第三章圆复习课
1.垂径定理复习
在Rt △AOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米
3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，（即图中 CD，点O是CD的圆心），其中CD =600m，E为CD上一 点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m。求这段弯路的 半径。 C E
O
.
F
D
设弯路的半径为Rm,则OF =（R-90）m 1 OE⊥CD， CF CD 300(m) 2 根据勾股定理得： 解得：R 545 所以，这段弯路的半径为545m.
已知：⊙O中弦AB∥CD. C A
M
.O
D B
N 证明：作直径MN⊥AB. ∵AB∥CD，∴MN⊥CD. 则AM＝BM，CM＝DM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弦） AM－CM ＝ BM －DM ∴AC＝BD
⌒ ⌒
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
求证：AC＝BD
⌒
⌒
圆的两条平行弦所夹的弧相等
O
A
C
N
B
①直线MN过圆心 ③ AC=BC
②MN⊥AB ④弧AM=弧BM ⑤弧AN=弧BN
推论1.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平 分弦所对的两条弧。
推论1. (1)平分弦（不是直径） 的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧。 A
M
一个圆的任意两 C 条直径总是互相平分， 但是它们不一定互相 垂直。因此这里的弦 如果是直径，结论就 不一定成立。
九年级数学(下) 第三章 圆
垂径定理复习课
圆的轴对称性
M A D
圆是轴对称图形，
经过圆心的每一 条直线都是它的对称轴。
O
C
B
N
推论
在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧, 两条弦,两条弦的弦心距中,有一组量相等,那么它们所 对应的其余各组量都分别相等.
中考专题九年级下册第三章圆视图与投影复习课件
∴
=
解得AG=4
∴AB=4+2=6米
解法多样， G
D
E
M
本质相同
B
C
F
知识点二----平行投影
平行投影测物高
建立类似三角形
模型
物高、光线、影长
遇障碍，两次类似
解直角三角形
类似比，列比例式
解方程
例1 一根垂直于地面的标杆长为1米，它在地面上的影长为2米，
（3）同一时刻，小明想测量一棵树的高度，已知树的影子落在地
G
H
F
知识点二----中心投影
例2
中心投影测物高
身高1.6米的小明站在D处，测得他在路灯A下的影长
DE=1.5米，小明与路灯距离BD=4.5米，
小明前方5.5米处有棵小树，若测得小树影长FH=4米，且F、H在BE直线
上，则树高为
米
两次投影，两次类似
G
H
F
中心投影测物高
中心
投影
灯高
光线
物高
影长
测
物高
地上和斜坡上，如图所示。测得地面上的影长为8米，坡面上的影
3
长为2米．已知斜坡的坡角为30°，则树高为 5+
米
2
解法2：过点M作MH垂直BC于H，MG垂
直AB于G，则四边形BHMG是矩形
A
在Rt△MCH中 ∠MCH=30°，M=2
G
解法多样，
∴MH=1，CH= 3
本质相同
∴BG=MH=1，MG=8 + 3
上和斜坡上，如图所示。测得地面上的影长为8米，坡面上的影长
3
为2米．已知斜坡的坡角为30°，则树高为
浙教版九年级上第三章圆复习(1)课件ppt
.
C B O F A D E
D
O A C B E
8.已知:如图,AB,CD是⊙O直径,D是弧AE中点,AE与CD交于F, OF=3,则BE= .
9.如图,DE ⊙O的直径,弦AB⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则 CD= ,OC= .
10.已知⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16, 则弦AB与 CD的距离为 .
L2
L1
A
C
O E C B D
A O
F
E B
D
4.已知⊙O半径为2cm,弦CD长为 2 3 cm,则这条弦的中点到 这条弦所对的劣弧中点的距离为( ) A.1cm B.2cm C.
2 cm
D.
3 cm
.
6.在半径为2cm的圆中,垂直平分半径的弦长为 7.如图,⊙O直径AB和弦CD相交于点E,已知 AE=6cm,BE=2cm,∠CEA=30°,则CD长为
C
2, 3
O
A
F
B
7、如图， ⊙O中，直径为MN，正方形ABCD的 四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且 ∠POM=45° ，若AB=1，求该圆的半径。
P A M B D C O N
例２．已知:如图,ＡＢ是⊙Ｏ直径,AB=10,弦AC=8,D是弧AC 中点,求CD的长.
