量子力学义IV表象理论(矩阵表述)
第五章量子力学的表象变换与矩阵形式
一维无限深势 阱能量表象中 能量的矩阵元
一维谐振子能 量表象中能量 的矩阵元
E1. 0 0
Emn
0
E2 0
3 2
Emn 0
0
5
2
0
0
在动量空间中，
算符F的矩阵元
FP'P
p'
(
x)
Fˆ
p
(x)dx
矩阵Fpp’是动量空间。矩阵F＝（Fmnδmn）称为对角矩阵 （diagonal matrix ）, 当Fmn=1, 称为单位矩阵（unit matrix）,表示为I＝(δmn).
p11
i
2a2
sin x cos xdx
2a
2a
p12
i
a2
sin x cos 2 xdx
2a
2a
p21
i
2a2
sin 2 x cos xdx
2a
2a
p22
i
a2
sin 2 x cos 2 xdx
2a
2a
Q在自身表象中的矩阵元
Qum (x) Qmum (x)
Qm为Q在自身空间中的的本征值
所以
a* n (t)an (t) 1
n
an 2 是对应力学量Q取不同能量本征值的几率
数列a1(t), a2 (t), a3(t),...an (t)..
可表示成一 列矩阵的形 式
a1(t)
a2 (t)
an (t)
其共轭矩阵
为一行矩阵
a*1(t), a*2 (t),... a*n (t),...
（1’）
在此坐标中，矢量A表示成
A A1e'1 A2e'2
量子力学的表象变换与矩阵形式
基矢变换的一个重要应用是求解量子力学中的本征值 问题。通过选择合适的基矢，可以将一个复杂的二次 型哈密顿量变为简单的形式，从而方便求解。
坐标表象与动量表象
01
坐标表象和动量表象是量子力学中最常用的两种表象。在 坐标表象中，波函数是坐标的函数，而在动量表象中，波 函数是动量的函数。
02 03
在坐标表象中，哈密顿量是一个关于坐标的二次型，而在 动量表象中，哈密顿量是一个关于动量的二次型。因此， 这两种表象适用于不同类型的问题。在求解一些与位置和 动量有关的物理问题时，选择合适的表象可以大大简化计 算过程。
表象变换
基矢变换
基矢变换的基本思想是通过线性组合的方式，将一组 旧的基矢变换为新的基矢。在量子力学中，这种变换 通常是通过一个可逆矩阵来实现的。
基矢变换是指在不同表象之间进行转换时，基矢的选 择会发生改变。在量子力学中，一个量子态由一个波 函数来描述，而波函数在不同的表象下会有不同的形 式。基矢变换就是用来描子计算
01
量子纠缠是量子力学中的一种现象，指两个或多个量子系统之 间存在一种特殊的关联，使得它们的状态无法单独描述。
02
量子纠缠在量子计算中具有重要作用，是量子并行性和量子算
法复杂性的基础。
利用量子纠缠，可以实现更高效的量子算法和量子通信协议。
03
量子通信与量子密码学
量子通信利用量子力学原理实现 信息的传输和保护，具有无条件
描述了密度矩阵的演化，其矩阵形式为密度矩阵与时间导数的乘积。
矩阵形式的测量与观测
量子测量
通过测量操作，将量子态投影到测量 算子的本征态上，其结果以概率的形 式给出。
观测结果
观测结果以概率分布的形式给出，反 映了量子态的测量结果与测量算子的 本征值的关联。
量子力学的矩阵形式和表象变换
§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换态和力学量算符的不同表示形式称为表象。
态有时称为态矢量。
力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换，因此可与代数中线性变换进行类比。
1、量子态的不同表象 幺正变换（1）直角坐标系中的类比取平面直角坐标系21X OX 其基矢（我们过去称之为单位矢）可表示为21,e e,见图其标积可写成下面的形式)2,1,(),(==j i e e ijj i δ我们将其称之为基矢的正交归一关系。
平面上的任一矢量A可以写为2211e A e A A +=其中),(11A e A =，),(22A e A=称为投影分量。
