初中数学竞赛—— 巧添辅助线

初一数学联赛班七年级
第16讲巧添辅助线
知识总结归纳
一.截长补短法
证明某线段长度等于另外两线段的和或者差，可以采取截长补短法。

二.角平分线相关的辅助线
因为角平分线是角的两边的对称轴，所以一定要有对称、翻折的感觉。

三.等腰三角形“三线合一”的运用
等腰三角形有很多特殊的性质，尤其要注意“三线合一”定理和逆定理的运用。

四.倍长中线法
倍长中线的目的是构造全等三角形，转移边和角的关系，从而使条件变得集中。

典型例题
一.截长补短法
【例1】如图，ABC
△中，2
C B
∠=∠，AD平分BAC
∠，求证：AB AC CD
-=．
【例2】如图，在Rt ABC
△中，90
C︒
∠=，AC BC
=,AD平分CAB
∠，求证：AB AC CD
=+．
A
C
B
D
B
C
A
初一数学联赛班 七年级
【例3】 如图，AB CD ∥，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上，求证：BC AB CD =+．
【例4】 已知，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，180B D ∠+∠=．求证：AE AD BE =+．
二. 等腰三角形经典模型的运用
【例5】 如图，BO 平分CBA ∠，CO 平分ACB ∠，MN 与BC 平行，如12AB =，24BC =，18AC =，
求AMN △的周长．
M C
B
A
N
O
E
D
C
B A
D
B
A
C
E
初一数学联赛班七年级【例6】如图，已知在ABC
△中，AD平分BAC
∠，BD AD
⊥，DE AC
∥，求证：BE AE
=．
三.等腰三角形“三线合一”的运用
【例7】如图，在等腰ABC
△中，AB AC
=，D是BC的中点，过A作AE DE
⊥，AF DF
⊥，且AE AF
=．求证：EDB FDC
∠=∠．
【例8】如图，在等腰ABC
△中，AB AC
=，D是BC的中点，过A的直线//
MN BC，在直线MN上点A的两侧分别取点E、F，且AE AF
=．求证：DE DF
=．
E
C
D
B
A
C
B
F
E
A
D
N
C
B
A
M
F
E
D
初一数学联赛班 七年级
【例9】 如图，2AB AC =，BAD CAD ∠=∠，DA DB =，求证：DC AC ⊥．
【例10】 已知：3ABC C ∠=∠，BAE CAE ∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．
四. 倍长中线法
【例11】 已知，如图ABC △中，3AB =，5AC =，求中线AD 长度的取值范围．
D
C
B
A
D
C
B
A
E
C
B
A
初一数学联赛班七年级【例12】如图，AD为ABC
△的中线，AE EF
=．求证：BF AC
=．
【例13】如图，在ABC
△中，AD为中线，并且90
BAD
∠=，45
DAC
∠=．求证：2
AB AD
=．
【例14】如图，在ABC
△中（AB AC
≠），D、E在BC上，且DE EC
=，过D作DF BA
∥交AE于点F，DF AC
=．求证：AE平分BAC
∠．
F
E
C
B
A
D
D
C
B
A
E C
D
B
A
F
初一数学联赛班 七年级
【例15】 如图，在ABC △中，90C ∠=，M 为AB 的中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且PM QM
⊥于M ．求证：222PQ AP BQ =+．
思维飞跃
【例16】 如图，已知100BAC ∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，求证：AE BE BC +=．
【例17】 已知，在ABC △中，60A ∠=，BD CE 、分别平分ABC ∠和ACB ∠．BD CE 、交于点O ，试
判断BE CD BC 、、的数量关系，并加以证明．
A
B
E
C
D
O
B
E
C
A
初一数学联赛班七年级【例18】如图，已知锐角ABC
△中，BE CF
、是高，在BE或者CF的延长线上，分别截取BQ CA
=，CP BA
=，且BM BC
⊥，QN BC
⊥．求证：PM QN BC
+=．
【例19】如图，AM是ABC
△的中线，ABF
△和AEC
△均为等腰直角三角形，且
90
FAB EAC
∠=∠=．求证：2
EF AM
=．
作业
1.已知：AD平分BAC
∠，AC AB BD
=+，求证：2
B C
∠=∠；
A
B D C
E
F
P
N
M C
B
Q
A
初一数学联赛班 七年级
2. 如图，在四边形ABCD 中，已知AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥，1
()2
AE AB AD =+，求证：
180ABC ADC ∠+∠=．
3. 如图，已知108BAC ∠=，AB AC =，BE 平分ABC ∠，求证：AB CE BC +=．
4. 已知，AD 是ABC △的角平分线，CD DE =，EF AB ∥，求证：EF AC =．
C
A B
D
F
E
B
E
C
A
A
B
D
C
E
初一数学联赛班七年级5.如图，已知OA OB
=，AC BD
=，且O A A C⊥，OB BD
⊥，M为CD的中点．证明：OM平分AOB
∠．6.如图，ABC
△中，2
AB AC
=，AD平分BAC
∠，且AD BD
=，求证：CD AC
⊥．
7.如图，已知ABC
△中，AH BC
⊥于点H，35
C
∠=，且AB BH HC
+=，求B
∠的度数．
8.如图，ABC
△是等腰直角三角形，90
BAC
∠=，点P、Q分别是AB、AC上的动点，且满足BP AQ
=，
D
C
O
B
A
B C
D
A
⋅
A
D
H
C
B
初一数学联赛班 七年级
D 是BC 的中点．
（1）求证：PDQ △是等腰直角三角形；
（2）P 运动到什么位置时，四边形APDQ 是正方形，并说明理由．
9. 已知：如图，过ABC △的边BC 的中点D 作BAC ∠的平分线AG 的平行线，交AB 及CA 的延长线
于点E 、F ．求证：BE CF =．
10. 如图，ABC △内，60BAC ∠=，40ACB ∠=，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别是
BAC ∠、ABC ∠的角平分线．求证：BQ AQ AB BP +=+．
A
B
Q
P
C
G
E
F C
B
A
D Q
P
D
C
B
A。