10指数与指数函数(无答案)-山东省青岛志贤中学高考数学复习学案
高二数学 第10课时 指数与指数函数学案
第10课时 指数与指数函数【学习目标】1、熟悉指数式的概念；理解分数指数幂；2、理解指数函数的概念，理解指数函数的图象和性质；3、能够熟练地解决与指数函数有关的问题。
【学习重点】指数函数的性质及其应用 【预习内容】 1．根式的性质 (1)(na )n＝a .(2)当n 为奇数时na n＝a ； 当n 为偶数时nan＝⎩⎪⎨⎪⎧a a ≥0，－a a <0.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念：①正分数指数幂：a m n＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s＝ar ＋s(a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs(a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r＝a r b r(a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图像与性质y ＝a xa >10<a <1图像定义域 R 值域(0，＋∞) 性质过定点(0,1)当x >0时，y >1；x <0时，0<y <1 当x >0时，0<y <1；x <0时，y >1 在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．2．指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图像和性质跟a 的取值有关，要特别注意区分a >1或0<a <1. 【基础练习】1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为________．答案：72．若函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2， 得－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2) 3．函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的定义域为________． 答案：[0，＋∞)4．若函数f(x)＝a x－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.解析：当a>1时，f(x)＝a x－1在[0,2]上为增函数， 则a 2－1＝2，∴a ＝± 3.又∵a>1，∴a ＝ 3. 当0<a<1时，f(x)＝a x－1在[0,2]上为减函数又∵f(0)＝0≠2，∴0<a<1不成立． 综上可知，a ＝ 3. 答案： 35、设5.1348.029.0121,8,4-⎪⎭⎫ ⎝⎛===y y y ，则123,,y y y 的大小关系是。
江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第2讲 函数
江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习专题一第2讲函数的概念、图象与性质（1）教学案复备栏教学内容：函数的概念、图象与性质（1）教学目标：理解函数及其表示，掌握函数的图象；掌握函数的性质。
教学重点：一是识图，二是用图，通过数形结合的思想解决问题。
教学难点：单调性、奇偶性、周期性等综合应用．教学过程：一、知识点复习：1．必记的概念与定理(1)若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．(2)单调性：利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．由几个函数构成的函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(3)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(4)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期．2．记住几个常用的公式与结论图象变换规则(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．(3)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．(4)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．(5)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(6)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．(7)要得到y＝f(|x|)的图象，可将y＝f(x)，x≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x＜0时的图象．(8)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；(9)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．3．需要关注的易错易混点(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值集合的并集．(2)从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．(3)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．(4)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件．二、基础训练：1．(教材习题改编)若f(x)＝x2＋bx ＋c ，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝________. 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－4，c ＝3.即f(x)＝x2－4x ＋3.所以f(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8.答案：82．设集合M ＝{x|0≤x≤2}，N ＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．解析：由函数的定义，对定义域内的每一个x 对应着惟一一个y ，据此排除①④，③中值域为{y|0≤y≤3}不合题意．答案：②3．(2014·常州模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2＋1，x≤1，2x ，x>1，则f(f(3))＝________.