第四章 数字相关和卷积运算及3章习题解答
clear;N=500; n=0:N-1; s=0.8*sin(pi/5*n); Rs=xcorr(s); rss=circlecorr(s,s);rs=[rss rss]; plot(-499:499,Rs,-499:499,rs(1:999),'r')
rxy (m) x(n) • y(n)
(4-2)
对应式(4-1)，令k＝m＋n，则n＝k－m，
得：
rxy (m) x(k m) y(k) k
(4-3)
rxy (m) 和 ryx (m) 却是完全不同的：
ryx (m) y(n)x(n m) n
(4-4)
令k＝m＋n，则n＝k－m，得：
R1( ) E[x1(t)Kx1(t )] E[x1(t )Kx1(t)] R2 ( )
R1( ) 2KR 1( ) R2 ( ) (A1 2KA1 A2 )e
第四章 数字相关和卷积运算
（Correlation and Convolution）
第一节 线性相关 第二节 循环相关 第三节 相干函数
n
n
n
令
2
x(n) y(n)
2
n
xy
x2 (n) y 2 (n)
n
n
• xy 称为归一化相关系数，或者叫相干系数。
• 在一个序列移动的情况下，相干系数就变成 相干函数，它是m的函数，用 xy (m)
表示：
x(n) y(n
m) 2
2 xy
(m)
n
x2 (n) y2 (n)
故 rxy (m) 的值皆为零。
• 上式得到的rxy (m)长度为L= N4 N1 (N3 N2 ) 1 点，由题意知N＝ N2 N1 1 ，M＝N4 N3 1 因此
L＝ N4 N1 (N3 N2 ) 1 ＝ N4 N3 1＋ N2 N1 1 －1＝M＋N－1，也就是线性相关 函数 rxy (m) 的长度为M＋N－1。
N=length(y); v=zeros(N,N); for i=1:N
for j=1:N v(i,j)=y(j);
end L=y(1); for k=1:N-1
y(k)=y(k+1); end y(N)=L; end 计算过程：V＝circlel（y）；r＝x*V；
４.３ 相干函数 （Coherent Function ）
（ⅰ） Rx ( ) 4e cos cos3
（ⅱ） R x ( ) 25e4 cos0 16
（ⅰ） Rx ( ) 4e cos cos3
Px () R x ( )ejd
[ (
3 ) (
3
)]
8[ 1
1
(
)2
1
1
( )2
]
E(x2 ) Rx (0) 4 1 5
0
y(0) y(N 2)
y(0) y(1) y(2) y(N 1)
y(1) y(2)
y(N 1)
0
y(N 1)
0
0
0
• 计算得到一个2N－1点长的行向量，也就是对 应，m＝－(N－1)，…，（N－1）。如果x和y 的长度不同，则把短的序列进行补零，使得两 者点长相同，然后计算 .
４.２ 循环相关
E[x1(t)x1(t ) x2 (t)x1(t ) x1(t)x2 (t ) x2 (t)x2 (t )]
R1( ) E[x1(t)]E[x2 (t )] E[x1(t )]E[x2 (t)] R2 ( )
limR 1( ) limE[x 1(t)x1(t )] E(x1(t)) E(x1(t )) E2[x1(t)]
n
-2xn
x ne2xn
0
e-2xn dx n
0
e-2xn dxn
0
0.5 de-2xn
0.5(e2xn )
=0.5
0
0
E（y）=E(2x1+4x2)=E(2x1)+E(4x2)=3
3-5：已知平稳随机过程x的自 相关函数如下，求其功率谱 密度及均方，并根据所得结 果说明该随机过程是否含有 直流分量或周期性分量。
3.计算
与计算卷积相似: • 公式法 • 表格法 • 图形法 参看例题4-3 • 程序法:
• 设序列x,y长度为N点，除区间0~N-1之外皆为零， 用矩阵的形式来表达循环相关：
N 1
rxy (m) x(n) y((n m)) N RN (n) n0
y(0) y(1)
x(0)
x(1)
x(N 1)
E2[x1(t)] 0
同理 E2[x2 (t)] 0
R x ( ) R1( ) R 2 ( ) (A1 A2 )e
（ⅱ）x1，x2来自同一信号 源，只是幅度差一个常数因 子K（K不为1）：x2=Kx1。
由前面计算可得
R x ( )
R1( ) E[x1(t)x2 (t )] E[x1(t )x2 (t)] R2 ( )
解答： Py () R y ( )ej d
其中 Ry ( ) E(y(t)y(t ))
E[(x(t) x(t T)) (x(t ) x(t T))]
E[x(t)x(t ) x(t T)x(t )
x(t)x(t T) x(t T)x(t T)]
Rx ( ) Rx ( T) R x ( T) R x ( )
-A
0
因此该过程在均值意义下是各态遍历的。
(3.3)讨论相互独立、互不相关、相 互正交的区别和联系。
解答： 随机变量统计独立的条件为：
p(x, y) p(x)p(y)
互不相关的条件为： cov(x, y) 0
正交的条件为： E(xy) 0
对于一般的随机变量：统计独立则互不相关； 当其中有任意一个变量的均值为零，则互不相 关和正交可以互相推导。 对于高斯随机变量，统计独立和互不相关可以 相互推导；当其中有任意一个变量的均值为零 ，则三者都能互相推导。
3.计算
与计算卷积相似: • 公式法 • 表格法 • 图形法 参看例题4-1 • 程序法:
• 设序列x,y长度为N点，除区间0~N-1之外皆为零， 用矩阵的形式来表达线性相关：
N 1
rxy (m) x(n) y(n m)
n0
0 0
0
y(0)
x(0) x(1) x(N 1) y(1)
