最新初中数学竞赛——-巧添辅助线
初中数学竞赛平面几何讲座---巧添辅助-- 妙解竞赛题
初中数学巧添辅助-- 妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1 作出三角形的外接圆例1如图1,在△ABC中,AB＝AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A.求证：BD＝2CD.ABGC DFE 图1例 2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝∠BCD ＝90°, AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2.则sin ∠AOB ＝____.例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P . 求证：△ABC 的面积S ＝43AP ·BD .A图3BP QD HC ABCDPO图22 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长.2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.A EDCB图4图5例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N . 求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2.EANCD B FM 12345图6例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.同步练习题1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD.2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a . 求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数.(1)(2)图8ABCA'B'C'cb a'c'b'3. 如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2.4. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D . 求证：AC 2＝AB ·AE .6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1.F DAB EC图10C图11初中数学巧添辅助-- 妙解竞赛题答案在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化. 1.1 作出三角形的外接圆例1 如图1,在△ABC 中,AB ＝AC ,D 是底边BC 上一点,E 是线段AD 上一点且∠BED ＝2∠CED ＝ ∠A .求证：BD ＝2CD .分析：关键是寻求∠BED ＝2∠CED 与结论的联系. 容易想到作∠BED 的平分线,但因BE ≠ED ,故不能 直接证出BD ＝2CD .若延长AD 交△ABC 的外接圆 于F ,则可得EB ＝EF ,从而获取.证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F ,连结CF 与BF ,则∠BFA ＝∠BCA ＝∠ABC ＝∠AFC ,即∠BFD ＝∠CFD .故BF :CF ＝BD :DC .又∠BEF ＝∠BAC ,∠BFE ＝∠BCA ,从而∠FBE ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠BFE . 故EB ＝EF .作∠BEF 的平分线交BF 于G ,则BG ＝GF . 因∠GEF ＝21∠BEF ＝∠CEF ,∠GFE ＝∠CFE ,故△FEG ≌△FEC .从而GF ＝FC . 于是,BF ＝2CF .故BD ＝2CD . 1.2 利用四点共圆例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝ ∠BCD ＝90°,AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2. 则sin ∠AOB ＝____.ABGCD FE图1ABCDPO 图2分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝21BP ＝4－3. 由托勒密定理有BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝233. 故sin ∠AOB ＝263615 . 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD ,AH ⊥CD 于H ,CP ⊥BC ,CP 交AH 于P .求证： △ABC 的面积S ＝43AP ·BD . 分析：因S △ABC ＝43BC 2＝43AC ·BC ,只 须证AC ·BC ＝AP ·BD ,转化为证△APC ∽△BCD .这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明：记BD 与AH 交于点Q ,则由AC ＝AD ,AH ⊥CD 得∠ACQ ＝∠ADQ . 又AB ＝AD ,故∠ADQ ＝∠ABQ .从而,∠ABQ ＝∠ACQ .可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. ∵∠APC ＝90°＋∠PCH ＝∠BCD ,∠CBQ ＝∠CAQ , ∴△APC ∽△BCD . ∴AC ·BC ＝AP ·BD . 