折纸中的图形性质
立体图形的折纸图样
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10.3 進一步認識立體的平面圖像
3B_Ch10(24)
試繪畫具有以下三個平面圖像的立體圖形。
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10.3 進一步認識立體的平面圖像
返回問題
3B_Ch10(25)
[左側圖形是個半圓形，因此該立體的頂部及正面都是曲
面。此外，從頂部圖像，可知它的底是長方形。] 該立體圖形是：
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10.3 進一步認識立體的平面圖像
3B_Ch10(20)
B)
判斷立體的摺紙圖樣
‧ 要由平面圖像識別或繪畫出對應的立體圖形，
通常需要最少三個平面圖像，包括頂部、側面
及正面圖像。
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10.3 進一步認識立體的平面圖像
例題演示
3B_Ch10(21)
B)
判斷立體的摺紙圖樣
例如：由左圖可識別出右圖中的立體。
要符合右側圖像， 須移去 1 個正方 體。
要符合頂部圖像， 須移去 2 個正方 體。
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10.3 進一步認識立體的平面圖像
返回問題
3B_Ch10(28)
(a) 因此該立體圖形是：
(b) 該立體共有 5 個正方體。
習題目標
根據立體的正面、頂部和右側圖像，繪畫對 應的立體圖形。
重點理解 10.3.2
3B_Ch10(1)
3B_Ch10(2)
10.1 立體圖形的對稱性質
A
反射對稱 旋轉對稱
B
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3B_Ch10(3)
10.2 立體圖形的摺紙圖樣
A B
同一立體的不同摺紙圖樣 判斷立體的摺紙圖樣
目錄
3B_Ch10(4)
10.3
折纸与数学简介
折纸与数学简介篇一：数学与折纸数学与折纸我们中的大多数人都有过折纸的经历，只是折叠后便收了起来．只有少数人折纸，是为了研究其间所揭示的数学思想．折纸是一项教育与娱乐两者兼备的活动．连L·卡洛尔也是一位折纸的热心者．虽然折叠纸张超越了许多文化，但日本人却把它作为一种交谊的途径，并通过普及和发展，使之成为一门称之为“折纸”的艺术．纸张折出的一些数学形体当折叠纸张的时候，很自然地会出现许多几何的概念．诸如：正方形、矩形、直角三角形、全等、对角线、中点、内接、面积、梯形、垂直平分线、毕达哥拉斯定理及其他一些几何和代数概念．下面是一些折纸的例子，它说明了上述概念的运用．Ⅰ)从一个矩形式样的纸张，作成一个正方形(下图左)．Ⅱ)由一张正方形的纸张，变成四个全等的直角三角形(上图右)．Ⅲ)找出正方形一条边的中点(下图右)．Ⅳ)在正方形的纸中内接一个正方形(下图左和中)．Ⅴ)研究纸的折痕，注意内接正方形的面积是大正方形面积的．Ⅵ)拿一个正方形纸张折叠，使折痕过正方形中心，便会构成两个全等的梯形(下图左)．Ⅶ)把一个正方形折成两半，那么折痕将成为正方形边的垂直平分线(下图右)．Ⅷ)证明毕达哥拉斯定理．如右图折叠正方形纸：c=正方形ABCD的面积．a=正方形FBIM的面积．b=正方形AFNO的面积．由全等形状相配得：正方形FBIM的面积=△ABK的面积．又 AFNO的面积=BCDAK的面积(此即正方形ABCD除△ABK外剩余部分的面积)．这样，a＋ b= c 222222Ⅸ)证明三角形内角和等于180°．取任意形状的三角形，并沿图示的点划线(横的为中位线)折叠a°＋b°＋c°＝180°——它们形成一条直线．Ⅹ)通过折切线构造抛物线．程序：——在离纸张一边一两英寸的地方，设置抛物线的焦点．如图所示的方法，将纸折20－30次．所形成的一系列折痕，便是抛物线的切线，它们整体地勾画出曲线的轮廓．篇二：探究折纸中的数学探究折纸中的数学教学目标（1）通过折纸理解垂直和平行的定义和相关性质；体会折纸中的数学思想，从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。
