倒推法
倒推法解题
?页
第二天第一天剩下60页余下的2
5全书的1
3?米
第三次用去19米
第二次用去的
第一次用去的最后剩下5米8米2米
余下的一半全长的一半倒推法解题
【本讲要点】
倒推法是指题目中只交代了发展过程和最后结果，要求最初状态的一类应用
题。
这既是重要的数学思想方法，也是培养我们数学思维必不可少的方面。
这一讲我们要学会用画线段图、列表法等解决较复杂的倒推法问题。
【例题与分析】
例1一本童话，小张第一天看了全书的13，第二天看了余下的2
5，还剩下
60页，这本书共有多少页？
思路分析：我们把线段图与倒推法结合起来，先画出线段图。
从图中可以看出，“剩下60页”占余下的1－25＝35。
第一天看后还剩下60÷35
＝100（页），又因为第一天看了全书的13
，那么这100页就占全书的1－13＝23，所以这本书共有100÷23
＝150（页）。
48÷（1－35）÷（1－13
）＝100÷23
=150（页）
答：这本书共有150页。
例2 一根绳子，第一次用去全长的一半多2米，第二次用去余下的一半少8米，第三次用去19米，最后还剩下5米，这根绳子原来有多少米？
思路分析：我们把线段图与倒推法结合起来，先画出线段图。
从图上可以看出，最后剩下的5米和第三次用去的19米合起来就是用完两次以后剩下的米数，用这个米数减去8米就得到第一次用后余下米数的一半，
乘以2就得到第一次用后余下的米数。
第一次用后余下的米数加上
2米就是整根绳子长度的一半，再乘2就得到绳子的全长。
《解决问题的策略-倒推》课件
题的途径。
02
倒推法的应用场景
倒推法适用于多种问题类型，如逻辑推理、数学计算、工程设计等。通
过逆向思考，可以帮助我们快速找到问题的关键所在，提高解决问题的
效率。
03
倒推法的解题步骤
倒推法的解题步骤包括确定目标状态、逆向分析条件、逐步推导解决方
案等。在实际应用中，需要根据问题的具体情况灵活运用。
学生自我评价与反思
《解决问题的策略-倒推》课件
目录
• 引言 • 倒推法基本原理 • 倒推法解题步骤与技巧 • 典型案例分析与实践演练 • 倒推法思维拓展与提升 • 课程总结与回顾
01 引言
课题背景与意义
现实生活中的问题复杂多变， 需要运用多种策略进行解决。
倒推法作为一种有效的解决策 略，能够帮助学生更好地理解 问题，提高解决问题的能力。
决策问题
在面临多个选择时，倒推 法可以帮助我们分析各种 选择的利弊，从而做出最 优决策。
倒推法与其他方法比较
与正向思维相比
正向思维是从已知条件出发，逐步推导到结果；而倒推法则是从结果出发，逆向推理到已 知条件。两者相辅相成，互为补充。
与试错法相比
试错法是通过不断尝试和错误来找到解决问题的方法；而倒推法则是通过逻辑推理来找到 解决问题的方法。试错法适用于问题空间较小、尝试成本较低的情况；而倒推法则适用于 问题空间较大、需要系统思考的情况。
与启发式方法相比
启发式方法是通过经验规则或者直觉来找到解决问题的方法；而倒推法则更注重逻辑性和 系统性。启发式方法适用于经验丰富、问题相对简单的情况；而倒推法则适用于需要深入 分析和思考的问题。
03 倒推法解题步骤与技巧
明确问题类型和求解目标
确定问题类型
倒推法解题
倒推法解题一、考点、热点回顾用倒推法解题，就是根据题目的叙述过程，从最后结果入手，采用倒推的方法，逐步找到题目的答案，采用倒推法解题时，原来加的用减，原来减的用加，原来乘的用除，原来除的用乘。
