高阶微分方程小结
高阶线性微分方程解的结构
特解的求解方法
总结词
求解高阶线性微分方程的特解通常采用常数 变易法、分离变量法、幂级数法等。
详细描述
常数变易法是通过将高阶微分方程转化为等 价的积分方程，然后求解积分得到特解的方 法。分离变量法适用于具有分离变量形式的 高阶线性微分方程，通过将方程拆分为若干 个一阶微分方程来求解特解。幂级数法是将 高阶微分方程转化为幂级数形式的等价方程
稳定性性质
稳定性具有相对性，即一个方程的解在某个 参照系下是稳定的，在另一个参照系下可能 是不稳定的。
稳定性的判断方法
代数法
通过对方程进行整理和化简，利用代数性质判断其稳定性。
图形法
通过绘制方程的解曲线，观察其随时间变化的趋势，判断其稳定性。
比较法
通过比较两个方程的解，利用已知方程解的稳定性判断另一个方程 的解的稳定性。
定义
高阶线性微分方程的通解是指满足方程的任意常数变动的解。
性质
通解具有任意常数可加性和乘性，即通解可以表示为任意常数与基础解系的线性组合。
通解的求解方法
分离变量法
01
通过将方程转化为多个一阶微分方程来求解。
积分法
02
通过对方程两边积分来求解。
幂级数法
03
通过构造幂级数来求解高阶微分方程。
通解的表示形式
高阶线性微分方程解 的结构
目录
CONTENTS
• 高阶线性微分方程的基本概念 • 高阶线性微分方程的通解 • 高阶线性微分方程的特解 • 高阶线性微分方程解的结构 • 高阶线性微分方程的稳定性
01 高阶线性微分方程的基本 概念
高阶线性微分方程的定义
定义
高阶线性微分方程是形如$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0$的微分 方程，其中$y^{(n)}(x)$表示函数$y(x)$的$n$阶导数。
常微分方程小结
常微分方程小结姓名：邱俊铭学号：2010104506姓名：李林学号：2010104404姓名：曾治云学号: 2010104509初等积分法：变量分离形式一、一阶微分程：dy/dx=h(x)g(y) ，其中函数h(x)在区间(a,b)上连续，g(y)在区间(c,d)上连续且不等于0.经过分离变量得: dy/g(y)=h(x)dx 两端积分得：G(y)=H(x)+c ,其中c任意的常数且G(y)= ∧dy/g(y)，H(x)= ∧h(x)®x，所以G’(y)=1/g(y)不为0，故G存在逆函数，从而得到：y= (H(x)+c).例1. dy /dx=2xy解：当y ≠0时，分离变量后得：dy/ y =2xdx ,两边积分得：ln|y|=x^2+c1 ，此外y=0也是方程的解，从而方程的解为y=Ce^(x^2),g(y)=0,则y=是方程的解，其中C为任意的常数。
初值问题的解，即y取任意一个数得到的结果，代入通解中，求出具体y 值。
例2.y(1+x^2)dy=x(1+y^2)dx,y(0)=1;解：这是变量分离的方程，分离变量后得：y/(1+y^2)dy=x/(1+x^2),两边积分得其通解为：1+y^2=C(1+x^2),其中C为任意常数，代入初值条件得：C=2.。
故所给的初值问题的解为y=.二、常数变易法一阶非线性方程：dy/dx=a(x)y+f(x).（1）当f(x)=0时，方程为齐次线性方程，解法和上述的一样，通解为y=C ,C为任意的常数。
现在求齐次线性方程的通解，常数C换成x的函数c(x),得到：y= c(x)，对x 求导，然后代入（1）中化简，两端积分，得：y=C +f x e ..例3. dy/dx-2xy=x.解：dy/dx=2xy+x ，这里a(x)=2x,f(x).从而可求出原方程的通解为： Y=exp(2 ∧x ®x)(c+ ∧xexp(-2∧x ®x)®x)=-1/2+ce^(x^2),即-1/2+ce^(x^2)，其中c 为任意的常数。
高阶微分方程
高阶微分方程高阶微分方程是微积分中重要的研究对象。
它的研究内容涉及到高等数学、物理学、工程学等学科领域。
在这篇文章中，我们将对高阶微分方程的定义、求解方法及其应用进行全面介绍。
一、高阶微分方程的定义高阶微分方程是指包含导数的方程中，导数的阶数高于一阶的微分方程。
一般形式可以表示为：\[F(x, y, y', y'', ..., y^{(n)}) = 0\]其中，\(x\) 是自变量，\(y = y(x)\) 是因变量，\(y', y'', ..., y^{(n)}\) 分别表示\(y\) 相对于\(x\) 的各阶导数。
二、高阶微分方程的求解方法1. 分离变量法分离变量法是指将微分方程中的自变量和因变量分别放在方程两侧，并进行积分求解的方法。
这种方法适用于一些具有特殊形式的高阶微分方程。
2. 常系数线性微分方程的特征方程法对于常系数线性微分方程，可以通过特征方程法求解。
首先，假设原微分方程的解为指数函数形式，然后将其代入方程中，得到一个关于未知常数的方程，通过求解这个特征方程即可得到原方程的通解。
