点和圆的位置关系练习
直线与圆的位置关系经典例题
直线与圆的位置关系经典例题一、点与圆的位置关系结合图形认识直线与圆的位置关系，比较OA 与r 的大小关系若点A 在⊙O 内OA r 若点A 在⊙O 上OA r 若点A 在⊙O 外OA r小练习：1.在△ABC 中，90C ∠=︒,AC=2,BC=4,如果以点A 为圆心，AC 为半径作⊙A，那么斜边中点D 与⊙A 的位置关系是（）（A）D 在圆外（B）D 在圆上（C）D 在圆内（D）无法确定二、直线与圆的位置关系（1）实验创境：用移动的观点认识如果我们把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，太阳和海平面就有图中的几种位置关系。
（可让学生用硬币自己操作演示）根据直线与圆公共点的个数可以得到三种位置关系：、、。
（2）用数量关系判断从以上的一个例子，可以看到，直线与圆的位置关系只有以下三种，如下图所示：若要判断圆与直线的位置关系，可以将______与_____进行比较大小，由比较的结果得出结论。
典型例题：例1、已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线MN 的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米。
分别说出直线MN 与圆的位置关系以及直线MN 和圆分别有几个公共点？例2.Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以C 为圆心，r 为半径作圆，当3,4.2,2===r r r 时，⊙C 与直线AB 分别是怎样的位置关系？★①直线l 和⊙O 相交d r ②直线l 和⊙O 相切d r ③直线l 和⊙O 相离d r1、如果⊙O 的直径为10厘米，圆心O 到直线AB 的距离为10厘米，那么⊙O 与直线AB有怎样的位置关系是2、已知：⊙A 的直径为6，点A 的坐标为)4,3(--，则⊙A 与x 轴的位置关系是；⊙A 与y 轴的位置关系是。
三、切线的判定实验探究：在练习纸上画⊙O ，在⊙O 上任取一点A ，连结OA ，过A 点作直线l ⊥OA ，判断直线l 是否与⊙O 相切？为什么？当直线和圆有唯一公共点时，直线是圆的切线；当直线和圆的距离等于该圆半径时，直线是圆的切线；那么，直接从直线和圆的位置上观察，具备什么条件的直线也是圆的切线呢？两个条件缺一不可（1）经过半径外端（2）垂直于这条半径切线判定定理：经过直径外端并且于这条直径的直线是圆的切线。
点与圆的位置关系精选题37道
点与圆的位置关系精选题37道一．选择题（共11小题）1．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．B．2C．D．2．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．+1B．+C．2+1D．2﹣3．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3B．4C．6D．84．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（）A．3B．C．D．45．在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F6．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．37．已知直线y＝﹣x+7a+1与直线y＝2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（）A．B．C．D．8．已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断9．已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定10．如图，点A，B，C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A，O，C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连接CE，BE，则CE2+BE2的最大值是（）A．4B．5C．6D．4+11．如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（）A．（0，）B．（1，）C．（2，2）D．（2，4）二．填空题（共16小题）12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是．14．如图，圆O的半径为3，点A在圆O上运动，ABCD为矩形，AC与BD交于点M，MO ＝5，则AB2+AD2的最小值为．15．点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O 的半径是．16．已知以AB为直径的圆O，C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点，CD⊥CP交AP 于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP，OP，则△AOP面积的最大值为．18．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是半径为1的⊙A上的一个动点，点E为CD的中点，连接BE，则线段BE长度的最小值为．21．如图，直角△ABC的直角顶点C，另一顶点A及斜边AB的中点D都在⊙O上，已知：AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径为．22．我们发现：若AD是△ABC的中线，则有AB2+AC2＝2（AD2+BD2），请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，E是DC中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则CP2+EP2的最小值是．23．如图，已知⊙O的半径是2，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是．24．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为．25．已知圆O的直径为6，点M到圆心O的距离为4，则点M与⊙O的位置关系是．26．在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，以A为圆心，2为半径作⊙A，交对角线AC于点E，点F为⊙A上一动点，连接CF，点G为CF中点，连接BG，取BG中点H，连接AH，则AH的最大值为．27．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，以顶点D为圆心作半径为r的圆．若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．三．解答题（共10小题）28．如图，已知直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2），（1）写出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标：（，）；（2）判断点D（5，﹣2）与圆M的位置关系．29．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；（2）点M的坐标为；（3）若DM＝2，判断点D与⊙M的位置关系．30．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形边长为1）（1）请写出该圆弧所在圆的圆心P的坐标；⊙P的半径为（结果保留根号）；（2）判断点M（﹣1，1）与⊙P的位置关系．31．阅读下列材料：平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为|P1P2|＝，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为＝r，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题．（1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为：；（2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系．32．如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点．（1）该图中弧所在圆的圆心D的坐标为；．（2）根据（1）中的条件填空：①圆D的半径＝（结果保留根号）；②点（7，0）在圆D（填“上”、“内”或“外”）；③∠ADC的度数为．33．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E．（1）求DE的长；（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．34．已知AB为⊙O的直径，点C位于AB上方的半圆上，点E在AB上且AE＝AC，过点C作CD⊥AB于点D．（1）如图所示，当点D与点O重合时，求tan∠DCE．（2）在（1）的条件下，延长CE交于⊙O点F，若OE＝6，求△BEF与△ACE的面积之比．（3）以DE为边在⊙O内构造正方形DEPM，点M在直线CD上，连接AM并延长交⊙O于点N，试猜想PN与PE的数量关系，并说明理由．35．如图，⊙O与x轴的负半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，M（﹣4，3）在⊙O 上．（1）求⊙O的半径长及△AMB的面积；（2）已知N（0，t），且以O、M、N为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出t的取值范围．36．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC 于点D，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE．（1）求证：PD＝CE；（2）求证：点P、D、C、E在同一个圆上．37．如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C，以点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：⊙D的半径为；点（6，﹣2）在⊙D （填“上”、“内”、“外”）；∠ADC的度数为．点与圆的位置关系精选题37道参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．B．2C．D．【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠P AB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在Rt△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．故选：B．【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．2．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（）A．+1B．+C．2+1D．2﹣【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD 与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM 最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝2+1，∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；故选：B．【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．3．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3B．4C．6D．8【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．【解答】解：∵P A⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝3、MQ＝4，∴OM＝5，又∵MP′＝2，∴OP′＝3，∴AB＝2OP′＝6，故选：C．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置．4．如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连接OQ，则线段OQ的最大值是（）A．3B．C．D．4【分析】连接BP，如图，先解方程x2﹣4＝0得A（﹣4，0），B（4，0），再判断OQ为△ABP的中位线得到OQ＝BP，利用点与圆的位置关系，BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，然后计算出BP′即可得到线段OQ的最大值．【解答】解：连接BP，如图，当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），∵Q是线段P A的中点，∴OQ为△ABP的中位线，∴OQ＝BP，当BP最大时，OQ最大，而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，∵BC＝＝5，∴BP′＝5+2＝7，∴线段OQ的最大值是．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了三角形中位线．5．在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F【分析】根据网格中两点间的距离分别求出，OE，OF，OG，OH然后和OA比较大小．最后得到哪些树需要移除．【解答】解：∵OA＝＝，∴OE＝2＜OA，所以点E在⊙O内，OF＝2＜OA，所以点F在⊙O内，OG＝1＜OA，所以点G在⊙O内，OH＝＝2＞OA，所以点H在⊙O外，故选：A．【点评】此题是点与圆的位置关系，主要考查了网格中计算两点间的距离，比较线段长短的方法，计算距离是解本题的关键．点到圆心的距离小于半径，点在圆内，点到圆心的距离大于半径，点在圆外，点到圆心的距离大于半径，点在圆内．6．如图，抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（）A．2B．C．D．3【分析】根据抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，可得A、B两点坐标，D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理可求BC的长为5，E是线段AD的中点，再根据三角形中位线，BD最小，OE就最小．