离散数学(第3讲)
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离散数学第三章课件ppt
以|P(A)|＝Cn0＋Cn1＋…＋Cnn＝2n。
定理3.6 设A和B是两个集合，则： (1)B∈P(A)BA。 (2)ABP(A)P(B)。 (3)P(A)＝P(B)A＝B。 (4)P(A)∈P(B)A∈B。 (5)P(A)∩P(B)＝P(A∩B)。 (6)P(A)∪P(B)P(A∪B)。
A∪B＝B。
反之，若A∪B＝B，因AA∪B，所以AB。 同理可证ABA∩B＝A。
定义3.7
设A和B为两个集合，所有属于A而不
属于B的元素组成的集合称为B对于A的补集
(Complement) ， 或 相 对 补 。 记 作 A － B ＝
{x|x∈A∧xB} 。 A － B 也 称 为 A 和 B 的 差 集
A的真子集，但A不是A的真子集。 注：∈与表示元素和集合的关系，而、与＝
表示集合和集合的关系。 例如，若A＝{0，1}，B＝{0，1，{0，1}}，则 AB且AB。
定理3.3 设A、B和C是三个集合，则
(1)(AA)。 (2)AB(BA)。 (3)AB∧BCAC。
证 仅证(2)和(3) 明 (2)AB x(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)
例如，若A＝{0，{0}}，则P(A)A＝(P(A)－A)∪(A－ P(A))＝{，0，{{0}}，{0，{0}}}。
定理3.9 设A、B和C为三个集合，则： (1)AB＝BA。 (2)(AB)C＝A(BC)。 (3)A∩(BC)＝(A∩B)(A∩C)。
例1 设A和B为两个集合，且AB，则A∩CB∩C。
证 对任意的 x∈A∩C ，则有 x∈A 且 x∈C 。而 AB ， 明 由 x∈A 得 x∈B ，则 x∈B 且 x∈C ，从而 x∈B∩C 。所
以，A∩CB∩C。 例2 设A和B为两个集合，则ABA∪B＝BA∩B＝A。
离散数学 第3讲 同余关系和商代数
定理1：等价关系～关于二元运算*是一个同余关系当且仅当对 任意a、b、c、d∈S, a～b和c～d 时有ac～bd。
证明： 必要性： 设～是关于运算*的同余关系,并对任意a、b、c、d∈S,假设 a～b和c～d。a～b蕴含着ac～bc,而c～d蕴含着bc～bd。根据～ 的传递性, 得出ac～bd。 充分性： ～是一等价关系, 假设对任意a、b、c、d∈S,当a～b和c～d 时,ac～bd。因为c～c,故如果a～b,那么ac～bc。类似地,ca～cb。
一、同余关系
同余关系定义: 设R为代数A=<S, *, △>的载体S上的等价关系, 如果在代 数运算*下仍能保持, 则称R是关于运算*的同余关系。
a b
a*c b*c
a b
c
△a △b
一、同余关系
例1：给定代数A=<I, ·>，I：整数集合，运算· 为普通乘法运算，R为I
上的模k相等(k∈I+)关系, 即xRy当且仅当x≡y(mod k)，现在证明R是 关于运算· 的同余关系。
由定理2可以看出，一 个同态可以诱导出一 个同余关系； 反过来， 可以证明一个同余关 系也可以导出一个同 态。
∵h为同态 ∴ h(△a)=△′h(a)，h(△b)=△′h(b)
∴ h(△a)= h(△b), ∴△aR△b，即R是关于运算△的同余关系；