于是,S ＝43AC ·BC ＝43AP ·BD . A图3BPQDHC2 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决. 2.1 联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ＝DC ＝DB ＝p ,BC ＝q .求对角线AC 的长.分析：由“AD ＝DC ＝DB ＝p ”可知A 、B 、C 在 半径为p 的⊙D 上.利用圆的性质即可找到AC 与 p 、q 的关系.解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE . 显然A 、B 、C 在⊙D 上. ∵AB ∥CD ,∴BC ＝AE . 从而,BC ＝AE ＝q .在△ACE 中,∠CAE ＝90°,CE ＝2p ,AE ＝q ,故 AC ＝22AE CE -＝224q p -. 2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x 2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC .若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____.分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点A 的范围,进而确定AD 的取值范围. 解：如图5,所给抛物线的顶点为A 0(1,9), 对称轴为x ＝1,与x 轴交于两点B (－2,0)、 C (4,0).分别以BC 、DA 为直径作⊙D 、⊙E ,则两圆与抛物线均交于两点P (1－22,1)、A EDCB图4图5Q (1＋22,1).可知,点A 在不含端点的抛物线PA 0Q 内时,∠BAC ＜90°.且有3＝DP ＝DQ ＜AD ≤DA 0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD ≤9. 2.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6 AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .分析：因AB 2－AN 2＝(AB ＋AN )(AB －AN )＝BM ·BN ,而由题设易知AM ＝AN ,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论. 证明：如图6,∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°, 又∠3＝∠4,∠1＝∠5, ∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN . 以AM 长为半径作⊙A ,交AB 于F ,交 BA 的延长线于E .则AE ＝AF ＝AN . 由割线定理有 BM ·BN ＝BF ·BE ＝(AB ＋AE )(AB －AF ) ＝(AB ＋AN )(AB －AN ) ＝AB 2－AN 2, 即 AB 2－AN 2＝BM ·BN .例7 如图7,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2. 分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G ,连 结CG .因∠FDC ＝∠ABC ＝∠CGE ,故F 、D 、C 、G 四点共圆.EA N D BFM 12345图6由切割线定理,有 EF 2＝(EG ＋GF )·EF ＝EG ·EF ＋GF ·EF ＝EC ·ED ＋FC ·FB＝EC ·ED ＋FC ·FB ＝EP 2＋FQ 2,即 EP 2＋FQ 2＝EF 2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆 例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇ C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、 b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇. 分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示. ∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇,∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD .∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB .有DC B A ''＝CB C B ''＝DBC A '',即 DC c '＝a a '＝DB b '.故DC ＝''a ac ,DB ＝''a ab .又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a . 从而,由托勒密定理,得 AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD , 即 a 2＝c ·''a ac ＋b ·''a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.练习题(1)(2)图8ABCA'B'C'ca b a'c'b'A BCDa b b c图91. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A ,则AC AB ＝DCBD. (提示：不妨设AB ≥AC ,作△ADC 的外接圆交AB 于E ,证△ABC ∽△DBE ,从而AC AB ＝DEBD＝DCBD.) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE ＝3a ,BC ＝CD ＝DE ,∠BCD ＝∠CDE ＝180°－2a .