二、典型例题例1、某农妇有一筐鸡蛋，第一次卖出一半又半个，第二次卖出余下的一半又半个，第三次又卖出余下的一半又半个，这是筐里还剩下1个鸡蛋，问：筐里原来有多少个鸡蛋？例2、一瓶酒精，第一次倒出1/3，然后又倒回瓶中40克，第二次倒出瓶中剩下酒精的5/9，第三次倒出180克，瓶中还剩下60克，原来瓶中有多少克酒精？例3、一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了树上桃子的1/10，以后的8天每天偷吃当天树上的1/9,1/8,1/7，…，1/2，这时树上还剩下10个桃子，问：树上原来有多少个桃子？例4、甲、乙二人分16个苹果，分完后，甲将自己所得苹果数的1/3分给了乙，乙又将自己苹果数的1/3还给甲，最后甲又将自己现有苹果数的1/3分给了乙，这时两人苹果数恰好相等，问：最初甲分得多少个苹果？三、课堂练习1、有一堆桃子，第一只猴子拿走了这堆桃子的一半多半个，第二只猴子又拿走了剩下桃子的一半多半个，第三只猴子也拿走了剩下桃子的一半多半个，桃子正好被拿完，问：这堆桃子原来有几个？2、工地上有一堆沙子，第一次用去这堆沙子的一半多0.5吨，第二次用去剩下沙子的一半多0.5吨，第三次又用去剩下沙子的一半多0.5吨，这时工地上还有20吨沙子，工地上原来有多少吨沙子？3、小明的存钱盒中有一些钱，小明每次用去盒中钱数的一半多1元，这样一共用了5次，盒中还剩下4元钱，小明的存钱盒中原来有多少元？4、一瓶橘子汁，第一次倒出1/3后又倒回瓶中50克，第二次倒出瓶中剩下橘子汁的2/5，第三次倒出150克，这时瓶中还剩下120克，原来瓶中有橘子汁多少克？5、修一段公路，第一次修了全长的1/2多2千米，第二天修了余下的1/2少1千米，这时还剩下20千米没有修，这段公路长多少千米？6、一堆西瓜，第一次卖出总个数的1/4又6个，第二次又卖出余下的1/3又4个，第三次卖出余下的1/2又3个，这时正好卖完，这堆西瓜原来有多少个？7、一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了树上桃子的1/10，以后的8天每天偷吃当天树上的1/9,1/8,1/7，…，1/2，这时树上还剩下15个桃子，问：树上原来有多少个桃子？8、水缸中盛有满满的一缸水，妈妈第一天用去了缸中水的1/4，第二天用去了缸中水的1/3，第三天用去了缸中水的1/5，这时缸中还有水20千克，这缸水原来有多少千克？9、三位渔民在河中打了一些鱼，第一位渔民拿走了总数的1/5，第二位渔民拿走了剩下鱼的1/3，第三位渔民拿走了第二位渔民拿走后剩下的1/2，这时还剩下12条鱼，这三位渔民一共打了多少条鱼？10、甲、乙各有若干元钱，甲拿出1/5分给乙后，乙拿出现有钱的1/4给甲，这时他们各有180元钱，他们原来各有多少钱？11、A、B、C三个桶中各装有一些水，先将A桶中1/3的水倒入B桶，再将B桶中现有水的1/5倒入C桶，最后将C桶中现有水的1/7倒回A桶，这时三个桶中的水都是12升，问：三个桶中原来各有水多少升？12、三堆苹果共有48个，先从第一堆中拿出与第二堆个数相同的苹果放入第二堆，再从第二堆中拿出与第三堆个数相同的苹果放入第三堆，最后从第三堆中拿出与这时第一堆个数相同的苹果放入第一堆，结果三堆苹果个数完全相等，问：原来三堆苹果各有多少个？四、课后作业1、山顶上有棵橘子树，一只猴子偷吃橘子，它第一天偷吃了1/10，以后8天分别偷吃了当天现有橘子的1/9,1/8,1/7，…，1/2，偷吃了9天后，树上还留下了4个橘子，问：树上原有多少个橘子？2、筐子里有一些苹果，第一个人拿了苹果数的一半多半个，第二个人拿了第一个人拿后剩下苹果数的一半多半个，第三个人拿了第二个人拿后剩下苹果数的一半多半个，第四个人拿了第三个人拿后剩下的一半多半个，这时筐子里的苹果恰好拿完，且每个人拿到的苹果树都是整数个，问：原来筐子里一共有多少个苹果？