第二章 数学基础
第二章 导数与微分教案
M (x0 , f (x0 )) 处的切线方程为 y f (x0 ) f (x0 )( x x0 )
如 果 f (x0 ) 0 ， 那 么 曲 线 y f (x) 在 点 M (x0 , f (x0 )) 处 的 法 线 方 程 为
y
f (x0 )
f
1 (x (x0 )
x0 )
3
例 4 求曲线 y x 2 的通过点（1，4）的切线方程．
《 数学基础 》教案
标题
2.1 导数的概念
【教学目的要求】掌握和理解导数的定义，可导与连续的关系，导数的几何意义
编号
【教学重点】可导与连续的关系，导数几何意义
【教学难点】导数的几何意义
【教学方法】讲授 实施步骤
【教学时数】 教学内容提要
时间
【课外作业】
1
教 学 内 容 （教 学 时 数： ） 一、 导数概念的引例
既然导数是比值 y 当 x 0 的极限，那么，下面两个极限 x
lim y lim f (x0 x) f (x0 ) ， lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x x0
x0
x
x x0
x0
x
分别叫做函数 y f (x) 在点 x0 处的左导数和右导数，且分别记为 f (x0 ) 和
8
sin 2 x 1 cos2 x
y
1 cos x
1 cos x 1 cos x
y (1 cosx) sin x
三、反函数求导法则 若函数 x ( y) 在某区间 I y 内可导、单调且( y) 0 ，则 它的反函数 y f (x) 在对应区间 I x 内也可导，且
f (x) 1 ( y)
备注：
八年级上第二章数学知识点
八年级上第二章数学知识点概述八年级上册第二章是数学知识点较多的一个章节，主要讲解了分式的乘除、分式的加减、分式的化简、分式方程、正比例函数、反比例函数等重要知识点。
这些知识对于学生掌握数学基础知识，尤其是在日常生活中运用数学的过程中非常重要。
一、分式的乘除分式是数学知识的一个重要部分，它在数学中有着广泛的应用。
在乘除分式的运算中，我们需要把分母相乘或相除，然后把分子相乘或相除，最后对结果进行合理化简。
这样可以得到我们所需要的简单分式。
在运算过程中，我们需要注意分母是否为零，以及如何简化分式使得答案更加准确。
二、分式的加减分式的加减是我们在日常生活中应用最多的运算，例如在购物、比价以及账户余额计算等方面都需要运用到分式的加减运算。
在分式的加减中，我们需要首先找到所有的公因数，然后对分子进行化简，最后得到运算结果。
在具体计算的时候，还需要注意分母是否为零的情况。
三、分式的化简分式的化简在求解数学问题时也是非常重要的一个环节。
在化简过程中，我们需要把分子、分母的公因式约掉，从而使得分数的形式简单化。
同时，在化简运算时，还需要注意约分的原则和方法。
四、分式方程分式方程在数学中也是一个非常基础的知识点。
在分式方程中，我们需要把一个分式的值与一个已知的数或其他分数相等，然后通过分式的加减、乘除运算把变量求出来。
在计算分式方程的过程中，我们需要注意多种情况的处理，例如分母为零的情况、公因式处理等。
五、正比例函数和反比例函数正比例函数和反比例函数是八年级上册第二章中的重点内容之一。
这两种函数可以解决很多实际问题，例如距离、体积、面积等计算。
正比例函数的特点是变量之间成正比例关系，而反比例函数的特点是变量之间成反比例关系。
在解决问题的过程中，我们需要首先确定函数的性质，然后运用相应的解题方法，最后得出问题的答案。
综上所述，八年级上册第二章数学知识点是一个十分重要的知识点。
学生应该仔细阅读、认真理解，并在课堂上积极参与讨论，加强对这些知识点的掌握。
应用数学基础 第二章-矩阵的相似标准形
记 f(x)= x n+ a1 x n-1 + + an-1 x + an，则 f(A)= A n+ a1 A n-1 + + an-1 A + an E
若 f()为的特征多项式，则 f(A)=0 .