求证：∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .(提示：由已知证明∠BCE ＝∠BDE ＝180°－3a ,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC ＝∠CAD ＝∠DAE .)3. 在△ABC 中AB ＝BC ,∠ABC ＝20°,在AB 边上取一点M ,使BM ＝AC .求∠AMC 的度数. (提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC ,连结KM ,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM ＝21∠BKM ＝10°,得∠AMC ＝30°.) 4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF ⊥AF ,CE ⊥AE .求证：AB ·AE ＋AD ·AF ＝AC 2. (提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点 G 、H .则CG ＝AH ,由割线定理可证得结论.) 5. 如图11.已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B ,直线CD 过A 交⊙O 1和⊙O 2于C 、D ,且AC ＝AD ,EC 、ED 分别切两圆于C 、D .求证：AC 2＝AB ·AE . (提示：作△BCD 的外接圆⊙O 3,延长BA 交⊙O 3 于F ,证E 在⊙O 3上,得△ACE ≌△ADF ,从而AE ＝AF ,由相交弦定理即得结论.)6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点. 求证：AB ·AC ＝AE 2－BE 2.(提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E ,交AE 及其延长线于N 、M ,由△ANC ∽△ABM 证AB ·AC ＝AN ·AM .)7. 若正五边形ABCDE 的边长为a ,对角线长为b ,试证：a b －ba＝1. (提示：证b 2＝a 2＋ab ,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)FDAEC图10图11。
初中几何添辅助线方法
初中几何添辅助线方法初中几何学中，添辅助线是解题的常用方法之一。
通过巧妙地引入辅助线，可以简化问题，帮助我们更好地理解和解决几何问题。
本文将介绍几种常见的初中几何添辅助线方法。
一、三角形的辅助线方法1. 垂心和垂足当我们遇到一个三角形，需要证明某条线段平行于另一条线段时，可以考虑引入垂心和垂足。
通过引入垂心和垂足，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。
2. 中位线中位线是连接三角形两个顶点和中点的线段。
在解决三角形问题时，可以考虑引入中位线。
中位线将三角形分成两个全等的三角形，从而简化问题。
3. 角平分线角平分线将一个角分成两个相等的角。
在解决三角形问题时，可以考虑引入角平分线。
通过引入角平分线，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。
二、四边形的辅助线方法1. 对角线对角线是四边形两个非相邻顶点之间的线段。
在解决四边形问题时，可以考虑引入对角线。
通过引入对角线，我们可以将四边形分成两个全等的三角形，从而简化问题。
2. 中线中线是连接四边形两个相邻顶点中点的线段。
在解决四边形问题时，可以考虑引入中线。
中线将四边形分成两个全等的三角形，从而简化问题。
三、圆的辅助线方法1. 半径和切线在解决圆的问题时，可以考虑引入半径和切线。
通过引入半径和切线，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。
2. 弦和切线在解决圆的问题时，可以考虑引入弦和切线。
通过引入弦和切线，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。
四、其他几何图形的辅助线方法1. 高和底边在解决梯形或三角形问题时，可以考虑引入高和底边。
通过引入高和底边，我们可以得到一些等腰三角形或全等三角形，从而简化证明过程。
2. 中线在解决平行四边形问题时，可以考虑引入中线。
中线将平行四边形分成两个全等的三角形，从而简化问题。
初中几何学中的添辅助线方法是解题的重要手段之一。
通过巧妙地引入辅助线，我们可以简化问题，帮助我们更好地理解和解决几何问题。
初中数学竞赛—— 巧添辅助线
初一数学联赛班七年级第16讲巧添辅助线知识总结归纳一.截长补短法证明某线段长度等于另外两线段的和或者差，可以采取截长补短法。
二.角平分线相关的辅助线因为角平分线是角的两边的对称轴，所以一定要有对称、翻折的感觉。
三.等腰三角形“三线合一”的运用等腰三角形有很多特殊的性质，尤其要注意“三线合一”定理和逆定理的运用。
四.倍长中线法倍长中线的目的是构造全等三角形，转移边和角的关系，从而使条件变得集中。
