎭C ．31,0,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．10105,,999⎛⎫-- ⎝⎭3．已知方程22124x y m m+=--表示一个焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为（）A ．()3,4B ．()2,3C ．()()2,33,4D ．()2,44．已知{},,a b c 是空间的一个基底，{},,a b a b c +- 是空间的另一个基底，一向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()4,2,3，则向量p在基底{},,a b a b c +- 下的坐标是（）A ．()4,0,3B ．()3,1,3C ．()1,2,3D ．()2,1,35．直线sin 20x y θ-+=的倾斜角的取值范围是（）A ．[)0,πB ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦6．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为（）A ．23B ．34C ．12D ．37．若圆()2221:(1)(2)0C x y r r ++-=>上恰有2个点到直线:43100l x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（）A ．()3,+∞B ．()5,+∞C ．()3,5D ．[]3,58．已知实数x ，y 满足2222x y x y +=+，则4yx -的最大值为（）A ．3B ．1-C ．2D ．1二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．若空间中O ，A ，B ，C 满足1233OC OA OB =+，则A ，B ，C 三点共线B ．空间中三个非零向量,,a b c，若0a b ⋅= ，0b c ⋅= ，则a c∥C ．对空间任意一点O 和不共线三点A ，B ，C ，若220242025OP OA OB OC =+-，则P ，A ，B ，C 共面D ．()1,1,a x = ，()3,,9b x = ，若310x >-，则a与b 的夹角为锐角10．下列说法不正确的有（）A ．若两条直线250x ay +-=与250ax y +-=互相平行，则实数a 的值为2-B ．若直线y kx b =+不经过第三象限，则点(,)k b 在第二象限C ．过点(2,3)--且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为5x y +=-D ．已知直线10kx y k ---=和以(3,1)M -，(3,2)N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为32k ≥或12k ≤-11．在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，动点P 满足PA =，得到动点P 的轨迹是曲线C ．则下列说法正确的是（）A ．曲线C 的方程为22(2)8x y -+=B ．若直线4y kx =+与曲线C 有公共点，则k 的取值范围是22⎡+⎣C ．当,,O A P 三点不共线时，若点(2D -，则射线PD 平分APO∠D ．过曲线C 外一点(4,)a a -作曲线C 的切线，切点分别为,M N ，则直线MN 过定点24,33⎛⎫⎪⎝⎭三、填空题1210=化简后为．13．如图，60︒的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4AB =，6AC =，8BD =，则CD 的长为14．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q 、P 的距离之比MQ MPλ=()0,1λλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，定点Q 为x 轴上一点，1,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭且2λ=，若点()1,1B ，则2MP MB +的最小值为.四、解答题15．已知ABC V 的三个顶点分别为(3,0)A -，(2,1)B ，(2,3)C -，求：(1)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(2)BC 边的垂直平分线DE 的方程；(3)ABC V 的外接圆方程．16．如图，在棱长为2的平行六面体1111ABCD A B C D -中，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=.(1)求线段1AC 的长度；(2)求直线1AC 与直线1C D 的夹角的余弦值.17．已知以点−1,2为圆心的圆与直线1270:l x y ++＝相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于,M N (1)求圆A 的方程；(2)当MN =l 的方程．18．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM BN a ==(0a <<．（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小？（3）当MN 的长最小时求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．19．在空间直角坐标系O xyz -中，已知向量(),,u a b c =，点()0000,,P x y z ，若直线l 以u为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为()0000;x x y y z z abc a b c---==≠若平面α以u为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程表示为()()()0000.a x xb y yc z z -+-+-=(1)已知直线l 的标准式方程为112x z-==，平面1α的点法式方程可表示为50y z +-+=，求直线l 与平面1α所成角的正弦值;(2)已知平面2α的点法式方程可表示为2320x y z ++-=，平面外一点()1,2,1P ，求点P 到平面2α的距离;(3)若集合(){},,|2,1M x y z x y z =+==，记集合M 中所有点构成的几何体为S ，求几何体S 的体积.。