解析：f(3)＝23，f(f(3))＝⎝⎛⎭⎫232＋1＝139.答案：1394．已知f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a －1,2a]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．解析：∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a －1,2a]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f(－x)＝f(x)，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.答案：13三、例题教学：例1 (2014·苏州调研)若函数y ＝f(x)的定义域是[0,8]，则函数g(x)＝f 2x ln x 的定义域是________．[解析] 由函数y ＝f(x)的定义域是[0,8]得，函数g(x)有意义的条件为0≤2x≤8且x>0，x≠1，故x ∈(0,1)∪(1,4][答案] (0,1)∪(1,4 [方法归纳] 求函数定义域的类型和相应方法(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可，函数f(g(x))的定义域应由不等式a≤g(x)≤b 解出([a ，b]为g(x)的值域)．(2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义．变式训练：若函数y ＝f(2x)的定义域是[0,8]，则函数g(x)＝f x2x 的定义域是________．解析：由函数y ＝f(2x)的定义域是[0,8]得，函数g(x)有意义的条件为0≤2x≤16，所以g(x)＝f x2x 的定义域是[0,16]．答案：[0,16]例2 (1)(2014·高考江苏卷)已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f(x)＝x2－2x ＋12 .若函数y ＝f(x)－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．(2) (2014·南昌模拟)已知函数y ＝f(x)的周期为2，当x ∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y ＝f(x)的图象与函数y ＝|lg x|的图象的交点共有________个．[解析] (1)作出函数y ＝f(x)在[－3,4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝12，观察图象可得0<a<12.(2)根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下：可验证当x ＝10时，y ＝|lg 10|＝1；1<x<10时，|lg x|<1；x>10时|lg x|>1.结合图象知y ＝f(x)与y ＝|lg x|的图象交点共有10个．[答案] (1)⎝⎛⎭⎫0，12 (2) 10[方法归纳] 作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f(x)与y ＝f(－x)、y ＝－f(x)、y ＝－f(－x)、y ＝f(|x|)、y ＝|f(x)|及y ＝af(x)＋b 的相互关系．识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．变式训练：(1)若本例(2)中y ＝f(x)变为f(x)＝|x|，其他条件不变，则交点个数为________．(2)如图，函数f(x)的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f 3的值等于________．解析：(1)根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下：由图象知共10个交点 (2)∵由图象知f(3)＝1，∴1f 3＝1.∴f ⎝⎛⎭⎫1f 3＝f(1)＝2.答案：(1)10 (2)2巩固练习：1．若f(x)对于任意实数x 恒有2f(x)－f(－x)＝3x ＋1，则f(x)＝________.解析：由题意知2f(x)－f(－x)＝3x ＋1.①将①中x 换为－x ，则有2f(－x)－f(x)＝－3x ＋1.②①×2＋②得3f(x)＝3x ＋3，即f(x)＝x ＋1.答案：x ＋1课后反思：2．(教材习题改编)已知定义在R 上的奇函数f(x)，满足f(x ＋4)＝f(x)，则f(8)的值为________．解析：∵f(x)为奇函数且f(x ＋4)＝f(x)，∴f(0)＝0，T ＝4.∴f(8)＝f(0)＝0.答案：03．(2014·台州模拟)若函数y ＝|2x －1|在(－∞，m]上单调递减，则m 的取值范围是________．解析：画出图象易知y ＝|2x －1|的递减区间是(－∞，0]，依题意应有m≤0. 答案：(－∞，0]4．(2014·南京调研)若f(x)＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：设x1>x2>－2，则f(x1)>f(x2)，而f(x1)－f(x2)＝ax1＋1x1＋2－ax2＋1x2＋2＝2ax1＋x2－2ax2－x1x1＋2x2＋2＝x1－x22a －1x1＋2x2＋2>0，则2a －1>0.得a>12.答案：⎝⎛⎭⎫12，＋∞。
高三复习学案指数与指数函数
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二．条件求值证明问题 见数学之友第 21 页例题 1.
三．幂、指数函数单调性的运用 见数学之友第 21 页例题 2.
2
指数与指数函数
1． 3 a 6 a 的值为（ ）
A． a
B． a
C． a
D． a
2．下列结论中，正确的命题的个数是（ ） 3
①当 a<0 时， (a 21) 2 a 3 ；② n a n | a | ； ③函数 y (x 2) 2 (3x 7)0 的定义域为 (0, ) ；④若 (n a ) n 与 n a n 相同。
①当 n 为奇数时， n a n =a.
②当
n 为偶数时， n
an
a =|a|= a
(a 0), (a 0).
（3）分数指数幂的意义
m
①a n = n a m （a＞0，m、n 都是正整数，n＞1）.
m
②a n =
1
=
1
（a＞0，m、n 都是正整数，n＞1）.
m
an
n am
2.指数函数 （1）指数函数的定义 一般地，函数 y=ax（a＞0 且 a≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象 （3）指数函数的性质 ①定义域：R. ②值域：（0，＋∞）. ③过点（0，1），即 x=0 时，y=1. ④当 a＞1 时，在 R 上是增函数；当 0＜a＜1 时，在 R 上是减函数.