3. 常数变易法常数变易法是指假设微分方程的特解形式为常数乘以一个已知的函数形式。
通过求解这个常数变易方程，可以得到特解，再将特解与齐次方程的通解相加，即可得到原方程的通解。
4. 线性非齐次微分方程的待定系数法对于线性非齐次微分方程，可以通过待定系数法求解。
假设非齐次方程的解为线性组合形式，将其代入方程中，得到关于未知系数的代数方程组。
通过求解这个方程组，可以得到方程的特解，再将特解与齐次方程的通解相加，即可得到原方程的通解。
三、高阶微分方程的应用高阶微分方程在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
以下是几个典型的应用示例：1. 振动方程振动方程描述了各种振动系统的运动规律。
例如，弹簧振子的运动可以由高阶微分方程进行建模。
2. 电路方程电路方程可以描述电子电路中电流和电压的关系。
高等数学上7.5可降阶的高阶微分方程
1 2、 y = − ln(ax + 1)； a
1 3、 y = ( x + 1)4. 2 1 1 y = x3 + x + 1. 三、 6 2
四、恰当导数方程
例 4
求方程 yy′′ + y′2 = 0的通解.
解 1 将方程写成 d ( yy′) = 0,
dx
故有 yy′ = C1 ,
即 ydy = C1dx,
.
五、变量代换降阶法
例 6 解
求方程 xyy′′ − xy′2 = yy′ 的通解.
∫ zdx , 设y=e
∫ zdx , y′ = z ⋅ e
∫ zdx + z ⋅ ze∫ zdx , y′′ = z′e
代入原方程, 代入原方程,得
解其通解为 z = C x,
z′x = z，
2
∫ Cxdx = C eC x . 原方程通解为 y = e 2
d2x m 2 = F（t） dt 由题设, 由题设 t = 0时，F(0) = F0 , 且力随时间的增大而均 匀地减小; 匀地减小 所以 F(t ) = F0 − kt;
又当t = T时, F(T ) = 0, 从而 t F(t ) = F0 (1 − ) T d 2 x F0 t 方程为 (1 − ) 2 = m T dt 初始条件为 x |t =0 = 0, dx |t =0 = 0 dt dx F0 t2 两端积分得 = (t − ) +C1 dt m 2T
′′ = ( y − xy′)2 的通解. 例 5 求方程 x yy
2
解
∫ zdx , 代入原方程 得 z′ + 2 z = 1 , 代入原方程,得 设y=e x x2
高阶微分方程的通解
高阶微分方程的通解
高阶微分方程的概念：
高阶微分方程是指求解变量未知函数y的多个（大于2个）自变量的微分阶数都大于1的微分方程。
这样的方程比一般的普通微分方程难度更大。
高阶微分方程的通解：
（1）可降低阶的方法：当方程中出现多个高阶（大于2阶）分量时，可以采用先求某一路分量的函数及其导数，再求其它分量的方法，即可降低方程的阶数。
（2）变量替换法：例如将方程中的原函数、导数等分量通过某种变换替换成新的分量，有时可以使方程的表示更加简单，更易于求解。
（3）分部积分法：当方程表达式比较复杂时，可以采用分部积分法，即分几个之间使得每计段都存在一个解。
（4）其它方法：此外，还可以采用参数变换、偶解等方法对高阶微分方程进行求解。
总结：
高阶微分方程相对于普通微分方程难度更大，其常用的通解技术主要有可降低阶的方法、变量替换法、分部积分法以及参数变换、偶解法等技术。
最终由于高阶微分方程的复杂性，合理运用多种技术可以综合考虑最终求出通解。
高阶微分方程
高阶微分方程高阶微分方程是微积分学中的一个重要分支，研究的是含有未知函数及其导数的方程。
它在数学和工程领域中有着广泛的应用和重要性。
本文将对高阶微分方程的概念、求解方法和应用进行介绍。
1.概念高阶微分方程是指方程中的未知函数的最高阶导数大于等于2的微分方程。
一般形式为：$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0$，其中$y$是未知函数，$y^{(n)}$表示它的$n$阶导数，$F$是一个关于$x,y,y',y'',...,y^{(n)}$的函数。
高阶微分方程可以是线性或非线性的，可以是常系数或变系数的。
2.求解方法求解高阶微分方程的方法多种多样，常见的方法有特征根法、常数变易法、级数法等。
下面以特征根法为例进行说明。
特征根法适用于线性常系数高阶齐次微分方程。
首先假设$y=e^{mx}$是方程的一个解，代入原方程得到特征方程$F(m)=0$，然后求解特征方程，得到特征根$r_1,r_2,...,r_n$。
根据特征根的性质，可得到方程的通解形式$y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}+...+c_ne^{r_nx}$，其中$c_1,c_2,...,c_n$为待定常数。