天津市第四十七中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学试题(含答案解析)
天津市第四十七中学2021-2022学年高二上学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，直线l 的斜率是（）ABC ．D ．2．已知()2,1,3=- a ，()4,2,b x =- ，且a b ∥，则x 的值为（）A ．103B ．103-C ．6D ．-63．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，则9S 等于（）A ．8-B ．6-C ．10D ．04．已知ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别是(2,0)-、(2,0)，且AC ，BC 所在直线的斜率之积等于2，则顶点C 的轨迹方程是（）A ．22148x y -=（2x ≠±）B ．2212y x -=C ．22148x y -=D ．2212x y -=（2x ≠±）5．在三棱锥-P ABC 中，点D ，E ，F 分别是BC ，PC ，AD 的中点，设PA a = ，PB b =，PC c = ，则EF =（）A ．111244a b c --B ．111+244a b c- C ．111+244a b c -D ．111++244a b c- 6．已知过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点（点A 在第一象限），若AF = 3FB ，则直线l 的斜率为（）A ．2B ．12C D7．直线:20l kx y --=与曲线1C x =-只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．(-8．设1F 是双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的一个焦点，1A ，2A 是C 的两个顶点，C 上存在一点P ，使得1PF 与以12A A 为直径的圆相切于Q ，且Q 是线段1PF 的中点，则C 的渐近线方程为A ．y =B ．y =C ．12y x =±D ．2y x=±9．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的焦距的取值范围是（）A ．55,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．205,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,53⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题10．抛物线28y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是__________.11．已知C ：224630x y x y +---=，点()20M -，是C 外一点，则过点M 的圆的切线的方程是__________．12．空间直角坐标系中，四面体ABCD 的各顶点(0,0,2)A ，(2,2,0)B ，(1,2,1)C ，(2,2,2)D ，则点B 到平面ACD 的距离是_______________.13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与椭圆C 交于A ，B 两点且线段AB 的中点为()3,2M ，则直线l 的斜率为________.14．设点P 是曲线221(0)3x y x -=>上一动点，点Q 是圆()2221x y +-=上一动点，点()20A -，，则PA PQ +的最小值是_____________15．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为H ，点P 在C 上，且PH =，则PFH ∆的面积为______．三、解答题16．（1）已知直线1l ：60x ay ++=和直线2l ：(2)320a x y a -++=，若12l l ⊥，求a 值.（2）求与直线220x y --=平行且纵截距是2-的直线3l 的一般式方程.（3）若直线l 经过(2,1)A 、()21,B m （R m ∈）两点，求直线l 的倾斜角α的取值范围.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//ABCD AB CD ，且2,1CD AB ==，1,,BC PA AB BC N ==⊥为PD 的中点.(1)求证：//AN 平面PBC ；(2)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值；(3)在线段PD 上是否存在一点M ，使得直线CM 与平面PBC ，若存在，求出DMDP的值；若不存在，说明理由.18．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，2432a a a =-，数列{}n b 满足212log n n b a =+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)令n n n c a b =⋅求数列{}n c 的前n 项和n S .