手工折纸让孩子在折纸中探索数学和几何概念
手工折纸让孩子在折纸中探索数学和几何概念手工折纸是一项既有趣又具有教育意义的活动，它不仅能够培养孩子的动手能力和想象力，还能帮助他们去探索数学和几何概念。
通过折纸，孩子们可以在玩耍的过程中学习数学、理解几何，并培养空间思维能力。
本文将探讨手工折纸如何引导孩子在折纸中探索数学和几何概念。
一、数学概念的引导在手工折纸中，数学概念是孩子们可以自然而然地学习到的。
例如，在折纸过程中，孩子们需要对纸张进行准确的测量和划分，这就需要他们学习数学中的长度和面积计算。
通过折叠纸张形成各种图形，孩子们可以感受到数学概念中的对称性、平行线和垂直线等。
此外，在一些较为复杂的折纸作品中，孩子们还可以学习到数学中的比例和分数概念。
二、几何概念的探索手工折纸是一个很好的平台，让孩子们能够亲身体验和探索几何概念。
通过折叠纸张，孩子们可以了解到不同形状的特点和属性。
他们可以通过折叠纸张制作各种图形，如正方形、长方形、三角形等，从而加深对几何形状的理解。
此外，通过折纸还可以让孩子们了解到立体几何概念，如折叠一张纸可以制作出立方体、圆柱体等，这对于他们培养空间思维能力非常有帮助。
三、空间思维能力的培养手工折纸需要孩子们对图形进行转换、旋转和翻折，这就需要他们培养出空间思维能力。
通过折纸，孩子们可以学习到平面和立体的关系，从而培养出对物体空间特性的感知。
他们可以通过纸张的折叠和形变，理解物体的形状和结构在不同视角下的变化。
这种空间思维能力的培养对于孩子们日后学习数学和理解科学现象都非常有帮助。
总之，手工折纸不仅仅是一种有趣的手工活动，它还可以通过折纸过程引导孩子们去探索数学和几何概念。
折纸活动可以让孩子们在玩耍中学习到各种数学知识，例如长度、面积、对称性、比例和分数等。
同时，手工折纸还能够帮助孩子们加深对几何形状和空间感知的理解，并培养出空间思维能力。
因此，家长和老师可以通过手工折纸的方式来提高孩子们对数学和几何概念的兴趣和理解能力。
立足折纸实验，导向几何本质——以《用正方形纸折30°角》一课为例
立足折纸实验，导向几何本质——以《用正方形纸折30°角》一课为例发布时间：2021-02-04T10:55:50.120Z 来源：《中小学教育》2021年2月1期作者：金晓强[导读]金晓强浙江省嘉兴海宁市丁桥镇初级中学中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2021）02-041-02新课标指出，数学教学必须注意从学生的生活情境和感兴趣的事物出发，为他们提供参与的机会，使他们体会到数学就在身边，对数学产生亲切感。
这就要求教师有一双善于发现的眼睛，挖掘身边的数学资源，为学生提供一个有趣的、与自身息息相关的学习内容，使学生在探究、发现的过程中，提升观察力、创造力。
在数学实验中，学生能够学习自己需要的、喜欢的数学，在学中玩，在玩中学，真正体现“学为中心”的理念。
一、问题缘起几何学习是初中数学学习的一大难点，但也是学生热爱数学的一个关键点。
然而现今的数学教育中，应试教育占据绝对主导，课堂上唯解题论、课外唯分数论的现象比比皆是，忽略了学生数学素养的培养，学生真正的能力得不到培养。
有许多学生平时解题能力很强，但在综合性考试中成绩却不尽如人意，原因无非是成为了“解题机器”，不具备相应的数学能力，面对从未谋面的新题型就无从下手。
基于这样的数学现状，笔者通过深入研究《用正方形纸折30°角》这节拓展课，试图从身边的几何入手，教学生一种数学思维、一种解决问题的方法。