通过给定的初始条件，可以确定常数的值，从而得到特定的解。
除了特征根法，我们还可以使用常数变易法和级数法等方法来求解高阶微分方程。
不同的方程形式和初始条件可能会适合不同的方法，选择合适的方法是解决高阶微分方程的关键。
3.应用高阶微分方程在许多科学和工程问题中都有着广泛应用。
例如，在物理学中，牛顿第二定律可以通过二阶微分方程来描述物体的运动。
在电路分析中，电感电容电阻（RLC）电路可以通过二阶微分方程来描述电压和电流的变化。
在工程中，高阶微分方程经常出现在振动系统、控制系统和信号处理等领域。
总结高阶微分方程是微积分学中的一个重要分支，研究的是含有未知函数及其导数的方程。
高阶微分方程的解法
描述经济系统的动态变化 分析经济政策的传导机制 预测经济周期和通货膨胀 研究市场供需关系和价格形成机制
物理：高阶微分 方程可以用来描 述各种物理现象， 如振动、波动、 电磁场等。
工程：高阶微分 方程在许多工程 领域都有应用， 如机械、航空航 天、电子等。
经济：高阶微分 方程可以用来描 述经济系统的动 态变化，如预测 股票价格、分析 市场供需等。
使用方法：通过输入数学公式和命令，可以快速得到问题的解决方案，操作简单方便。
Mathematica：提供符号计算、数值计算和图形可视化等功能，适用于高阶微分方程求解。 Maple：拥有强大的符号计算能力，支持高阶微分方程的符号求解和可视化。 Matlab：除了矩阵计算外，还具备符号计算功能，可以求解高阶微分方程。 Maxima：开源的符号计算软件，适用于高阶微分方程的符号求解和证明。
生物：高阶微分 方程在生物学中 也有应用，如描 述生态系统中的 种群动态、分析 生物体内的生理 过程等。
PART FIVE
MATL AB是一款强大的数学计算软 件，可用于求解高阶微分方程。
MATL AB/Simulink支持多种求解 器，可根据不同的方程类型选择合 适的求解方法。
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PART TWO
适用范围：常微 分方程中，当方 程中只有一个变 量时，可以考虑 使用分离变量法。
解题步骤：将方 程中的变量分离 到等号的两边， 然后对两边同时 积分，得到解的 表达式。
注意事项：在使 用分离变量法时， 需要注意初始条 件和边界条件， 以确保解的正确 性和完整性。
举例说明：例如， 对于一阶常微分 方程 dy/dx = y， 通过分离变量法 可以得到解为 y = Ce^x。
微分方程解法小结
微分方程解法小结PB08207038 司竹最近学习了微分方程，现对各种方法总结如下：一、 一阶微分方程： F （x,y,y ＇）=0⒈可变量分离方程形如φ（x ）dx-ψ(y)dy,或可化为该形式的方程称为可变量分离方程。
解法：两边积分得：∫φ〔x 〕dx=∫ψ〔y 〕dy 。
⒉齐次方程dx dy =φ）（x y 解法：换元。
令y=μx ，则原方程可化为可分离变量方程。
3.一阶线性微分方程dxdy +P （x ）y=Q （x ）y n 解法：两边同时乘以一个积分因子e ⎰dx )x (P ，可得其通解公式：y=e ⎰-dx x ）（P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰c dx e )x (dx x ）（P Q 。
4.Bernouli 方程：dxdy +P （x ）y=Q （x ）y n 解法：两边除以y n 得：+dx dy y 1n P （x ）y n 1-=Q （x ），再做代换μ= y n 1-，就化成 dxdy +（1-n ）P （x ）μ=Q （x ）的线性方程。
二、二阶微分方程F （x ，y ，y ＇，y ＇＇）=0⒈可降阶的二阶微分方程① f ( x , y ＇,y ＇＇)=0型：令p= y ＇，则y ＇＇=p ＇，将方程降阶为f （x ，p ，p ＇）=0的一阶方程。
② f （y ，y ＇，y ＇＇）=0型：令p= y ＇，则y ＇＇=pdy dp ，将方程降阶为f （y ，p ，p dy dp ）=0. 2.二阶线性微分方程①齐次方程y ＇＇+ P （x ）y ＇+q （x ）y=0由已知条件或观察法或其他方法可得出齐次方程的一个特解y 1，用y=z y 1带入方程，整理后得出另一特解y 2= y 1dx ey 1dx x 21⎰-⎰）（P 。
(或可通过Liouville 公式，亦可得出另一特解。
)再由叠加原理得:齐次方程的通解为y=c 1 y 1+c 2 y 2。
③非齐次方程y ＇＇+ P （x ）y ＇+q （x ）y=f （x ）解法：先解出对应的齐次方程的通解yp = c1y1+c2y2。