【解答】解：∵抛物线y＝﹣1与x轴交于A，B两点，∴A、B两点坐标为（﹣3，0）、（3，0），∵D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理，得BC＝5，∵E是线段AD的中点，O是AB中点，∴OE是三角形ABD的中位线，∴OE＝BD，即点B、D、C共线时，BD最小，OE就最小．如图，连接BC交圆于点D′，∴BD′＝BC﹣CD′＝5﹣1＝4，∴OE′＝2．所以线段OE的最小值为2．故选：A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系、抛物线与x轴的交点、三角形中位线定理，解决本题的关键是点B、D、C共线问题．7．已知直线y＝﹣x+7a+1与直线y＝2x﹣2a+4同时经过点P，点Q是以M（0，﹣1）为圆心，MO为半径的圆上的一个动点，则线段PQ的最小值为（）A．B．C．D．【分析】先解方程组得P点坐标为（3a﹣1，4a+2），则可确定点P为直线y＝x+上一动点，设直线y＝x+与坐标轴的交点为A、B，如图，则A（﹣，0），B（0，），利用勾股定理计算出AB＝，过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M 于Q，此时线段PQ的值最小，证Rt△MBP∽Rt△ABO，利用相似比计算出MP＝，则PQ＝，即线段PQ的最小值为．【解答】解：解方程组得，∴P点坐标为（3a﹣1，4a+2），设x＝3a﹣1，y＝4a+2，∴y＝x+，即点P为直线y＝x+上一动点，设直线y＝x+与坐标轴的交点为A、B，如图，则A（﹣，0），B（0，），∴AB＝＝，过M点作MP⊥直线AB于P，交⊙M于Q，此时线段PQ的值最小，∵∠MBP＝∠ABO，∴Rt△MBP∽Rt△ABO，∴MP：OA＝BM：AB，即MP：＝：，∴MP＝，∴PQ＝﹣1＝，即线段PQ的最小值为．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了一次函数的性质和相似三角形的判定与性质．8．已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r＝d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．9．已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【分析】点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：∵OP＝3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．故选：A．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，注意掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．10．如图，点A，B，C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A，O，C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连接CE，BE，则CE2+BE2的最大值是（）A．4B．5C．6D．4+【分析】连接AC，DE，如图，利用圆周角定理可判定点D在AC上，易得A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0），AC＝，D（，），设E（m，n），利用两点间的距离公式得到则EB2+EC2＝2（m2+n2）+2，由于m2+n2表示E点到原点的距离的平方，则当OE 为直径时，E点到原点的距离最大，由于OD为平分∠AOC，则m＝n，利用点E在圆上得到（m﹣）2+（n﹣）2＝（）2，则可计算出m＝n＝1，从而得到EB2+EC2的最大值．【解答】解：连接AC，DE，如图，∵∠AOC＝90°，∴AC为⊙D的直径，∴点D在AC上，∵AO＝BO＝CO＝1，∴A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0），AC＝，D（，），设E（m，n），∵EB2+EC2＝（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2＝2（m2+n2）+2，而m2+n2表示E点到原点的距离，∴当OE为直径时，E点到原点的距离最大，∵OD为平分∠AOC，∴m＝n，∵DE＝AC＝，∴（m﹣）2+（n﹣）2＝（）2，即m2+n2＝m+n∴m＝n＝1，∴此时EB2+EC2＝2（m2+n2）+2＝2×（1+1）+2＝6，即CE2+BE2的最大值是6．故选：C．【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．也考查了圆周角定理、勾股定理和坐标与图形性质．11．如图，点M坐标为（0，2），点A坐标为（2，0），以点M为圆心，MA为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD，当线段OD取得最大值时，点D的坐标为（）A．（0，）B．（1，）C．（2，2）D．（2，4）【分析】根据垂径定理得到OA＝OB，然后根据三角形中位线定理得到OD∥BC，OD＝BC，即当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，根据圆周角定理得到CA⊥x轴，进而求得△OAD是等腰直角三角形，即可得到AD＝OA＝2，得到D的坐标为（2，2）．【解答】解：∵OM⊥AB，∴OA＝OB，∵AD＝CD，∴OD∥BC，OD＝BC，∴当BC取得最大值时，线段OD取得最大值，如图，∵BC为直径，∴∠CAB＝90°，∴CA⊥x轴，∵OB＝OA＝OM，∴∠ABC＝45°，∵OD∥BC，∴∠AOD＝45°，∴△AOD是等腰直角三角形，∴AD＝OA＝2，∴D的坐标为（2，2），故选：C．【点评】本题考查了点和圆的位置关系，垂径定理、圆周角定理以及三角形中位线定理，明确当BC为直径时，线段OD取得最大值是解题的关键．二．填空题（共16小题）12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作圆O，连接BD交圆O于点E，则AE的最小值为2﹣2．【分析】连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的⊙F，连接EF，AF，证明∠CEB＝90°，说明E点始终在⊙F上，再由在整个变化过程中，AE≤AF﹣EF，当A、E、F三点共线时，AE最小值，求出此时的值便可．【解答】解：连接CE，取BC的中点F，作直径为BC的⊙F，连接EF，AF，∵BC＝4，∴CF＝2，∵∠ACB＝90°，AC＝10，∴AF＝，∵CD是⊙O的直径，∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴E点在⊙F上，∵在D的运动过程中，AE≥AF﹣EF，且A、E、F三点共线时等号成立，∴当A、E、F三点共线时，AE取最小值为AF﹣EF＝2﹣2．故答案为：2﹣2．【点评】本题主要考查了圆的基本性质，圆周角定理，勾股定理，三角形的三边关系，关键是确定AE取最小值的位置．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是．【分析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，∵AN＝NC，∴BN＝AC＝，∵AN＝NC，DM＝MC，∴MN＝AD＝1，∴BM≤BN+NM，∴BM≤1+，∴BM≤，∴BM的最大值为．【点评】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．14．如图，圆O的半径为3，点A在圆O上运动，ABCD为矩形，AC与BD交于点M，MO ＝5，则AB2+AD2的最小值为16．【分析】如图，连接OA．首先判断出BD最小时，AB2+AD2的值最小，求出AM的最小值即可解决问题．【解答】解：如图，连接OA．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AM＝MC＝BM＝MD，∠BAD＝90°，∴AB2+AD2＝BD2，∴BD的值最小时，AB2+AD2的值最小，∵AM≥OM﹣OA，OM＝5，OA＝3，∴AM≥2，∴AM的最小值为2，∴BD的最小值为4，∴AB2+AD2的最小值为16，故答案为16．【点评】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．15．点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O 的半径是 6.5cm或2.5cm．【分析】点P应分在位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点P在圆内时，直径＝最小距离+最大距离；②当点P在圆外时，直径＝最大距离﹣最小距离．【解答】解：分为两种情况：①当点在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离P A＝9cm，∴直径AB＝4+9＝13（cm），∴半径r＝6.5cm；②当点在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离P A＝9cm，∴直径AB＝9﹣4＝5（cm），∴半径r＝2.5cm．综上所述，圆O的半径为6.5cm或2.5cm．故答案为：6.5cm或2.5cm．【点评】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．16．已知以AB为直径的圆O，C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点，CD⊥CP交AP 于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为3﹣3．【分析】以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，依据∠ADC＝135°，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，依据△ACQ中，AQ＝4，【解答】解：如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，连接AC，BC，BQ．∵⊙O的直径为AB，C为的中点，∴∠APC＝45°，又∵CD⊥CP，∴∠DCP＝90°，∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°，∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，又∵AB＝6，C为的中点，∴△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝3，∴△ACQ中，AQ＝3，∴BQ＝＝3，∵BD≥BQ﹣DQ，∴BD的最小值为3﹣3．故答案为3﹣3．【点评】本题考查了轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理以及弧长的计算，正确寻找点D的运动轨迹是解决问题的关键．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP，OP，则△AOP面积的最大值为．【分析】当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，由于P为切点，得出MP垂直于切线，进而得出PM⊥AC，根据勾股定理先求得AC的长，进而求得OA的长，根据△ADM∽△ACD，求得DM的长，从而求得PM的长，最后根据三角形的面积公式即可求得．【解答】解：当P点移动到过点P的直线平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，∵过P的直线是⊙D的切线，∴DP垂直于切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC，∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∴OA＝，∵∠AMD＝∠ADC＝90°，∠DAM＝∠CAD，∴△ADM∽△ACD，∴＝，∵AD＝4，CD＝3，AC＝5，∴DM＝，∴PM＝PD+DM＝1+＝，∴△AOP的最大面积＝OA•PM＝××＝，故答案为：．【点评】本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大．18．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为+．【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的⊙B上，通过画图可知，C在BD 与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论．【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，∴C在⊙B上，且半径为1，取OD＝OA＝2，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM 最大，∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，∴BD＝2，∴CD＝2+1，∴OM＝CD＝+，即OM的最大值为+；故答案为．【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠P AC＝∠PCB，则线段BP长的最小值是2．【分析】首先证明点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB与⊙O交于点P，此时PB最小，利用勾股定理求出OB即可解决问题．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACP+∠PCB＝90°，∵∠P AC＝∠PCB∴∠CAP+∠ACP＝90°，∴∠APC＝90°，∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，在Rt△CBO中，∵∠OCB＝90°，BC＝4，OC＝3，∴OB＝＝5，∴PB＝OB﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．故答案为2．【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D是半径为1的⊙A上的一个动点，点E为CD的中点，连接BE，则线段BE长度的最小值为2．【分析】取AC的中点N，连接AD、EN、BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，EN，再利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】解：如图，取AC的中点N，连接AD、EN、BN．∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，∵AN＝NC，∴BN＝AC＝，∵AN＝NC，DE＝EC，∴EN＝AD＝，∴BN﹣EN≤BE≤BN+EN，∴﹣≤BE≤+，∴2≤BE≤3，∴BE的最小值为2，故答案为：2．