(3)设{}n b 的前n 项和为n T ，求n a T 19．(1)若圆M 的圆心在直线1y x =-上，且圆M 过点(0,1)A ，B ，求圆M 标准方程(2)已知直线0mx ny c ++=和圆O ：221x y +=交于A ，B 两点，且O 到此直线的距离为12，求OA OB ⋅的值.(3)两圆1C ：222240x y ax a +++-=和2C ：2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且0ab ≠，求2211a b +的最小值.20．如图，椭圆22221x y a b +=（0a b >>为A ，B ，C ，D ，且||2AB =.(1)求椭圆的方程；(2)P是椭圆上位于x轴上方的动点，直线CP，DP与直线l：4x=分别交于G、H两点.若||4GH=，求点P的坐标；(3)直线AM，BM分别与椭圆交于E，F两点，其中点1,2M t⎛⎫⎪⎝⎭满足0t≠且t贡若BME面积是AMF面积的5倍，求t的值.参考答案：1．B【分析】由图中求出直线l 的倾斜角，再根据斜率公式求出直线l 的斜率.【详解】如图，直线l 的倾斜角为30°，tan30°=l .故选：B.2．D【分析】由向量a b ∥可得21342x-==-，从而得出答案.【详解】由a b ∥，则21342x-==-，则6x =-故选：D 3．D【分析】由a1，a3，a4成等比数列，可得23a =a1a4，再利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．【详解】∵a1，a3，a4成等比数列，∴23a =a1a4，∴21(22)a +⨯=a1•（a1+3×2），化为2a1=-16，解得a1=-8．∴则S9=-8×9+982⨯×2=0，故选D ．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．A【分析】首先设点(),,2C x y x ≠±，根据条件列式，再化简求解.【详解】设(),,2C x y x ≠±，2AC BC k k ⋅=，所以222y y x x ⋅=+-，整理为：22148x y -=，2x ≠±，故选：A 5．B【分析】连接DE 由中位线性质可知12DE b =-；利用空间向量的加减法和数乘运算可表示出结果.【详解】连接DE ,D ，E 分别是BC ,PC 的中点111222DE BP PB b∴==-=-()1111122444EF DF DE DA DE AD DE AB AC DE AB AC DE∴=-=-=--=-+-=---()()1111111144442244EF AB AC DE PB PA PC PA PB PA PB PC∴=---=----+=+-PA a = ，PB b =，PC c = 111111244244EF PA PB PC a b c∴=+-=+- 故选：B 6．D【分析】作出抛物线的准线，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ，连接AC 、BD ，过B 作BE ⊥AC 于E.由抛物线的定义结合题中的数据，可算出Rt △ABE 中，cos ∠BAE 12=，得∠BAE ＝60°，即直线AB 的倾斜角为60°，从而得到直线AB 的斜率k 值.【详解】作出抛物线的准线l ：x ＝﹣1，设A 、B 在l 上的射影分别是C 、D ，连接AC 、BD ，过B 作BE ⊥AC 于E.∵AF = 3FB，∴设AF ＝3m ，BF ＝m ，由点A 、B 分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得AC ＝3m ，BD ＝m .因此，Rt △ABE 中，cos ∠BAE 12=，得∠BAE ＝60°所以，直线AB 的倾斜角∠AFx ＝60°，得直线AB 的斜率k ＝tan 60°=故选：D.【点睛】本题给出抛物线的焦点弦被焦点分成3：1的比，求直线的斜率k ，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质，直线的斜率等知识点，属于中档题目.7．C【分析】确定直线:20l kx y --=恒过定点(0,2)-，确定曲线1C x -表示圆心为(1,1)，半径为1，且位于直线1x =右侧的半圆，包括点(1,2),(1,0)，由直线与圆位置关系解决即可.【详解】由题知，直线:20l kx y --=恒过定点(0,2)-，曲线1C x -表示圆心为(1,1)，半径为1，且位于直线1x =右侧的半圆，包括点(1,2),(1,0)，当直线l 经过点(1,0)时，l 与曲线C 有2个交点，此时2k =，不满足题意，直线记为1l ，当直线l 经过点(1,2)时，l 与曲线C 有1个交点，此时4k =，满足题意，直线记为3l ，如图，当直线l1=，解得43k =，直线记为2l ，由图知，当24k <≤或43k =，l 与曲线C 有1个交点，故选：C 8．C【分析】根据图形的几何特性转化成双曲线的,,a b c 之间的关系求解.【详解】设另一焦点为2F ，连接2PF ，由于1PF 是圆O 的切线，则OQ a =，且1OQ PF ⊥，又Q 是1PF 的中点，则OQ 是12F PF △的中位线，则22PF a =，且21PF PF ⊥，由双曲线定义可知14PF a =，由勾股定理知2221212F F PF PF =+，2224416c a a =+，225c a =，即224b a =，渐近线方程为a y x b=±，所以渐近线方程为12y x =±．故选C.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，属于中档题.9．B【分析】设椭圆的焦距为2c ，双曲线的实轴长为2a ，根据双曲线的定义及双曲线的离心率的取值范围求出c 的范围，进而可得出答案.