二阶及高阶微分方程的求解与应用

i 1
n
(2)、刘维尔公式： W (t ) W (t0 )e

t0 a1 ( s ) ds
t
。
例： x p (t ) x q (t ) x 0 ，通解 x(t) c1x1 c 2 x1 2、n 阶线性非齐次微分方程 形如：
1 p (t ) dt e dt 2 x1
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一阶微分方程
a1 ( t ) dt e dt 根据刘维尔公式，若已知一解 x1 (t ) ，则可求另一解 x x2 (t ) x1 (t ) 2 x1
四、线性非齐次常系数方程
待定系数法，形如： L[ x]
d nx d n 1 x dx a an 1 an x f (t ) 1 n n 1 dt dt dt
3
一阶微分方程
在区间(a,b)，当它恒等于零时，函数组 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 线性相关，当在某点 t 处 W（t）不等于零,则线性无关。 求解：(1)、如果 x1 (t), x 2 (t), , x n (t) 是方程的 n 个线性无关解，则通解可表示为
x(t ) ci xi (t ) ，其中 c1 , c2 , , cn 是常数。
~ ~ f (t ) e rt [ Pn (t )cost Pl (t ) sin t ] ， Pn (t ) 、 Pl (t ) 为不同的 n、l 次多项式，k
是 r 作为特征根的重数，先求得对应齐次方程的特征根，这里单独介绍当特征根 是复制的情况。 i 若此 =r 且 = ， 则设特解： (t ) t k [( At n Bt n 1 C ) cos t ( Dt n Et n 1 F )sin t ]et ， 若此 或 ， 则设特解： (t ) t k [( At n Bt n 1 C ) cos t ( Dt n Et n 1 F ) sin t ]
常数。 再将其带入，得非齐次方程的通解 x (t ) i xi (t ) xi (t ) i (t )dt ，
i 1 i 1 n n来自特解，只需给出常数 i (i 1,2, , n) 以确定它的值。
三、线性齐次常系数方程
1、N 阶常系数齐次线性方程
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一阶微分方程
x c1 (t ) x1 (t ) c2 (t ) x2 (t ) cn (t ) xn (t ) ，
然后解得 n 个未知函数 c i (t )(i 1,2, , n) 所满足的代数方程式，继而求 得
c i (t ) i (t )(i 1,2, , n) ，积分得，c i (t ) i (t ) dt i , i 1,2, , n ，其中 i 为任意
关键词： 二阶及高阶微分方程 降阶 基本解组 Wronskian 行列式
常系数
高阶微分方程的求解没有统一的方法，但通过课本的归纳总结还是可以找 到一些规律，下面就是我总结的一些主要解法。
一、解法 一、可降阶的高阶微分方程
一般的高阶微分方程没有普遍的解法，通常是通过变量代换把高阶方程的求 解问题转化为较低阶的方程来求解。这里总结三种可降阶的方程类型及求解方 法。 1、不显含未知数 x 的方程 不显含未知函数 x 及其直到 k 1(k 1) 阶导数的方程， 形如： F (t , x ( k ) , x ( k 1) , , x ( n ) ) 0 求解：令 x ( k ) y ，可化为关于 y的n - k阶方程 F (t , y, y, y ( n k ) ) 0 ， 求得通解 y (t , c1 , c2 , cn k ) ，即 x ( k ) (t , c1 , c2 , cn k ) 再经 k 次积分，即可求得解 x 。 2、不显含自变量 t 的方程 形如： F ( x, x, , x ( n ) ) 0
dn x d n 1 x dx a ( t ) an 1 (t ) an (t ) x f (t ) ，或 L[ x] f (t ) 1 n n 1 dt dt dt
求解：(1)、通解：n 阶线性非齐次方程的通解等于它所对应齐次方程的通解与 它本身的一个特解之和。 (2)、 常数变易法： 设 x1 (t), x 2 (t), , x n (t) 是齐次方程的 n 个线性无关的解， 则 x c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) ， 令常数 c i (i 1,2, , n) 看成 t 的待定函数 c i (t ) ，则
dn x d n 1 x dx a ( t ) an 1 (t ) an (t ) x 0 ，或 L[ x] 0 ； 1 n n 1 dt dt dt
叠加原理：如果 x1 (t ), x2 (t ), , xk (t ) 是方程的 k 个解，则它的线性组合
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t ) 也是方程的解，其中 c1 , c2 , , ck 是常数。