而),(21A A A = 称为A在坐标系21XOX 中的表示。
现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度，则单位基矢变为','21e e，且同样有)2,1,()','(==j i e e ijj i δ而平面上的任一矢量A此时可以写为 ''''2211e A e A A +=其中投影分量是),'('11A e A=，),'('22A e A =。
而)','(21A A A = 称为A在坐标系'X 'OX21中的表示。
现在的问题是：这两个表示有何关系？显然，22112211''''e A e A e A e A A+=+=。
用'1e 、'2e分别与上式中的后一等式点积（即作标积），有),'(),'('2121111e e A e e A A+= ),'(),'('2221212e e A e e A A+=表成矩阵的形式为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A由于'1e、1e及'2e、2e的夹角为θ，显然有⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ或记为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121)(''A A R A A θ 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθθcos sin sin cos )(R 是把A在两坐标中的表示⎪⎪⎭⎫⎝⎛''21A A 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛21A A 联系起来的变换矩阵。
第4章 量子力学的矩阵形式与表象变换
第4章 量子力学的矩阵形式与表象变换§1 量子态的不同表象态的表象 量子力学中态和力学量的具体表示方式研究表象的意义 根据不同问题选择不同表象，还可以进行表象变换。
一、坐标表象波函数ψ(x ,t ) 1、ψ(x ,t )2、dx t x 2),(ψ——表示体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，在x →x +d x 范围内找到粒子的几率，也就是说，当体系处在ψ(x ,t )所描述的态中，测量坐标x 这个力学量所得值在x →x +d x 这个范围内的几率。
3、2(,)1x t dx ψ=⎰4、动量为x p '的自由粒子的本征函数 xp ip e x ''=2/1)2(1)(πψ5、x 在坐标表象中对应于本征值x '的本征函数)(x x '-δ， 即，)()(x x x x x x '-'='-δδ 二、动量表象波函数 动量本征函数：pxip e x2/1)2(1)(πψ=组成完备系，任一状态ψ可按其展开(,)(,)()p x t c p t x dp ψψ=⎰ (1) 展开系数*(,)()(,)pc p t x x t dx ψψ=⎰ (2) ψ(x ,t )与c (p ,t )互为Fourier （付里叶）变换，一一对应关系，所不同的是变量不同。
认为c (p ,t )和ψ(x ,t )描述同一个状态。
ψ(x ,t )是这个状态在坐标表象中的波函数，c (p ,t )是同一个状态在动量表象中的波函数。
1、),(t p c ——状态波函数2、dp t p c 2),(表示体系处在c (p ,t )所描述的态中测量动量这个力学量p 所得结果为p →p +d p 范围内的几率。
3、1),(2=⎰dp t p c命题：假设ψ(x ,t )是归一化波函数，则c (p ,t )也是归一。