【详解】解：设椭圆的焦距为2c ，双曲线的实轴长为2a ，则1222F F PF c ==，双曲线的半实轴长为12502PF PF a c -==->，则05c <<，又双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以125c ca c <=<-，所以51023c <<，所以20523c <<，即该椭圆的焦距的取值范围是205,3⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.10【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】抛物线28y x =的焦点为(2,0)，双曲线2213yx -=的渐近线方程为y =，利用点到直线的距离公式可得：d =11．20x +=或724140x y ++=【分析】按切线斜率存在不存在分类讨论，利用点到直线的距离求解.【详解】由题意得圆C ：22(2)(3)16x y -+-=，圆C 是以()23，为圆心，4为半径的圆．当直线的斜率不存在时，2x =-，与圆相切，满足题意，当直线斜率存在时，可设切线l 的方程为()2y k x =+．由圆C 到直线l的距离等于半径，可得4d ==．解得724k =-．所以切线方程为20x +=或724140x y ++=．故答案为：20x +=或724140x y ++=．12【分析】先求出平面ACD 的法向量n，则点B 到平面ACD 的距离是BA n n ⋅.【详解】由题可得()()121220,,，,,AC AD =-=，则设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则20220n AC x y z n AD x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取()1,1,1n =--.又()222,,BA =-- ，则点B 到平面ACD的距离BA nd n ⋅===13．1-【分析】由椭圆离心率和,,a b c 关系可得,a b 关系，再由点差法和中点坐标公式、两点的斜率公式可得所求值.【详解】解：由题意可得c e a ==a =，设()()1122,,,A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b-+-++=，AB 的中点为(3,2)M ，12126,4x x y y +=+=∴，则直线斜率212122121226134y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯=--+.故答案为：1-.14．1【分析】通过双曲线的定义得PA PQ PQ PF +=++【详解】解：设双曲线2213x y -=的右焦点为()20F ，，圆()2221x y +-=的圆心为()02M ，，如图所示：由双曲线的定义得PA PF -=，所以PA PF =，所以2221PA PQ PQ PF FQ FM MQ +=+++-+，当且仅当P ，Q 分别为线段FM 与双曲线的右支，圆的交点时取等号．故PA PQ +的最小值为1．故答案为：1．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线的定义，双曲线的性质和几何意义，点与圆的位置关系，属于中档题．在解决线段的和或差的最值，常运用圆锥曲线的定义，化曲为直得以解决.15．4±【解析】设2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0t >，则214t PF PM ==+，PH =由PH =，可得2840t t -+=，解得4t =±即可求解．【详解】解：由抛物线C ：24y x =，得焦点()1,0F ，准线方程为 1.x =-过P 作PM 垂直准线于M ，设2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0t >，则214t PF PM ==+，PH =由PH =，可得2840t t -+=，解得4t =±．则PFH ∆的面积为1242t ⨯⨯=±故答案为：4±【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．16．（1）12a =；（2）240x y --=；（3）ππ0,π42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【分析】（1）根据两直线垂直的公式求解即可；（2）设3:l 20x y a -+=，再根据截距求解即可；（3）根据倾斜角与斜率的关系可得tan 1α≤，再根据倾斜角的范围求解即可.【详解】（1）因为12l l ⊥，故()1230a a ⨯-+=，解得12a =；（2）设3:l 20x y a -+=，因为纵截距是2-，故()0220a -⨯-+=，解得4a =-.故3:l 240x y --=；（3）直线l 的斜率为221112m m -=--，因为20m ≥，故211m -≤，则tan 1α≤.因为[)0,πα∈，故ππ0,,π42α⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎣⎦⎝⎭17．(1)见解析(2)23(3)存在M ，且23DM DP =.【分析】（1）过A 作AE CD ⊥于E ，以A 为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量和直线AN 的向量，从而可证明线面平行.（2）求出平面PAD 的法向量，利用向量求夹角公式解得.（3）令DM DP λ=，[0,1]λ∈，设(),,M x y z ，求出CM ，结合已知条件可列出关于λ的方程，从而可求出DMDP的值.