ii）如果aRb，cRd，则h(a)=h(b),h(c)=h(d), ∴ h(a)*′h(c)= h(b)*′h(d)， ∵h为同态 ∴ h(a*c)=h(a)*′h(c)，h(b*d) = h(b)*′h(d) ∴ h(a*c)= h(b*d)， ∴ (a*c)R(b*d)，即R是关于运算*的同余关系。
(2) 证明h是双射函数。h: S/～→f(S)是单射：对任意x1、x2∈S, 若f(x1)
证明： 必要性： 设～是关于运算*的同余关系,并对任意a、b、c、d∈S,假设 a～b和c～d。a～b蕴含着ac～bc,而c～d蕴含着bc～bd。根据～ 的传递性, 得出ac～bd。 充分性： ～是一等价关系, 假设对任意a、b、c、d∈S,当a～b和c～d 时,ac～bd。因为c～c,故如果a～b,那么ac～bc。类似地,ca～cb。
一、同余关系
同余关系定义: 设R为代数A=<S, *, △>的载体S上的等价关系, 如果在代 数运算*下仍能保持, 则称R是关于运算*的同余关系。
a b
a*c b*c
a b
c
△a △b
一、同余关系
例1：给定代数A=<I, ·>，I：整数集合，运算· 为普通乘法运算，R为I
上的模k相等(k∈I+)关系, 即xRy当且仅当x≡y(mod k)，现在证明R是 关于运算· 的同余关系。
由定理2可以看出，一 个同态可以诱导出一 个同余关系； 反过来， 可以证明一个同余关 系也可以导出一个同 态。
∵h为同态 ∴ h(△a)=△′h(a)，h(△b)=△′h(b)
∴ h(△a)= h(△b), ∴△aR△b，即R是关于运算△的同余关系；
ii）如果aRb，cRd，则h(a)=h(b),h(c)=h(d), ∴ h(a)*′h(c)= h(b)*′h(d)， ∵h为同态 ∴ h(a*c)=h(a)*′h(c)，h(b*d) = h(b)*′h(d) ∴ h(a*c)= h(b*d)， ∴ (a*c)R(b*d)，即R是关于运算*的同余关系。
(2) 证明h是双射函数。h: S/～→f(S)是单射：对任意x1、x2∈S, 若f(x1)
离散数学第三讲-范式与主范式
Mj mj
n 2 k
n 2 k
17
极小项与极大项之间的关系
3.
主析取范式与主合取范式的关系
例题： A (P Q ) R m1 m3 m5 m 6 m7 主合取范式 3 5 6 7 （ 1，，，，） 主析取范式
M0 M2 M4 （ 0 ，，） 2 4
(0,2,4) 其中表示合取.
16
极小项与极大项之间的关系
1.
极小项与极大项的关系
一个命题公式的主析取范式和主合取范式紧密相关, 在它们的简 记式中, 代表极小项和极大项的足标是互补的,
mi Mi,
2.
M i m i.
原命题A与其否命题A的关系
设命题公式A中含n个命题变元，且设A的主析取范式中含k个极 小项mil,mi2,…,mik则 A的主析取范式中必含2n-k个极小项,设为 mjl,mj2, …, ,
则称它为A 的合取范式。 合取式---称为积 析取式---称为和
3
1、范式---析取范式与合取范式
析取范式:
A A 1 A 2 A n ( n 1), n 1时，单个质合取式也是 A ：质合取式 i
析取范式
合取范式:
A B 1 B 2 B m ( m 1) m 1时，单个质析取式也是 B ：质析取式 i
(1)求出A的主析取范式中没包含的极小项mj1,mj2,··m j ·, (2)求出与(1)中极小项下标相同的极大项Mj1,Mj2,··M j ·, (3)由以上极大项构成的合取式为A的主合取范式.
n
n 2 k
.
.