( p60 Th2.11, Hamilton-Cayley定理 )
函数矩阵： 元素是函数的矩阵 多项式矩阵或-矩阵： 元素是的多项式的矩阵 如：方阵的A特征矩阵 E – A Note：多项式矩阵可以写成以矩阵为系数的多项式
Hint: 初等因子为 – 2，( + 1)2
cf. Mathematica示例 cf. Mathematica
例2.9 求矩阵A的Jö rdan标准形，其中
Hint: A1, A2初等因子分别为 i和 – 2，( – 1)2
示 例
19
§2.3 三、有理标准形
对任意的ni 次多项式 ()= 它的相伴矩阵Ci 定义为
特征值： f()= 0的根，即使 E – A为退化矩阵的数 特征向量：( E – A)X = 0的非零解 (为特征值) 谱：全部特征值的集合，记作(A)
有关特征值与特征向量的几个结论
2
§2.1－1
方阵的特征矩阵
矩阵多项式：以方阵 A代入一个多项式 f(x)的值，或者 说是 f(x)在 x = A处的值
15
§2.3 矩阵的相似标准形
一、矩阵相似的充分必要条件 定义2.8 设A, BCnn ，若存在可逆矩阵P Cnn ，使 P -1 A P = B , 则称A与B相似, 记作AB. 称 AB= P -1AP为相似变换， 称P为相似变换矩阵. 定理2.7 A, BCnn, A ~ B E – A E – B. Key
第2章 优化方法的数学基础
X ∈ D 对满足 ,
F ( X ) ( X X * ) ≥ 0
*
T
注意: 注意:
不论是无约束或有约束的优化问题,在实际应用中, 不论是无约束或有约束的优化问题,在实际应用中,要证明一个 优化问题是否为凸规划,一般比较困难, 优化问题是否为凸规划,一般比较困难,有时甚至比求解优化问题本 身还要麻烦.尤其对一些工程问题,由于其数学模型的性态都比较复 身还要麻烦.尤其对一些工程问题, 杂,更难实现.因此,在优化设计的求解中,就不必花精力进行求证, 更难实现.因此,在优化设计的求解中,就不必花精力进行求证, 而通常是从几个初始点出发,找出几个局部最优解, 而通常是从几个初始点出发,找出几个局部最优解,从中选择目标函 数值最好的解. 数值最好的解.
2 2
设: 则有
cos θ1 s≡ 为单位向量. 为单位向量. cos θ 2 F = F ( x0 )T s = F ( x0 ) cos(F , s ) x s 0
梯度方向是函数值变化最快的方向,而梯度的模 梯度方向是函数值变化最快的方向, 就是函数变化率的最大值 .
x2 x0
-f(x0) 最速下降方向 下降方向 变化率为零的方向 上升方向 f(x 0) 最速上升方向
凸规划的一些性质: 凸规划的一些性质: 1)可行域 D = X g j ( X ) ≤ 0
{
j = 1, 2, , m
}
为凸集; 为凸集;
2)凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解; 凸规划问题中的任何局部最优解都是全局最优解; 为凸规划问题 最优解的充分必要条件 规划问题的 可微, 3 ) 若 F ( X ) 可微 , 则 X* 为凸规划问题的 最优解的充分必要条件 为: 对任意
0
第2章 直线和圆的方程-2023年高考数学基础知识汇总(人教A版2019)(选择性必修第一册)
第2章 直线和圆的方程§2.1直线的倾斜角与斜率1.倾斜角与斜率：倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，以x 轴为基准，x 轴正向和直线l 向上的方向之间所成的角α叫直线的倾斜角，取值范围为0180α︒︒≤<.斜率：直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用k 来表示.斜率k 公式：如果直线经过两点()11122212(,),(,),P x y P x y x x ≠,则1212tan x x y y k --==α. 直线的方向向量：斜率为k 的直线的一个方向向量是()1,k ,若斜率为k 的直线的一个方向向量的坐标为(,)x y ，则y k x=. 2.两条直线平行和垂直的判定斜率分别为12k k ，的两条不重合的直线12,l l ，有1212//l l k k ⇔=.斜率分别为12k k ，的两条直线12,l l ，有12121l l k k ⊥⇔=-.§2.2 直线的方程1.直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=-（不能表示斜率不存在的直线）⑵斜截式：b kx y +=（不能表示斜率不存在的直线，b 是直线与y 轴的交点纵坐标（即y 轴上的截距）） ⑶两点式：1112122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠-- ⑷截距式：1x y a b+=（,a b 是直线在,x y 轴上的截距，且0,0a b ≠≠） ⑸一般式：0=++C By Ax （,A B 不同时为0） 2.给定直线方程判断直线的位置关系：（一）对于直线222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴⎩⎨⎧≠=⇔212121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ⇔≠；⑶1l 和2l 重合⎩⎨⎧==⇔2121b b k k ； ⑷12121-=⇔⊥k k l l .（二）对于直线:0l Ax By C ++=：（1）与直线:0l Ax By C ++=垂直的一个向量为(),A B ，平行的一个向量为(),B A -.