二、教学实践这节课是在八年级学习完教材“全等三角形的判定”、“等腰三角形”等知识后，拓展研究的一个课题。
教材内容如下：1.生活中的折纸引入课题。
2.引例：用正方形纸片折30°角的三种方案，其中第一种方案是直接三折，操作时只能通过尝试折叠；第二种方案是先对折，再把一条边折到折痕上；第三种方案是对折后，把另一条边折到折痕中，实质跟方案二无异。
然后分别证明其正确性，篇幅较大。
3.两个关于折叠问题的证明和计算题，与引例没有直接联系。
四方纸的折叠法-概述说明以及解释
四方纸的折叠法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述四方纸的折叠法是一种既古老又现代的艺术形式，通过将纸张按照特定的方式折叠，创造出各种形状、图案和结构。
这项技艺源于古代东方文化，如中国的剪纸和折纸，以及日本的折纸艺术——折鹤和折菊等。
四方纸的折叠法随着时间的推移在全球范围内得到了广泛的使用和发展。
四方纸的折叠法不仅仅是一种手工技巧，更是一门独特的艺术。
通过创造性地将纸张折叠成各种形态和造型，它可以表达出丰富的主题和情感。
这种具有立体感的折叠结构使得纸张成为了可立体展现的艺术品。
同时，四方纸的折叠法也融入了数学和几何的概念与原理，其中包括对对称性、比例和角度的探索和应用。
无论是在艺术、手工制作还是教育领域，四方纸的折叠法都有着广泛的应用和意义。
它可以作为一种有趣的娱乐方式，培养人们的动手能力和创造力。
它还可以作为一种有效的教学工具，帮助学生理解几何概念和发展空间想象力。
此外，四方纸的折叠法还在建筑设计、工程学和科学研究等领域中发挥着独特的作用。
对于未来的发展而言，四方纸的折叠法有着广阔的前景。
随着技术的进步和创新的不断涌现，人们对于纸张折叠的应用和设计也会更加多样化和精细化。
纸艺作品将会更加多样化，将继续成为艺术和设计领域的亮点。
同时，四方纸的折叠法也将进一步融入到科学研究和工程设计中，拓展新的应用领域。
总而言之，四方纸的折叠法是一门兼具传统和现代特色的艺术形式，它既具备了文化传承的价值，又有着广泛的应用前景。
通过对其起源、原理和意义的深入探究，我们能够更好地理解和欣赏四方纸的折叠法所蕴含的无限可能性。
在未来的发展中，它将继续为我们带来创造力、美感和智慧的体验。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将分为以下几个部分来介绍四方纸的折叠法：1.2.1 简介在本部分，将对四方纸的折叠法进行简要介绍。
包括四方纸折叠法是指将一张正方形的纸折叠成不同形状的方法，以及为什么这种折叠法备受关注。
1.2.2 历史背景这一部分将介绍四方纸的折叠法的起源和历史背景。
折纸中的平行四边形
图1A B C DE F H H G FE D C B A 图2（2）（1）图3折纸中的平行四边形福建省闽清县城关中学 张维强学完了平行四边形的判定之后，我给学生上了一节活动课，利用一张长方形纸片让学生折平行四边形，并根据平行四边形的判定进行说理和证明。
学生参与探索的积极性非常高，既动手操作，又结合说理与证明，提高了应用知识解决实际问题的能力，收到了很好的教学效果，现实录教学过程，与同行共同商讨。
在复习了平行四边形的五个判定方法后，我展示了一张长方形纸片，要求学生利用正方形纸片折出一个平行四边形，并说出理由。
最先传上来的是如图1所示的图形，长方形ABCD 中，沿BE 折叠，使点A 与BC 边上的点F 重合；沿DG 折叠，使点C 与AD 边上的点H 重合。
则四边形BGDE 是不是平行四边 形呢？你能用学过的平行四边形判定来证明四边 形BGDE 是平行四边形吗？大家动手探索证明的方法，以证明两组对边分别平行为例证明如下：证明：如图1，∵四边形ABCD 是长方形，∴ AD ∥BC ，∠ABC=∠C=90゜，∵ 点A 沿BE 折叠与BC 边上的点F 重合，∴∠EBF=21∠ABC=45゜，同理,∠CDG=45゜，∴ ∠DGC=90゜-∠CDG=45゜，∴∠EBF= ∠DGC ，∴ BE ∥DG , 由AD ∥BC 知，BG ∥DE ，∴四边形BGDE 是平行四边形。