3、袋中有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回1个球，一共这样做了5次，袋中还有3个球，问：袋中原来有多少个球？4、甲、乙两人各有若干元钱，甲拿出1/6给乙后，乙又拿出现有钱数的1/5给甲，这是他们各有240元，两人原来各有多少元？5、将48个苹果分给甲、乙两个小朋友，分完后，甲将自己所得苹果数的1/3分给乙，然后乙又将自己现有的苹果数的1/3还给甲，最后甲又将自己现有苹果数的1/3给了乙，这时两人苹果数恰好相等，问：最初甲分得多少个苹果？6、甲、乙、丙三人共有若干枚棋子，甲先拿出自己棋子数的1/2平分给乙、丙，然后乙拿出自己现有棋子数的1/3平分给甲、丙，最后丙把自己现有棋子数的1/4平分给甲、乙，这时三人的棋子数恰好相等，问：他们三人至少共有多少棋子？。
倒推法知识点总结
3.反证法：反证法是一种通过假设结论为假，然后推导出矛盾的逻辑推理方法。反证法要求推理者要通过推导出矛盾来证明结论为真。
以上是倒推法相关的一些常见概念，它们是倒推法的重要组成部分，对于倒推法的理解和应用具有重要意义。
1.数学领域：倒推法在数学领域中有着广泛的应用。在解决数学难题时，倒推法可以帮助数学家们从已知结论出发，逆向推导出问题的根本原因，从而找到解决问题的方法。例如，在证明一个数论问题时，可以先假设结论为假，然后推导出矛盾，从而证明结论为真。
2.物理领域：倒推法在物理领域中也有着重要的应用。在解决物理问题时，科学家们常常需要通过倒推法来确定问题的原因和规律，从而建立起科学理论和模型。例如，在研究地球的内部结构时，科学家可以通过地震波的传播速度和方向来推导地球的内部结构。
倒推法知识点总结
一、倒推法的基本原理
倒推法的基本原理是以结论为出发点，逆向推导出前提或原因。它是一种以反证法为基础的逻辑推理方法，要求从已推理过程通常包括以下几个步骤：
1.首先确定问题的结论或目标；
2.然后逆向推导，分析这个结论的前提条件或原因；
3.接着继续递归分析这些前提条件的前提条件，直至找出最根本的原因；
5.经济学领域：在解决经济问题时，倒推法也发挥着重要的作用。例如，在研究市场供需关系时，经济学家可以通过倒推法来分析市场价格和供给关系的变化，从而预测市场的发展趋势。
以上是倒推法在各个领域中的典型应用案例，可以看出倒推法在各个领域都有重要的作用，它是一种非常常用的推理方法。
三、倒推法的相关概念
1.正向推导：正向推导是一种从已知原因或前提来推导结论的逻辑推理方法。正向推导要求推理者要从已知的原因或前提出发，推导出结论或结果。
(完整版)倒推法解题
倒推法解题知识要点运用倒推法（还原法）解题的相应的“逆运算”是指：加法用减法还原，减法用加法还原，乘法用除法还原，除法用乘法还原，并且原来是加（减）几，还原时应为减（加）几，原来是乘（除）以几，还原时应为除（乘）以几。
对于一些比较复杂的还原问题，要学会列表，借助表格倒推，既能理清数量关系，又便于验算。
例1．某数加上6，乘以6，减去6，除以6，最后结果等于6，求某数。
解答：（6×6＋6）÷6－6=1例2．一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？解答：[（7+15－10）×2+3]=54（米）例3．小明在计算一道加法计算时，把一个加数个位上的1看作7，把一个加数十位上的8看作3，这样所得的和是1955，原来两数相加的正确答案是多少？解答：1995＋50－6=1999例4．袋子里装着若干个乒乓球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共拿了5次，袋子里还有5个球。