【详解】（1）过A 作AE CD ⊥，垂足为E ，则1DE =，如图，以A 为坐标原点，分别以AE ，AB ，AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,1,0B，()E，()1,0D -，()C ，()0,0,1P ，N Q 为PD的中点，11,22N ⎫∴-⎪⎭，则11,22AN ⎫=-⎭ ，设平面PBC 的一个法向量为(),,m x y z = ，(0,1,1)BP =-，BC =，则00m BP y z M BC ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，，，令1y =，解得：()0,1,1m = .11022AN m =∴⋅=-+uuu r r ，即AN m ⊥uuu r u r ，又AN ⊄平面PBC ，所以//AN 平面PBC ．（2）设平面PAD 的一个法向量为(,,)n a b c =，(0,0,1)AP =，1,0)AD =- ，所以00AP n c AD n b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1a =，解得(1,n =r .所以2cos ,3m n m n m n⋅==⋅u r ru r ru r r .即平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为23.（3）假设线段PD 上存在一点M ，设(,,)M x y z ，DM DP λ=，[0,1]λ∈.(1,)(x y z λ-+=-Q，,1,)M λλ∴-，则(,2,)CM λλ=--又直线CM 与平面PBC ，平面PBC 的一个法向量()0,1,1m =CM m CM m ⋅=uuu r uuu u r r u r ，化简得22150240λλ-+=，即()()327120λλ--=，[0,1]λ∈ ，23λ∴=，故存在M ，且23DM DP =.18．(1)2n n a =，21n b n =+；(2)1(21)22n n S n +=-⋅+；(3)21222n n n n a T T +==+．【分析】（1）由等差数列的基本量法求得公比q 后可得n a ，再计算得n b ；（2）由错位相减法求和；（3）由等差数列的前n 项和公式计算．【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，则由已知得22222a a q a q =-，20a ≠，则220q q --=，2q =或1q =-（舍去），∴1222n n n a -=⨯=，212log 221nn b n =+=+；（2）(21)2nn n n c a b n ==+⋅，23252(21)2n n S n =⨯+⨯+++⋅ ，∴23123252(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅++⋅ ，相减得231322(222)(21)2n n n S n +-=⨯++++-+⋅ 1114(12)62(21)22(12)212n n n n n -++-=+⨯+⋅=-+-⋅-，∴1(21)22n n S n +=-⋅+；（3）由（1）21n b n =+，2n n a =，2122(3221)35(221)222n n n n nn na T T ++⨯+==+++⨯+==+ ．19．(1)()2214x y ++=(2)12-(3)1【分析】（1）设圆心(),1M a a -，由MA MB =求出a ，可得圆心和半径，从而得到答案；（2）根据O 到此直线的距离为12，得到2π3AOB ∠=，再由数量积公式计算可得答案；（3）由圆和圆的位置关系判断出两圆外切，得到2249a b +=，再由基本不等式求解可得答案.【详解】（1）设圆心(),1M a a -，由MA MB ==，解得0a =，所以()0,1M -2=，圆M 标准方程为()2214x y ++=；（2）因为O 到此直线的距离为12，所以112sin 12∠==OAB ，所以π6∠=∠=OAB OBA ，即2π3AOB ∠=，1== OA OB ，所以1cos 2⋅=⋅∠=- OA OB OA OB AOB ；（3）圆1C ：()224x a y ++=，圆心()1,0C a -，半径为2，圆2C ：()2221x y b +-=，圆心()20,2C b ，半径为1，因为两圆1C 和2C 恰有三条公切线，所以两圆外切，所以123C C =3=，整理得2249a b +=，因为a ∈R ，b ∈R ，且0ab ≠，所以()222222222211111145994⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎝⎭⎝⎭a b a b a b b a a b()11559419⎛≥+=+= ⎝，当且仅当22224=a b a b即223,32==b a 时等号成立.所以2211a b+的最小值为1.20．(1)2214x y +=(2)()0,1P 或83,55P ⎛⎫⎪⎝⎭(3)1t =±【分析】（1）根据短轴，离心率的定义与椭圆的基本量的关系求解即可.（2）设直线CP 的方程为()()2,0y k x k =+>，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出点P 的坐标，从而得到点,G H 的坐标，根据4GH =列出方程即可得到结果.（3）分别设直线AM ,直线BM 的方程,联立椭圆的方程,再利用三角形的面积公式表达出BME 面积是AMF 面积的5倍,再代入韦达定理求解即可.