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xf ( x ) f ( x ) 0 求解初值问题 f (1) 1, f (1) 1 dz 令 z f ( x ), 方程变为 x z, dx 解之，得z C1 x, 由初始条件，得C1 1,
于是 z x，即 f ( x ) x 1 1 2 从而 f ( x ) x C 2 由初始条件，得C 2 , 2 2 1 2 因此，所求函数为 f ( x ) x 1 2
的特解,那么 y y 就是原方程的特解.
* 1 * 2
3. 二阶常系数齐次线性方程解法 二阶常系数齐次线性方程
y py qy 0
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法.
微分方程
特征方程为
y py qy 0
r pr q 0
叠加
几个函数之和, 如 而 y 与 y 分别是方程,
* 1 * 2
y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) y P ( x ) y Q ( x ) y f 2 ( x )
即 r 40
2
y 4 y 0
1 例4 求解方程 y 4 y ( x cos 2 x ). 2 2 解 特征方程 r 4 0, 特征根 r1, 2 2i , 对应的齐次方程的通解为
设原方程的特解为 y y y . * * * (1) 设 y1 ax b, 则 ( y1 ) a, ( y1 ) 0, 1 1 代入 y 4 y x，得 4ax 4b x， 2 2
问题2. 以
y1 e , y2 xe
x
x
为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为
y 2 y y 0
x
答：正确.
y1 e , y2 xe
2
2
x
特征根为r1 r2 1
(r 1) 0 即r 2r 1 0, y 2 y y 0
例3 试确定以 y sin 2 x 为特解的二阶常系数齐次线性方程. 解 由y sin2 x为一个特解,可知r1 2i为特征根.
由于复根总是成对出现的,所以r2 2i 也是特征根， 因此特征方程为 r 2i r 2i 0
从而相应的二阶常系数线性齐次微分方程为
y
(n)
P1 y
( n 1)
Pn 1 y Pn y 0
特征方程为 r n P1 r n 1 Pn 1 r Pn 0
特征方程的根 通解中的对应项
若是k重根r
复根 j
(C0 C1 x Ck 1 x k 1 )e rx
由解的结构定理得方程的通解为
1 y C1 C 2 x . x
2
( y ) (4d 4cx ) cos 2 x (4c 4dx) sin 2 x,
* 2
1 代入 y 4 y cos 2 x，得 2
1 4d cos 2 x 4c sin 2 x cos 2 x , 2 1 c 0， 4d ， 1 * 2 即 由 1 y2 8 x sin 2 x; d ， 4c 0， 8
四
典型题目
例2 设连续函数 f ( x )满足 x f (t ) f ( x ) 1 x 2 dt , 求f ( x ). 1 t 右端积分可导. 解 f ( x )连续， x x f (t ) f (t ) 积分变形为 x 2 dt x dt 2 1 1 t t x f (t ) f (t ) 方程两边求导 f ( x ) 1 2 dt x 2 t x 两边再求导，得 xf ( x ) f ( x ) 0 f (1) 1 由原方程和(1)式,得初始条件 f (1) 1
通解的表达式
2
特征根的情况
实根 r 1 实根 r 1 复根 r
r2 r2
1, 2
i
y C1 e r x C 2 e r x rx y (C1 C 2 x )e y ex (C1 cos x C2 sin x )
1 2
2
推广： n阶常系数齐次线性方程解法
2 1 y 例1 求通解 y . 2y 解 方程不显含 x . dP 令 y P , 则y P , 代入方程，得 dy 2 dP 1 P 2 P , 解得， 1 P C1 y, dy 2y dy P C1 y 1, 即 C1 y 1, dx 2 故方程的通解为 C1 y 1 x C 2 . C1
(1)
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x )是方程(1) 的两个解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解 （ C1 , C 2 是常数）. 解的叠加 定理 2 如果 y1 ( x ) 与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个
线性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是 方程(1)的通解.