【点评】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．21．如图，直角△ABC的直角顶点C，另一顶点A及斜边AB的中点D都在⊙O上，已知：AC＝6，BC＝8，则⊙O的半径为．【分析】如图连接CD、OD、OC，延长DO交AC于E，设半径为R，先证明DE⊥AC，DE＝CB，在Rt△OCE中，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图连接CD、OD、OC，延长DO交AC于E，设半径为R．在RT△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB＝＝＝10，∵BD＝AD＝5，∴CD＝AD＝5，∵DC＝DA，＝，∴DO⊥AC，EC＝AE＝3，∴ED∥BC，∵BD＝AD，∴EC＝EA，∴DE＝BC＝4，在RT△COE中，∵∠OEC＝90°，∴CO2＝OE2+CE2，∴R2＝（4﹣R）2+32，∴R＝．【点评】本题考查点与圆的位置关系，三角形的中位线的性质，垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22．我们发现：若AD是△ABC的中线，则有AB2+AC2＝2（AD2+BD2），请利用结论解决问题：如图，在矩形ABCD中，已知AB＝20，AD＝12，E是DC中点，点P在以AB为直径的半圆上运动，则CP2+EP2的最小值是68．【分析】设点O为AB的中点，H为CE的中点，连接HO交半圆于点P，此时PH取最小值，根据矩形的性质得到CD＝AB，EO＝AD，求得OP＝CE＝AB＝10过H作HG⊥AB于G，根据矩形的性质得到HG＝12，OG＝5，于是得到结论．【解答】解：设点O为AB的中点，H为CE的中点，连接HO交半圆于点P，此时PH取最小值，∵AB＝20，四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB，BC＝AD，∴OP＝CE＝AB＝10，∴CP2+EP2＝2（PH2+CH2）．过H作HG⊥AB于G，∴HG＝12，OG＝5，∴OH＝13，∴PH＝3，∴CP2+EP2的最小值＝2（9+25）＝68，故答案为：68．【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三边关系，利用三角形三边关系找出PE的最小值是解题的关键．23．如图，已知⊙O的半径是2，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是+1．【分析】取OB中点E得DE是△OBC的中位线，知DE＝OC＝1，即点D是在以E为圆心，1为半径的圆上，从而知求AD的最大值就是求点A与⊙E上的点的距离的最大值，据此求解可得．【解答】解：如图1，连接OC，Q取OB的中点E，连接DE．则OE＝EB＝OB＝1．在△OBC中，DE是△OBC的中位线，∴DE＝OC＝1，∴EO＝ED＝EB，即点D是在以E为圆心，1为半径的圆上，∴求AD的最大值就是求点A与⊙E上的点的距离的最大值，如图2，当D在线段AE延长线上时，AD取最大值，∵OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，OE＝EB＝1，∴AE＝，D'E＝1，∴AD取最大值为AD'＝，故答案为：．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是判断出点D的运动轨迹是以E 为圆心，1为半径的圆．24．如图，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），C为坐标平面内一点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，当OM取最大值时，点M的坐标为（2+，2+）．【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，根据三角形的中位线定理可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据平行线分线段成比例定理求得C的坐标，进而即可求得M的坐标．【解答】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC＝2，∴C在⊙B上，且半径为2，取OD＝OA＝4，连接CD，∵AM＝CM，OD＝OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM＝CD，当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM 最大，∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°，∴BD＝4，∴CD＝4+2，作CE⊥x轴于E，∵CE∥OB，∴，即，∴CE＝DE＝4+，∴OE＝DE﹣OD＝，∴C（，4+），∵M是AC的中点，∴M（2+，2+），故答案为：（2+，2+）．【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点．25．已知圆O的直径为6，点M到圆心O的距离为4，则点M与⊙O的位置关系是在圆外．【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；若设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：∵⊙O的直径为6，∴⊙O的半径为3，∵点M到圆心O的距离为4，∴4＞3，∴点M在⊙O外．故答案为：在圆外．【点评】本题考查了点与圆的位置关系的判断．解决此类题目的关键是首先确定点与圆心的距离，然后与半径进行比较，进而得出结论．26．在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，以A为圆心，2为半径作⊙A，交对角线AC于点E，点F为⊙A上一动点，连接CF，点G为CF中点，连接BG，取BG中点H，连接AH，则AH的最大值为+．【分析】如图，连接BE，AF，EG，取BE的中点J，连接HJ，AJ．想办法求出JH，AJ 即可．【解答】解：如图，连接BE，AF，EG，取BE的中点J，连接HJ，AJ．。
点和圆的位置关系(共32张PPT)
随堂练习
6.如图，⊿ABC中，∠C=90°， B
BC=3，AC=6，CD为中线，
以C为圆心,以 3 5 为半径作圆，
2
C
则点A、B、D与圆C的关系如何？
D A
7.画出由所有到已知点O的距离大于或 等于2CM并且小于或等于3CM的点组 成的图形。
OO
问：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米
（1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A ，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
(B在圆上，D在圆外，C在圆外)
A
D
（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，
则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
B
C
(B在圆内，D在圆上，C在圆外)
（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D 与圆A的位置关系如何？
∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作 一个圆.
A
O C
B
定理：
不在同一直线上的三点确定一个圆.
1.由定理可知：经过三角形三
个顶点可以作一个圆.并且只 能作一个圆.
2.经过三角形各顶点的圆叫做三 角形的外接圆。
3.三角形外接圆的圆心叫做三角 B
形的外心，这个三角形叫做
这个圆的内接三角形。
经过一个已知点A能确定一个圆吗?
形的外接圆的面积. 垂直平分线的交点
已知：不在同一直线上的三点 A、B、C
（）
证明:∵点O在AB的垂直平分线上，
⊙O的半径6cm，当OP=6时，点P在
；
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆。
圆的外部可以看成是
。
思考：过任意四个点是不是一定可以作一个圆?请举
例说明.
初中数学【与圆有关的位置关系】练习题
初中数学【与圆有关的位置关系】练习题一．选择题（共10小题）1．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为10，则P（﹣10，1）与⊙O的位置关系为（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．无法确定2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°3．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是（）A．0B．1C．2D．34．一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A．1.5cm B．7.5cmC．1.5cm或7.5cm D．3cm或15cm5．在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F6．直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（）A．0B．1C．2D．不能确定7．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤58．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P 沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1B．1或5C．3D．59．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4B．2＜r＜4C．1＜r＜8D．2＜r＜810．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3B．4C．6D．8二．填空题（共4小题）11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是3＜r＜5．12．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2），则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为；点D坐标为（8，﹣2），连接CD，直线CD 与⊙M的位置关系是．13．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为．14．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣4x+m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为．三．解答题（共3小题）15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．16．已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD＝OA．（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，①AE与OD的大小有什么关系？为什么？②求∠ODC的度数．答案一．选择题（共10小题）1．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为10，则P（﹣10，1）与⊙O的位置关系为（）A．点P在⊙O上B．点P在⊙O外C．点P在⊙O内D．无法确定【解答】解：∵圆心P的坐标为（﹣10，1），∴OP＝＝．∵⊙O的半径为10，∴＞10，∴点P在⊙O外．故选：B．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°【解答】解：如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；故选：A．3．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP＝4，则线段OM的最小值是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，∵OP＝4，ON＝2，∴N是OP的中点，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN＝OQ＝×2＝1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选：B．4．一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A．1.5cm B．7.5cmC．1.5cm或7.5cm D．3cm或15cm【解答】解：分为两种情况：①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是15cm，因而半径是7.5cm；②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是3cm，因而半径是1.5cm．故选：C．5．在公园的O处附近有E、F、G、H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边长均相等）现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E、F、G、H四棵树中需要被移除的为（）A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F【解答】解：∵OA＝＝，∴OE＝2＜OA，所以点E在⊙O内，OF＝2＜OA，所以点F在⊙O内，OG＝1＜OA，所以点G在⊙O内，OH＝＝2＞OA，所以点H在⊙O外，故选：A．6．直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（）A．0B．1C．2D．不能确定【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，∴BC＝10，∴斜边上的高为：＝4.8，∴d＝4.8cm＝r＝4.8cm，∴圆与该直线AB的位置关系是相切，交点个数为1，故选：B．7．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤5【解答】解：当AB与小圆相切，∵大圆半径为5，小圆的半径为3，∴AB＝2＝8．∵大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，∴8≤AB≤10．故选：A．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P 沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1B．