【详解】（1）由题意可知22222c e a AB b a b c ⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得222413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为2214x y +=（2）设直线CP 的方程为()()2,0y k x k =+>由()42x y k x =⎧⎨=+⎩得()4,6G k 联立直线CP 的方程与椭圆方程()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222214161640k x k x k +++-=设()00,P x y ，则()202164214k x k --=+，所以20022284,1414k kx y k k -==++，即222284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭又因为()2,0D ，所以2224142821414DPkk k k k k --+-+==，所以直线DP 的方程为()124y x k =--，由()1244y x k x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩得14,2H k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1642GH k k =+=，因为0k >，所以12k =或16从而得()0,1P 或83,55P ⎛⎫⎪⎝⎭（3）∵()0,1A ,()0,1B -,1,2M t ⎛⎫⎪⎝⎭,且0t ≠,∴直线AM 的斜率为112k t =-,直线BM 斜率为232k t=,∴直线AM 的方程为112y x t =-+,直线BM 的方程为312y x t=-,由2214112x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得()22140t x tx +-=,∴0x =,241t x t =+,∴22241,11t E t t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,由2214312x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()229120t x tx +-=,∴0x =,2129t t x =+,∴222129,99t t F t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭；∵1sin 2AMF S MA MF AMF =∠ ,1sin 2BME S MB ME BME =∠ ,AMF BME ∠=∠,5AMF BME S S =△△,∴5MA MF MB ME =,即5MA MB MEMF=,又t 贡∴22541219t tt t t t tt =--++,整理方程得：()22519t t +=+,解得：1t =±.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.。
2010-2023历年河南省郑州市第四十七中学高一第一次月考数学试卷(带解析)
2010-2023历年河南省郑州市第四十七中学高一第一次月考数学试卷（带解析）第1卷一.参考题库(共10题)1.若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2.已知函数是R上的增函数，则的取值范围是（）A．≤＜0B．≤≤C．≤D．＜03.（10分）已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．（Ⅰ）现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；（Ⅱ）求出函数的解析式和值域．4.设,则 .5.设非空集合{x|a≤x≤b}满足：当x∈S时，有x2∈S,给出如下三个命题：①若a=1，则S={1}②若，则；③若，则。
其中正确命题是6.若函数是偶函数，则的递减区间是 .7.下列各组函数是同一函数的是（）①与；②与；③与；④与。
A．①②B．①③C．③④D．①④8.已知,则。
（指出范围）9.已知集合A＝{x|x＜}，B＝{x|1＜x＜2}，且，则实数的取值范围（）A．≤2B．＜1C．≥2D．＞210.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为（）A．B．C．D．第1卷参考答案一.参考题库1.参考答案：B试题分析：先将不等式进行变形得,要是其对任意均成立,分两种情况或,当-4<0,符合题意; 当时,应满足且，解得，综上的取值范围是考点：一元二次不等式的恒成立问题。
2.参考答案：B试题分析：函数的对称轴,要是函数在R上是增函数,则应满足,,且,解得≤≤.考点：函数的单调性.3.参考答案：（Ⅰ），的递增区间是（﹣1，0），（1，+∞）．；（Ⅱ），值域为。
试题分析：（Ⅰ）根据函数为偶函数，其图象关于y轴对称，可将其图像补充完整，再从图像上分析出其递增区间；（Ⅱ）通过分析可用分段函数的形式表示出函数的解析式，根据函数为偶函数，设，则﹣x＜0，因为题目中已给出当时，，求出当时，，对于函数的值域可通过分析图像得出。
试题解析：（Ⅰ）因为函数为偶函数，故图象关于y轴对称，补出完整函数图象如图.所以的递增区间是（﹣1，0），（1，+∞）．（Ⅱ）由于函数为偶函数，则又当时，．设x＞0，则﹣x＜0，所以时，，故的解析式为.由知的值域为。
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郑州市第47中学2010—2011学年下学期高二年级第二次月考试题数 学 （文科）考生注意：考试时间120分钟 满分150 请将选择题和填空题．．．．．．．的答案写在后面的答题卷上！ 一、选择题:（共12题，每题5分共60分）1. 集合}4|{2<=x x M 与}1|{≤=x x N 都是集合I 的子集,则图中阴影部分所表示的集合为( )A. }1|{≤x xB. }2|{<x xC. }22|{<<-x xD. }12|{≤<-x x2. 如图，已知AB 是⊙O 的弦，AC 切⊙O 于点A ，∠BAC=60°，则∠ADB 的度数为 ( ) A. 60°B. 120°C.140°D.150°3. 命题“x ∀∈R ，221x x -+≥0”的否定是 （ ）A ．x ∃∈R ，221x x -+≥0B ．x ∃∈R ，2210x x -+>C ．x ∃∈R ，2210x x -+< D ．x ∀∈R ，2210x x -+<4. 