A．0
B．1
C．2
D．3
3．化简 a 4 (1 a) 4 的结果是( )
A．1
B．2a－1
C．1 或 2a－1
D．0
4．如果 a，b 都是实数，则下列实数一定成立的是（ ）
A． 3 a 3 b 2 a b
6集合(无答案)-山东省青岛志贤中学高考数学复习学案
技能训练（六）集合序号：NO.6日期：2019.11.21【考纲传真】1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．【知识通关】1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、________、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为___和___.(3)集合的三种表示方法：________、________、Venn图法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N_________ _________2.表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的_______都是集合B的元素x∈A⇒x∈B A⊆B或______ 真子集集合A是集合B的子集，但集合B中_____有一个元素不属于AA⊆B，∃x0∈B，x0∉A______或B______A表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于A___属于B的元素组成的集合{x|x∈A___x∈B}_____并集属于A___属于B的元素组成的集合{x|x∈A___x∈B}_____补集全集U中___属于A的元素组成的集合{x|x∈U，x__A} _____[常用结论]1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.【题型全通】[题型一]集合的含义与表示1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为( )A．3 B．4 C．5 D．62．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( )A.92 B.98C．0 D．0或98[题型二]集合间的基本关系3.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则( )。
七年级数学下册 第十一章 第六节 零指数幂与负整指数
1《11.6零指数幂与负整指数幂 》【课程标准的相关陈述】1、了解整数指数幂的意义和性质【学习目标】了解零指数幂与负整指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题预习案（一）预习探索回顾：a m ÷a n = （0≠a ，m ，n 都是正整数，并且m>n ）1思考：在公式中要求 m ，n 都是正整数，并且m>n ，但如果m=n 或m<n 呢？计算：32÷32 103÷103 a m ÷a m （a ≠0）==÷22223333 =÷331010 = ==÷m mm m a a a a （a ≠0） 32÷32=3（ ） =3（ ） 103÷103=10（ ） =10（ ） a m ÷a m =a （ ） =a （ ）（a ≠0）（二）合作交流： a 0=？（a ≠0）最终结论：同底数幂相除：a m ÷a n =a m-n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ≥n ）为了使同底数幂的除法性质：a m ÷a n =am-n 当m=n 时也成立，规定a 0=1 2想一想： 10000=104 ， 16=241000=10（ ）， 8=2（ ）100=10 （ ） ， 4=2（ ）10=10 （ ）， 2=2（ ）猜一猜： 1=10（ ） 1=2（ ）0.1=10（ ） 21=2（ ） 0.01=10（ ） 41=2（ ） 0.001=10（ ） 81=2（ ） 负整数指数幂的意义：p p aa 1=-（0≠a ，p 为正整数）或p p a a )1(=-（0≠a ，p 为正整数） 探究案（三）精讲点拨例1（1）2x 0（x ≠0） （2）a 2÷a 0.a22例3 计算 43- （-1）3- （0.2）3-（四）巩固拓展1．若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？2．若0)52(-x 无意义，求x 的值3.若0.000 000 3＝3×x 10，则=x4.用小数或分数分别表示下列各数：___________________________________106.1)3(4=⨯-（五）小结达标提升案1若x 2＝＝，则x 321 2.若()()()＝则－－－x x x ,22223÷= 3若＝则x x ,9423=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 4．用小数或分数表示下列各数： （1）0118355⎪⎭⎫ ⎝⎛ ＝ （2）23-＝ （3）24- ＝ （4）365-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝ （5）4.2310-⨯＝ （6）325.0-＝ 5．已知2(1)1x x +-=,求整数x 的值。
江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第2讲 函数的概念、图象与性质(2)教学案
某某赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第2讲 函数的概念、图象与性质（2）教学案教学内容：函数的概念、图象与性质（2）教学目标：理解函数及其表示，掌握函数的图象；掌握函数的性质。
教学重点：一是识图，二是用图，通过数形结合的思想解决问题。
教学难点：单调性、奇偶性、周期性等综合应用．教学过程：一、基础训练：1．若函数y ＝ax ＋b －1 (a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有________．答案 0<a<1且b<0解析 (1)当0<a<1时，不论上下怎样平移，图象必过第二象限；当a>1时，不论上下怎样平移，图象必过第一象限．∵y ＝ax ＋b －1的图象经过第二、三、四象限，∴只可能0<a<1.(2)如图，这个图可理解为y ＝ax (0<a<1)的图象向下平移大于1个单位长度．∴⎩⎪⎨⎪⎧b －1<0，|b －1|>1，解得b<0. 由(1)、(2)可知0<a<1且b<0.2．(2013·课标全国Ⅱ改编)设a ＝log36，b ＝log510，c ＝log714，则a ，b ，c 的大小顺序为________．答案 a>b>c解析 因为a ＝log36＝1＋log32＝1＋1log23，b ＝log510＝1＋log52＝1＋1log25，c ＝log714＝1＋log72＝1＋1log27，显然a>b>c.3．