证明：按照题意，对于
rxy (m) x(n) y(n m) n
x(n) 的非零区间为 N1 n N2
对上式同时乘－1则有
N2 n N1 y(n m) 的非零区间为 N3 n m N4
将上面两个不等式相加，可得
N3 N2 m N4 N1
在此区间之外，x(n)和 y(n m)的非零值互不重叠，
因为
Px
(0)
8[ 1
2
2
]
0
所以含有直流分量；
因为周期信号的自相关函数也是周期性的，而R中包含
有一个周期性的成分，因此该随机过程含有周期性分量
。
（ⅱ） R x ( ) 25e4 cos0 16
Px () R x ( )ejd
32 () 50[
1
1
]
16 ( 0 )2 16 ( 0 )2
号x2的自相关函数为
，
在下R2(列 ) 条A2e件 下，分别求信号
相加后x=x1+x2的自相关函
数
。 R x ( )
（ⅰ）x1，x2相互独立；
（ⅱ）x1，x2来自同一信号源，
只是幅度差一个常数因子K（K
不为1）：x2=Kx1。
（ⅰ）x1，x2相互独立；
Rx ( ) E(x(t)x(t ))
E[(x1(t) x2 (t)) (x1(t ) x2 (t ))]
• 【例4-2】设x(n)和 y(n)是有限长的序列，序列
x(n)长度为N点，y(n) 长度为M点，x(n) 除区
间N1 n N2 之外皆为零，y(n) 除区间N3 n N4
之外皆为零，证明它们的线性相关函数 rxy (m) 的长度为M＋N－1点，并且除区间N3 N2 m N4 N1 之外皆为零。
(3.2)判断随机相位正弦波在均值意义下是
否各态遍 历。
x(t)
Asin(
，0t
)
,A
是固0 定
值布，：Ф是p随()机 21变 ,0量 ， 2分，布其为它均为匀零分。
解答： 该随机过程的时间平均为：
mx
lim
T
1 2T
T
Asin (0 t
T
)dt
0
该随机过程的总体平均为：
A
2
E(x) xp(x)dx Asin (0 t )p()d 0
n
n
x(n) y(n
2 m)
2 xy
(m)
n
x2 (n) y2 (n)
n
n
xy
rxy (0)
1
rxx (0) ryy (0) 2
xy (m)
rxy (m)
ryx (m) y(k m)x(k) x(k)y(k m) rxy (m)
k
k
(4-5)
2.相关的意义
x = randn(100,2); % uncorrelated data x(:,3) =x(:,1)+x(:,2); % introduce correlation plot(x);legend('1','2','3') r12=xcorr(x(:,1),x(:,2)); r13=xcorr(x(:,1),x(:,3)); plot(-99:99,r12,-99:99,r13,'r'); legend('r12','r13')
数字信号处理课后答案+第4章(高西全丁美玉第三版)
6*． 按照下面的IDFT算法编写MATLAB语言 IFFT程 序， 其中的FFT部分不用写出清单， 可调用fft函数。 并分 别对单位脉冲序列、 矩形序列、 三角序列和正弦序列进行 FFT和IFFT变换， 验证所编程序。
解： 为了使用灵活方便， 将本题所给算法公式作为函 数编写ifft46.m如下： %函数ifft46.m %按照所给算法公式计算IFET function xn=ifft46(Xk， N) Xk=conj(Xk)； %对Xk取复共轭 xn=conj(fft(Xk， N))/N； %按照所给算法公式计算IFFT 分别对单位脉冲序列、 长度为8的矩形序列和三角序列 进行FFT， 并调用函数ifft46计算IFFT变换， 验证函数 ifft46的程序ex406.m如下：
快速卷积时， 需要计算一次N点FFT（考虑到H(k)= DFT［h(n)］已计算好存入内存）、 N次频域复数乘法和 一次N点IFFT。 所以， 计算1024点快速卷积的计算时间Tc 约为
Fs <
1024 = 15 625 次 /秒 65536 × 10−6
Fs 15625 = = 7.8125 kHz 2 2
1 x ( n) = IDFT[ X ( k )] = [DFT[ X * ( k )]]* N
%程序ex406.m %调用fft函数计算IDFT x1n=1； %输入单位脉冲序列x1n x2n=［1 1 1 1 1 1 1 1］； %输入矩形序列向量x2n x3n=［1 2 3 4 4 3 2 1］； %输入三角序列序列向量x3n N=8； X1k=fft(x1n， N)； X2k=fft(x2n， N)； X3k=fft(x3n， N)； %计算x1n的N点DFT %计算x2n的N点DFT %计算x3n的N点DFT
04-数学基础3-卷积、相关、傅里叶级数
*
[d (x+d/2 - d (x-d/2)]
利用卷积性质求卷积的例子
A
-a f(x) x 0 a
练习0-11 ：用图解法求图示两个函数的卷积f(x) * h(x)
k
h(x) x -a 0 a
*
=
？
若要求写出解析运算式: f(x) = ? +? 写成 tri(x) 的平移式 h(x) = ? +? 写成d(x)的平移式 利用卷积的线性性质 利用d函数的卷积性质 利用卷积的平移性质
即任意函数与d(x) 卷积后不变 利用卷积的位移不变性可得: f(x)*d(x - x0) = f (x - x0)
任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平 移到脉冲所在的位置. f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x) 的函数波形,用于描述各种重复性的结构.