第二个传上来的如图2所示，长方形ABCD 沿EF 对折，折痕为EF ，则四边形BFDE 是不是平行四边形呢？显然，图2中 BF 与DE 平行 且相等。
所以四边形BFDE 是平行四边形。
第三个传上来的如图3（1）所示，BD 是长方形ABCD的对角线，沿BE 折叠，使点A 与对角线上的点G 重合，沿DF 折叠，使点C 与对角线上的点H 重合，则四边形 BFDE 是平行四边形吗？ 分析：如图3（2），若能证明AE=CF ，则有DE=BF ， 而显然有DE ∥BF ，故由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知，四边形BFDE 是平行四边形。
八年级数学上册《折纸与证明》教案、教学设计
3.提问：折纸过程中，我们是如何将一个平面图形变换成另一个平面图形的？这中间涉及到了哪些几何知识？
4.引导学生回顾已学的几何知识，为新课的学习做好铺垫。
（二）讲授新知
1.介绍折纸与几何图形的关系，引导学生了解如何通过折纸来探究几何性质。
（3）发展性评价：关注学生的个性差异，鼓励学生在原有基础上不断进步，激发学生的学习潜能。
4.教学资源：
（1）利用多媒体教学设备，展示折纸过程和几何证明动画，提高学生的直观认识。
（2）提供丰富的折纸材料，让学生在动手操作中感受数学的乐趣。
（3）借助网络资源，拓展学生的学习视野，引导学生了解折纸在现实生活中的应用。
（3）注重培养学生的创新思维，鼓励学生在折纸与证明的基础上，进行拓展性思考，提出新的问题并尝试解决。
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的参与程度、动手操作能力、团队合作意识等方面，全面评价学生的学习过程。
（2）总结性评价：通过课后作业、单元测试等方式，检验学生对折纸与证明知识的掌握程度。
八年级数学上册《折纸与证明》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.了解折纸的基本概念，理解折纸与几何图形之间的关系，能够运用折纸技巧绘制常见的几何图形。
2.学会使用折纸证明几何定理，如等腰三角形的性质、勾股定理等，提高学生的几何推理能力。
3.能够运用折纸方法解决实际问题，如计算图形的面积、周长等，增强学生的实践操作能力。
4.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，使学生形成积极向上的学习态度。
二、学情分析
八年级的学生已经在之前的数学学习中，掌握了基本的几何图形知识，具备了一定的空间想象力和逻辑思维能力。在此基础上，学生对折纸与证明的学习将更加深入地理解几何图形的性质和关系。然而，由于学生的个体差异，部分学生对几何证明的掌握程度可能不够扎实，需要教师在教学过程中给予关注和指导。
初中数学折叠图形教案
初中数学折叠图形教案教学目标：1. 让学生理解并掌握折叠图形的概念和性质；2. 培养学生观察、思考和解决问题的能力；3. 培养学生空间想象能力和动手操作能力。
教学内容：1. 折叠图形的概念和性质；2. 折叠图形的分类和特点；3. 折叠图形的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过展示一些日常生活中的折叠现象，如折纸、折衣服等，引导学生关注折叠图形；2. 提问：你们对这些折叠现象有什么观察和发现？二、新课讲解（15分钟）1. 教师介绍折叠图形的概念和性质，如折痕、对折线等；2. 讲解折叠图形的分类和特点，如正方形、长方形、三角形等；3. 通过实物演示或多媒体展示，让学生直观地理解折叠图形的特点。