典型例题一.截长补短法【例1】如图，ABC△中，2C B∠=∠，AD平分BAC∠，求证：AB AC CD-=．【例2】如图，在Rt ABC△中，90C︒∠=，AC BC=,AD平分CAB∠，求证：AB AC CD=+．ACBDBCA初一数学联赛班 七年级【例3】 如图，AB CD ∥，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+．【例4】 已知，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，180B D ∠+∠=．求证：AE AD BE =+．二. 等腰三角形经典模型的运用【例5】 如图，BO 平分CBA ∠，CO 平分ACB ∠，MN 与BC 平行，如12AB =，24BC =，18AC =，求AMN △的周长．M CBANOEDCB ADBACE初一数学联赛班七年级【例6】如图，已知在ABC△中，AD平分BAC∠，BD AD⊥，DE AC∥，求证：BE AE=．三.等腰三角形“三线合一”的运用【例7】如图，在等腰ABC△中，AB AC=，D是BC的中点，过A作AE DE⊥，AF DF⊥，且AE AF=．求证：EDB FDC∠=∠．【例8】如图，在等腰ABC△中，AB AC=，D是BC的中点，过A的直线//MN BC，在直线MN上点A的两侧分别取点E、F，且AE AF=．求证：DE DF=．ECDBACBFEADNCBAMFED初一数学联赛班 七年级【例9】 如图，2AB AC =，BAD CAD ∠=∠，DA DB =，求证：DC AC ⊥．【例10】 已知：3ABC C ∠=∠，BAE CAE ∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．四. 倍长中线法【例11】 已知，如图ABC △中，3AB =，5AC =，求中线AD 长度的取值范围．DCBADCBAECBA初一数学联赛班七年级【例12】如图，AD为ABC△的中线，AE EF=．求证：BF AC=．【例13】如图，在ABC△中，AD为中线，并且90BAD∠=，45DAC∠=．求证：2AB AD=．【例14】如图，在ABC△中（AB AC≠），D、E在BC上，且DE EC=，过D作DF BA∥交AE于点F，DF AC=．求证：AE平分BAC∠．FECBADDCBAE CDBAF初一数学联赛班 七年级【例15】 如图，在ABC △中，90C ∠=，M 为AB 的中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且PM QM⊥于M ．求证：222PQ AP BQ =+．思维飞跃【例16】 如图，已知100BAC ∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，求证：AE BE BC +=．【例17】 已知，在ABC △中，60A ∠=，BD CE 、分别平分ABC ∠和ACB ∠．BD CE 、交于点O ，试判断BE CD BC 、、的数量关系，并加以证明．ABECDOBECA初一数学联赛班七年级【例18】如图，已知锐角ABC△中，BE CF、是高，在BE或者CF的延长线上，分别截取BQ CA=，CP BA=，且BM BC⊥，QN BC⊥．求证：PM QN BC+=．【例19】如图，AM是ABC△的中线，ABF△和AEC△均为等腰直角三角形，且90FAB EAC∠=∠=．求证：2EF AM=．作业1.已知：AD平分BAC∠，AC AB BD=+，求证：2B C∠=∠；AB D CEFPNM CBQA初一数学联赛班 七年级2. 如图，在四边形ABCD 中，已知AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，1()2AE AB AD =+，求证：180ABC ADC ∠+∠=．3. 如图，已知108BAC ∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，求证：AB CE BC +=．4. 已知，AD 是ABC △的角平分线，CD DE =，EF AB ∥，求证：EF AC =．CA BDFEBECAABDCE初一数学联赛班七年级5.如图，已知OA OB=，AC BD=，且O A A C⊥，OB BD⊥，M为CD的中点．证明：OM平分AOB∠．6.如图，ABC△中，2AB AC=，AD平分BAC∠，且AD BD=，求证：CD AC⊥．7.如图，已知ABC△中，AH BC⊥于点H，35C∠=，且AB BH HC+=，求B∠的度数．8.如图，ABC△是等腰直角三角形，90BAC∠=，点P、Q分别是AB、AC上的动点，且满足BP AQ=，DCOBAB CDA⋅ADHCB初一数学联赛班 七年级D 是BC 的中点．（1）求证：PDQ △是等腰直角三角形；（2）P 运动到什么位置时，四边形APDQ 是正方形，并说明理由．9. 已知：如图，过ABC △的边BC 的中点D 作BAC ∠的平分线AG 的平行线，交AB 及CA 的延长线于点E 、F ．求证：BE CF =．10. 如图，ABC △内，60BAC ∠=，40ACB ∠=，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是BAC ∠、ABC ∠的角平分线．求证：BQ AQ AB BP +=+．ABQPCGEF CBAD QPDCBA。
中考数学如何巧妙的添加辅助线
中考数学如何巧妙的添加辅助线在中考中，数学考试中的添加辅助线问题是一个非常常见的考点。
合理添加辅助线可以帮助我们更好地理解题目，简化问题，而不妨碍最终的解题思路和结果。
下面将介绍一些巧妙的添加辅助线的方法。
一、三角形问题：1.中点辅助线法：当我们面对一个三角形问题时，如果涉及到三角形的边的中点或高度等，可以尝试添加中点辅助线。
这样可以将原有的三角形拆分为更简单的几何图形，从而更好地解题。
例如：已知一个平行四边形，且四个交角都是90°，两边分别是5cm和4cm，求平行四边形的周长。
解题思路：我们可以先绘制平行四边形，然后添加一个对角线，将平行四边形划分为两个等腰三角形。
然后可以通过计算三角形的周长，再将结果相加，得到最后的答案。
2.相似三角形法：当我们面对一个问题涉及到相似三角形的情况时，可以通过添加相似三角形的辅助线来简化问题。
例如：已知一个直角三角形ABC，AB=9cm，AC=12cm，通过辅助线BD和BC=C切割出两个小直角三角形。
求BD的长度。
解题思路：我们可以通过已知条件绘制直角三角形ABC，然后添加一条辅助线BD，连接B和C。
由于BC=AB，所以三角形BCA和BAC是相似的。