a b a
=
a
rff(x，y) = rff(-x，-y)
0-14. 已知函数
f(x) = rect (x+2) + rect (x-2)
求函数f(x) 的自相关，并画出图形。
第一章 二维线性系统分析
Analysis of 2-Dimensional Linear System §1-2 二维傅里叶变换 三角傅里叶级数
零频分量, 基频, 谐频, 频谱等概念
指数傅里叶级数和三角傅里叶级数是同一种级数的两种表 示方式，一种系数可由另一种系数导出。
§1-2 二维傅里叶变换 2-D Fourier Transform
从傅里叶级数到傅里叶变换
函数 (满足狄氏条件) 具有有限周期t,可以展为傅里叶级数:
g ( x) Cn 1
《数字信号处理》课后答案
数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。
解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3) 0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值； （2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）()3(4)(3)(2)3(1)6() 6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。
3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。
解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
信息论第四章习题解答
四 解 (1) 要能纠一位错，监督位数 r 必须满足 2r ? n ? 1,
章
由 n = 6 ? r 可求得满足该条件的最小的 r 为 r = 4 .
抗
故需构造 (10, 6 ) 码。
干
(2) 可以构造出多种 (10, 6 ) 码，下面仅给出其中的一种。
扰
111100 1000
二 元
监督阵 [H ] =
二
元 编
当
d
为偶数时，可以纠正
??? d
2
2 ?? 位错误， ?
码
且发现 ?? d - 2 ?? ? 1 位错误。
?2?
4
习题解答
第 4.4 试计算 ( 8, 7 ) 奇偶校验码的漏检概率和编码效率，
四
已知码元的错误概率为 Pe = 10- 4 .
章 解 (1) 奇偶校验码不能发现偶数位错误，其漏检概率为：
码
(5) 系统码和非系统码 (略)。
(P 175)
19
习题解答
第 4.13 已知 (7, 4) 循环码的生成多项式为 g( x) = x3 ? x2 ? 1,
四
当收到一循环码字为 0010011 时，根据校验子判断有
章
无错误？哪一位错了？
抗 解 (1) 求校验子 干 扰 二 元 编 码
c0 位错 c1 位错 c2 位错 c3 位错 c4 位错 c5 位错 c6 位错
00000，11101，11110，11000，10100。
编
码
2
习题解答
第 4.2 求 000000、110110、011101、101010 四码字的汉明距离，
四
并据此拟出校正错误用的译码表。
《信息论》—基础理论与应用(傅祖芸)课后答案
X a1 = 0 a 2 = 1 a 3 = 2 a 4 = 3 【 2.5 】 设 离散 无 记 忆 信 源 ， 其 发 出 的消 息 为 = 1/ 4 1/ 4 1/ 8 P ( x) 3 / 8 （202120130213001203210110321010021032011223210） ，求 （1） 此消息的自信息是多少？ （2） 在此消息中平均每个符号携带的信息量是多少？ 解： 信源是无记忆的，因此，发出的各消息之间是互相独立的，此时发出的消息的自信息 即为各消息的自信息之和。根据已知条件，发出各消息所包含的信息量分别为： I (a 0 = 0) = log 8 = 1.415 比特 3
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即函数 f ( x ) 为减函数，因此有 f (0) ≥ f (ε ) ，即 ( p1 − ε ) log( p1 − ε ) + ( p 2 + ε ) log( p 2 + ε ) ≤ p1 log p1 + p 2 log p 2 因此 H ( X ) ≤ H ( X ′) 成立。 【解释】 当信源符号的概率趋向等概率分布时，不确定性增加，即信息熵是增加的。 【2.11】试证明：若 ∑ pi = 1 ， ∑ q j = p L ，则
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P( A | B) =
P( AB) P( A) P( B | A) 0.25 × 0.75 = = = 0.375 P( B) P( B) 0.5
已知该事件所能获得的信息量为 I = log 1 ≈ 1.415 比特 0.375
问女同志回答“否”所获昨的信息量为： I = log 1 ≈ 7.23 × 10 −3 比特/符号 0.995
数字信号处理课后答案课件
傅里叶变换的性质
线性性质
若离散信号x(n)和y(n)的 傅里叶变换分别为 X(e^jωn)和Y(e^jωn)， 则对于任意实数a和b，有 aX(e^jωn) + bY(e^jωn) 的傅里叶变换等于 aX(e^jωn)和bY(e^jωn) 的傅里叶变换之和。
从而实现信号的分离、抑制或提 取。
滤波器分类
根据不同的特性，滤波器可分为 低通、高通、带通和带阻滤波器，
每种滤波器都有各自的应用场景 和特点。
滤波器原理
滤波器的原理是基于频率响应， 即不同频率的信号经过滤波器后， 其幅度和相位会发生不同的变化。
IIR滤波器设计
IIR滤波器概述
IIR滤波器设计方法
IIR滤波器稳定性
在设计IIR滤波器时，需要考虑其稳定 性。如果系统函数的极点位于单位圆 外，则系统不稳定，可能会导致无穷 大的输出。因此，在设计过程中需要 进行稳定性分析。
FIR滤波器设计
FIR滤波器概述
FIR（Finite Impulse Response）滤 波器是一种具有有限冲击响应的数字 滤波器，其系统函数可以表示为有限 项之和。
插值法
对于非周期性的连续时间信号，可以通过插值法得到离散时间信号。常用的插值方法包括 线性插值、多项式插值、样条插值等。
傅里叶变换法
对于任何连续时间信号，可以通过傅里叶变换将其转换为频域表示形式，然后对频域表示 形式进行采样，得到离散时间信号。再通过逆傅里叶变换将其转换回时域表示形式。
05 第五章 信号的分 析与合成
抽样定理的充分性
对于任何连续时间信号，如果其最高频率分量小于等于fmax，则可 以通过其抽样信号无失真地重建出原信号。
《数字通信基础》第4章答案
4-1 已知线性调制信号表示式如下： (1) cos t cos c t (2) (1 0.5sin t ) cos c t 式中， c 6 。试分别划出它们的波形图和频谱图。 [解] (1) 波形图：
频谱图：
S()
/2
c
c
c +
c
4-7 设某信道具有均匀的双边噪声功率谱密度 Pn ( f ) =0.5103W/Hz， 在该信道中传输抑制