三、课堂练习（15分钟）1. 教师给出一些折叠图形的问题，让学生独立解决；2. 学生互相交流解题过程和思路，教师进行点评和指导；3. 教师选取一些学生的作品进行展示和分析。
四、拓展与应用（15分钟）1. 教师提出一些实际问题，让学生运用折叠图形的知识进行解决；2. 学生分组讨论和操作，寻找解决问题的方法；3. 各组汇报解题过程和结果，教师进行点评和总结。
五、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学的内容，总结折叠图形的概念、性质和应用；2. 学生分享自己在课堂上的收获和感悟。
教学评价：1. 学生对折叠图形的概念和性质的掌握程度；2. 学生对折叠图形的分类和特点的理解程度；3. 学生在解决问题时运用折叠图形的能力。
教学反思：本节课通过讲解和练习，让学生掌握了折叠图形的概念、性质和应用。
在课堂练习环节，学生能够独立解决一些简单的折叠图形问题，但在解决较复杂问题时，仍需加强思考和交流。
在拓展与应用环节，学生能够将折叠图形的知识运用到实际问题中，提高了空间想象能力和动手操作能力。
总体来说，本节课达到了预期的教学目标，但仍有待进一步提高学生的思考和解决问题的能力。
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折纸中的图形性质
活动背景：
在几何教学内容中，对三角形中位线性质的证明，是教学的一个难点，只有少数优秀学生能在课上独立完成，大多数学生在证明中面临困难。
如何有效地解决这个教学难点是本节课例研究的出发点。
众所周知，用“操作”“观察”“猜想”“分析”的手段去感悟几何图形的性质是学习几何的重要方法。
由此，我想到了从学生已有的生活经验、数学基础出发，重新设计了“三角形的中位线”的教学过程。
让学生从研究“折纸中的图形性质”探索出三角形的中位线性质并加以说明。
一方面，折纸活动本身能唤起学生很多美好的回忆，如折纸飞机、纸帆船、千纸鹤等。
另一方面，折纸活动又是一种有效的操作活动，学生可以通过自己动手操作来感悟图形的几何性质，运用图形运动去发现问题、分析问题。
而且折纸活动本身也承载着许多重要的几何问题，可以提炼出更一般的几何方法，它对于培养学生的学习兴趣、好奇心与探索精神有重要的价值。
活动目标：
知识与技能在折纸的情境中，能综合运用角平分线、线段垂线的性质及与三角形、四边形相关的一些性质和判定。
过程与方法建立生活世界中的一些活动与几何世界的多种联系，激发学生学习几何的兴趣；建立几何与现实生活问题的联系，培养数学的思考方式。
情感、态度与价值观经历数学学习过程：观察——探索——猜想——验证，体会科学发现的一般规律，得到解决问题的成功体验。
活动重点：
在折纸活动中运用图形的相关性质。
活动难点：
三角形中位线性质的证明。
活动过程设计：
【活动1】
问题与情境：同学们，你们做过折纸游戏吗？折纸飞机、纸船、纸鹤等。
我们日常生活中接触最多的纸是长方形的，如把这样一张纸折起一个角，就得到了一个直角三角形。
师生行为：教师演示，提问：那么怎样用长方形的纸片折出等腰三角形呢？请同学们折一下。
学生联想以往的折纸方式折纸。
设计意图：从折纸活动中提出问题，为学生能够积极主动地投入到探索活动创设情境，激发学生的学习热情。
【活动2】
问题与情境：我们已经知道长方形纸片能折出直角三角形。
现在考虑反方向的问题，即直角三角形纸片能否折成长方形？
师生行为：学生以小组为单位，进行观察、尝试、讨论折纸，探索折法，表达自己的发现。
教师展示图片1并加以提示：注意图中线段的位置与长度的关系，图中是否有等腰三角形？哪些三角形全等？
教师根据学生的回答归纳板书：1、EF=GB=GC=BC/2,EG=AF=FC=AC/2,因此EF//BC,EG//AC2、折痕将三角形ABC分成四个全等的直角三角形，两个等腰三角形。
3、连接EC,AE=BE=EC=AB/2,∠A+∠B=90€啊?