因此，我们可以利用相似三角形之间的比例关系，设BD=x，则有x/9=12/9，解得x=16，所以BD的长度为16cm。
二、平行四边形问题：1.中心对角线辅助线法：当我们面对一个平行四边形问题时，可以通过添加中心对角线辅助线来简化问题。
例如：已知平行四边形ABCD的对角线AC与边AD垂直相交，且AC=4cm，AD=3cm，求平行四边形的面积。
解题思路：我们可以先绘制平行四边形ABCD，然后通过已知条件绘制对角线AC，并与边AD垂直相交，连接交点E。
由于AC与AD垂直相交，所以AE是AD的中线。
我们可以利用平行四边形的性质，使AE和AC之间的线段通过重合，就可以拆分出一个矩形和两个直角三角形。
然后可以通过计算矩形和直角三角形的面积，再将结果相加，得到最后的答案。
巧添辅助线 妙用中位线定理(初中数学)
巧添辅助线妙用中位线定理在解与几何图形有关的问题中，若图中涉及多个中点，要注意联想三角形的中位线定理，来实现线段或角的转化．常见的构造中位线的方法有：已知三角形两边的中点，连接这两个中点；已知三角形一边的中点，在另一边上取中点，再连接两个中点；已知三角形一边的中点，过中点作其他两边任意一边的平行线．例1如图1，在△ABC中，D是BC上一点，E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点．求证：EG，HF互相平分．图1证明：如图1，连接EH，GH，GF．因为E，F，G，H分别是BD，BC，AC，AD的中点，所以AB△HE△GF，HG△BC．所以HG△EF．所以四边形EFHG是平行四边形．所以EG，HF互相平分．例2如图2，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3．若E，F分别是AD，BC的中点，则EF长的取值范围是（）A．0＜EF＜1B．2＜EF＜3C．0.5＜EF＜2.5D．1＜EF＜5图2解析：如图2，连接AC，取AC的中点H，连接EH，FH．CD＝1.5．因为E，H分别是AD，AC的中点，所以EH＝12AB＝1．同理，得FH＝12在△EHF中，EH﹣FH＜EF＜EH+FH，即0.5＜EF＜2.5．故选C．例3如图3，在△ABC中，△A＝40°，点D，E分别在AB，AC上，且BD＝CE．若BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于点P，Q，求△APQ的度数．图3解析：如图3，取BC的中点H，连接MH，NH．CE．因为M，H分别是BE，BC的中点，所以HM△CE，HM＝12BD．同理，得HN△BD，HN＝12因为BD＝CE，所以HM＝HN．所以△HMN＝△HNM．因为HM△CE，所以△HMN＝△AQP．同理，得△HNM＝△APQ．×（180°﹣△A）＝70°．所以△APQ＝△AQP＝12例4如图4，在△ABC中，△A＝90°，AC＞AB＞4，点D，E分别在边AB，AC上．若BD ＝4，CE＝3，取DE，BC的中点M，N，则线段MN的长为（）A．2.5B．3C．4D．5图4解析：如图4，过点C作CH△AB，连接DN并延长交CH于点H，连接EH．因为BD△CH，所以△B＝△NCH，△ECH+△A＝180°．因为△A＝90°，所以△ECH＝90°．易证得△BDN△△CHN，所以CH＝BD＝4，DN＝NH．在Rt△ECH中，由勾股定理，得EH5．EH＝2.5．故选A．因为M，N分别是DE，DH的中点，所以MN＝12。
第十二章第三讲全等的构造-巧添辅助线(教案)
1.教学重点
-核心知识：全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS）及其在实际问题中的应用。
-巧添辅助线的方法及其应用，包括延长两边、构造平行线、利用特殊线段（中点、角平分线、高线）等。
-典型例题的分析与解答，强化全等三角形构造的解题技巧。
举例解释：在讲解全等三角形判定方法时，重点强调SAS判定法中，两边及其夹角必须一一对应相等。通过具体例题，如“已知三角形ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，证明三角形ABD全等于三角形ACD”，让学生直观理解SAS判定法的应用。
其次，我发现学生们在分组讨论和实验操作环节，表现得非常积极。他们通过互相交流、探讨，不仅提高了自己的思考能力，还学会了如何团队合作。这一点让我深感欣慰，也证明了我的教学方法是有效的。
然而，我也注意到，在小组讨论过程中，有些学生较为内向，不愿意发表自己的观点。为了解决这个问题，我计划在今后的教学中，多关注这部分学生，鼓励他们大胆表达自己的看法，提高他们的自信心。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了全等三角形的基本概念、判定方法以及巧添辅助线的技巧。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对全等构造的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最后，我认识到教学反思的重要性。通过反思，我可以发现自己在教学过程中的不足，及时调整教学方法，以便更好地满足学生的需求。同时，我也将继续学习，提高自己的教育教学水平，为学生们提供更优质的教学。
此外，对于教学难点和重点的把握，我认为自己在课堂上还需要进一步加强。在讲解全等三角形的判定方法和巧添辅助线的过程中，我应该更加明确地指出每个方法的关键点，并通过更多典型的例题来帮助学生巩固知识点。
初中数学辅助线的添加方法
初中数学辅助线的添加方法添加辅助线是数学解题中的一个重要方法，它有助于我们更好地理解问题，分析问题，解决问题。
辅助线可以将复杂的问题化简为简单的几何关系，从而使题目的解决过程更加清晰明了。
下面，我将详细介绍初中数学中常见的几种辅助线的添加方法。
一、加分割线1.正方形的割线：在正方形的任一对相对边上，添加一条相等的线段。
通过这条线段，我们可以将正方形分割为两个直角三角形，从而可以更好地利用直角三角形的性质解题。