若函数f(x)＝logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，则a ＝________.答案 24解析 ∵0<a<1，∴f(x)＝logax 在[a,2a]上为减函数，∴f(x)max ＝logaa ＝1，f(x)min ＝loga2a ＝1＋loga2，∴1＝3(1＋loga2)，即loga2＝－23，∴a ＝24.4．函数f(x)＝1－2log6x 的定义域为________．答案 (0，6]解析 要使函数f(x)＝1－2log6x 有意义，复备栏则⎩⎪⎨⎪⎧x>0，1－2log6x≥0.解得0<x≤ 6. 二、例题教学： 例1(1)(2014·某某模拟)设函数y ＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数fk(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，f x ≤k ，k ，f x ＞k ，取函数f(x)＝2－|x|.当k ＝12时，函数fk(x)的单调递增区间为______．(2)(2014·潍坊模拟)设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式f x ＋f －x x>0的解集为________． [解析] (1) 由f(x)>12，得－1<x<1.由f(x)≤12，得x≤－1或x≥1.所以f 12(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x≥1，12，－1＜x ＜1，2x ，x≤－1.故f 12(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．(2)∵f(x)为偶函数，∴f x ＋f －x x ＝2f x x >0，∴xf(x)>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x>0，f x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x<0，f x <0.又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数， 故x ∈(0,2)或x ∈(－∞，－2)．[答案] (1)(－∞，－1) (2)(－∞，－2)∪(0,2)[方法归纳] (1) 求函数的单调区间的常用方法①利用已知初等函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． ②定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解．③图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．④导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．(2)函数奇偶性与单调性分别是函数整体与局部的性质，它们往往在研究函数中“并驾”而行，解题时往往先通过函数奇偶性进行变形，再利用单调性求解．变式训练：(1)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x －1)>0，则x 的取值X 围是________．(2) 设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，若n≥2且n ∈N*，则f(－n)，f(1－n)，f(n －1)，f(n ＋1)的大小关系为________．解析：(1)∵f(x)是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x<3.(2)∵f(x)为偶函数，所以f(－n)＝f(n)，f(1－n)＝f(n －1)．又∵函数y ＝f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且0<n －1<n<n ＋1，∴f(n ＋1)<f(n)<f(n －1)．∴f(n ＋1)<f(－n)<f(n －1)＝f(1－n)．答案：(1)(－1,3)(2)f(n ＋1)<f(－n)<f(n －1)＝f(1－n)例2(2014·某某模拟)已知f(x)的图象如图，则f(12)＋f(32)的值为________．[解析] 由图象知每段为线段．设f(x)＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝⎛⎭⎫1，32和⎝⎛⎭⎫1，32，(2,0)分别代入， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a1＝32，b1＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a2＝－32，b2＝3. 所以f(x)＝⎩⎨⎧32x ，0≤x≤1，3－32x ，1<x≤2.故f(12)＋f(32)＝32.[答案] 32 [方法归纳] 求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值的X 围求自变量值或自变量的取值X 围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或X 围是否符合相应段的自变量的取值X 围．变式训练：(2014·高考某某卷)设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x2＋2，－1≤x<0，x ， 0≤x<1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解析：函数的周期是2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，课后反思： 根据题意f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：1巩固练习：1．“lg x ，lg y ，lg z 成等差数列”是“y2＝xz 成立”的________条件．答案 充分不必要解析 由lg x ，lg y ，lg z 成等差数列，可以得出2lg y ＝lg x ＋lg z ，根据对数函数的基本运算可得，y2＝xz ，但反之，若y2＝xz ，并不能保证x ，y ，z 均为正数，所以不能得出lg x ，lg y ，lg z 成等差数列．2．已知函数f(x)＝lg x ，若f(ab)＝1，则f(a2)＋f(b2)＝________.答案 2解析 ∵f(x)＝lg x ，∴f(a2)＋f(b2)＝2lg a ＋2lg b ＝2lg ab.又f(ab)＝1，∴lg ab ＝1，∴f(a2)＋f(b2)＝2.3．已知0<a<1，则函数f(x)＝ax －|logax|的零点个数为________．答案 2解析 分别画出函数y ＝ax(0<a<1)与y ＝|logax|(0<a<1)的图象，如图所示，图象有两个交点．4．若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x|＋m 的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值X 围是________．答案 [－1,0)解析 由题意得，函数y ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫121－x ＋m ，x≤1⎝⎛⎭⎫12x －1＋m ，x>1. 首先作出函数y ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫121－x ，x≤1⎝⎛⎭⎫12x －1，x>1的图象，如图所示．由图象可知要使函数y ＝⎩⎨⎧ ⎝⎛⎭⎫121－x ＋m ，x≤1⎝⎛⎭⎫12x －1＋m ，x>1的图象与x 轴有公共点，则m ∈[－1,0)．。