B
O
5
A
3 E 4 2
C
D2
5
1.已知:如图,⊙0直径是8cm,C是弧AB中点,弦AB,CD相交于 P,CD=
4 3 cm 求∠APC的度数
D O
E
A C P
F
B
2.已知:如图,⊙O半径OA=1,弦AB,AC的长分别是 求∠BAC的度数 D
北师大版 九年级数学下册 第三章 圆 专题课讲义 圆章节复习(解析版)
圆章节复习课前测试【题目】课前测试如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】；存在，DE=；y=（0＜x＜）．【解析】（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；（2）如图（2），存在，DE是不变的．连接AB，则AB==2，∵D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE=AB=；（3）如图（3），连接OC，∵BD=x，∴OD=，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE．∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==，∴OE=OF+EF=+=∴y=DF•OE=••=（0＜x＜）．总结：本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的性质，综合性较强，难度中等．【难度】4【题目】课前测试如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．【答案】OD=3；AE是⊙O的切线；【解析】（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AE为圆O的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣=3+﹣=．总结：此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：圆是九年级下册的内容，是初中几何三大模块（三角形、四边形、圆）之一，也是中考几何必考内容，包含与园有关的圆性质、与圆有关的位置关系及与圆有关的计算三部分，相比三角形与四边形，圆部分的知识点更多，需要记忆的概念和公式也就更多，另外它还要跟三角形和四边形结合，综合考查几何知识，难度骤然提升，解题思维更要灵活。
圆的认识教案
圆的认识教案.doc教案第一章：圆的基础概念1.1 教学目标：让学生了解圆的定义和基本属性。
学会用圆规和直尺画圆。
1.2 教学内容：圆的定义：一个平面上所有点到一个固定点的距离相等的点的集合。
圆心：圆的中心点，所有直径都相交于圆心。
半径：从圆心到圆上任意一点的距离。
直径：通过圆心，两端都在圆上的线段。
1.3 教学步骤：1. 引入圆的概念，展示圆的实物图片，引导学生思考什么是圆。
2. 讲解圆的定义和基本属性，让学生理解圆的特点。
3. 演示如何用圆规和直尺画圆，并让学生亲自动手实践。
4. 讲解圆心、半径和直径的概念，并展示图示。
5. 进行课堂练习，让学生运用所学知识。
教案第二章：圆的周长和面积2.1 教学目标：让学生学会计算圆的周长和面积。
2.2 教学内容：圆的周长公式：C = 2πr，其中C表示周长，r表示半径，π表示圆周率（约等于3.14）。
圆的面积公式：A = πr²，其中A表示面积，r表示半径，π表示圆周率（约等于3.14）。
2.3 教学步骤：1. 回顾圆的定义和基本属性，引导学生思考圆的周长和面积的计算方法。
2. 讲解圆的周长公式和面积公式，让学生理解公式的含义。
3. 进行课堂练习，让学生运用所学知识计算圆的周长和面积。
教案第三章：圆的弧和扇形3.1 教学目标：让学生了解圆的弧和扇形的概念。
3.2 教学内容：圆的弧：圆上任意两点之间的部分。
圆心角：以圆心为顶点的角，其两边分别是圆的弧。
扇形：由圆心角和与圆心角的两边相交的圆弧所围成的图形。
3.3 教学步骤：1. 引入圆的弧和扇形的概念，展示图示，引导学生思考它们的特点。
2. 讲解圆的弧和扇形的定义，让学生理解它们的关系。
3. 进行课堂练习，让学生运用所学知识。
教案第四章：圆的位置和运动4.1 教学目标：让学生了解圆的位置和运动。
4.2 教学内容：圆的位置：圆心在平面上确定圆的位置。
圆的运动：圆可以沿平面上的直线平移，也可以绕圆心旋转。
北师大版初中数学九下第三章圆教案
北师大版初中数学九下第三章圆教案圆是一种几何图形，指的是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合，是初中九年级的数学学习重点内容，下面店铺为你整理了北师大版初中数学九下第三章圆教案，希望对你有帮助。
北师大版数学九下圆教案：圆的有关性质教学过程：一、复习旧知：1、角平分线及中垂线的定义(用集合的观点解释)2、在一张透明纸上画半径分别1cm，2cm，3.5cm的圆，同桌的两个同学将所画的圆的大小分别进行比较(分别对应重合)。
并回答：这些圆为什么能够分别重合?并体会圆是怎样形成的?二、讲授新课：1、让学生拿出准备好的木条照课本演示圆的形成，用圆规再次演示圆的形成。
分析归纳圆定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。
注意：“在平面内”不能忽略，以点O为圆心的圆，记作：“⊙O”，读作：圆O2、进一步观察，体会圆的形成，结合园的定义，分析得出：① 圆上各点到定点(圆心)的距离等于定长(半径)② 到定点的距离等于定长的点都在以定点为圆心，定长为半径的圆上。