1或5C．3D．5【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5．故选：B．19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A 的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4B．2＜r＜4C．1＜r＜8D．2＜r＜8【解答】解：连接AD，∵AC＝4，CD＝3，∠C＝90°，∴AD＝5，∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，∴r＞5﹣3＝2，∵BC＝7，∴BD＝4，∵点B在⊙D外，∴r＜4，∴⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4，故选：B．10．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，P A⊥PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（）A．3B．4C．6D．8【解答】解：∵P A⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝3、MQ＝4，∴OM＝5，又∵MP′＝2，∴OP′＝3，∴AB＝2OP′＝6，故选：C．二．填空题（共4小题）11．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是3＜r＜5．【解答】解：在直角△ABD中，CD＝AB＝4，AD＝3，则BD＝＝5．由图可知3＜r＜5．故答案为：3＜r＜5．12．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2），则经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为（2，0）；点D坐标为（8，﹣2），连接CD，直线CD与⊙M的位置关系是相切．【解答】解：（1）如图，经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；（2）连接MC，MD，MC2＝42+22＝20，CD2＝42+22＝20，MD2＝62+22＝40，MD2＝MC2+CD2，∴∠MCD＝90°，又∵MC为半径，∴直线CD是⊙M的切线；故答案为：相切．13．如图，直线l：y＝﹣x+1与坐标轴交于A，B两点，点M（m，0）是x轴上一动点，以点M为圆心，2个单位长度为半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为2﹣2或2+2．．【解答】解：在y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝2，∴A（0，1），B（2，0），∴AB＝；如图，设⊙M与AB相切与C，连接MC，则MC＝2，MC⊥AB，∵∠MCB＝∠AOB＝90°，∠B＝∠B，∴△BMC～△ABO，∴，即，∴BM＝2，∴OM＝2﹣2，或OM＝2+2．∴m＝2﹣2或m＝2+2．故答案为：2﹣2，2+2．14．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2﹣4x+m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为4．【解答】解：∵d、R是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且直线L与⊙O相切，∴d＝R，∴方程有两个相等的实根，∴△＝16﹣4m＝0，解得，m＝4，故答案为：4．三．解答题（共3小题）15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ODA+∠EDB＝90°，∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠ODE＝90°，∴OC2+CE2＝OE2＝OD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，则DE＝4.75．16．已知AB是半圆O的直径，点C是半圆O上的动点，点D是线段AB延长线上的动点，在运动过程中，保持CD＝OA．（1）当直线CD与半圆O相切时（如图①），求∠ODC的度数；（2）当直线CD与半圆O相交时（如图②），设另一交点为E，连接AE，若AE∥OC，①AE与OD的大小有什么关系？为什么？②求∠ODC的度数．【解答】解：（1）如图①，连接OC，∵OC＝OA，CD＝OA，∴OC＝CD，∴∠ODC＝∠COD，∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD＝90°，∴∠ODC＝45°；（2）如图②，连接OE．∵CD＝OA，∴CD＝OC＝OE＝OA，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∵AE∥OC，∴∠2＝∠3．设∠ODC＝∠1＝x，则∠2＝∠3＝∠4＝x．∴∠AOE＝∠OCD＝180°﹣2x．①AE＝OD．理由如下：在△AOE与△OCD中，∴△AOE≌△OCD（SAS），∴AE＝OD．②∠6＝∠1+∠2＝2x．∵OE＝OC，∴∠5＝∠6＝2x．∵AE∥OC，∴∠4+∠5+∠6＝180°，即：x+2x+2x＝180°，∴x＝36°．∴∠ODC＝36°．。
由圆的一般方程判断点与圆的位置关系专项训练(含每步提示及答案——原创材料)
由圆的一般方程判断点与圆的位置关系习题：点()1,2-a a 在圆03222=--+y y x 的内部，则a 的取值范围是（ ）A 、11<<-aB 、10<<aC 、540<<a D 、054<<-a 提示点：提示点1：设圆的半径是r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则有：r d < ⇔ 点P 在圆内；r d = ⇔ 点P 在圆上；r d > ⇔ 点P 在圆外；提示点2：圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 的圆心为（2,2ED --），半径为2422FE D -+提示点3：两点间距离公式为()()221221y y x x d -+-=；结合提示2,3可知，圆心为()1,0，半径为2，点到圆心的距离为()()221102--+-=a a d则根据提示1知，r d <，则有540<<a ，故选C 。
习题：点()1,2-a a 在圆04222=--+y y x 的外部，则a 的取值范围为 。
提示点：点()00,y x P 与圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 的位置关系：0002020>++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆外；0002020=++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆上；0002020<++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆内；故将点()1,2-a a 代入圆的一般方程有()()()04121222>----+a a a ，故1>a 或51-<a 。
习题：若1>a ，则点()1,2-a a 与圆03222=--+y y x 的位置关系 。
提示点：点()00,y x P 与圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x 的位置关系：0002020>++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆外；0002020=++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆上；0002020<++++F Ey Dx y x ⇔ 点P 在圆内；将点()1,2-a a 代入圆的一般方程有()()()a a a a a 4531212222-=----+()45-=a a ，因1>a ，故()045>-a a ，故应填在圆外。
中考数学一轮复习 专题30 与圆有关的位置关系(基础训练)(原卷版)
专题30 与圆有关的位置关系【基础训练】一、单选题1．（2021·吉林中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，点P 为边AD 上任意一点（点P 不与点A ，D 重合）连接CP ．若120B ∠=︒，则APC ∠的度数可能为（ ）A ．30B ．45︒C ．50︒D ．65︒2．（2021·吉林长春·中考真题）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，若35BAC ∠=︒，则ACB ∠的大小为（ ）A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．65︒3．（2021·山东青岛·中考真题）如图，AB 是O 的直径，点E ，C 在O 上，点A 是EC 的中点，过点A 画O 的切线，交BC 的延长线于点D ，连接EC ．若58.5ADB ∠=︒，则ACE ∠的度数为（ ）A ．29.5︒B ．31.5︒C ．58.5︒D ．63︒4．（2021·山东滨州·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，CD 是O 的直径．若10CD =，弦6AC =，则cos ABC ∠的值为（ ）A ．45B ．35C ．43D ．345．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，BC 为⊙O 的直径，弦AD BC ⊥于点E ，直线l 切⊙O 于点C ，延长OD 交l 于点F ，若2AE =，22.5ABC ∠=︒，则CF 的长度为（ ）A ．2B ．22C ．23D ．46．（2021·湖北荆门·中考真题）如图，P A ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点，若70P ∠=︒，则ABO ∠=（ ）A ．30B ．35︒C ．45︒D ．55︒7．（2021·广东广州·中考真题）一根钢管放在V 形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm ，若60ACB ∠=︒，则劣弧AB 的长是（ ）A ．8πcmB ．16πcmC ．32πcmD ．192πcm8．（2021·上海中考真题）如图，已知长方形ABCD 中，4,3AB AD ==，圆B 的半径为1，圆A 与圆B 内切，则点,C D 与圆A 的位置关系是（ ）A ．点C 在圆A 外，点D 在圆A 内B ．点C 在圆A 外，点D 在圆A 外 C ．点C 在圆A 上，点D 在圆A 内 D ．点C 在圆A 内，点D 在圆A 外9．（2021·湖南怀化·中考真题）如图，在ABC 中，以A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点M 、N ；再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ；连结AP 并延长交BC 于点D ．则下列说法正确的是（ ）A ．AD BD AB +<B ．AD 一定经过ABC 的重心 C ．BAD CAD ∠=∠ D ．AD 一定经过ABC 的外心10．（2021·山东临沂·中考真题）如图，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B ，70P ∠=︒，C 为O 上一点，则ACB ∠的度数为（ ）A ．110︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒11．（2021·海南中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，BE 是O 的直径，连接AE ．若2BCD BAD ∠=∠，则DAE ∠的度数是（ ）A ．30B ．35︒C ．45︒D ．60︒12．（2021·湖南怀化·中考真题）以下说法错误的是（ ）A ．多边形的内角大于任何一个外角B ．任意多边形的外角和是360︒C ．正六边形是中心对称图形D ．圆内接四边形的对角互补13．（2021·浙江中考真题）如图，已知点O 是ABC 的外心，⊙40A =︒，连结BO ，CO ，则BOC ∠的度数是（ ）．A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．90︒14．（2021·重庆中考真题）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若⊙A =80°，则⊙C 的度数是（ ）A ．80°B ．100°C ．110°D ．120°15．（2021·四川凉山·中考真题）下列命题中，假命题是（ ）A ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B ．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合C ．若AB BC =，则点B 是线段AC 的中点D ．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做这个三角形的外心16．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有O 和点A ，B ，若O 半径为2cm ，线段3cm OA =，2cm OB =，则直线AB 与O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切 17．（2021·青海西宁·中考真题）如图，ABC 的内切圆О与,,AB BC AC 分别相切于点D ，E ，F ，连接OE ，OF ，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，则阴影部分的面积为（ ）A ．122π-B ．142π-C ．4π-D ．114π- 18．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，23AB =60ACB ∠=︒，连接OA ，OB ，则AB 的长是（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 19．（2021·西藏中考真题）如图，⊙BCD 内接于⊙O ，⊙D ＝70°，OA ⊙BC 交⊙O 于点A ，连接AC ，则⊙OAC 的度数为（ ）A ．40°B ．55°C ．70°D ．110°20．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，⊙BAC ＝36°，点O 在边AB 上，⊙O 与边AC 相切于点D ，交边AB 于点E ，F ，连接FD ，则⊙AFD 等于（ ）A ．27°B ．29°C ．35°D ．37°21．