(在第一章中已经证明) 4、x p '的本征函数（具有确定动量x p '的自由粒子的态）若ψ(x ,t )描写的态是具有确定动量 p'的自由粒子态，即：1/21()(2)ip xp x eψπ''=则相应动量表象中的波函数：*(,)()(,)pc p t x x t dx ψψ=⎰()p i E te p p δ'-'=-所以，在动量表象中，具有确定动量p' 的粒子的波函数是以动量p 为变量的δ函数。
复旦量子力学讲义第四章矩阵力学基础表象理论
a
25
§4.2 矩阵力学表述
• 归一条件
a
26
§4.2 矩阵力学表述
• 本征值方程
a
27
§4.2 矩阵力学表述
a
28
§4.2 矩阵力学表述
a
29
§4.2 矩阵力学表述
➢矩阵力学提供了另一种与波动力学不同的求 本征值和本征函数的方案：
• 1)求解本征方程 • 2)使算符对应的矩阵对角化源自§4.3 么正变换a
45
§4.3 么正变换
➢一种新的求本征值的方案通过么正变换使 矩阵对角化？并不简易
a
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§4.3 么正变换
a
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§4.3 么正变换
➢么正变换不改变矩阵F的阵迹
a
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§4.3 么正变换
➢演化算符，含时间的么正变换
a
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§4.4 狄拉克符号
➢目的：引入一套矢量运算方法，不依赖于具 体的表象
• 动量表象：
a
6
§4.1 态和算符的表象表示
• 任意表象：
a
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§4.1 态和算符的表象表示
a
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§4.1 态和算符的表象表示
➢说明： • 列矩阵是在Q表象中的波函数 • Hilbert空间与普通空间的不同在于：复矢量、
可以是无穷维、空间维数＝本征函数系中本 征函数的个数 • 若某波函数刚好是Q的本征态，则将它按Q本 征态展开式中只有一项
第四章 矩阵力学基础 ——表象理论
复旦大学 苏汝铿
a
1
a
2
第四章 矩阵力学基础 ——表象理论
➢本章目的： ▪ 给出用各种方式平行描述体系状态、力学量
等方案－－表象 ▪ 找出不同表象之间的相互关系和变换规则－
量子力学讲义IV.表象理论（矩阵表述）
量⼦⼒学讲义IV.表象理论（矩阵表述）IV. 表象理论 ( 矩阵表述 )1．如何⽤矩阵表⽰量⼦态与⼒学量，并说明理由？答：矩阵表⽰⼀般⽤于本征值为离散谱的表象（相应的希尔伯空间维数是可数的）。
具体说，如果⼒学量的本征⽮为，相应本征值分别为。
假定⼀个任意态⽮为，将它展开For personal use only in study and research; not for commercial use则态⽮在表象中波函数便可⽤展开系数的⼀列矩阵表⽰其意义是：在态中，取的概率为，这与表象中波函数意义是类似的。
⼒学量⽤厄⽶⽅阵表⽰，。
显然，⼀列矩阵和⽅阵维数与希尔伯空间维数是相等的。
⽤矩阵表⽰⼒学量，有如下理由：第⼀可以反映⼒学量作⽤于⼀个量⼦态得到另⼀个量⼦态的事实。
设，式中，。
取，两端左乘，取标积得，即第⼆矩阵乘法⼀般不满⾜交换率，这恰好能满⾜两个⼒学量⼀般不对易的要求。
第三厄⽶矩阵的性质能体现⼒学量算符的厄⽶性。
对于本征值为连续谱的表象（希尔伯空间维数不可数），也可形式的运⽤矩阵表⽰，这时可将矩阵元素看成式连续分布的。
2.量⼦⼒学中，不同表象间：基⽮、波函数、⼒学量是如何变换的？答：量⼦⼒学中由⼀个表象到另⼀个表象的变换为⼳正变换，它类似于欧⽒空间中坐标转动。
设表象中的基⽮为表象中的基⽮为(1) 基⽮变换关系为式中，（为⼳正矩阵）。