袋中原有多少个乒乓球？解答：例5．甲、乙、丙三人各有小球若干个，甲先拿出自己的小球的一部分给乙和丙，使乙、丙每人的小球数增加一倍；然后乙也把自己的小球的一部分分给甲丙，使甲和丙每人的小球数增加一倍；最后丙也把自己小球的一部分分给甲和乙，使甲和乙每人的小球数增加一倍。
这时甲乙丙都有48个小球。
原来甲乙丙各有小球多少个？解答：习题：1.一位老人说，把我的年龄加上12，再用4除，再减去15后乘以10，恰好是100岁。
这位老人现在有多少岁？解答：（100÷10+15）×4－12=88(岁)2.百货商店出售手机，上午售出总数的一半多20部，下午售出剩下的一半多15部，还剩下75部。
商店原有手机多少部？解答：[(75+15)×2+20]×2=400（部）3.做一道减法算式，把减数的个位1看作3，把被减数十位上的2看作了5，这样结果等于200，差应该是多少？解答：200+（3－1）－（50－20）=1724.甲、乙、丙、丁四人共有画片80张，甲给乙13张，乙给丙18张，丙给丁16张，丁给甲2张后，四人画片张数相等。
倒推法
自 我 检 测
独立完成练习三十九 4、5
例3、小虎做一道减法题时,把被减数 十位上的6错看成9,减数个位上的9错 写成6,最后所得的差是577，这道题 的正确答案是多少？ 思考： 1、被减数十位上的6错看成9,结果会 怎样？ 2、减数个位上的9错写成6,结果会怎 样？
练习：
小亮在做一道减法算式时，把减数 个位上的1看成7，把减数十位上的 7看成1，结果得出差是111，求正 确的答案。
练习： 1、修一段公路，第一天修了全路的 一半多2千米，第二天修了余下的一 半少1千米，这时还剩下20千米没有 修，这条公路有多长？
练习：
2、百货商店出售彩色电视机，上 午售出总数的一半多20台，下午售 出剩下的一半多15台，还剩75台。 店里原有彩色电视机多少台？
练习：
3、有若干吨煤，第一次用去了一 半多2吨，后买进4吨；第二次又用 去一半，接着又买进3吨，这时还 剩15吨。原有煤多少吨？
例1、王老师说：“把我的年龄减去 2，除以5加上8，乘6正好是72.” 同学们，你能推算出王老师今年多 大吗？
倒 推 法
倒推法又称逆推法，也叫还原法，是 一种常见的思考方法。它是从问题的最后 结果出发，一步一步倒着推，最后得出所 求答案。 两个相反：1、运算次序与原来相反 2、运算方法与原来相反。
练习： 1、某数加上6，乘以6，减去6，除以6， 其结果等于6，则这个数是多少？ 2、 小玲问一老爷爷今年多大年龄，老爷 爷说：“把我的年龄加上17后用4除，再 减去15后用10乘，恰好是100岁”那么， 这位老爷爷今年多少岁？
自 我 检 测
独立完成练习三十九 1、2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例2、电工组买来一捆电线,工人们第 一天用去全长的一半多5米，第二天 用去余下的一半少8米，第三天用去 14米，最后还剩10米，这捆电线原来 有多长？
第六讲-----倒推法
第六讲 倒推法例1：将小红奶奶今年的年龄依次减去15并乘以14 ，再减去6并除以110 ，恰好是100岁，小红奶奶今年多少岁？［分析与解答］从最后的结果出发，如果小红奶奶的年龄不除以110 ，那将是100×110 =10岁；不减去6，就是10+6=16岁；不乘以14 ，就是16÷14 =64岁；最后再加上15就是奶奶今年的年龄。