载波的双边带信号，并设调制信号 m(t ) 的频带限制在 5kHz，而载波为 100kHz，已调信号 的功率为 10kW。若接收机的输入信号在加至解调器之前，先经过带宽为 10kHz 的一理想带 通滤波器滤波，试问： (1) 该理想带通滤波器的中心频率为多大？ (2) 解调器输入端的信噪功率比为多少？ (3) 解调器输出端的信噪功率比为多少？ (4) 求出解调器输出端的噪声功率谱密度，并用图形表示出来。 [解] (1) 该理想带通滤波器的中心频率为 100kHz。 (2)
Si 10 103 (W)， N i n0 B 2 0.5 103 10 103 10 (W)。所以，
Si 10000 1000 。 Ni 10
(3) 因为抑制载波的双边带调制的信噪比增益 G 2 ，所以
So S G i 2 1000 2000 。 No Ni
接收机输入信号功率
1 2 1 m (t ) Pm (t )df 2 2 fm n f 1 2 m df 0 2 2 fm 1 nm f m 4 1 （2）输出信号为 mout (t ) m(t ) ，所以输出信号功率 2 1 2 1 PSout m (t ) nm f m 4 8 Psin
数字信号处理课后答案+第3章(高西全丁美玉第三版)
X (k ) =
∑
kn 1 ⋅ WN
=
∑
=
1− e 1− e
N k = 0 = 0 k = 1, 2, ⋯, N − 1
（2） X (k ) = ∑ δ(n)W
n =0
N −1
kn N
（10） 解法一
X (k ) =
∑
n =0
N −1 kn nW N
k = 0, 1, ⋯ , N − 1
上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因 为x(n)=nRN(n)， 所以 x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT， 得到 X(k)－X(k)WkN+N=Nδ(k)
j
2π mn N ,
0<m< N
2π x(n) = cos mn , 0 < m < N N
(7) (8) (9)
x(n)=ejω0nRN(n) x(n)=sin(ω0n)RN(n) x(n)=cos(ω0n)RN(N)
(10) x(n)=nRN(n) 解： (1)
H (k ) = ∑ ∑ x((n′ + lN )) N e
l =0 n′=0
m −1 N −1
−j
2π( n′+lN ) k rN
2π 2π −j n′k − j lk N −1 k r −1 − j 2π lk ′)e mN e m = X ∑ e m = ∑ ∑ x(n l =0 n′=0 r l =0 m −1
概率论与数理统计习题解答(第3章)
习 题 三 （A ）三、解答题1. 设口袋中有3个球，它们上面依次标有数字1，1，2，现从口袋中无放回地连续摸出两个球，以X ，Y 分别表示第一次与第二次摸出的球上标有的数字，求(X ，Y )的分布律． 解：(X ，Y )取到的所有可能值为(1，1)，(1，2)，(2，1)由乘法公式： P {X =1，Y =1}=P {X =1}P {Y =1|X =1}=2/3⨯1/2=/3， P {X =1，Y =2}= P {X =1}P {Y =2|X =1}=2/3⨯1/2=1/3， P {X =2，Y =1}= P {X =2}P {Y =1|X =2}=1/3⨯2/2=1/3. (X ，Y )的分布律用表格表示如下：2．设盒中装有8支圆珠笔芯，其中3支是蓝的，3支是绿的，2支是红的，现从中随机抽取2支，以X ，Y 分别表示抽取的蓝色与红色笔芯数，试求： (1) X 和Y 的联合分布律；(2) P {X ，Y } ∈ A }，其中A = {(x ，y )| x + y ≤ 1}． 解：X ，Y 所有可能取到的值是0， 1， 2(1) P {X =i ， Y =j }=P {X =i }P {Y =j |X =i }=282223C C C C j i j i --， i ， j =0，1，2， i +j ≤2 或者用表格表示如下：(2)P{(X ，Y )∈A }=P {X +Y ≤1}=P {X =0， Y =0}+P {X =1，Y =0}+P {X =0，Y =1}=3/28+9/28+6/28=9/14.3．设事件B A 、满足,21)|(,21)|(,41)(===A B P B A P A P 记X ，Y 分别为一次试验中A ，B 发生的次数，即⎩⎨⎧=不发生，发生A A X 0,1，⎩⎨⎧=不发生，发生，B B Y 0 1，求：二维随机变量(X ，Y )的分布律．解：因为P (A )=1/4，,21)|(=A B P 由P (B |A )=2/14/1)()()(==AB P A P AB P 得P (AB )=1/8， 由P (A |B )=2/1)()(=B P AB P 得P(B)=1/4.(X ，Y )取到的所有可能数对为(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)，则 P {X =0，Y =0}=)(1)()(B A P B A P B A P -===1-P (A )-P (B )+P (AB )=5/8, P {X =0，Y =1}=)(B A P =P (B -A )=P (B )-P (AB )=1/8, P {X =1，Y =0}=)(B A P =P (A -B )=P (A )-P (AB )=1/8, P {X =1，Y =1}=P (AB )=1/8.4．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10 ,),(其它y x Axy y x f 试求： (1) 常数A (2) P {X = Y } (3) P {X < Y }(4) (X ，Y )的分布函数． 解：(1)由归一性知：1=， 故A=4(2) P {X =Y }=0, (3) P {X <Y }=.(4)F (x ，y )=即F (x ，y )=5．设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其它0,20,10 ,3),(2y x xyx y x f求P {X + Y ≥ 1}． 解：P{X+Y ≥1}=7265)3(),(102121=+=⎰⎰⎰⎰-≥+dydx xy x dxdy y x f xy x 6．将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次中出现正面的次数，以Y 表示3次中出现正面的次数，求X ，Y 的联合分布律及(X ，Y )的边缘分布律．解：X 的所有可能取值为0，1，2，Y 的所有可能取值为0，1，2，3. P {X =0，Y =0}=0.53=0.125; P {X =0，Y =1}=0.53=0.125P {X =1，Y =1}=25.05.05.0212=⨯C ， P {X =1，Y =2}=25.05.05.0212=⨯C P {X =2，Y =2}=0.53=0.125， P {X =2，Y =3}==0.53=0.125 X ，Y 的分布律及边缘分布律可用表格表示如下：Y X 0 1 2 3 P i . 0 0.125 0.125 0 0 0.25 1 0 0.25 0.250.52 00.125 0.125 0.25P .j0.125 0.375 0.375 0.125 1解法2：,21)21()21(}|{}{},{22⨯=======-iiiC i X j Y P i X P j Y i X P.1,0,3,2,1,0,2,1,0=-==i j j i7．