（2）对于直线0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⎩⎨⎧≠=⇔1221122121//C B C B B A B A l l ； 1l 和2l 相交1221B A B A ≠⇔；0212121=+⇔⊥B B A A l l .§2.3直线的交点坐标与距离公式（1）两点间距离公式：已知111222(,),(,)P x y P x y ，则()()21221221y y x x P P -+-=.（2）点到直线距离公式： 00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d 为：2200B A CBy Ax d +++=.（3）两平行线间的距离公式： 1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 间的距离d 为：2221B A C C d +-=.§2.4 圆与方程1.圆的方程： ⑴标准方程：()()222r b y a x =-+-(其中圆心为(,)a b ，半径为r .) ⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x .(2240D E F +->).§2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系:（d 表示圆心到直线的距离） d r >⇔ 0⇔∆<相离;d r =⇔ 0⇔∆=相切;d r <⇔ 0⇔∆>相交.2.直线和圆相交弦长公式：222d r l -=（d 表示圆心到直线的距离）3.两圆位置关系：21O O d =（1）外离：r R d +>；（2）外切：r R d +=；（3）相交：r R d r R +<<-；（4）内切：d R r =-（R r >）；（5）内含：r R d -<（R r >.。
现代导航与制导技术 第二章 导航的数学基础
2.1 空间坐标系与转换
a.地心惯性坐标系(Earth-centered inertial ,ECI)
物理学上，惯性坐标系是指相对于宇宙的其他部分而言没 有加速度和转动的坐标系。在导航中，常用的是一个专门的惯 性坐标系——地心惯性坐标系。其定义为：
地心惯性坐标系以地球质心为 坐标原点，X轴指向春分点，Z 轴指向北极，Y轴和X轴、Z轴构 成右手坐标系。坐标轴如图2.1 所示。
图2.1 地心惯性坐标系的坐标轴
2.1 空间坐标系与转换
a.地心赤道惯性坐标系
原点在地心，基准面是赤道面，X轴从地心指向春分点，Z轴 指向北极。
此坐标系不固定在地球上，也不跟随地球转动。 相对于恒星是不转动的，地球相对于该坐标系旋转。 根据春分点的不同，又可定义：历元平赤道地心系（地心天球 坐标系）、瞬时平赤道地心系和瞬时真赤道地心系。
后两者随时间变化，对于描述卫星的长久的运动不方便，因此 常用历元平赤道地心系描述卫星运动。目前历元地心赤道坐标 系采用J2000.0惯性坐标系，平春分点历元为2000年1月1.5日。
2.1 空间坐标系与转换
➢由于地球自转轴的移动，极点的波动范围大概在一个半径为 15m的圆内，所以当需要精确定义一个坐标系时，必须考虑地 球极点的运动。采用IERS（国际地球自转与参考系统服务）参考 极点（IERS Reference Pole，IRP）或者协议地极（Convention Terrestrial Pole，CTP），CTP是在1900年到1905年间测量的极点 平均位置。
重点： 飞行器常用的坐标系及坐标转换； 时间统一系统； 空间飞行器位置参数的几何定义； 地球表面形态描述方法及地球重力场模型描述方法； 最优线性滤波理论与方法。
第二章 数学基础
2.1.3 位姿描述
要完全描述刚体B在空间的位姿,通常将物体B与某一坐 标系{B}相固接.{B}的坐标原点一般选在物体B的特征点 上,如质心等.相对参考系{A},坐标系{B}的原点位置和坐 标轴的方位,分别由位置矢量和旋转矩阵描述.这样,刚体 B的位姿可由坐标系{B}来描述,即有:
{B } = {
例2.2 试用齐次变换方法求解例2.1中的 P
A
3
2.3.2 平移齐次坐标变换
{B}分别沿{A}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离的平 移齐次变换矩阵写为:
1 0 Trans ( a , b , c ) = 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 a b c 1
n
o
θi
a
2.1 位置和姿态的表示
2.1.1 位置描述 在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置 (Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:
A
P = [ px
py
p z ]T
图2.1 位置表示
2.1.2 方位描述 空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此 物体的坐标系{B}的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相 对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素,不改变特性. 例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新矢量.