设有任意态，则态在及表象中波函数分别为矩阵。
(2) 波函数变换规则为：矩阵。
(3) ⼒学量变换规则为：。
（式中与为⼒学量在、表象中矩阵）3.正变换有什么特征？答：⼳正变换特点：(1⼳正变换不改变态⽮的模，这⼀特征相当于坐标旋转变换；(2⼳正变换不改变⼒学量本征值；(3)⼒学量矩阵之迹 TrF与矩阵⾏列式 dgtF亦不因⼳正变换⽽改变．4. 学量在其⾃⾝表象中如何表⽰？其本征⽮是什么 ?答：如果⼒学量本征值为离散谱，那么，它在其⾃⾝表象中表⽰式为对⾓矩阵，为诸本征值。
本征⽮为单元素⼀列矩阵如果⼒学量本征值为连续谱，则它在其⾃⾝表象中为纯变量其本征⽮为函数。
量子力学第四章表象
第四章 表象理论4.1 态的表象变换和态的矩阵表示1．态的表象变换将F 表象中的态函数对力学量算符ˆQ 在F 表象中的本征函数组展开，则展开系数就是在Q 表象中的态函数。
这就是将F 表象中的态函数变换到Q 表象中的态函数的方法。
为了便于求出展开系数，通常要求ˆQ的本征函数组为幺正基组。
以从r 表象变换到Q 表象为例。
r 表象中的态函数为(,)r t ϕ [或()r ϕ]。
设ˆQ的本征值为分立谱Q n ，对应的本征函数为()n r φ 。
当各Q n 都无简并时，(,)r t ϕ 对()n r φ的展开式为：(,)()()n n nr t a t r ϕφ=∑（4.1-1） 若Q n 表示几个对易力学量算符本征值的集合，则上式中的n 应表示几个对应的量子数的集合。
当Q n 存在简并时，展开式为：(,)()()iiin n n r t a t r ϕφ=∑（4.1-2）其中i 为描写简并的角标。
下面只讨论无简并的情况。
在（4.1-1）式中，a n (t)是Q n 与t 的函数，a n (t)相当于a(Q n ,t)的简写。
当Q n 在整个展开系数中变动。
由于Q n 为分立谱，所以函数关系a n (t)-Q n 不是连续的。
a n (t)就是(,)r t ϕ 变换到Ｑ表象中的态函数。
例如，将r表象中的某态函数(,,)r ϕθϕ对2ˆL 与ˆzL 的共同本征函数组(,)lm Y θφ展开： 0(,,)()(,)llm lm l m lr C r Y ϕθφθϕ∞==-=∑∑ （4.1-3）上式相当于（4.1-1）式中的n 表示两个量子数lm 的集合。
上式中的()lm C r 就是在2L 与z L 共同表象中的态函数。
2．本征态的排序本征态的排序可以化为对应的本征值的排序。
若本征值无简并，则参与排序的本征值没有相同者；若本征值有简并，则参与排序的本征值有相同者，其相同本征值的个数应与该本征值的简并度相同。
量子力学 表象理论
⎞ ⎟ ⎟ 2 ⎟ 0 ⎟ 0 ⎟ i 1 − h E21t ⎟ e ⎟ 2 ⎟ 0 ⎟ ⎟ M ⎠ 1 e
i − E10t h
（9）
2 力学量算符在任意表象中的表示 力学量算符的具体形式应该与波函数的具体形式相对应， 以保证对波函数的作用有意义 ∧ ∂ 2.1 任意力学量算符 F ( x,−ih ) 在 Q 表象中的表示 ∂x
* Fnm = Fmn
（15） （16）
当 m = n 时，对角矩阵元
* Fmm = Fmm
即对角矩阵元为实数 （3）由共轭矩阵（转置取复共轭）的定义知 ~* + * Fmn = Fmn = Fnm = Fmn 这样的矩阵称为厄米矩阵 （4）算符 F 在自身表象中的矩阵为对角矩阵，即当 F = Q 时，有
∧
5
∧ v ∧ v v v v * v ( x) p′p′′ = ∫ u * p′ ( r ) xu p′′ ( r ) dr = ∫ u p′ ( r ) xu p′′ ( r )dr
=
v v v ( p′′ − p′ )⋅r v 1 ∂ ∂ v v h h ( i ) e dr = ih δ ( p ′ − p ′′) 3 ∫ ′ ′ ∂p x ∂p x (2πh)
共厄矩阵为
（4）
ψ + = a1* (t ) a 2 * (t ) L a n * (t )