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<=-其它,00,),(yx e y x f y 求边缘概率密度f X (x )，f Y (y )．解：⎩⎨⎧<<=-其它,00,),(yx e y x f y⎩⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥==-+∞-∞+∞-⎰⎰0,00,0,00,),()(x x e x x dy e dy y x f x f xxy X ⎩⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥==--∞+∞-⎰⎰0,00,0,00,),()(0y y ye y y dx e dx y x f y f y y yY 8．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其它,01,),(22y x y cx y x f 求：(1) 确定常数c(2) 边缘概率密度f X (x )，f Y (y )．解：⎩⎨⎧<≤≤=0,01,),(22x y x y cx y x f(1)214212),(1104211122cdx x x c ydydx cx dxdy y x f x =-===⎰⎰⎰⎰⎰-∞+∞-∞+∞-所以 c=21/4(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<-=⎪⎩⎪⎨⎧<==⎰⎰∞+∞-其它其它，,01||,8)1(2101||,421),()(42122x x x x ydy x dy y x f x f x X⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰-∞+∞-其它其它，,010********),()(252y y y ydx x dx y x f y f y yY 9．设平面区域D 由曲线xy 1=及直线y = 0，x = 1，x = e 2围成，二维随机变量(X ，Y )在区域D 上服从均匀分布，求边缘概率密度f X (x )，f Y (y )． 解：2|ln 12211===⎰e e D x dx xS (X ，Y )在区域D 上服从均匀分布，故f (x ，y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它，0),(,21),(Dy x y x f ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==⎰⎰∞+∞-其它（,01,21),()210X e x dy dy y x f x f x⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤≤≤-=-===--∞+∞-⎰⎰⎰其它（10,0),11(2121,2121),()221112X 2y e e y y dx e dx dx y x f x f y e 10．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,3),(xy x x y x f 试求条件概率密度f (y | x )．解：⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,3),(xy x x y x f)0)(( )(),()|(|>=x f x f y x f x y f X X X Y ⎪⎩⎪⎨⎧≤<===⎰⎰∞+∞-其它,010,233),()(20x x xdy dy y x f x f x X当0<x ≤1时，⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它,00,233)(),()|(2|xy x x x f y x f x y f X X Y即，⎪⎩⎪⎨⎧≤<<=其它,010,2)|(|x y x x y f X Y11．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<=其它,0,10,1),(xy x y x f 求条件概率密度f (x | y )．解：⎩⎨⎧<<<=其它,0||,10,1),(xy x y x f⎪⎩⎪⎨⎧>-=≤+===⎰⎰⎰-∞+∞-0,10,1),()(11y y dx y y dx dx y x f y f y y Y当y ≤0时，⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<+==其它,0,10,11)(),()|(|x y x x y x f y x f y x f Y Y X当y >0时，⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-==其它,0,10,11)(),()|(|x y x x y x f y x f y x f Y Y X所以，⎪⎩⎪⎨⎧<<<-==其它,01||0,||11)(),()|(|x y y x f y x f y x f Y Y X12．已知随机变量Y 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其它,010,5)(4y y y f Y 在给定Y = y 条件下，随机变量X 的条件概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其它,010,3)(32y x y x y x f 求概率P {X > 0.5}． 解：由)(),()|(|x f y x f y x f Y Y X =得 ⎩⎨⎧<<<<==其它,00,10,15)()|(),(2|yx y yx y f y x f y x f Y Y X644715),(}5.0{15.0125.0===>⎰⎰⎰⎰+∞+∞∞-xdydx yx dydx y x f X P 13．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为试分别求),max(Y X Z =和),min(Y X W =的分布律． 解：Z =max(X ，Y )，W =min(X ，Y )的所有可能取值如下表Z =max(X ，Y )，W =min(X ，Y )的分布律为14．设X 和Y 是相互独立的随机变量，且)(~),(~θθE Y E X ，如果定义随机变量Z 如下：⎩⎨⎧>≤=Y X YX Z ,0,1 求Z 的分布律．解：⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(x x e x f x X θθ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(y y e y f yY θθ 由独立性得X ，Y 的联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>=+-其它,00,0,1),(2y x e y x f yx θθ 则P {Z =1}=P {X ≤Y }=211),(002==⎰⎰⎰⎰∞++-≤xyx yx dydx edxdy y x f θθ P {Z =0}=1-P {Z =1}=0.5故Z 的分布律为15．