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，AB 是⊙O 的弦，等边三角形OCD 的边CD 与⊙O 相切于点P ，连接OA ，OB ，OP ，A D ．若⊙COD +⊙AOB ＝180°，,CD//AB AB ＝6，则AD 的长是（ ）A ．2B ．6C ．13D 1322．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）如图，点C ，D 在以AB 为直径的半圆上，120ADC ∠=︒，点E 是AD 上任意一点，连接BE ，CE ，则BEC ∠的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．60°23．（2021·广西贵港·中考真题）如图，点A ，B ，C ，D 均在⊙O 上，直径AB ＝4，点C 是BD 的中点，点D 关于AB 对称的点为E ，若⊙DCE ＝100°，则弦CE 的长是（ ）A ．3B ．2C 3D ．124．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，O 中，点C 为弦AB 中点，连接OC ，OB ，56COB ∠=︒，点D 是AB 上任意一点，则ADB ∠度数为（ ）A ．112︒B ．124︒C ．122︒D ．134︒ 25．（2021·贵州安顺·中考真题）如图，O 与正五边形ABCDE 的两边,AE CD 相切于,A C 两点，则AOC ∠的度数是（ ）A ．144︒B ．130︒C ．129︒D ．108︒26．（2021·广东中考真题）设O 为坐标原点，点A 、B 为抛物线2yx 上的两个动点，且OA OB ⊥．连接点A 、B ，过O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 到y 轴距离的最大值（ ） A ．12 B 2C 3D ．127．（2021·福建中考真题）如图，AB 为O 的直径，点P 在AB 的延长线上，,PC PD 与O 相切，切点分别为C ，D ．若6,4AB PC ==，则sin CAD ∠等于（ ）A ．35B ．25C ．34D ．4528．（2021·山西中考真题）如图，在O 中，AB 切O 于点A ，连接OB 交O 于点C ，过点A 作//AD OB 交O 于点D ，连接CD ．若50B ∠=︒，则OCD ∠为（ ）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒29．（2021·山东泰安·中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，90B ∠=︒，120BCD ∠=︒，2AB =，1CD =，则AD 的长为（ ）A ．232B ．33C ．43D ．230．（2021·四川广元·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，AE 是以BC 为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．32π+ B ．2π- C ．1 D ．52π- 二、填空题31．（2021·广西河池·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以()23M ，为圆心，AB 为直径的圆与x 轴相切，与y 轴交于A ，C 两点，则点B 的坐标是____________．32．（2021·四川德阳·中考真题）如图，在圆内接五边形ABCDE 中，⊙EAB ⊙+⊙C +⊙CDE +⊙E ＝430°，则⊙CDA ＝_____度．33．（2021·河南中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，D 均在小正方形的顶点上，且点B ，C 在AD 上，22.5∠︒=BAC ，则BC 的长为__________．34．（2021·江苏盐城·中考真题）如图，在⊙O 内接四边形ABCD 中，若100ABC ∠=︒，则ADC ∠=________︒．35．（2021·四川宜宾·中考真题）如图，⊙O 的直径AB ＝4，P 为⊙O 上的动点，连结AP ，Q 为AP 的中点，若点P 在圆上运动一周，则点Q 经过的路径长是______．三、解答题36．（2021·山东济南·中考真题）已知：如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上两点，过点C 的切线交DA 的延长线于点E ，DE CE ⊥，连接CD ，BC ．（1）求证：2DAB ABC ∠=∠；（2）若1tan 2ADC ∠=，4BC =，求O 的半径． 37．（2021·四川内江·中考真题）如图，AB 是O 的直径，C 、D 是O 上两点，且BD CD =，过点D 的直线DE AC ⊥交AC 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ，连结AD 、OE 交于点G ． （1）求证：DE 是O 的切线；（2）若23DG AG =，O 的半径为2，求阴影部分的面积；（3）连结BE ，在（2）的条件下，求BE 的长．38．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，E 为AB 上一点，BE BC =，延长CE 交AD 于点D ，AD AC =．（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若1tan 3ACE ∠=，3OE =，求BC 的长．39．（2021·青海西宁·中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB AC =，AD 是O 的直径，交BC 于点E ，过点D 作//DF BC ，交AB 的延长线于点F ，连接BD ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）已知12AC =，15AF =，求DF 的长．40．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，AB 是O 的直径，AD 与O 交于点A ，点E 是半径OA 上一点（点E 不与点O ，A 重合）．连接DE 交O 于点C ，连接CA ，CB ．若CA CD =，ABC D ∠=∠．（1）求证：AD 是O 的切线．（2）若13AB =，5CA CD ==，则AD 的长是__________．41．（2021·四川德阳·中考真题）如图，已知：AB 为⊙O 的直径，⊙O 交⊙ABC 于点D 、E ，点F 为AC 的延长线上一点，且⊙CBF 12=⊙BOE ．（1）求证：BF 是⊙O 的切线；（2）若AB ＝2⊙CBF ＝45°，BE ＝2EC ，求AD 和CF 的长．42．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点C作CE⊙AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，⊙ECD＝⊙BCF．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．43．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，且⊙AOD＝90°，点C是⊙O外一点，分别连接CA，CB、CD，CA交⊙O于点M，交OD于点N，CB的延长线交⊙O于点E，连接AD，ME，且⊙ACD＝⊙E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）连接DM，若⊙O的半径为6，tan E＝13，求DM的长．44．（2021·四川巴中·中考真题）如图，ABC内接于⊙O，且AB＝AC，其外角平分线AD 与CO的延长线交于点D．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AD＝3BC＝6，求图中阴影部分面积．45．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在O中，AB为O的直径，直线DE与O相切于点D，割线AC DE⊥于点E且交O于点F，连接DF．（1）求证：AD平分⊙BAC；（2）求证：2DF EF AB=⋅．46．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，⊙ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作//DG BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，⊙A ＝⊙D．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分⊙ACB，BD＝12，求DE的长．47．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，在Rt⊙ABC中，⊙ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD＝3，DE＝52，求⊙O的直径．48．（2021·西藏中考真题）如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，延长OC至点D．连接AD，AC，BC．使⊙CAD＝⊙B．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，tan⊙CAD＝12，求BC的长．49．（2021·广西梧州·中考真题）如图，在Rt ⊙ACD 中，⊙ACD ＝90°，点O 在CD 上，作⊙O ，使⊙O 与AD 相切于点B ，⊙O 与CD 交于点E ，过点D 作DF ⊙AC ，交AO 的延长线于点F ，且⊙OAB ＝⊙F ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若OC ＝3，DE ＝2，求tan ⊙F 的值．50．（2021·江苏南通·中考真题）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦AE 的延长线与过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，35CAD ∠=︒，连接BC ．（1）求B 的度数；（2）若2AB =，求EC 的长．51．（2021·辽宁丹东·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，点D 是BC 的中点，过点D 作//EF BC 分别交AB 、AC 的延长线于点E 和点F ，连接AD 、BD ，ABC ∠的平分线BM 交AD 于点M ．（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若:5:2AB BE =，14AD DM 的长．52．（2021·贵州毕节·中考真题）如图1，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为ABC 内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接CE ，BD 的延长线与CE 交于点F ． （1）求证：BD CE =，BD CE ⊥；（2）如图2．连接AF ，DC ，已知135BDC ∠=︒，判断AF 与DC 的位置关系，并说明理由．53．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，点E 是ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交O 于点D ，连接BD ，BE ．（1）求证：DB DE =；（2）若3AE =，4DF =，求DB 的长．54．（2021·湖南湘西·中考真题）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ．（1）求证：AC 平分DBA ∠；（2）若8AD =，3tan 4CAB ∠=，求：边AC 及AB 的长．55．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的O 交AC 于点D ，BC 于点E ，直线EF AC ⊥于点F ，交AB 的延长线于点H ．（1）求证：HF 是O 的切线；（2）当16,cos 3EB ABE =∠=时，求tan H 的值． 56．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点M ，C ，交对角线BD 于点E ，且CE BE =，连接OE 交BC 于点F ．（1）试判断AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若3255BD =1tan 2CBD ∠=，求⊙O 的半径．57．（2021·广西贵港·中考真题）如图，⊙O 是ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，F 是AD延长线上一点，连接CD ，CF ，且⊙DCF ＝⊙CAD ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）若cos B ＝35，AD ＝2，求FD 的长．58．（2021·辽宁营口·中考真题）如图，AB 是O 直径，点C ，D 为O 上的两点，且AD CD =，连接AC ，BD 交于点E ，O 的切线AF 与BD 延长线相交于点F ，A 为切点．（1）求证：AF AE =；（2）若8AB =，2BC =，求AF 的长．59．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上的一点，AE 和过点C 的切线CD 互相垂直，垂足为E ，AE 与⊙O 相交于点F ，连接AC ．（1）求证：AC 平分EAB ∠；（2）若12AE =，3tan CAB ∠=OB 的长． 60．（2021·贵州铜仁·中考真题）如图，已知ABC ∆内接干O ，AB 是O 的直径，CAB ∠的平分线交BC 于点D ，交O 于点E ，连接EB ，作BEF CAE ∠=∠，交AB 的延长线于点F ．（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若10BF =，20EF =，求O 的半径和AD 的长．。
点和直线及圆的位置关系40题带详细解析