（ 100×110 +6）÷14 +15=79（岁） 答：小红奶奶今年79岁。
小试身手1（1）有一老人说：“把我的年龄加17并乘以14 ，再减去15后除以110 ，恰好是100岁，这位老人今年几岁？（83）（2）将一个数除以23 后再加上4，乘以15 后再减去3得77，这个数是几？（264）例2：读一本书，第一天读了全书的14 ，第二天读了剩下的12 ，这时还有60页没有读。
这本书一共有多少页？［分析与解答］这道题可以倒着去推。
根据“第二天读了剩下的12 ，这时还有60页没有读”，可以把第一天看了之后剩下的页数看作单位“1”，这样60页占剩下页数的（1—12 ），因此，剩下的页数是60÷（1—12 ）=120页；再根据“第一天读了全书的14 ”，把全书的总页数看作单位“1”，这样，剩下的页数占全书页数的1—25 =35 。
所以，全书共有：120÷35 =200（页）。
60÷（1—12 ）=120（页） 120÷（1—25 ）=200（页） 答：这本书一共有200页。
小试身手2（1）运一批水泥，第一天运了总数的38 ，第二天运了余下的25 ，第三天又运了第二天余下的12 ，还剩39吨,这批水泥共重多少吨?（208）（2）甲、乙、丙三人合伙做生意赚了一笔钱，年终分红时，甲得到了这笔钱的13 ，乙得到了剩下的13 ，丙得到了乙取后剩下的13 和剩下的8万元。
这笔钱一共有多少元？甲、乙、丙分别分得了多少钱？（9万元，6万元，12万元）例3：三个同学分桃子，甲分得的桃子比总数的12 少1个，乙得到的桃子比剩下的12 多1个,丙得到8个,一共有桃子多少个?［分析与解答］从最后丙得到的8个进行还原。
二年级倒推法的例题
二年级倒推法的例题一、简单数字运算类。
1. 一个数加上5，再减去3，结果是8，这个数是多少？- 解析：我们从结果8开始倒推。
因为是先减去3得到8的，所以在减3之前的数是8 + 3=11；而这个11是一个数加上5得到的，那么这个数就是11 - 5 = 6。
2. 一个数先乘2，再除以4后是3，这个数是多少？- 解析：从结果3开始倒推。
因为是除以4后得到3的，所以在除以4之前的数是3×4 = 12；而12是这个数乘2得到的，所以这个数是12÷2 = 6。
3. 某数加上7，乘7，减去7，除以7，结果还是7，这个数是多少？- 解析：从最后的结果7开始倒推。
因为是除以7得到7的，所以在除以7之前的数是7×7 = 49；49是减去7得到的，那么在减7之前是49+7 = 56；56是乘7得到的，所以原来的数是56÷7 = 8；8是加上7得到的，所以这个数是8 - 7 = 1。
4. 一个数减去8后，再加上10，结果是15，这个数是多少？- 解析：从结果15开始倒推。
因为是加上10得到15的，所以在加10之前的数是15 - 10 = 5；而5是这个数减去8得到的，所以这个数是5+8 = 13。
5. 一个数除以3后，再乘5得到25，这个数是多少？- 解析：从结果25开始倒推。
因为是乘5得到25的，所以在乘5之前的数是25÷5 = 5；而5是这个数除以3得到的，所以这个数是5×3 = 15。
二、图形表示数类（用简单图形代表数）6. 如果□+5 - 3 = 9，那么□里的数是多少？- 解析：从结果9开始倒推。
因为是先减去3得到9的，所以减3之前是9+3 = 12；12是□加5得到的，所以□里的数是12 - 5 = 7。
7. 已知△×3÷2 = 6，求△代表的数。
- 解析：从结果6开始倒推。
因为是除以2得到6的，所以除以2之前是6×2 = 12；12是△乘3得到的，所以△代表的数是12÷3 = 4。