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它,01,1),(22y x y x f π求边缘概率密度f X (x )，f Y (y )；并问X 与Y 是否独立？解：⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它,01,1),(22y x y x f π⎪⎩⎪⎨⎧<-===⎰⎰---∞+∞-其它，01||,121),()(222112x x dy dy y x f x f x x X ππ 同理，⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它，01||,12)(2y y y f Y π显然，)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立16．设随机变量X 和Y 相互独立，试在以下情况下求Y X Z +=的概率密度， (1) )1,0(~),1,0(~U Y U X ； (2) )1(~),1,0(~Exp Y U X ．解：(1)⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(x x f X ⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(Y y y f利用卷积公式：⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(求f Z (z ))()(x z f x f Y X -=⎩⎨⎧+<<<<其它,01,10,1x z x x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<≤-===-=⎰⎰⎰-∞+∞-其它2110,02,)()()(110z z z dx z dx dx x z f x f z f z z Y X Z(2) ⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(x x f X ⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(Y y y e y f y 利用卷积公式：⎰+∞∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(⎩⎨⎧+<<>=--其它,01,0,)()(y z y y e y f y z f y Y X⎰+∞∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--=≥<≤=-----⎰⎰其它其它110,0,)1(,1110,0,,10z z e e e z z dy e dy e z zzz y z y17．设)1,1(~),1,0(~N Y N X ，且X 与Y 独立，求}1{≤+Y X P ． 解：由定理3.1（P75）知，X +Y ~N (1，2)，故5.0)0(}21121{}1{=Φ=-≤-+=≤+Y X P Y X P 18．设随机变量(X ，Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-. ,0;0,0,)(21),()(其它y x e y x y x f y x(1) 问X 和Y 是否相互独立？ (2) 求Y X Z +=的概率密度． 解：(1) )1(21)(21),()0)(X +=+==-+∞+-+∞∞-⎰⎰x e dy e y x dx y x f x f x y x （(x>0) 同理，)1(21)(+=-y e y f yY y>0 显然，)()x (),(y f f y x f Y X =，所以X 与Y 不相互独立 (2).利用公式⎰+∞∞--=dx x z x f z f Z )()(，被积函数⎪⎩⎪⎨⎧>>=⎪⎩⎪⎨⎧>->-+=---+-其它其它,0,0,21,00,0,)(21),()(xz x ze x z x e x z x x z x f z x z x所以⎰+∞∞--=dx x z x f z f Z )()(，⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧≤>=≤>=--⎰0,00,210,00,2120z z e z z z dx ze z z z19. 设某系统L 由两个相互独立的系统L 1，L 2联合而成，各连接方式如图所示．已知L 1，L 2的使用寿命X 与Y 分别服从参数为α，β 的指数分布，求以下各系统L 使用寿命Z 的分布函数及概率密度．解：并联时，系统L 的使用寿命Z=max{X ，Y} 因X ~Exp (α)，Y ~Exp (β)，故⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(x x e x f x X αα， ⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(y y e y f y Y ββ ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F xX α， ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-0,00,1)(y y e y F y Y β ⎪⎩⎪⎨⎧≤>--==--0,00),1)(1()()()(z z e e z F z F z F z z Y X Z βα⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---0,00,)11(11)(11z z e e e z f z z z Z βαβαβαβα 串联时，系统L 的使用寿命Z =min{X ，Y }⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-0,00,1)](1)][(1[1)(11z z e z F z F z F z Y X Z βα ⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-0,00,11)(11z z e z f zZ βαβα （B ）1．设二维随机变量(X ，Y )的分布律为已知随机事件{X = 0}与{X + Y = 1}相互独立，求a ，b 的值．解：P {X =0}=a +0.4，P {X +Y =1}=P {X =1，Y =0}+P {X =0，Y =1}=a +b. P {X =0，X +Y =1}=P {X =0，Y =1}=a 由于{X =0}与{X +Y =1}相互独立，所以 P {X =0， X +Y =1}=P {X =0} P {X +Y =1}即 a =(a +0.4)(a +b ) (1) 再由归一性知：0.4+a +b +0.1=1 (2) 解(1)，(2)得 a =0.4， b =0.1 2．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它 ,010,10 ,2),(y x y x y x f (1) 求P {X > 2Y }(2) 求Z = X + Y 的概率密度f Z (z )． 