一．选择题〔共9小题〕1．以下语句中，正确的选项是〔 〕A．同一平面上三点确定一个圆B．能够重合的弧是等弧C．三角形的外心到三角形三边的距离相等D．菱形的四个顶点在同一个圆上2．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P〔﹣3，4〕与⊙O的位置关系是〔 〕A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙OD．无法确定3．以下说法：①过三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．其中正确的有〔 〕A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个4．如图，△ABC为⊙O的接三角形，假设∠AOC=160°，则∠ADC的度数是〔 〕A．80°B．160°C．100°D．80°或100°5．圆O的直径为10，OP=6，则点P的位置是〔 〕A．点P在圆O外B．点P在圆OC．点P在圆O上D．无法确定6．如图，⊙O的半径为3，△ABC接于⊙O，∠ACB=135°，则AB的长为〔 〕A．3B．C．D．47．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，则∠C为〔 〕A．60°B．30°C．45°D．90°8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为*的圆，假设要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆，且至少有一个点在圆外，则r的取值围是〔 〕A．3＜r＜4B．3＜r＜5C．3≤r≤5D．r＞49．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C 移动的过程中，BH的最小值是〔 〕A．5B．6C．7D．8二．填空题〔共22小题〕10．如图，△ABC为⊙O的接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，假设DE=2，则BC=．11．如图△ABC是坐标纸上的格点三角形，试写出△ABC外接圆的圆心坐标．12．如图，Rt△ABC是圆O的接三角形，过O作OD⊥BC于D，其中∠BAC=60°，半径OB=2，则弦BC=．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为．14．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE于F，连接DF．假设OE=2，DF=1，则△ABC的周长为．15．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC部的一个动点，且满足∠PAB+∠PBA=90°，则线段CP长的最小值为．16．如图，△ABC是⊙O的接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，假设点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为．17．如图，⊙O的半径为10，△ABC是⊙O的接三角形，连接OB，OC．假设∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为．18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形部一动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP的最小值是．19．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，假设∠BAD=50°，则∠ACB=°．20．如图，在平面直角坐标系中，A〔4，0〕、B〔0，﹣3〕，以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，假设点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为．21．如图，△ABC中，假设AC=4，BC=3，AB=5，则△ABC的切圆半径R=．22．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，假设∠ABC=25°，则∠P的度数为．23．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．〔1〕∠APB=；〔2〕当OA=2时，AP=．24．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，假设∠A=25°，则∠C=°．25．如图，⊙O是△ABC的切圆，切点为D，E，F，假设AD、BE的长为方程*2﹣17*+60=0的两个根，则△ABC的周长为．26．如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD=DC，则∠C=度．27．如图，⊙O与△ABC的三边相切，假设∠A=40°，则∠BOC=．28．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=8，∠P=30°，则AC的长度是．29．如图，在⊙O的接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．31．如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，且AB=AC，假设CD=2，则OE的长为．三．解答题〔共9小题〕32．如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．〔1〕求证：AB是⊙O的切线；〔2〕假设∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．33．如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 的切线交AC的延长线于点E．求证：〔1〕DE⊥AE；〔2〕AE+CE=AB．34．如图△ABC接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．〔1〕求证：PA是⊙O的切线；〔2〕假设PD=，求⊙O的直径．35．如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点．〔1〕判断直线DP与⊙O的位置关系，并说明理由；〔2〕假设DC=4，⊙O的半径为5，求PB的长．36．如图，AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E．〔1〕求证：DC是⊙O的切线；〔2〕假设⊙O半径为4，∠OCE=30°，求△OCE的面积．37．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O 为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕假设OB=5，CD=4，求BE的长．38．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C的切线交AB的延长线于点F，连接DF．〔1〕求证：DF是⊙O的切线；〔2〕连接BC，假设∠BCF=30°，BF=2，求CD的长．39．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE 交AC于点E．〔1〕求证：∠A=∠ADE；〔2〕假设AD=8，DE=5，求BC的长．40．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．〔1〕求证：PB是⊙O的切线．〔2〕假设PB=6，DB=8，求⊙O的半径．2021年11月07日189****3288的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共9小题〕1．以下语句中，正确的选项是〔 〕A．同一平面上三点确定一个圆B．能够重合的弧是等弧C．三角形的外心到三角形三边的距离相等D．菱形的四个顶点在同一个圆上【解答】解：A、同一平面上三点必须不在同一直线上才可以确定一个圆，故本选项错误；B、能够重合的弧是等弧，正确；C、三角形的外心到三角形三个定点的距离相等，到三边的距离不一定相等，故本选项错误；D、菱形的对角相等，但不一定互补，所以四个顶点不一定在同一个圆上，故本选项错误．应选：B．2．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P〔﹣3，4〕与⊙O的位置关系是〔 〕A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙OD．无法确定【解答】解：∵圆心P的坐标为〔﹣3，4〕，∴OP==5．∵⊙O的半径为5，∴点P在⊙O上．3．以下说法：①过三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．其中正确的有〔 〕A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【解答】解：①过三点可以作圆；错误，应该是过不在同一直线上的三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；正确；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；正确；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．正确；应选：C．4．如图，△ABC为⊙O的接三角形，假设∠AOC=160°，则∠ADC的度数是〔 〕A．80°B．160°C．100°D．80°或100°【解答】解：∵∠AOC=2∠B，∠AOC=160°，∴∠B=80°，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠ADC=100°，应选：C．5．圆O的直径为10，OP=6，则点P的位置是〔 〕A．点P在圆O外B．点P在圆OC．点P在圆O上D．无法确定【解答】解：圆O的直径为10，OP=6，∴该圆的半径为5，∴点P在圆O外，应选：A．6．如图，⊙O的半径为3，△ABC接于⊙O，∠ACB=135°，则AB的长为〔 〕A．3B．C．D．4【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=3，∴AB=3，应选：B．7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，则∠C为〔 〕A．60°B．30°C．45°D．90°【解答】解：连接AO和BO，∵⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠C=∠AOB=×60°=30°，应选：B．8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为*的圆，假设要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆，且至少有一个点在圆外，则r的取值围是〔 〕A．3＜r＜4B．3＜r＜5C．3≤r≤5D．r＞4【解答】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，则BD==5．由图可知3＜r＜5．应选：B．9．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C 移动的过程中，BH的最小值是〔 〕A．5B．6C．7D．8【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD=90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD==12，BM===13，∴BH的最小值为BM﹣MH=13﹣5=8．应选：D．二．填空题〔共22小题〕10．如图，△ABC为⊙O的接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，假设DE=2，则BC= 4 ．【解答】解：∵OD⊥AB，∴AD=DB，∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴DE为△ABC的中位线，∴DE=BC，∴BC=2DE=2×2=4．故答案为：411．如图△ABC是坐标纸上的格点三角形，试写出△ABC外接圆的圆心坐标 〔5，2〕 ．【解答】解：由图象可知B〔1，4〕，C〔1，0〕，根据△ABC的外接圆的定义，圆心的纵坐标是y=2，设D〔a，2〕，根据勾股定理得：DA=DC〔1﹣a〕2+22=42+〔3﹣a〕2解得：a=5，∴D〔5，2〕．故答案为：〔5，2〕．12．如图，Rt△ABC是圆O的接三角形，过O作OD⊥BC于D，其中∠BAC=60°，半径OB=2，则弦BC= 2．【解答】解：连接OC∵∠BAC=60°∴∠BOC=120°∵OB=OC，OD⊥BC∴BD=CD，∠BOD=∠COD=60°∵BO=2，∠BOD=60°，OD⊥BC∴OD=1，BD=OD=∴BC=2故答案为213．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为﹣6 ．【解答】解：∵CE⊥AD，∴∠AEC=90°，∴点E在以AC为直径的圆上，取AC的中点O，以AC为直径作⊙O，当O、E、B共线时，BE的长最小，Rt△OCB中，OC=OE=6，BC=5，∴OB==，∴BE=OB﹣OE=﹣6，则BE的最小值为：﹣6，故答案为：﹣6．14．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE于F，连接DF．假设OE=2，DF=1，则△ABC的周长为 6+2．【解答】解：延长CF交AB于点G，过C作CH⊥AB于H，连BO．∵BC、OE互相平分∴四边形BECO为平行四边形∵OB=OC∴四边形BECO为菱形∴=∵OE=2∴Rt△BOD中，tan∠BOD=∴∠BOD=60°∴∠BAE=∠EAC=30°∵CF⊥AE∴F为GC中点，△AGC为等边三角形∴BG=2DF=2在Rt△BCH中BH2+HC2=BC2∴〔2+GH〕2+〔〕2=62解得GH=〔舍去〕或GH=，∴AG=AC=﹣1+，∴△ABC的周长为6+2．故答案为：6+2．15．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC部的一个动点，且满足∠PAB+∠PBA=90°，则线段CP长的最小值为 2 ．【解答】解：∵∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴P在以AB为直径的圆周上〔P在△ACB部〕，连接OC，交⊙O于P，此时CP的值最小，如图，∵AB=6，∴OB=3，∵BC=4，∴由勾股定理得：OC=5，∴CP=5﹣3=2，故答案为：2．16．如图，△ABC是⊙O的接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，假设点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为 5．【解答】解：连接OA、OP，连接OB交AP于H，由圆周角定理得，∠AOB=2∠C=60°，∵PB=AB，∴∠POB=60°，OB⊥AP，则AH=PH=OP×sin∠POH=，∴AP=2AH=5，故答案为：5．17．如图，⊙O的半径为10，△ABC是⊙O的接三角形，连接OB，OC．假设∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为 10．【解答】解：作OH⊥BC于H，则BH=HC，由圆周角定理得，∠BAC=∠BOC，∵∠BAC+∠BOC=180°，∴∠BOC=120°，∴∠OBC=30°，∴BH=OB×cos∠OBH=5，∴BC=2BH=10，故答案为：10．