2 2 n
(
)
（5）
体系的归一化条件 ∫ ψ ( x, t ) dx = ∑ a n (t ) = 1 写为矩阵形式为
ψ +ψ = 1
1.3 讨论
（6）
（1）Q 表象中状态的描述 {a n (t )}依赖于坐标表象中力学量 Q 的本征函数系 {u n ( x)}，每 一个 u n ( x) 必定给出ψ 在 Q 表象中的一个对应数 a n (t ) ，可见 几何空间坐标轴 ⇔ {u n ( x)} ⇔ Q 表象的基矢 几何空间中的矢量 ⇔ ψ ⇔ 态矢 态矢ψ 在 Q 表象基矢上的分量 {a n (t )}构成了ψ 在 Q 表象中的表示， 由于 {a n (t )}构 成的空间维数可以是无穷的，甚至是不可数的 ⇒ 希尔伯特空间（态空间） （2）对于连续谱，
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IV. 表象理论 ( 矩阵表述 )
1．如何用矩阵表示量子态与力学量，并说明理由？
答：矩阵表示一般用于本征值为离散谱的表象（相应的希尔伯空间维数是可数的）。
具体说，如果力学量的本征矢为，相应本征值分别为。
假定一个任意态矢为，将它展开
则态矢在表象中波函数便可用展开系数的一列矩阵表示
其意义是：在态中，取的概率为，这与表象中波函数意义是类似的。
力学量用厄米方阵表示
，。
显然，一列矩阵和方阵维数与希尔伯空间维数是相等的。
用矩阵表示力学量，有如下理由：
第一可以反映力学量作用于一个量子态得到另一个量子态的事实。
设，式中，。
取，
两端左乘，取标积得，
即
第二矩阵乘法一般不满足交换率，这恰好能满足两个力学量一般不对易的要求。
第三厄米矩阵的性质能体现力学量算符的厄米性。
对于本征值为连续谱的表象（希尔伯空间维数不可数），也可形式的运用矩阵表示，这时可将矩阵元素看成式连续分布的。
2.量子力学中，不同表象间：基矢、波函数、力学量是如何变换的？
答：量子力学中由一个表象到另一个表象的变换为幺正变换，它类似于欧氏空间中坐标转动。
设表象中的基矢为表象中的基矢为
(1) 基矢变换关系为
式中，（为幺正矩阵）。
设有任意态，则态在及表象中波函数分别为矩阵。
(2) 波函数变换规则为：矩阵。
(3) 力学量变换规则为：。
（式中与为力学量在、表象中矩阵）3.正变换有什么特征？
答：幺正变换特点：
(1幺正变换不改变态矢的模，这一特征相当于坐标旋转变换；
(2幺正变换不改变力学量本征值；
(3)力学量矩阵之迹 TrF与矩阵行列式 dgtF亦不因幺正变换而改变．
4. 学量在其自身表象中如何表示？其本征矢是什么 ?
答：如果力学量本征值为离散谱，那么，它在其自身表象中表示式为对角矩阵
，为诸本征值。
本征矢为单元素一列矩阵
如果力学量本征值为连续谱，则它在其自身表象中为纯变量
其本征矢为函数。
，对应本征值为。
5. 力学量的矩阵对角化含义是什么 ?
答：如果力学量的矩阵是非对角矩阵，则说明不是在其自身表象中表示，而是在某个其他表象
中的表示（表象以力学量的本征矢作为基矢）。
所谓将矩阵对角化，也就是将转换到其自身的表象中来，这样做的目的是求矩阵的本征值。
6．给定总能量算符，以表示其本征值和本征函数，态矢量 a简记为。
答：按照海森伯运动方程，力学量算符的时间变化率算符为：
（1）
定义能量表象中矩阵元
（2）
证明
（3）
其中
证明：满足本征方程
（4）
其共轭方程为
式（ 1）两端取能量表象中矩阵元，即得
此即式（ 3）。
7．设，证明求和规则。
（1）证明：利用算符的海森伯运动方程，可得
(2)
取矩阵元，利用上题的结果，即得
（3）
再利用基本对易式
（4）
在能量本征态下求平均值，即得
两端各乘，即得（1）式。
的另外两个分量和的矩阵元，显然也有同样的求和规则。
注意，式(1)中可以是任何一个特定的能级，则遍及所有能级。
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