由此得出圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
例如，到平面上一点O距离为1.5cm的点的集合是以O为圆心，半径为1.5cm的一个圆。
3、在画圆的过程中，还体会到圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内。
圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。
同样有：圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。
4、初步掌握圆与一个集合之间的关系：⑴已知图形，找点的集合例如，如图，以O为圆心，半径为2cm的圆，则是以点O为圆心，2cm长为半径的点的集合;以O为圆心，半径为2cm的圆的内部是到圆心O的距离小于2cm的所有点的集合;以O为圆心，半径为2cm的圆的外部是到圆心O的距离大于2cm的点的集合。
⑵已知点的集合，找图形例如，和已知点O的距离为3cm的点的集合是以点O为圆心，3cm长为半径的圆。
【中考小复习配套课件】北师大九年级下第三章圆
周角的2倍，得∠O＝2∠B＝44°，又因为
AB∥CO，所以∠A＝∠O＝44°.
数学·新课标（BS）
下册第三章复习（二）┃ 考点攻略
方法技巧 圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系， 因此， 最终实现 了圆中的角( 圆心角和圆周角) 的转化， 从而为研究圆的性质提供了有 力的工具和方法．当图形中含有直径时， 构造直径所对的圆周角是解 决问题的重要思路．在证明有关问题中注意 90°的圆周角的构造．
(3)圆锥侧面积为 πrl .
[点拨] 圆锥的侧面展开图的形状是扇形，它的半径等于圆 锥的母线长，它的弧长是圆锥底面圆的周长．
数学·新课标（BS）
下册第三章复习（二）┃ 考点攻略
┃考点攻略┃
► 考点一
例1
确定圆的条件
如图X3－6，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，
B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(
“同弦或等弦”．
6．确定圆的条件 不在同一直线上的三个点确定一个圆． 7．三角形的外接圆
数学·新课标（BS）
下册第三章复习（二）┃ 知识归类 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接 圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角 形的 外心 . 8．直线与圆的位置关系 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
数学·新课标（BS）
下册第三章复习（二）┃ 考点攻略 ► 考点二 垂径定理及其推论
例2 如图X3－7，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点， 且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为( D )
A．5 cm
B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm
数学·新课标（BS）
下册第三章复习（二）┃ 考点攻略
在Rt△ABC中，∠A＝30°，直角边AC＝6 cm，以C为圆 心，3 cm为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是________． 相切
九年级数学上册-第3章 对圆的进一步认识 复习课件-青岛版
∵
l 2πR
=
n 360
,
S扇形 πR2
=
n 360
,
∴l
=
nπR 180
, S扇形
=
n 360
πR2
这样就不至于因死记硬背而出错。
将弧长公式代入扇形面积公式中，立即得到用弧长
和半径表示的扇形面积公式：
S扇形
=
1 2
lR
这一公式与三角形面积公式酷似。为了便于记忆， 只要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l看成底、R看
• 3、熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用； 理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积 和全面积的计算。
【重难点】
重点
1、垂径定理； 2、与圆有关的位置关系； 3、弧长公式和扇形面积公式的应用。
难点
1、垂径定理； 2、切线的性质与判定。
【知识网络】
圆的基本性质
圆的对称性
轴对称 中心对称
与圆有关的角的性质
（2）若⊙O的半径为 3，DE 3，求AE。
A
23
O
E
B
D
6
方法总结： 1、如果已知直线与圆有 交点，常连接圆心与交 点，再证明连线垂直于 半径即可；
2、如果不明确直线 与圆的交点，往往要作 出圆心到直线的垂线段，
C 再证明这条垂线段等于
半径即可。
【巩固练习】
1、如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，则 在不添加辅助线的情况下，求出图中与∠CDB相 等的角 ∠CAB ∠BAD ∠BCD
B
O
A
【布置作业】
1、如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则
⊙O的半径等于（ B）
A.8