形如：
dn x d n 1 x dx a an 1 an x 0, 其中 a 1 , a 2 , , a n 为常数 1 n n 1 dt dt dt
求解：待定系数法,利用特征方程和特征根 (1)、特征根是单根的情形 设 1，2， ，n 是特征方程的 n 个彼此不相等的根 A:若 i (i 1,2, , n) 均为实数，则方程通解： x(t ) c1e 1t c2 e 2t cn e nt ， 其中 c1 , c2 , , cn 为任意常数； B:若 i (i 1,2, , n) 中有复数，即 i ， 则复值解为 x (t ) c1et cos t c2 et sin t ； （2）、特征根有重根的情形 A:若特征方程有 k 重实根， 则 k 重实根解：x (t ) c1e mt c2te mt c3t 2 e mt cnt k 1e mt ， 其中 c1 , c2 , , cn 为任意常数； m 是指 m 个 k 重实根。 B:若特征方程有 k 重复根，即 i 则 k 重复根解：
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一阶微分方程
二、应用 因为在查找了一些资料后，发现例题有很多，但给人眼花缭乱 的感觉，这里就举一个比较典型的例子：
从船上向海中沉放某种探测器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉， 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用，设仪器质量为 m，体积为 B，海水比重为 ρ，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为 k（k>0）试建立 y 与 v 所满 足的微分方程，并求出函数关系式
dx d n 1 x (t , x, , , n 1 ) c1 ，则求得通解 x (t , c1 , c2 , , cn ) 即是方程的通解。 dt dt
若方程本身不是全微分方程，也可乘一个适当的积分因子 u (t , x, 为全微分方程来求解。
dx d n 1 x , , n 1 ) 变 dt dt
一阶微分方程
二阶及高阶微分方程的 求解与应用
学 姓 班 学
号 名 级 院
2012xxxxxxxx xxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
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一阶微分方程
摘要：本人认为第三章略微复杂，在课上时感觉自己听懂了，但是课后发现又
会出现好多问题。所以，本着为期末考试作准备，也是进一步巩固自己第三章的 内容的想法，我就把二阶及高阶微分方程的求解按照课本的顺序总结了一下， 然 后又从实际问题出发，应用二阶及高阶微分方程来解决具体问题的一个典型例 题。
dx d 2 x dy dy dx dy 求解:令 y x ，则 y, 2 y ， dt dt dt dx dt dx d3 x dt 3 d(y dy dy ) d(y ) 2 dx dx dx y ( dy ) 2 y 2 d y , dt dx dt dx dx 2
基本解组：若方程的任一个解都可以表示成 (t ) ci xi (t ) ，则称：
i 1 n
x1 (t), x 2 (t), , x n (t) 是方程的基本解组。 x1 (t ) x2 (t ) xk (t ) (t ) (t ) (t ) x1 x2 xk Wronskian 行列式： W [ x1 (t ), x2 (t ), , xk (t )] ( k 1) ( k 1) ( k 1) x1 (t ) x2 (t ) xk (t )
其中， a 1 , a2 , an 是常数，而 f(t)是连续函数，当 f(t)是一些特殊函数 时，如指数正弦余弦函数时，可用待定系数法。 先求对应齐次方程的特征根，然后用待定系数表示一个特解，在带入原方 程求解，解出待定系数即可。而这里最主要的问题就是如何设特解。 1、非齐次项为多项式 2、非齐次项为多项式与指数函数之积 r 指特征根， k 是 r 作为特征根的重数， f (t ) Pn (t )e rt ，Pn (t ) 为 n 次多项式， 先求得对应齐次方程的特征根， 若此特征根 与 r 相同，则设特解： (t ) t k ( At n Bt n 1 C )e rt ， 若此特征根 与 r 不同，则设特解： (t ) t k ( At n Bt n 1 C ) 3、非齐次项为多项式与指数函数、正余弦数函数之积
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即运用数学归纳法，归纳得：
一阶微分方程
F ( x, y ,
dy d n 1 y , , n 1 ) 0 ，依次降阶即可求得，一般应用于二阶微分方程的求解。 dx dx
3、全微分方程和积分因子 形如： F (t , x,