解: (1) 247)2(),(}2{10202=--==>⎰⎰⎰⎰>xyx dydx y x dxdy y x f Y X P (2) 利用公式dx x z x f z f Z ⎰+∞∞--=),()(计算⎩⎨⎧<-<<<-=-其它,010,10,2),(x z x z x z x f ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<<-=-=⎰⎰⎰-∞+∞-2,021,)2(10),22,021,)2(10,)2(),()(2110z z z z z z z dx z z dx z dx x z x f z f z z Z （3．设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=其它,020,4101,21)(x x x f X令2X Y =，),(y x F 为二维随机变量(X ，Y )的分布函数，求 (1) Y 的概率密度)(y f Y ；(2) )4,21(-F ．解：(1) F Y (y )=P {Y ≤y }=P {X 2≤y } 当y <0时，f Y (y )=0当y ≥0时，)()(}{)(y F y F y X y P y F X X Y --=<<-=从而，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>≤<≤<=⎪⎩⎪⎨⎧-+=4041,8110,83)]()([21)(y y y y y y f y f yy f X X Y ，(2) F (-1/2，4)=P {X ≤-1/2，Y ≤4}= P {X ≤-1/2，X 2≤4} =P {-2≤X ≤-1/2}=4121)(211212==⎰⎰----dx dx x f X 4．设(X ，Y )为二维离散型随机变量，X 和Y 的边缘分布律分别如下：如果1}0{==XY P ，试求 (1) (X ，Y )的分布律； (2) 问X 与Y 是否独立． 解：P {XY ≠0}=1-P {XY =0}=0 即 P {X =-1，Y =1}+P {X =1，Y =1}=0由概率的非负性知，P {X =-1，Y =1}=0，P {X =1，Y =1}=0由边缘分布律的定义，P {X =-1}= P {X =-1，Y =0}+ P {X =-1，Y =1}=1/4 得P {X =-1，Y =0}=1/4再由P {X =1}= P {X =1，Y =0}+ P {X =1，Y =1}=1/4 得P {X =1，Y =0}=1/4再由P {Y =1}=P {X =-1，Y =1}+ P {X =0，Y =1}+ P {X =1，Y =1}= P {X =0，Y =1} 知P {X =0，Y =1}=1/2最后由归一性得：P {X =0，Y =0}=0(X ，Y )的分布律用表格表示如下：(2) 显然，X 和Y 不相互独立，因为P {X =-1，Y =0}≠ P {X =-1}P {Y =0}5．设随机变量X 与Y 相互独立，且),(~),,(~2ππσμ-U Y N X ，求Z = X + Y 的概率密度（计算结果用标准正态分布分布函数)(x Φ表示）．解：X 与Y 相互独立，利用卷积公式dx x z f x fz f Y XZ ⎰+∞∞--=)()()(计算,21)(222)(σμσπ--=x X ex f ⎪⎩⎪⎨⎧-∈=其它,0),(,21)(πππy y f Y ⎪⎩⎪⎨⎧<-<-=---其它,0,221)()(222)(ππππσσμx z e x z f x f x Y X⎰⎰⎰+---+---+∞∞-==-=ππσμπππσμπσππσz z x z z x Y X Z dx edx edx x z f x f z f 22222)(212)(21221)()()()]()([21}{21ππππππ--+=+<<-=z F z F z X z P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+Φσμπσμππz z 21 6．设二维随机变量(X ，Y )在矩形}10,20),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率密度)(s f S ． 解：(X ，Y )～Ｕ(G )⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它,0),(,21),(Gy x y x f设F (x )和f (s )分别表示S =XY 的分布函数和密度函数 F (s )=P {XY <s} s<0时，F S (s)=0s ≥0时，⎪⎩⎪⎨⎧+≥=⎰⎰⎰⎰s s xs S dydxdydx s F 010*******,1, 所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+<=2,12,2ln 220,0s s s s s s F S于是，S =ＸY 概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,020,2ln 21)(s ss f S 7．设随机变量X 与Y 相互独立，其中X 的分布律为而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量Y X U +=的概率密度)(u g ． 解：由全概率公式： F U (u )=P {U ≤u }={X +Y ≤u }=P {X =1}P {X +Y ≤u |X =1}+ P {X =2}P {X +Y ≤u |X =2} = P {X =1}P {1+Y ≤u }+ P {X =2}P {2+Y ≤u } =0.3⨯F Y (u -1)+0.7⨯F Y (u -2)所以，f U (u ) =0.3⨯f Y (u -1)+0.7⨯f Y (u -2)8．设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其它，，,020,10 ,1),(x y x y x f 求：(1) (X ，Y )的边缘概率密度f X (x )，f Y (y )； (2) Y X Z -=2的概率密度)(z f Z ； 解：(1) ⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,1),(x y x y x f⎩⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞+∞-其它其它,010,2,010,1),()(20x x x dy dy y x f x f x X ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞+∞-其它其它,020,21,020,1),()(12y yy dx dx y x f y f y Y (2) ⎰⎰≤-=≤-=≤=zy x Z dxdy y x f z Y X P z Z P z F 2),(}2{}{)(如图所示，当z<0时，F Z (z)=0; 当z ≥2时，F Z (z)=1 当0≤z<2时:411)(212222020z z dydx dydx z F z xz x zx Z -=+=⎰⎰⎰⎰- 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=2,120,40.0)(2z z z z z z F Z 所以Z 的概率密度为：⎪⎩⎪⎨⎧<≤-=20,21,0)(z zz f Z 其它 9．