2.长方形的割线：在长方形的相邻两个顶点上，添加一条线段。
通过这条线段，我们可以将长方形分割为两个等腰三角形，从而可以更好地利用等腰三角形的性质解题。
3.平行四边形的割线：在平行四边形的相邻两个顶点上，添加一条线段。
通过这条线段，我们可以将平行四边形分割为两个三角形，从而可以更好地运用几何关系解题。
二、连接中点在图形的两条边上，通过它们的中点，用直线将这两条边连接起来。
通过连接中点，我们可以更好地利用平行线的性质解题，同时也有助于我们观察和发现其他几何关系。
三、作垂线1.作垂线求中点：在一个线段的两个端点上作垂线，再将垂线的交点与线段的两个端点相连，连接后的线段即为线段的中点。
通过作垂线求中点，我们可以更好地利用垂直线段的性质解题，同时也有助于我们观察和发现其他几何关系。
2.作垂线求直角：在一个直线上作垂线，使直线与垂线互相垂直。
通过作垂线求直角，我们可以更好地利用垂直线的性质解题。
四、加角辅助线1.加角度平分线：在一个角的两边上，分别取两个点，再将这两个点与角的顶点相连，并使相连线段的夹角相等。
通过加角度平分线，我们可以更好地利用角度平分线的性质解题，同时也有助于我们观察和发现其他几何关系。
2.加圆心角辅助线：在圆的弧上选取两个点，再将这两个点与圆心相连，并使相连线段的夹角相等。
通过加圆心角辅助线，我们可以更好地利用圆心角的性质解题。
五、作垂直平分线在一个线段上作一条垂直平分线，将线段平分为两个相等的部分。
常见全等辅助线添加秘籍 解析版-初中数学
常见全等辅助线添加秘籍-精准解读《学习目标分解》1.会添加倍长中线模型、截长补短模型的辅助线构造三角形全等；2.会利用全等三角形的性质和判定进行相关的计算和证明.《重难点精准分析》1.全等辅助线的添加；2.全等三角形的性质和判定的综合应用.《专题精准分析》全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型(倍长中线模型、截长补短模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．(注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候)。
【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE.若连结BE，则ΔBDE≅ΔCDA；若连结EC，则ΔABD≅ΔECD；2、中点型:如图2，C为AB的中点.证明思路：若延长EC至点F，使得CF=EC，连结AF，则ΔBCE≅ΔACF;若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则ΔACD≅ΔBCG.3、中点+平行线型：如图3,AB⎳CD，点E为线段AD的中点.证明思路：延长CE交AB于点F(或交BA延长线于点F)，则ΔEDC≅ΔEAF.倍长中线型辅助线倍长中线型辅助线一般跟中点相关，在初中阶段与中点相关的辅助线大体分成三大类：倍长中线(这里的中线指的是过中点的任意线段)、直角三角形斜边中线、中位线.其中后两种辅助线会在初二下学期的四边形章节中讲到，在此不做过多讲解，本节所讲的中点相关的辅助线主要是倍长中线型辅助线(这里的中线指的是过中点的任意线段)，此种模型的本质都是构造“8字型”全等，主要分成三类处理方法：(1)倍长中线型--这里的中线指的是标准的三角形的中线，具体模型如下：已知：点D为AC边的中点作法：延长BD至E，使得DE=BD，连结AE.（2）倍长过中点的任意线段型--这里只需要出现中点即可构造，具体模型如下：已知：点D为AC边的中点作法：延长FD至E，使得DE=DF，连结AE.（3）平行线构造“8字型”--中点不是三角形的边的中点，具体模型如下：已知：点E为DF的中点作法：过点D作DM⎳AF，交AC于点M.另外，平行线构造“8字型”的模型还可以有以下两种类型：1.如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF，求证：AC=BF．【答案】证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD．方法一：延长AD至点M，使DM=AD，连接BM，在△ADC 和△MDB 中，BD =CD∠BDM =∠CDA DM =DA，∴△ADC ≌△MDB (SAS )，∴∠M =∠MAC ，BM =AC ，∵EA =EF ，∴∠CAM =∠AFE ，而∠AFE =∠BFM ，∴∠M =∠BFM ，∴BM =BF ，∴BF =AC ．方法二：延长AD 至点M ，使MD =FD ，连接MC ，在△BDF 和△CDM 中，BD =CD∠BDF =∠CDM DF =DM，∴△BDF ≌△CDM (SAS )．∴MC =BF ，∠M =∠BFM ．∵EA =EF ，∴∠EAF =∠EFA ，∵∠AFE =∠BFM ，∴∠M =∠MAC ，∴AC =MC ，∴BF =AC .【精准解析】有两种解法：①延长AD 至点M ，使MD =FD ，连接MC ，则可证△BDF ≌△CDM (SAS )，可得MC =BF ，∠M =∠BFM ，再得∠M =∠MAC ，得AC =MC =BF ．②延长AD 至点M ，使DM =AD ，连接BM ，可证△ADC ≌△MDB (SAS )，方法与①相同．2.八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行探究试验活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】(1)如图1，AD 是△ABC 的中线，延长AD 至点E ，使ED =AD ，连接BE ，写出图中全等的两个三角形【理解与应用】(2)填空：如图2，EP 是△DEF 的中线，若EF =5，DE =3，设EP =x ，则x 的取值范围是．(3)已知：如图3，AD是△ABC 的中线，∠BAC =∠ACB ，点Q 在BC 的延长线上，QC =BC ，求证：AQ=2AD ．