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倒推法
例1、小聪问小明：“你今年几岁？”小明回答说：“用我的年龄数减去8，乘以7，加上6，除以5，正好等于4.请你算一算，我今年几岁？
1、一个数减16加24，再除以7得36，求这个数。
2、少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数。
把这个数除以5，再减去25，还剩下25.请你算一
算，共采集了多少个树种子？
3、有人问王老师今年多少岁，她说：“把我的年龄加上5，减去3，乘以4，除以5是24.”王老师今年多
少岁？
例2、小红、小芳、小明三人分铅笔，小红得总数的一半多1枝，小芳得剩下的一半多1枝，小明得8枝。
问原来共有多少枝铅笔？
1、某乡修一条水渠，第一次修了全长的一半多5米，第二次修了剩下的一半多4米，最后剩下的6米第
三次全部修完。
这条水渠共有多少米？
2、一根绳子剪去一半，再剪去余下的一半，还剩下4米。
这根绳子原来长多少米？
3、建筑工程队运来一车水泥，甲工程队领去它的一半又3袋，乙工程队领去的水泥比剩下的一半还少6
袋，丙工程队领去剩下的一半又8袋，最后还剩10袋。
这车水泥共有多少袋？
例3、三棵树上停着24只鸟，如果从第一棵树上飞4只鸟到第二棵树上去，再从第二棵树上飞5只鸟到第三棵树上去，那么三棵树上小鸟的只数都相等，第二棵树上原来停着多少只鸟？
1、三朵花上共停蝴蝶27只，如果从第一朵花上飞6只蝴蝶到第二朵花上去，再从第二朵花上飞8只蝴蝶
到第三朵花上去，那么三朵花上蝴蝶的只数都相等。
第一、第二、第三朵花上原来各有多少只蝴蝶？
2、16只麻雀停在两棵树上。
不久，2只麻雀从第二棵树上飞走了，5只麻雀又从第一棵树飞到第二棵树上去，这时两棵树上的麻雀只数相等。
每棵树上最初各有几只麻雀？
3、三个笼子里共养18只兔子，如果从第一个笼子里取出4只放到第二个笼子里，再从第二个笼子里取出
3只放到第三个笼子里，那么三个笼子里的兔子就一样多了。
求三个笼子里原来各养了多少只兔子？
练习
1、从篮中取鸡蛋，每次取出篮中鸡蛋的一半，一共取出4次，最后篮里还剩下3个鸡蛋，篮中
原来有多少个鸡蛋？
2、有一根电线，第一天先用去2米，又用去余下的一半，第二天先用去2米，又用去余下的一
半，还剩下12米。
这根电线原有多少米？
3、一根绳子剪去一半多4米，再剪去余下的一半，还剩下43米，这根绳子原来是多少米？
4、一只桶里装满油，第一次取出了总数的一半多1千克，第二次取出余下的一半多3千克，桶中还
剩下5千克。
问原来桶里共装油多少千克？
5、一根绳子剪去全长的一半多2米，再剪去余下的一半，还剩下10米，这根绳子原来多少米？
6、甲、乙、丙三个组共有图书90本，如果乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组的图
书刚好相等。
问甲、乙、丙三个组原有图书各多少本？
7、修路队修一条路，第一天修了全长的一半多20米，第二天修了余下的一半少15米，第三天修了
50米，还剩下30米。
这条路的全长是多少米？
8、小伟在计算两位数加法时，把一个加数个位上的6错误地看成了8，把另一个加数十位上的7错
误地看成了1，结果所得的和是43。
这道题的正确答案应该是多少？
9、小方读一本故事书，第一天读了全书的一半少10页，第二天读了余下的一半多4页，还剩下12
页没有读。
这本故事书有多少页？
10、小玲做一道整数加法题时，把个位上的3看成了5，把十位上的8看成了3，结果和是215。
这道题的正确答案应该是多少？。