如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，PC=3，PB=1，则⊙O 的半径为 ( )A. 4B. 8C.9D.125. 下列有关命题的说法正确的是 （ ） A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“存在,R x ∈使得210x x ++<”的否定是：“对任意,R x ∈ 均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．6. 圆内接四边形ABCD 中，A ∠、B ∠、C ∠的度数比是2:3:6，则D ∠=（ ）． A ．67.5 B ．135 C ．112.5 D ．110I7. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，BF⊥CE 于F ，那么S △BF C :S 正方形ABCD =（ ）．A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：68.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( ) A .11cm B .33cm C .66cm D .99cm9.给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③∀x ∈R ，x 2-2x >0； ④∃x ∈R ，2x +1为奇数；以上命题的否定为真命题的序号依次是（ ） A ．①④ B ．①②④ C ．①②③④ D ．③10. 如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D ,且DB AD 3=,设COD θ∠=,则2tan 2θ＝( )A .13B .14C.4- D .310. 如图,用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的离心率为 ( )A . 21B . 22C . 23D . 3311如图，设P 为ABC ∆内一点，且AC AB AP 5152+=，则ABP ∆的面积与ABC ∆的面积之比等于（ ）．A ．15B ．25C ．35D ．1212. 如图，⊙O 与⊙P 相交于A ，B 两点，点P 在⊙O 上，⊙O 的弦BC 切⊙P 于点B ，CP 及其延长线交⊙P 于D ，E 两点，过点EABCPBCD ．PEF作EF ⊥CE 交CB 延长线于点F ．若CD =2，CBEF 的长为( ) A ．22 B ．32 C ．2 D ．3二、填空题： （共4题，每题5分共20分）13. 已知集合{}{}2|23,|2A x x x B x x =-<=≤，则AB =14. 已知，如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD=3，BC=7，点M ，N 分别是对角线BD ，AC 的中点，则MN 等于 .15. “m<14”是“一元二次方程x 2+x+m=0)(R m ∈有实数解”的 条件. 16. 非空集合G 关于运算⊕满足：①对于任意a 、b ∈G ，都有a ⊕b ∈G ；②存在G e ∈，使对一切G a ∈都有a ⊕e =e ⊕a=a ，则称G 关于运算⊕为融洽集，现有下列集合运算： ⑴G={非负整数}，⊕为整数的加法 ⑵G={偶数}，⊕为整数的乘法 ⑶G={平面向量}，⊕为平面向量的加法 ⑷G={二次三项式}，⊕为多项式的加法 其中关于运算⊕的融洽集有____________郑州市第47中学2010—2011学年下学期高二年级第二次月考试题数学（文科）答案卷A B C D M N一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
将答案填在横线上） 13． 14． 15． 16． 三、解答题:（本大题共6小题，共70分。
解答应写出证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知{}4||<-=a x x A ，{}3|2|>-=x x B . （I ）若1=a ，求B A ；（II ）若=B A R ，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分10分）如图所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =．过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D E ，，求的度数和线段AE 的长。
DAC ∠A19. （本小题满分12分） 己知△ABC 中，AB=AC , D 是△ABC 外接圆劣弧AC 上的点（不与点A , C 重合），延长BD 至E 。
(1)求证：AD 的延长线平分CDE ∠；(2)若030BAC ∠=，△AB C 中BC边上的高为2求△ABC 外接圆的面积．20.（本小题满分12分）设p :实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a ≠,:q 实数x 满足2260,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩（Ⅰ）若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）若p 是q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.B ADCFE21.（本小题满分12分）在ABC ∆中, 0040,100A B C ∠=∠=∠=,AD 平分A ∠交BC 于点D .证明:（1）AC CDAB DB= （2） AD CD AB +=22.（本小题满分14分）如图，已知C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G.（1）求证：CG 是⊙O 的切线； （2）若FB=FE=2，求⊙O 的半径．郑州市第47中学2010—2011学年下学期高二年级第二次月考试题数学（文科）答案卷一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