18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形部一动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP的最小值是﹣4 ．【解答】解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴OP=OA=OB〔直角三角形斜边中线等于斜边一半〕，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=5，OB=4，∴OC=，∴PC=OC﹣OP=﹣4．∴PC最小值为﹣4．故答案为：﹣4．19．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，假设∠BAD=50°，则∠ACB= 40 °．【解答】解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠D=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，∴∠ACB=∠D=40°．故答案为40．20．如图，在平面直角坐标系中，A〔4，0〕、B〔0，﹣3〕，以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，假设点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为 1.5 ．【解答】解：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1是AP1的中点，当点P在线段AB上时，C2是中点，取C1C2的中点为D，点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆，当O、C、D共线时，OC 的长最小，设线段AB交⊙B于Q，Rt△AOB中，OA=4，OB=3，∴AB=5，∵⊙B的半径为2，∴BP1=2，AP1=5+2=7，∵C1是AP1的中点，∴AC1=3.5，AQ=5﹣2=3，∵C2是AQ的中点，∴AC2=C2Q=1.5，C1C2=3.5﹣1.5=2，即⊙D的半径为1，∵AD=1.5+1=2.5=AB，∴OD=AB=2.5，∴OC=2.5﹣1=1.5，故答案为：1.5．21．如图，△ABC中，假设AC=4，BC=3，AB=5，则△ABC的切圆半径R= 1 ．【解答】解：∵AC=4，BC=3，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∴△ABC的切圆半径R===1．故答案为1．22．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，假设∠ABC=25°，则∠P的度数为 40° ．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOP=2∠ABC=50°，∵PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°﹣∠AOP=40°，故答案为：40°．23．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．〔1〕∠APB= 60° ；〔2〕当OA=2时，AP= 2．【解答】解：〔1〕∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°，故答案为：60°．〔2〕如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP===2，故答案为：2．24．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，假设∠A=25°，则∠C= 40 °．【解答】解：连接OD，∵CD与圆O相切，∴OD⊥DC，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA=25°，∵∠COD为△AOD的外角，∴∠COD=50°，∴∠C=90°﹣50°=40°．故答案为：40．25．如图，⊙O是△ABC的切圆，切点为D，E，F，假设AD、BE的长为方程*2﹣17*+60=0的两个根，则△ABC的周长为 40 ．【解答】解：∵*2﹣17*+60=0，∴*=5或*=12∴AD=5，BE=12，∵⊙O是△ABC的切圆，∴AD=AF=5，BE=BF=12，又设⊙O的半径为r，∴AC=5+r，BC=12+r，AB=17∴由勾股定理可知：〔5+r〕2+〔12+r〕2=172，∴解得：r=3或r=﹣20〔舍去〕∴AC=8，BC=15，∴△ABC的周长为：8+15+17=40故答案为：40；26．如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD=DC，则∠C= 45 度．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵BC为切线，∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∵AD=CD，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠C=45°．故答案为45．27．如图，⊙O与△ABC的三边相切，假设∠A=40°，则∠BOC= 110° ．【解答】解：∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∵⊙O与△ABC的三边相切，∴点O是△ABC的心，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=〔∠ABC+∠ACB〕=70°，∴∠BOC=180°﹣〔∠OBC+∠OCB〕=110°，故答案为：110°．28．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=8，∠P=30°，则AC的长度是 4．【解答】解：∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴∠AOP=60°，AP=OA=4，∵∠AOP=∠C+∠OAC=60°，而∠C=∠OAC，∴∠C=30°，∴AC=AP=4．故答案为4．29．如图，在⊙O的接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为 30° 【解答】解：连接OD，如图，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BAD=180°﹣120°=60°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=60°，∵PD为切线，∴OD⊥PD，∴∠ODP=90°，∴∠ADP=90°﹣60°=30°．故答案为30°．30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，∴点D是AB中点，∴CD=BD=AB=5，连接DF，∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD=90°，∴BF=CF=BC=4，∴DF==3，连接OF，∵OC=OD，CF=BF，∴OF∥AB，∴∠OFC=∠B，∵FG是⊙O的切线，∴∠OFG=90°，∴∠OFC+∠BFG=90°，∴∠BFG+∠B=90°，∴FG⊥AB，∴S△BDF=DF×BF=BD×FG，∴FG===，故答案为．31．如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，且AB=AC，假设CD=2，则OE的长为．【解答】解：连接OA、AD，如右图所示，∵BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，∴∠DAB=90°，∠OAC=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ACO和△BAD中，，∴△ACO≌△BAD〔ASA〕，∴AO=AD，∵AO=OD，∴AO=OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO=∠DAO=60°，∴∠B=∠C=30°，∠OAE=30°，∠DAC=30°，∴AD=DC，∵CD=2，∴AD=2，∴点O为AD的中点，OE∥AD，OE⊥AB，∴OE=，故答案为：．三．解答题〔共9小题〕32．如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．〔1〕求证：AB是⊙O的切线；〔2〕假设∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．【解答】解：〔1〕如图，连接OA；∵OC=BC，AC=OB，∴OC=BC=AC=OA．∴△ACO是等边三角形．∴∠O=∠OCA=60°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，∴∠B=30°，又∠OAC=60°，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线；〔2〕解：作AE⊥CD于点E，∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=；∵∠D=30°，∴AD=2，∴DE=AE=，∴CD=DE+CE=+．33．如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 的切线交AC的延长线于点E．求证：〔1〕DE⊥AE；〔2〕AE+CE=AB．【解答】证明：〔1〕连接OD，如图1所示．∵OA=OD，AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠ODA，∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴AE∥OD．∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE⊥AE．〔2〕过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，如图2所示．∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB，∴DE=DM．在△DAE和△DAM中，，∴△DAE≌△DAM〔SAS〕，∴AE=AM．∵∠EAD=∠MAD，∴=，∴CD=BD．在Rt△DEC和Rt△DMB中，，∴Rt△DEC≌Rt△DMB〔HL〕，∴CE=BM，∴AE+CE=AM+BM=AB．34．如图△ABC接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．〔1〕求证：PA是⊙O的切线；〔2〕假设PD=，求⊙O的直径．【解答】解：〔1〕证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．〔2〕在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴PD=OA，∵PD=，∴2OA=2PD=2．∴⊙O的直径为2．35．如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点．〔1〕判断直线DP与⊙O的位置关系，并说明理由；〔2〕假设DC=4，⊙O的半径为5，求PB的长．【解答】解：〔1〕直线DP与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵AC是∠EAB的平分线，∴∠EAC=∠OAC∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，∴∠ACO=∠DAC，∴OC∥AD，∵CD⊥AE，∴OC⊥CD，∴DP是⊙O的切线；〔2〕作CH⊥AB于H，如图，∵AC是∠EAB的平分线，CD⊥AD，CH⊥AB，∴CH=CD=4，∴OH==3，∵OC⊥CP，∴∠OCP=∠CHO=90°，而∠COP=∠POC，∴△OCH∽△OPC，∴OC：OP=OH：OC，∴OP==，∴PB=OP﹣OB=﹣5=．36．如图，AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E．〔1〕求证：DC是⊙O的切线；〔2〕假设⊙O半径为4，∠OCE=30°，求△OCE的面积．【解答】〔1〕证明：连接DO，如图，∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中∴△COD≌△COB〔SAS〕，∴∠CDO=∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO=90°，∴∠CDO=90°，∴OD⊥CE，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；〔2〕解：由〔1〕可知∠OCB=∠OCD=30°，∴∠DCB=60°，又BC⊥BE，∴∠E=30°，在Rt△ODE中，∵tan∠E=，∴DE==4，同理DC=OD=4，∴S △OCE=•OD•CE=×4×8=16．37．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O 为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕假设OB=5，CD=4，求BE的长．【解答】〔1〕证明：连接OD．∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠OBD=∠CBD∵∠CBD=∠ODB，∴OD∥BC∵∠C=90°，∴∠ODC=90°∴OD⊥AC∵点D在⊙O上，∴AC是⊙O的切线〔2〕过圆心O作OM⊥BC交BC于M．∵BE为⊙O 的弦，且OM⊥BE∴BM=EM∵∠ODC=∠C=∠OMC=90°∴四边形ODCH为矩形，则OM=DC=4∵OB=5∴BM==3=EM∴BE=BM+EM=6．38．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C的切线交AB的延长线于点F，连接DF．〔1〕求证：DF是⊙O的切线；〔2〕连接BC，假设∠BCF=30°，BF=2，求CD的长．【解答】〔1〕证明：连接OD，如图，∵CF是⊙O的切线∴∠OCF=90°，∴∠OCD+∠DCF=90°∵直径AB⊥弦CD，∴CE=ED，即OF为CD的垂直平分线∴CF=DF，∴∠CDF=∠DCF，∵OC=OD，∴∠CDO=∠OCD∴∠CDO+∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；〔2〕解：∵∠OCF=90°，∠BCF=30°，∴∠OCB=60°，∵OC=OB，∴△OCB为等边三角形，∴∠CFO=30°∴FO=2OC=2OB，∴FB=OB=OC=2，在Rt△OCE中，∵∠COE=60°，∴OE=OC=1，∴CE=OE=，∴CD=2CE=．39．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE 交AC于点E．〔1〕求证：∠A=∠ADE；〔2〕假设AD=8，DE=5，求BC的长．【解答】〔1〕证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A．〔2〕解：连接CD．∴AE=DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED=EC，∴AE=EC，∵DE=5，∴AC=2DE=10，在Rt△ADC中，DC=6，设BD=*，在Rt△BDC中，BC2=*2+62，在Rt△ABC中，BC2=〔*+8〕2﹣102，∴*2+62=〔*+8〕2﹣102，解得*=，∴BC==．40．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．〔1〕求证：PB是⊙O的切线．〔2〕假设PB=6，DB=8，求⊙O的半径．【解答】解：〔1〕∵DE⊥PE，∴∠E=90°，∵∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠EDB+∠DOE=∠EPB+∠POB，即∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；〔2〕在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，根据勾股定理得：PD==10，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=6，∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4．在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，根据勾股定理得：〔8﹣r〕2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为3．。