(山东专用)2021新高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数学案(含解
第五节指数与指数函数课标要求考情分析1.了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．4．知道指数函数是一类重要的函数模型.1.直接考查指数函数的图象及其性质或以指数与指数函数为知识载体，考查指数幂的运算和函数图象的应用或以指数函数为载体与函数方程、不等式等内容交汇命题．2．题型主要是选择题、填空题，难度中等.知识点一有理数指数幂1．幂的有关概念(1)正分数指数幂：amn＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(2)负分数指数幂：a－mn＝1amn＝1na m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．2．有理数指数幂的性质(1)a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．知识点二指数函数的图象与性质(1)指数函数的图象与底数大小的比较在第一象限内，指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．(2)指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)n a n 与(na )n 都等于a (n ∈N *)．( × ) (2)2a ·2b ＝2ab .( × ) (3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( √ )(4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × )解析：(1)na n＝⎩⎪⎨⎪⎧|a |，n 为偶数，a ，n 为奇数，(n a )n ＝a .(2)2a ·2b ＝2a ＋b .(3)由指数函数的形式定义知应满足的条件：①系数为1，②指数为x ，③底数a >0且a ≠1. (4)当a >1时，由a m <a n ，得m <n ， 当0<a <1时，由a m <a n ，得m >n . 2．小题热身(1)化简416x 8y 4(x <0，y <0)得( D ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2yD ．－2x 2y(2)已知a ＝⎝⎛⎭⎫35－ 13 ，b ＝⎝⎛⎭⎫35－ 14 ，c ＝⎝⎛⎭⎫32－ 34 ，则a ，b ，c 的大小关系是( D ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．c <b <a(3)若x ＋x －1＝3，则x 2－x －2＝±3 5.(4)若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫2，13，则f (－1)＝ 3. (5)函数的定义域是(0，＋∞)．解析：(1)因为x <0，y <0，所以416x 8y 4＝(16x 8·y 4) 14 ＝(16) 14 ·(x 8) 14 ·(y 4) 14 ＝2x 2|y |＝－2x 2y .(2)因为y ＝⎝⎛⎭⎫35x是减函数，所以⎝⎛⎭⎫35－ 13 >⎝⎛⎭⎫35－ 14 >⎝⎛⎭⎫350，即a >b >1，又c ＝⎝⎛⎭⎫32－34 <⎝⎛⎭⎫320＝1，所以c <b <a .(3)由(x ＋x －1)2＝x 2＋x －2＋2＝9，得x 2＋x －2＝7.又(x －x －1)2＝x 2－2＋x －2＝5，所以x －x－1＝±5，所以x 2－x －2＝(x ＋x －1)(x －x －1)＝±3 5.(4)依题意可知a 2＝13，解得a ＝33，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫33x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫33－1＝ 3. (5)要使该函数有意义，则解得x >0，所以定义域为(0，＋∞)．考点一 指数幂的运算【例1】 (1)计算：8 23 －⎝⎛⎭⎫－780＋4(3－π)4＋[(－2)6] 12 ＝______. (2)已知x 12 ＋x － 12 ＝5，则x 2＋x －2－6x ＋x －1－5的值为_______________． 【解析】 (1)823 －⎝⎛⎭⎫－780＋4(3－π)4＋[(－2)6] 12 ＝23×23 －1＋(π－3)＋26×12 ＝22－1＋π－3＋23＝4＋π－4＋8＝π＋8.(2)由已知可得x ＋x －1＝(x 12 ＋x － 12)2－2＝3， 则x 2＋x －2＝(x ＋x －1)2－2＝7，故原式＝7－63－5＝－12.【答案】 (1)π＋8 (2)－12方法技巧指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数.(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.1．计算：2x － 13 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 13＋x 34 ＝( D ) A ．3 B ．2 C ．2＋xD ．1＋2x解析：原式＝2x － 13 ·12x 13 ＋2x － 13 ·x 43＝1＋2x .2．已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，则a －b a ＋b ＝55. 解析：由已知得，a ＋b ＝6，ab ＝4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝15. 因为a >b >0，所以a >b ，所以a －b a ＋b＝55.