设随机变量X 在区间(0，1)上服从均匀分布，在X = x （0 < x < 1）的条件下，随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布，求： (1) 随机变量X 和Y 的联合概率密度； (2) Y 的概率密度； (3) 概率P {X + Y > 1}． 解：(1) ⎩⎨⎧<<=其它,010,1)(x x f X⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=其它,010,0,1)|(|x x y xx y f X Y ⎪⎩⎪⎨⎧<<<==其它（,010,1)()|),(|x y xx f x y f y x f X X Y(2) ⎩⎨⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞+∞-其它其它,010,ln ,010,1),()(1y y y dx x dx y x f y f y Y (3) 2ln 11),(}1{P 15.011-===≥+⎰⎰⎰⎰-≥+xx y x dydx xdxdy y x f Y X10. 设随机变量X 与Y 相互独立，X 的分布律为31}{==i X P ，（i = – 1，0，1），Y 的概率密度为⎩⎨⎧<≤=其它,010,1)(y y f Y ，记Y X Z +=，求：(1) 求}021{=≤X Z P (2) 求Z 的概率密度)(z f Z ．解：(1) P {Z ≤1/2|X =0}=P {X +Y ≤1/2|X =0}=P {Y ≤1/2}=1/2 (2) 由全概率公式：F Z (z )=P {Z ≤z }=P {X +Y ≤z }=P {X =1}P {X +Y ≤z |X =1} +P {X =0}P {X +Y ≤z |X =0}=P {X =-1}P {X +Y ≤z|X =-1} = P {X =1}P {1+Y ≤z }+P {X =0}P {Y ≤z }=P {X =-1}P {-1+Y ≤z } =1/3⨯[F Y (z -1)+ F Y (z )+ F Y (z +1)]从而，f Z (z ) =1/3⨯[f Y (z -1)+ f Y (z )+ f Y (z +1)]=⎪⎩⎪⎨⎧<<-其它,021,31z11．设X 与Y 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0;0,10 ,3),(其它x y x x y x f 试求Y X Z -=的概率密度． 解：⎩⎨⎧<<<<=其它,00,10,3).(xy x x y x f⎰⎰-≥=-≥=≤-=≤=zx y Z dxdy y x f Z X Y P z Y X P z Z P z F ),(}{}{}{)(如图，当z<0时，F Z (z)=0; 当z ≥1时，F Z (z )=1当0≤z<1时:22333)(3100z z xdydx xdydx z F z xz x zxZ -=+=⎰⎰⎰⎰-综上得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=1,010,2230,0)(3z z z z z z F Z 12Z 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-=其它,010),1(23)(2z z z f Z12．设X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布N (0，1)，试求22Y X Z +=的分布． 解：,21)(22x X ex f -=π,21)(22y Y ey f -=π22221)()(),(y x Y X e y f x f y x f +-==π}{}{)(22z y x P z Z P z F Z ≤+=≤=当z<0时，F Z (z)=0; 当z ≥0时，220222222222121),(}{)(z zr z y x Z erdrd edxdy y x f z Y X P z F --≤+-===≤+=⎰⎰⎰⎰πθπ所以，Z 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其它,00,)(22z ze z f z Z。
信息论与编码第四章课后习题答案
−∫
1 − sin x d sin x 1 − sin x
因此有
h( X ) = −2 A log A −
A log e(2 ln 2 − 2 + 2 ln 2 − 2) 2Байду номын сангаас= −2 A log A + 2 A log e − 2 A log e ln 2 = −2 A log A + 2 A log e − 2 A 1 ，因此 2
试计算 h( X ) ， h(Y ) ， h( XY ) 和 I ( X ; Y ) 。 解： p( x) = ∫ p ( x, y )dy 1 =∫ dy (a 2 − a1 )(b2 − b1 ) = 1 a2 − a1
同理， p( y ) = 因此
1 。 b2 − b1
h( X ) = − ∫ p ( x ) log p ( x)dx = log(a 2 − a1 ) h(Y ) = − ∫ p( y ) log p( y )dy = log(b2 − b1 ) h( XY ) = − ∫ p ( x, y ) log p ( x, y )dxdy = log( a2 − a1 ) + log(b2 − b1 ) I ( X ; Y ) = h( X ) + h(Y ) − h( XY ) = 0 【4.7】在连续信源中，根据差熵、条件差熵和联合差熵的定义，证明 （1） h( X | Y ) ≤ h( X ) ，当且仅当 X 和 Y 统计独立时等号成立； （2）h( X 1 X 2 L X N ) ≤ h( X 1 ) + h( X 2 ) + L + h( X N ) ，当且仅当 X 1 X 2 L X N 彼此统计 独立时等式成立。 证明： （1） h( XY ) = − ∫ p( y )dy ∫ p( x | y ) log p ( x | y )dx ≤ − ∫ p ( y )dy ∫ p( x | y ) log p ( x )dx = − ∫ p( x, y ) log p ( x )dxdy = h( X ) 等号成立当且仅当 p( x | y ) = p ( x ) ，即 p( x, y ) = p( x ) p ( y ) ，因此仅当 X 和 Y 统计 独立时等号成立。 （2）根据条件概率密度的相关公式，有 h( X 1 X 2 X N ) = h( X 1 ) + h( X 2 | X 1 ) + h( X 3 | X 1 X 2 ) + L + h( X N | X 1 X 2 X N −1 ) 根据（1）的结论，条件差熵小于差熵，因此有 h( X 1 X 2 L X N ) ≤ h( X 1 ) + h( X 2 ) + L + h( X N ) 等号成立当且仅当