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 − 3 7 1 4 2 3 2 1 6 0 9 1
[例]: 例
v v v v V = 3i + 4 j + 5k
可以表示为： 可以表示为： V=[3 4 5 1]T 或 V=[6 8 10 2]T 或 V=[-12 -16 -20 -4]T
第2章 机器人运动学—数学基础[可打印版,含习题]
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式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是 一致的。因此我们有如下的结论：
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
H
=
Trans
(a
b
c)
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
b⎥⎥ c⎥
⎢⎣0 0 0 1⎥⎦
w′
o′ v′
u′
b
a
注意：平移矩阵间可以交换，
x
平移和旋转矩阵间不可以交换
z c
oy
2.2.4 相对变换
举例说明：
例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系 ∑0′做如下运动：①R(Z,90º) ②R（y,90º） ③Trans(4，-3, 7) ，求合成矩阵
反过来： Puvw = R −1 Pxyz
R−1 = R* det R
R∗为R的伴随矩阵，det R为R的行列式，由于R是正交矩阵，
因此R −1 = R T
2.2.2 旋转齐次变换
用齐次坐标变换来表示式（2-7）
⎡Px ⎤ ⎡
0⎤⎡Pu ⎤
⎢⎢Py
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
R
0⎥⎥⎢⎢
Pv
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎣
Pz 1
• 机器人可以用一个开环关节链来建模
• 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
• 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体
• 人们感兴趣的是操作机末端执行
n
器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述，也就是机器人的运动 学问题
• 机器人的运动学即是研究机器人
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例子:在动坐标中有一固定点 P 1 2 3 1 ,相对固定参考坐 标系 Oxyz 做如下运动:①Rot(x, 90);②Rot(z, 90);③Rot(y,90).求 点在固定参考坐标系 Oxyz 下的位置.
T
解1:用画图的简单方法
解2:用分步计算的方法
1 0 P' 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 1 2 3 0 0 3 2 1 1 1
例:动坐标系{B}中有一点 P i 2 j 3k ,此坐标系绕固定坐标系
绕x轴旋转90°,并沿z轴平移10个单位,沿y轴平移5个单位.求平移
旋转后该点相对于固定坐标系的坐标 .
1 0 A B P A T P B 0 0
0 0 0 1 2 0 1 5 1 0 10 3 0 0 1 1
例:动坐标系{B}中有一点 P i 2 j 3k ,此坐标系绕固定坐标系
绕x轴旋转90°.求旋转后该点相对于固定坐标系的坐标 A P .
1 0 A B B P A T P Rot x , 90 P B 0 0
0 0 0 1 1 0 0 0
0 1 0 2 0 3 1 1
n o
i
a
2.1 位置和姿态的表示
2.1.1 位置描述
在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置 (Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:
A
P [ px
py
p z ]T
图2.1 位置表示
2.1.2 方位描述 空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此 物体的坐标系 {B} 的三个单位主矢量 [xB,yB,zB] 相 对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.
或 V=[-12 -16 -20 -4]T
几个特定意义的齐次坐标: [0, 0, 0, ω]T—坐标原点矢量的齐次坐标,ω为任 意非零比例系数; [1 0 0 0]T—指向无穷远处的OX轴; [0 1 0 0]T—指向无穷远处的OY轴; [0 0 1 0]T—指向无穷远处的OZ轴.
为什么要引进齐次坐标,它有什么优点?
0.866 0.5 0 12 0.5 ; A p 6 A 0 R R ( z , 30 ) 0 . 866 0 B B0 0 1 0 0
0.902 12 11.908 6 13.562 7 . 562 0 0 0
A
A
y
A
z 1 , P x
B
A A BR BT 0 A
T B
B
y
z 1
T
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
A
P T P,
A B B
PB 0 (2-15,16) 1
齐次坐标
所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维 向量来表示.有一个特定的投影附加于n维空间,也可以把 它看作一个附加于每个矢量的比例系数.