考点二 指数函数的图象及应用命题方向1 图象的识别【例2】 (2019·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a (x ＋12)(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )【解析】 解法1：若0<a <1，则函数y ＝1a x 是增函数，y ＝log a (x ＋12)是减函数且其图象过点(12，0)，结合选项可知，选项D 可能成立；若a >1，则y ＝1a x 是减函数，而y ＝log a (x ＋12)是增函数且其图象过点(12，0)，结合选项可知，没有符合的图象．故选D.解法2：分别取a ＝12和a ＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.【答案】 D命题方向2 图象的应用【例3】 函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．【解析】 f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，等价于⎩⎪⎨⎪⎧y ＝|2x －2|，y ＝b有两个交点(如图)，可知0<b <2.【答案】 (0,2) 方法技巧指数函数图象的画法(判断)及应用方法,(1)画(判断)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a .(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象.(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数数形结合求解.1．(方向1)函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图象可能是( D )解析：当a >1时函数单调递增，且函数图象过点⎝⎛⎭⎫0，1－1a ，因为0<1－1a <1，故A ，B 均不正确；当0<a <1时，函数单调递减，且函数恒过点⎝⎛⎭⎫0，1－1a ，因为1－1a <0，所以知D 项正确．2．(方向2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是[－1,1]．解析：曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图象如图所示，由图可知：如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 应满足的条件是b ∈[－1，1]．3．(方向2)函数f (x )＝|a x ＋b |(a >0，且a ≠1，b ∈R )的图象如图所示，则a ＋b 的取值范围是(0，＋∞)．解析：根据图象得a >1，f ⎝⎛⎭⎫12＝0，b <0，所以a ＋b ＝0，所以a ＋b ＝a －a >1－1＝0.考点三 指数函数的性质及应用命题方向1 比较大小与解不等式【例4】 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62 C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确；C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，错误．(2)当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1， 则2－a <8，解之得a >－3，所以－3<a <0. 当a ≥0时，则a <1,0≤a <1.综上知，实数a 的取值范围是(－3,1)． 【答案】 (1)B (2)(－3,1)命题方向2 复合函数的单调性【例5】 (1)已知函数f (x )＝2|2x－m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是递增的，则m的取值范围是________．(2)若函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2＋2x ＋3 的值域是⎝⎛⎦⎤0，19，则f (x )的单调递增区间是________． 【解析】 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上是递增的，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m 2上是递减的．而y ＝2t 在R 上是增加的，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上是递增的，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．(2)令g (x )＝ax 2＋2x ＋3，由于f (x )的值域是⎝⎛⎦⎤0，19，所以g (x )的值域是[2，＋∞)． 因此有⎩⎨⎧a >0，12a －44a ＝2，解得a ＝1，这时g (x )＝x 2＋2x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2＋2x ＋3 . 由于g (x )的单调递减区间是(－∞，－1]， 所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1]． 【答案】 (1)(－∞，4] (2)(－∞，－1]命题方向3 最值问题【例6】 如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________．【解析】 令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)．当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)．综上，a ＝3或a ＝13.【答案】 3或13方法技巧(1)比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；②不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.1．(方向1)设函数f (x )＝x 2－a与g (x )＝a x (a >1，且a ≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调性，则M ＝(a －1)0.2与N ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1的大小关系是( D )A ．M ＝NB ．M ≤NC ．M <ND ．M >N解析：因为f (x )＝x 2－a 与g (x )＝a x (a >1，且a ≠2)在(0，＋∞)上具有不同的单调性．所以a >2.因此M ＝(a －1)0.2>1，M ＝⎝⎛⎭⎫1a 0.1<1.故M >N .2．(方向2)函数f (x )＝3x 2－5x ＋4的单调递增区间为[4，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1]．