的解.C1 , C 2为任意常数，则该方程的通解是 A. C1 y1 C 2 y2 C 3 y3 ; 答：选择C
B. C. D.
C1 y1 C 2 y2 C1 C 2 y3 ;
C1 y1 C 2 y2 1 C1 C 2 y3 ; C1 y1 C 2 y2 1 C1 C 2 y3
和 f ( x ) e ( Pl ( x )cos x Pn ( x )sin x ) 的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 形式．
二
一阶方程 类 型 1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.线性方程 5.伯努利方程
内容提要
基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
高阶方程 可降阶方程
其中Y 是对应齐次方程的通解， y 是非齐次的特解 .
用待定系数法求特解 y
y py qy f ( x )
(1) f ( x ) e Pm ( x ) 型
k x
x
设特解形式 y x e Qm ( x ) ,
其中Qm ( x)是与Pm ( x)同次的待定多项式.
0 不是特征根 k 1 是特征单根 2 是特征重根
y py qy f ( x )
(2) f ( x ) e ( Pl ( x )cos x Pn ( x )sin x 型
设特解的形式
x
y x e [ R ( x )cos x R ( x )sin x ],
第十二章
高阶微分方程小结
一 基本要求
1. 了解特殊高阶微分方程的降阶法： y
( n)
f ( x )，y f ( x , y )，y f ( y , y)
2. 理解二阶线性微分方程解的结构； 4. 掌握自由项为 f ( x ) Pm ( x )e
x
x
3. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法；
故原方程的通解为
1 1 y C1 cos 2 x C 2 sin 2 x x x sin 2 x . 8 8
1 例5 设 y p( x ) y f ( x ) 有一特解为 ， x 2 对应的齐次方程有一特解为 x ，试求： (1) p( x ), f ( x ) 的表达式； (2) 此方程的通解 .
2 p( x )2 x 0, 解 (1)由题设可得： 2 1 p ( x )( ) f ( x ), 3 2 x x 解此方程组，得 1 3 p( x ) , f ( x ) 3 . x x
1 3 (2) 原方程为 y y 3 . x x 2 显见 y1 1, y2 x 是原方程对应的 齐次方程的两个线性无关的特解， 1 * 又 y 是原方程的一个特解， x
dp 解法 令 y P ( x ), y P , dx (3) y f ( y , y ) 型 不显含自变量 x . dp 解法 令 y P ( x ), y P , dy
2. 线性微分方程解的结构 (1) 二阶齐次方程解的结构: 形如 y P ( x ) y Q ( x ) y 0
* * 1 * 2
Y C1 cos 2 x C2 sin 2 x .
由
1 1 4a ， 1 a ， * y1 x; 2 解得 8 8 b 0， 4b 0，
* 2
(2) 设 y x(c cos 2 x d sin2 x), * 则 ( y2 ) (c 2dx)cos2 x (d 2cx)sin2 x,
待 特征方程及其根 定 对应的通解形式 系 数 法 f(x)的形式及其
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
变量代换
特解形式
1.可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y
( n)
f ( x) 型
特点
解法 接连积分n次,得通解．
(2) y f ( x , y )型 不显含未知函数 y .
(2) 二阶非齐次线性方程的解的结构:
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) (2)
定理3 设y*是(2)的一个特解, Y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么
y Y y
*
是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4
设非齐次方程(2)的右端 f ( x 是
k x
其中 R ( x ), R ( x )是m次多项式，
(1) m
(1) m (2) m
(2) m