将答案填在横线上）13． (1,2]-14． 2 15． 充分非必要 16． ⑴⑵⑶二、 解答题 :（本大题共6小题，共70分。
解答应写出证明过程或演算步骤）18. （本小题满分10分）如图所示，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =．过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点D E ，，求和线段AE 的长。
如右图所示，由直径AB=6，3BC =知⊿OBC 为等边三角形，∴600=∠BDAC ∠A又∵直线L 过点C 与圆相切，∴∠DCA=060…………5分∴30=∠CAB ，∴300=∠ACO .∵ ⊥OC l ，AD ⊥l ，所以AD ∥OC .∴∠300=DAC ，600=∠EAO 。
连接OE ,于是⊿OAE 为等边三角形，故AE =3...……10分19. （本小题满分12分） 己知△ABC 中，AB=AC , D 是△ABC 外接圆劣弧AC 上的点（不与点A , C 重合），延长BD 至E 。
(1)求证：AD 的延长线平分CDE ∠；(2)若030BAC ∠=，△ABC 中BC边上的高2求△ABC 外接圆的面积．解：( 1 ）如图，设F 为AD 延长线上一点，∵A ，B ，C ， D 四点共圆，CDF ∠=ABC ∠ ， 又AB ＝AC ，∴ABC ACB ∠=∠，且ADB ACB ∠=∠， ∴ADB CDF ∠=∠，对顶角EDF ADB ∠=∠，故EDF CDF ∠=∠， 故AD 的延长线平分CDE ∠。
---------------5分.( 2）设O 为外接圆圆心，连接AO 交BC 于H ，则AH ⊥BC , 连接 OC ，由题意∠OAC ＝∠OCA =15，75ACB ∠=， ∴60OCH ∠=，设圆半径为r，则2r =+ 得：r= 2 ，故外接圆面积为4π。
---------12 分20.（本小题满分12分）设p :实数x 满足22430x ax a -+<,其中0a ≠,:q 实数x 满足2260,280.x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩（Ⅰ）若1,a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）若p 是q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.解：（Ⅰ）由22430x ax a -+<得(3)()0x a x a --<，当1a =时，解得1<3x <,即p 为真时实数x 的取值范围是1<3x <. ………2分由2260280x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩,得23x <≤,即q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤.……4分 若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<. …………………………6分B ADCFEBA O DCFEH(Ⅱ) p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ,且p ⇒/q ， …………………………8分 设A ={}()x p x , B ={}()x q x , 则A ⊃≠B ,又(2,3]B =,当0a >时，A =(,3)a a ；0a <时，()3,A a a =.所以当0a >时，有2,33,a a ≤⎧⎨<⎩解得12;a <≤ …………………………10分当0a <时，显然AB =∅，不合题意.所以实数a 的取值范围是12a <≤. 。
12分 21.（本小题满分12分）在ABC ∆中, 0040,100A B C ∠=∠=∠=,AD 平分A ∠交BC 于点D .证明:（1）AC CDAB DB= （2） AD CD AB +=证明: (1)由题意00020,60,120CAD BAD ADC ADB ∠=∠=∠=∠=…………2分在ABD ∆由正弦定理知:00sin sin 20sin sin120BD BAD AB ADB ∠==∠ ①同理0000sin sin 20sin 20sin sin 60sin120CD CAD AC ADC ∠===∠② …………4分由①、②可知A C C DA B D B=， …………6分 (2)在边AB 上截取AE AD =，连接DE ，因为020BAD ∠=, ∴080ADE AED ∠=∠= ,又0100C ∠=, ∴0180C AED ∠+∠=, ∴,,,A C D E 四点共圆. ………… 8分又∵020CAD BAD ∠=∠=, ∴ CD DE =(等角对等弦)，0080,40AED B ∠=∠=, ∴040BDE ∠=, 即 DE EB =，…………10分22.（本小题满分14分）如图，已知C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ， E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G.（1）求证：CG 是⊙O 的切线； （2）若FB=FE=2，求⊙O 的半径．(1)证明:如图，连接CB 、OC.∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°. ∵CH ⊥AB ，DB ⊥AB ， ∴△AEH ∽△AFB ，△ACE ∽△ADF ， ∴EH AE CEBF AF FD==. 又∵HE ＝EC ，∴BF ＝FD. F 是BD 中点，。