【答案】(1)证明：在△ADC与△EDB中，，∴△ADC≌△EDB；故答案为：△ADC≌△EDB；（2）解：如图2，延长EP至点Q，使PQ=PE，连接FQ，在△PDE与△PQF中，，∴△PEP≌△QFP，∴FQ=DE=3，在△EFQ中，EF-FQ<QE<EF+FQ，即5-3<2x<5+3，∴x的取值范围是1<x<4；故答案为：1<x<4；（3）证明：如图3，延长AD到M，使MD=AD，连接BM，∴AM=2AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△BMD与△CAD中，，∴△BMD≌△CAD，∴BM=CA，∠M=∠CAD，∴∠BAC=∠BAM+∠CAD=∠BAM+∠M，∵∠ACB=∠Q+∠CAQ，AB=BC，∵∠ACQ=180°-(∠Q+∠CAQ)，∠MBA=180°-(∠BAM+∠M)，∴∠ACQ=∠MBA，∵QC=BC，∴QC=AB，在△ACQ与△MBA中，，∴△ACQ≌△MBA，∴AQ=AM=2AD．【精准解析】(1)根据全等三角形的判定即可得到结论；(2)延长EP至点Q，使PQ=PE，连接FQ，根据全等三角形的性质得到FQ=DE=3，根据三角形的三边关系即可得到结论；(3)延长AD到M，使MD=AD，连接BM，于是得到AM=2AD由已知条件得到BD=CD，根据全等三角形性质得到BM=CA，∠M=∠CAD，得到∠BAC=∠BAM+∠CAD=∠BAM+∠M，推出△ACQ≌△MBA，根据全等三角形的性质即可得到结论．《小结》当题目中出现中线时，常会考利用倍长中线型模型添加辅助线，构造“8字型”的全等.3.如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=AC+AF．【答案】证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，∵E为BC边的中点，∴BE=CE，∵在△BEF和△CEQ中，，∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，AG=AF，∵∠BFE=∠Q(已证)，∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，∴BF=CG=AG+AC=AF+AC．【精准解析】延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，根据SAS证△BEF≌△CEQ，推出BF=CQ，∠BFE=∠Q，根据平行线性质和角平分线性质推出∠G=∠GFA=∠BFE，推出∠G=∠Q，推出CQ=CG即可．4.已知：如图，△ABC(AB≠AC)中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF= AC．求证：AE平分∠BAC．【答案】证明：如图，延长FE到G，使EG=EF，连接CG．在△DEF和△CEG中，∵，∴△DEF≌△CEG．∴DF=GC，∠DFE=∠G．∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．∵DF=AC，∴GC=AC．∴∠G=∠CAE．∴∠BAE=∠CAE，即AE平分∠BAC．【解析】延长FE到G，使EG=EF．连接CG，由于已知条件通过SAS证得△DEF≌△CEG得到DF=GC，∠DFE=∠G，由平行线的性质和已知条件得到∠G=∠CAE，故有∠BAE=∠CAE，结论可得．《小结》当题目中出现中点，而没有合适的中线可以倍长时，也可以考虑倍长过中点的任意一条线段，构造“8字型”全等. 5..如图，△ABC中，AB=AC，D在AB上，F在AC的延长线上，且BD=CF，连接DE交BC于E．求证：DE=EF．【答案】证明：过D点作AF的平行线交BC于G点，∴∠ECF=∠DGE，∴∠DGB=∠ACB∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠DGB，∴DG=BD，∵BD=CF，∴DG=CF．由∠ECF=∠DGE，∠DEG=∠CEF，DG=CF可得△DGE≌△FCE(AAS)，∴DE=EF．【精准解析】过D点作AF的平行线交BC于G点，利用等腰三角形的性质和平行线的性质，求证△DGE≌△FCE即可.6.如图，已知∠B+∠CDE=180°，AC=CE．求证：AB=DE．【答案】证明：如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H，故∠A=∠CEH，在△ABC与△EHC中，∴△ABC≌△EHC(ASA)，∴AB=HE，∵∠B+∠CDE=180°，∠HDE+∠CDE=180°∴∠HDE=∠B=∠H，∴DE=HE．∵AB=HE，∴AB=DE．【精准解析】如图，过E点作EH∥AB交BD的延长线于H．构建全等三角形△ABC≌△EHC(ASA)，则由全等三角形的性质得到AB=HE；然后结合已知条件得到DE=HE，所以AB=HE，由等量代换证得AB= DE．《小结》当题目中出现中点，但此中点不是三角形的某条边的中点，只是与三角形某条边有交点时，则可以考虑利用作平行线的方法构造“8字型”的全等.模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
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第16讲 巧添辅助线
知识总结归纳
一. 截长补短法
证明某线段长度等于另外两线段的和或者差，可以采取截长补短法。
二. 角平分线相关的辅助线
因为角平分线是角的两边的对称轴，所以一定要有对称、翻折的感觉。
三. 等腰三角形“三线合一”的运用
等腰三角形有很多特殊的性质，尤其要注意“三线合一”定理和逆定理的运用。
四. 倍长中线法
倍长中线的目的是构造全等三角形，转移边和角的关系，从而使条件变得集中。
典型例题
一. 截长补短法
【例1】 如图，ABC △中，2C B ∠=∠，AD 平分BAC ∠，求证：AB AC CD -=．