解析：依题意知x 2－5x ＋4≥0，解得x ≥4或x ≤1，令u ＝x 2－5x ＋4＝⎝⎛⎭⎫x －522－94，x ∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，所以当x ∈(－∞，1]时，u 是减函数，当x ∈[4，＋∞)时，u 是增函数．而3>1，所以由复合函数的单调性可知，f (x )＝3x 2－5x ＋4 在区间(－∞，1]上是减函数，在区间[4，＋∞)上是增函数．3．(方向3)已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，则实数m 的最大值为56.解析：把A (1,6)，B (3,24)代入f (x )＝b ·a x ，得⎩⎪⎨⎪⎧6＝ab ，24＝b ·a 3， 结合a >0，且a ≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3，所以f (x )＝3·2x .要使⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x ≥m 在区间(－∞，1]上恒成立，只需保证函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在区间(－∞，1]上的最小值不小于m 即可．因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在区间(－∞，1]上为减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56.所以只需m ≤56即可．所以m 的最大值为56.。
指数函数及其性质学案
§2.1.2指数函数及其性质【学习目标】：1．理解指数函数的概念；2．能画出具体指数函数的图象，根据函数图象掌握性质； 3．能运用指数函数图象与性质比较两个数的大小；4．体会从特殊到一般，数形结合，分类讨论等数学思想方法. 【学习重点】：指数函数的的概念和性质【学习难点】：借助图象，用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 【学习过程】：【问题情境】：发明者的请求相传，国际象棋是由古印度的一位宰相西萨所发明的，当时的国王非常开心，决定奖赏他，许他提出要求。
西萨想了想，提出了他的请求：棋盘上的第一格放2粒麦子，第二格放4粒麦子，第三格放8粒麦子，以后每一格都比前一格的麦粒数增加一倍，再把所有的麦子赏给他。
(1)按照这位发明者的请求，第四格要放____粒麦子，以此类推，如果用y 表示第x 格所需放的麦粒数，那么你能写出y 与x 之间的关系式吗？ (2)y 是x 的函数吗？【画出图像】：1.在同一平面直角坐标系中画出函数2x y =与1()x y =图象；列表： 2x y =1()2x y =描点、连线：（一）指数函数的概念【概念】：一般地，函数 叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为 ．【例题1】：判断下列函数是否是指数函数？①4x y = ②(2)x y =- ③23x y = ④13x y += ⑤4x y -=【方法总结】：【例题2】：比较下列各小题中两数值的大小；(1) 2.51.5， 3.21.5 （2） 1.20.5-， 1.50.5-（3）0.31.5， 1.20.5 （4）)1,0(,5.06.0≠>a a a a且方法总结：（1)当底数相同时，________________________,__________________. （2）当底数不同时，___________________________________________.1.下列函数中为指数函数的是（ ）A.2y x =B. 23x y =-C. 21x y =-D. 23x y = 2.函数()2232x y a a a =-+是指数函数，则a 的取值为__________. 3.比较 3.30.99与 4.50.99的大小关系是_________. 4.不论a 为任何正实数，函数12x y a +=-恒过点（ ） A. ()1,1-- B. ()1,0- C. ()0,1- D. ()1,3--5.函数(0,1)x y a a a =>≠且在[]0,1上的最大值和最小值和为3，则a 的值为____.6.解不等式2542(0,1)x x aa a a ++<>≠且.必修一P59：7、8 微课程P40：基础过关这节课我的收获是什么？ 这节课我还有哪些疑惑？。
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技能训练（十） 指数与指数函数 序号：NO.10
日期：2019.12.19
【考纲传真】
1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象
通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13
的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．
【知识通关】
1．根式 n 次方
根 概
念
如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的__________，其中n ＞1，n ∈N * 表
示 当n 是_______时，a 的n 次方根x ＝n a 当n 是_______时，正数的n 次方根x ＝±n a ；负数没有偶次方根
0的任何次方根都是__，记作n 0＝0
根式 概念 式子n a 叫做______，其中n 叫做________，a 叫做_________
性质
(n a )n ＝__
当n 为奇数时，n a n ＝__
当n 为偶数时，n a n ＝|a |＝___________
2.有理数指数幂
(1)分数指数幂
①正分数指数幂：a m
n
＝_____ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
②负分数指数幂：a -m
n
＝_______＝_______ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；
③0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂____________．
(2)有理数指数幂的运算性质
①a r·a s＝_______ (a＞0，r，s∈Q)；
②(a r)s＝_____ (a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝______ (a＞0，b＞0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝a x a＞10＜a＜1图象
定义域R
值域_________
性质
过定点______
当x＞0
时，
______；x
＜0时，
________
当x＞0时，________；x＜0时，_______
在R上是
_______
在R上是_______
【题型全通】
[题型一]指数幂的化简求值。