初三点与圆的位置关系练习题
初三点与圆的位置关系练习题一、选择题1. 在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2, -3)，半径为5。
若一点坐标为(6, 2)，它与该圆的位置关系是：A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外2. 已知半径为r的圆C的圆心坐标为(3, 4)，圆上有一点A。
如果点A和点C的距离等于圆的半径r，那么点A的坐标可能是：A. (3, 3)B. (6, 8)C. (3, 7)3. 在平面直角坐标系中，圆心为(-1, 2)，半径为3。
若一点坐标为(1,5)，它与该圆的位置关系是：A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外4. 设圆C的半径为r，圆心坐标为(-2, 3)。
若一点A的坐标为(2, 2)，点A到圆心的距离小于半径r，则点A与圆C的位置关系为：A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外二、填空题1. 平面直角坐标系中，圆心坐标为(4, -1)，半径为6。
满足条件的一点的坐标是(2, )。
2. 如果圆C的半径为5，圆心坐标为(2, 3)，那么圆C上坐标为(8, )的一点的纵坐标为。
3. 设圆C的半径为r，圆心坐标为(3, -4)。
若一点A的坐标为(0, -2)，点A与圆C的位置关系是（填：在圆内/在圆上/在圆外）。
4. 在平面直角坐标系中，圆心坐标为(-3, 0)，半径为6。
如果一点的纵坐标为-6，则该点的横坐标可以取（填：）。
三、计算题1. 在平面直角坐标系中，圆C的半径为5，圆心坐标为(2, -1)。
如果一点A的坐标为(7, 3)，求点A与圆C的距离。
2. 已知圆C的半径为6，圆心坐标为(-3, 2)。
若一点B的坐标为(-4, 1)，求点B到圆C的距离。
3. 设圆C的半径为r，圆心坐标为(4, 1)。
若一点的横坐标为5，纵坐标为2，且点与圆心的距离等于半径r，则求半径r的值。
4. 平面直角坐标系中，已知半径为r的圆C的圆心坐标为(-1, 4)。
如果一点D的坐标为(3, 6)，求点D与圆C的距离的平方。
四、解答题1. 在平面直角坐标系中，圆C的圆心坐标为(1, -2)，半径为4。
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分类讨论一．点和圆的位置关系练习1：若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，则此圆的半径为2：P在⊙O内，距圆心O的距离为4，⊙O半径长为5，经过P点，交于⊙O 的弦为整数的有多少条？3：⊙O的半径为2.5，动点P到定点O的距离为2，动点Q到P的点的距离为1，则点P、Q与⊙O有何位置关系二、弦所对的圆周角有两种情况1：半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条弦所对的圆周角的度数等于____。
2、圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（）。
A.30°或60°B.60°C.150°D.30°或150°3 ：一条弦分圆周为3：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为。
三、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论1.圆O的直径为10cm，弦AB//CD，AB=6cm，，求AB和CD的距离。
2、已知弓形的弦长为8cm，所在圆的半径为5cm，则弓形的高为多少？3、已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，∠BAC=30°．在图中作弦AD，使AD=1，并求∠CAD的度数．4、油桶问题：一个横截面为圆的圆柱形油桶，放倒后油面为60cm，其半径为50cm，求油面的最大深度？两个答案：要考虑油面是否高于半圆，一个是低于半圆，一个是高于半圆。
5、拱桥问题：某地有一座圆弧形拱桥圆心为O，桥下水面宽度为7.2m，过O 作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面AB=2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？四、点在直径上的位置不唯一，需要分类讨论1、已知⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB于点于点M。
若OM：OA=3：5，则弦AC的长为多少？五、点与弦的相对位置时，需要分类讨论1：⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD＝48°，则∠BAC＝_________。
2：在⊙O中，AB为直径，CD为弦，AB⊥CD，P为圆周上与C、D不重合的任意一点。
判断COB 与CPD 的数量关系，并尝试证明你的结论。
六、三角形与圆心的位置关系1：已知内接于圆O，，则的度数为________。
2、已知圆内接中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为6cm,求腰长AB。
（两种情况如图5、图6）3、△ABC是半径为2cm的园内接三角形，若BC=23cm，则∠A的度数为4、已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长。
七、角与圆心的位置关系1、在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为和，则∠BAC的度数是____。
八、点在弧上的位置，需要分类讨论1：如下图，在平面直角坐标系中，P 是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则∠OPB＝_________度。
（分p在x轴的两侧）九、圆与圆的位置关系 1、已知圆和圆相内切，圆心距为，圆半径为，求圆的半径。
2、两圆相切，半径分别为4cm和6cm，求两圆的圆心距。
3.、相交两圆的半径分别为8和5，公共弦为8，这两个圆的圆心距等于_______解：（1）当两圆的圆心在公共弦的同侧时，如图，（2）当两圆的圆心在公共弦的异侧时，如图4.过不在⊙O上的一点A，作⊙O的割线，交⊙O于B、C，且AB·AC＝64，OA ＝10，则⊙O的半径R为_____（1）点A在⊙O内，如图1，（2）点A在⊙O外，如图2，5、如图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则∠OAB＝_________度，∠OPB＝_________度。
6、已知在直径AB为13的半圆上有一点C，CD⊥AB，垂足为D，且CD＝6，求AD的长.本题可以拓展到整圆：已知：⊙O的半径为5，AB为直径，弦CD⊥AB，CD=6，则AE= (1或9)7、如图,在平面直角坐标系中,已知⊙C的半径为r,直线l:,与x轴、y轴分别交于A、B两点.（1）当r=1.5时，将⊙C从点C与坐标原点重合开始, 沿y轴向下运动,当⊙C与直线l相切时,点C移动的距离是 6.5或1.5（2）若点C位于坐标原点O,当⊙C与△OAB的斜边AB有1个公共点时,r的取值范围是 r＝2.4或3＜r≤4。
（3）若点C位于坐标原点O,当⊙C与△OAB的边有2个交点时,r的取值范围是0＜r＜2.4或3＜r＜4 。
最值问题1.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,点M是AD边的中点,点N是AB 边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN,连结A′C,则A′C长度的最小值是---2如图，在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P 也随之运动。
若AD=2，线段CP的最小值是___.3如图,AB是O的一条弦,点C是O上一动点,且∠ACB=30°，点E. F分别是AC、BC的中点，直线EF与O交于G、H两点。
若O的半径为7，则GE+FH的最大值为___.4在平面直角坐标系xOy中,已知点A(6,0),点B(0,6),动点C在以半径为3的O上,连接OC,过O点作OD⊥OC,OD与O相交于点D(其中点C. O、D按逆时针方向排列)，连接AB.(1)当OC∥AB时，∠BOC的度数为___；(2)连接AC，BC，当点C在O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大?并求出△ABC的面积的最大值；(3)连接AD,当OC∥AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为O的切线?请作出判断，并说明理由。
5.如图,在Rt△AOB中,OA=OB=32√,O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作O的一条切线PQ(点Q为切点)，则切线PQ的最小值为___.6如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD=4时，求：(1)AP+BP的最小值。
(2)AP?BP的最大值7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是___.8.如图,已知A,B两点的坐标分别为(2,0),(0,2),C的圆心坐标为(?1,0)，半径为1.若D是C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是___.9.如图,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB=22√，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连接EF.(1)探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；(2)求出该最小值。
10.如图，在△ABC中，已知AB=5，BC=8，AC=7，动点P、Q分别在边AB、AC 上，使△APQ的外接圆与BC相切，则线段PQ的最小值等于______.11.如图，点C在以AB为直径的O上，CD⊥AB于P，设AP=a，PB=b.(1)求弦CD的长；(2)如果a+b=10，求ab的最大值，并求出此时a，b的值。
12.如图,已知半径为2的O有两条互相垂直的弦AB和CD,其交点E到圆心O 的距离为1,则AB2+CD2=___.13.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作D，P为D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（?）14.如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是___.15．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．如图,C、D是以AB为直径的O上的两个动点(点C. D与点A. B不重合)，在运动过程中弦CD长始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P.若CD=3，AB=5，PM=l，则l的最大值是___.16.如图，AB是O的直径，点C在O上，点P在线段OA上运动。
设∠BCP=α，则α的最大值是___.17.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O是一动点且P在第一象限内，过P作⊙O切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. 则线段AB的最小值是______.如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆O，C为半圆AB上不与A. B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b.如图,已知直线MN经过⊙O上的点A,点B在MN上,连OB交⊙O于C点,且点C 是OB的中点,AC=12OB,若点P是⊙O上的一个动点,当AB=23√时，求△APC的面积的最大值。
(2012?仙居县二模)如图，已知AB是O的弦，C是O上的一个动点，连接AC、BC，∠C=60°，O的半径为2，则△ABC面积的最大值是（?）如图，半圆O的半径为1，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=1，BD=3，P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC面积的最大值是___.如图,AB是O的直径,AB=8,点M在O上,∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是直径AB上的一动点。
若MN=1,则△PMN周长的最小值为()如图,在平面直角坐标系中,已知O的半径为1,动直线AB与x轴交于点P(x,0),直线AB与x轴正方向夹角为45°,若直线AB与O有公共点,则x的取值范围是()如图,直线y=3√3x+3√与x轴、y轴分别相交于A. B两点,圆心P的坐标为(1,0),P与y轴相切于点O,若将P沿x轴向左平平移，当P向左平移___个单位长度时，P与该直线相切。