【例2】 如图，在Rt ABC △中，90C ︒∠=，AC BC =,AD 平分CAB ∠，求证：AB AC CD =+．
A
D
C B
D
B
C
A
【例3】 如图，AB CD ∥，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+．
【例4】 已知，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，180B D ∠+∠=．求证：AE AD BE =+．
二. 等腰三角形经典模型的运用
【例5】 如图，BO 平分CBA ∠，CO 平分ACB ∠，MN 与BC 平行，如12AB =，24BC =，18AC =，
求AMN △的周长． M C
B
A
N
O
E
D
C
B
A
D
B
A
C
E
【例6】 如图，已知在ABC △中，AD 平分BAC ∠，BD AD ⊥，DE AC ∥，求证：BE AE =．
三. 等腰三角形“三线合一”的运用
【例7】 如图，在等腰ABC △中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且
AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．
【例8】 如图，在等腰ABC △中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 的直线//MN BC ，在直线MN 上
点A 的两侧分别取点E 、F ，且AE AF =．求证：DE DF =．
E
C
D
B
A
C
B
F
E
A
D
N
C
B
A
M
F E
D
【例9】 如图，2AB AC =，BAD CAD ∠=∠，DA DB =，求证：DC AC ⊥．
【例10】 已知：3ABC C ∠=∠，BAE CAE ∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．
四. 倍长中线法
【例11】 已知，如图ABC △中，3AB =，5AC =，求中线AD 长度的取值范围．
D
C B
A
D
C
B
A
E
C
B
A
【例12】 如图，AD 为ABC △的中线，AE EF =．求证：BF AC =．
【例13】 如图，在ABC △中，AD 为中线，并且90BAD ∠=，45DAC ∠=．求证：2AB AD =．
【例14】 如图，在ABC △中（AB AC ≠），D 、E 在BC 上，且DE EC =，过D 作DF BA ∥交AE 于
点F ，DF AC =．求证：AE 平分BAC ∠．
F E
C
B
A D
D
C
B
A E
C
D
B
A F
【例15】 如图，在ABC △中，90C ∠=，M 为AB 的中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且P M Q M
⊥于M ．求证：222PQ AP BQ =+．
思维飞跃
【例16】 如图，已知100BAC ∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，求证：AE BE BC +=．
【例17】 已知，在ABC △中，60A ∠=，BD CE 、分别平分ABC ∠和ACB ∠．BD CE 、交于点O ，试
判断BE CD BC 、、的数量关系，并加以证明．
A
B
E
C
D
O
B
E
C
A
【例18】 如图，已知锐角ABC △中，BE CF 、是高，在BE 或者CF 的延长线上，分别截取BQ CA =，
CP BA =，且BM BC ⊥，QN BC ⊥．求证：PM QN BC +=．
【例19】 如图，AM 是ABC △的中线，ABF △和AEC △均为等腰直角三角形，且
90FAB EAC ∠=∠=．求证：2EF AM =．
作业
1. 已知：AD 平分BAC ∠，AC AB BD =+，求证：2B C ∠=∠；
A
B
D
C
E F
P
N
M C
B
Q A
2. 如图，在四边形ABCD 中，已知AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，1
()2
AE AB AD =+，求证：
180ABC ADC ∠+∠=．
3. 如图，已知108BAC ∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，求证：AB CE BC +=．
4. 已知，AD 是ABC △的角平分线，CD DE =，EF AB ∥，求证：EF AC =． C
A B
D
F
E
B
E
C
A
A
B
D
C
E
5. 如图，已知OA OB =，AC BD =，且O A A C
⊥，OB BD ⊥，M 为CD 的中点．
证明：OM 平分AOB ∠．
6. 如图，ABC △中，2AB AC =，AD 平分BAC ∠，且AD BD =，求证：CD AC ⊥．
7. 如图，已知ABC △中，AH BC ⊥于点H ，35C ∠=，且AB BH HC +=，求B ∠的度数．
D
C
O
B
A
B
C
D
A
⋅
A
D H
C
B
8. 如图，ABC △是等腰直角三角形，90BAC ∠=，点P 、Q 分别是AB 、AC 上的动点，
且满足BP AQ =，D 是BC 的中点．
（1）求证：PDQ △是等腰直角三角形；
（2）P 运动到什么位置时，四边形APDQ 是正方形，并说明理由．
9. 已知：如图，过ABC △的边BC 的中点D 作BAC ∠的平分线AG 的平行线，交AB 及CA 的延长线
于点E 、F ．求证：BE CF =． 10.
11. 如图，ABC △内，60BAC ∠=，40ACB ∠=，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是
BAC ∠、ABC ∠的角平分线．求证：BQ AQ AB BP +=+．
A
G
E
F C
B
A
D Q
P
C
B
A
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