教师用PPT展示图片1并提出问题:大家知道了E是AB的中点，并且得到三点发现，其中第三点中的两条性质我们以前证明过，今天我们用折纸的方法又一次进行了说明。
请大家过中点G、F作一条折痕，思考这条折痕GF与斜边AB 有什么关系？它能不能成为长方形的一边？
设计意图：在学生独立思考后，再通过交流和引导，让学生表达自己的数学发现培养学生的推理能力和概括能力。
【活动3】
问题与情境：现在，我们考虑更一般的问题，即一般三角形的纸片能否折成长方形？
师生行为：学生尝试用任意三角形折长方形。
教师巡视中指导：同学们可以回想刚才是怎样折的。
活动进行得差不多时，学生在投影仪上演示：用高线转化成两个直角三角形的折叠过程。
教师演示：打开纸片展平，画出所有折痕，并标上字母。
同时用PPT展示图2，并提出问题：从刚才的折纸活动中，你发现了这个图形中线段、角和三角形之间存在哪些位置、形状、数量关系？请各小组的同学讨论一下，发表小组讨论结果。
教师边归纳边板书学生讨论的结果。
设计意图：让学生主动尝试从数学角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，训练学生“能清晰地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据”的意识。
【活动4】
问题与情境：猜想：你认为在什么条件下才能得到一条线段是另一条线段的一半长？
师生行为：学生发现：线段的中点；直角三角形斜边上的中线；三角形两边的中点连线。
教师出示三角形中位线的概念，并提出问题：现在你们猜测一下这个中位线与第三边有什么样的关系？学生提出猜想：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
设计意图：对三角形中位线性质的归纳，是学生对本节课所学知识的一次升华。
【活动5】
问题与情境：刚才大家猜出了三角形中位线的性质，现在你是否能验证这个性质并加以说明。
师生行为：学生折纸，用折纸比较各条边长及各个角的大小。
然后教师引导学生小组讨论如何验证?如何说明？
学生互相说明与辩论。
在实物投影仪上说明∠A+∠B+∠C=180€埃凰谋咝蜤FHG是长方形。
设计意图：通过证明，验证猜测的正确性，让学生感受数学结论的确定性和证明的必要性，突出了教学重点。
【活动6】
问题与情境：评价和反思
这节课你知道了什么？学会了什么？有什么发现？有什么体会？还有什么问题与困惑？
布置作业
用正方形的纸片折叠图形，并在操作中探究，从中发现问题。
师生行为：学生交流获得的知识和感受。
学生课后独立完成，教师做好辅导并记载。
设计意图：通过评价和反思，概括本节课的学习内容，总结三角形中位线的性质及与三角形、四边形相关的一些性质和判定，体验探究过程中的感受。
学生独立思考，完成课后作业，使课堂知识继续延伸。
活动评价与反思：
从上述过程可以看出，教学活动的过程主要强调学生从已有生活经验出发，在动手操作的活动过程中学习，进而完成对知识的主动构建。
但是数学探究活动的发生又不同于科学探究活动，具体实物材料的摆弄和操作（折纸活动）只是“外在的活动”，而实质性的数学探究往往发生在学生的头脑里，教师的任务就是使学生经历“直观——感性认识——理性思考”的活动过程，同时体验和感受数学发现的过程（从猜想到证明）的欣喜和挑战。
而这一课例无疑关注了学生对数学学习过程的情感体验。
布鲁纳也指出：“我们教一门科目，并不是希望学生成为该科目的一个小型书库，而是要他们参与获得知识的过程。
学习是一种过程，而不是结果。
”可见，让学生在活动中“学会学习”本身比“学会什么”更重要。