这些旋转变换可以通过右图推导
A A A
p x p x cos p y sin
B B
p y B p x sin B p y cos pz B pz
A p x cos sin 0 B px A B p y sin cos 0 p y B A pz 0 0 1 p z
A B
R
A
xB
A
yB
A
zB
r11 r12 r13 r r r 21 22 23 r31 r32 r33
A B
R 表示刚体B相对于坐标系{A}的方位
A A
xB A xB A y B A y B A z B A z B 1 xB A y B A y B A z B A z B A xB 0
齐次变换矩阵,综合表示了平移变换和旋转变换的复合
2.3 齐次坐标变换
2.3.1 齐次变换
(2-13)式可以写为:
A A P B R 1 0 A
PB 0 B P 1 1
(2-14)
B
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
A
P x
1 0 R ( x, ) 0 c 0 s 0 c 0 s c 0 1 0 R ( z , ) s s R ( y , ) c s 0 c 0 s 0 c 0 0 1
例2.2 试用齐次变换方法求解例2.1中的 A P
3
2.3.2 平移齐次坐标变换
{B} 分别沿{A} 的 X、 Y、 Z 坐标轴平移 a、 b 、 c距离的平 移齐次变换矩阵写为:
1 0 Trans( a, b, c) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 a b c 1
①Rot(x, 90)
（2-1）
②Rot(z, 90)
③Rot(y, 90)
0 - 1 1 0 P '' 0 0 0 0 0 0 0 1 P ''' - 1 0 0 0
2.1.3 位姿描述
要完全描述刚体B在空间的位姿,通常将物体B与某一坐 标系{B}相固接.{B}的坐标原点一般选在物体B的特征点 上,如质心等.相对参考系{A},坐标系{B}的原点位置和坐 标轴的方位,分别由位置矢量和旋转矩阵描述.这样,刚体 B的位
A B
机器人的坐标变换主要包括平移和旋转变换 , 平移是矩 阵相加运算 , 旋转则是矩阵相乘 , 综合起来可以表示为 p’ = m1*p + m2(m1旋转矩阵,m2为平移矩阵,p为原向量,p’ 为变换后的向量).引入齐次坐标的目的主要是合并矩阵 运算中的乘法和加法,合并后可以表示为p' = M*p的形式. 即它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的 一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法.
R
A
pB0
图2.2 方位表示
2.2 坐标变换
2.2.1 平移坐标变换
坐标系 {A} 和{B} 具有相同的方位 , 但原点不重合 .则点P 在两个坐标系中的位置矢量满足下式:
A
P P PB0
B A
图2.3 平移变换
2.2.2 旋转坐标变换
坐标系{A}和{B}有相同的原点但方位不同,则点P的在两 个坐标系中的位置矢量有如下关系:
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素,不改变特性. 例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新矢量.
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 4 2 6 3 0 3 9 7 2 1 1 1
A
A B p B R p A p B 0
2.3 齐次坐标变换
2.3.1 齐次变换
(2-13)式的一般映射矩阵可以写为:
A px r11 A B A A P A py B R P PBO r21 A pz r31 r12 r22 r32 r13 B p x A pBOx B A r23 p p y BOy B A r33 p z pBOz r12 r22 r32 0 r13 r23 r33 0 pBOx B p x A p x A pBOy B p y A p y A A B pz pBOz pz 1 1 1
2.3.3 旋转齐次坐标变换
0 1 0 c 0 s c s 0 R ( y, ) 0 1 0 R ( z, ) s c 0 R ( x, ) 0 c s 0 1 0 s c s 0 c 0
A
B A
P R P
A B B
R R R
A B A B
1
T
B A
R 和
A B
R 都是正交矩阵,两者互逆.
图2.4 旋转变换
复合坐标变换
一般情况原点既不重和,方位也不同.这时有:
A A PB RB P A PB0
图2.5 复合变换
例2.1 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合,首 先{B}相对于{A}的ZA轴转30°,再沿{A}的XA轴 移动12单位,并沿{A}的YA轴移动6单位.求位置 矢量APB0和旋转矩阵BAR.设点p在{B}坐标系中 的位置为BP=[3,7,0],求它在坐标系{A}中的位置.
将上式增广为齐次式:
1 0 R ( x, ) 0 0 0 0 0 c c s 0 0 R ( y, ) s s c 0 0 0 1 0 0 1 0 0 s 0 c 0 0 c s 0 0 0 s c 0 0 R ( z , ) 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1
第2章 数学基础
Mathematic Preparation for Robotics 2.1 位置和姿态的表示 2.2 坐标变换 2.3 齐次坐标变换 2.4 物体的变换和逆变换 2.5 通用旋转变换
(1) 被抓目标物体的位置和 姿态的描述;(目标坐标系) (2) 末端执行器的位置和姿 态的描述;(工具坐标系) (3) 机器人运动刚体的位置 和姿态的描述;(动坐标系) (4) 这些坐标系与固定坐标 之间的转换关系.
这是绕Z轴的旋转. 其它两轴只要把坐标次序调换可得 上页结果.
旋转矩阵的几何意义: A (1) B R 可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标 系的姿态矩阵. A (2) B R 可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的 A R 可作为算子, 坐标 B p 变换成{A}中点的坐标 A p . B 将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.