2 k
18
2、主范式
离散数学(chapter3集合的基本概念和运算)PPT课件
离散数学
主讲教师
13.11.2020
1
第三章 集合的基本概念和运算
§3.1 集合的基本概念 §3.2 集合的基本运算 §3.3 集合中元素的计数
13.11.2020
离散数学
2
集合论 集合论是研究集合一般性质的数学分支,它的创 始人康托尔(G.Cantor ,1845－1918)。在现代数学中， 每个对象(如数，函数等)本质上都是集合，都可以用 某种集合来定义，数学的各个分支，本质上都是在研 究某一种对象集合的性质。集合论的特点是研究对象 的广泛性，它也是计算机科学与工程的基础理论和表 达工具，而且在程序设计，数据结构，形式语言，关 系数据库，操作系统等都有重要应用。本课程在第三， 四章中介绍集合论的内容。
如：
A∪B
E
A∩B
E
AB
E
~A
E
AB
E
13.11.2020
离散数学
15
二、文氏图 （Jahn Venn）
例4：用文氏图表示下面集合
13.11.2020
离散数学
16
二、文氏图 （Jahn Venn）
例5：用集合公式表示下面文氏图中的阴影部分
(1)A ∩ B ∩ C，
(2) (A∩B )∪(B∩C)∪(C∩A)
或A = B x(x A x B)
x(x A x B) x(x B x A)
13.11.2020
离散数学
8
四、集合之间的关系
3、真子集： B A。 BABABA BABA B=A
4、幂 集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。 符号化为 P (A) = { x | x A}
n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。
主讲教师
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1
第三章 集合的基本概念和运算
§3.1 集合的基本概念 §3.2 集合的基本运算 §3.3 集合中元素的计数
13.11.2020
离散数学
2
集合论 集合论是研究集合一般性质的数学分支,它的创 始人康托尔(G.Cantor ,1845－1918)。在现代数学中， 每个对象(如数，函数等)本质上都是集合，都可以用 某种集合来定义，数学的各个分支，本质上都是在研 究某一种对象集合的性质。集合论的特点是研究对象 的广泛性，它也是计算机科学与工程的基础理论和表 达工具，而且在程序设计，数据结构，形式语言，关 系数据库，操作系统等都有重要应用。本课程在第三， 四章中介绍集合论的内容。
如：
A∪B
E
A∩B
E
AB
E
~A
E
AB
E
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15
二、文氏图 （Jahn Venn）
例4：用文氏图表示下面集合
13.11.2020
离散数学
16
二、文氏图 （Jahn Venn）
例5：用集合公式表示下面文氏图中的阴影部分
(1)A ∩ B ∩ C，
(2) (A∩B )∪(B∩C)∪(C∩A)
或A = B x(x A x B)
x(x A x B) x(x B x A)
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8
四、集合之间的关系
3、真子集： B A。 BABABA BABA B=A
4、幂 集：集合A的全体子集构成的集合，记作P (A)。 符号化为 P (A) = { x | x A}
n 元集A的幂集P (A)含有2n个元素。
离散数学 第三-四章
n i 1
Ai
(f) A (A∪B ), B (A∪B )
集合与关系 >集合的运算
交与 并的关系 定理3-2.1 设A、B、C为三个集合,则下列分配律 成立。 a) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) b) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 定理3-2.2 设A、B为任意两个集合,则下列吸收律 成立 a) A∪(A∩B)=A b) A∩(A∪B)=A 定理3-2.3 A B 当且仅当 A∪B=B 或 A∩B=A。
集合与关系 > 集合的运算
本节重点掌握的概念: 集合, 集合相等,集合包含, 幂集。
本节重点掌握的方法: 集合的表示, 求幂集.
作业
3-1 （1）（a）,（c） ,（e）
（3） （4） （a）,（c） ,（e） (5) (6) （a）,（c） ,（e） (9)
集合与关系 >集合的概念和表示法
上节知识点: 1. 集合的概念 2. 集合的表示 3 集合之间的关系 4 空集和全集 5 幂集(power set)
A-B
E B
A
集合与关系 >集合的运算
• 绝对补 定义3-2.4 设E为全集,任一集合A关于E的补 E-A, 称为集合A的绝对补,记作~A。
即 ~ A={ x| xE ∧ xA}
集合与关系 >集合的运算
(3) 集合的补(complement) 定义3-2.3 设A、B为任意两个集合,所有属于A而 不属于B的一切元素组成的集合S称为B对于A的 补集,或相对补,记作A-B。 即 A-B={ x| xA ∧ xB} 或 xA-B xA但 xB
例如 A={2, 5, 6} B={1, 2, 4, 7, 9} A-B={5, 6} B-A={1,4,7,9} E - A?
Ai
(f) A (A∪B ), B (A∪B )
集合与关系 >集合的运算
交与 并的关系 定理3-2.1 设A、B、C为三个集合,则下列分配律 成立。 a) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) b) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 定理3-2.2 设A、B为任意两个集合,则下列吸收律 成立 a) A∪(A∩B)=A b) A∩(A∪B)=A 定理3-2.3 A B 当且仅当 A∪B=B 或 A∩B=A。
集合与关系 > 集合的运算
本节重点掌握的概念: 集合, 集合相等,集合包含, 幂集。
本节重点掌握的方法: 集合的表示, 求幂集.
作业
3-1 （1）（a）,（c） ,（e）
（3） （4） （a）,（c） ,（e） (5) (6) （a）,（c） ,（e） (9)
集合与关系 >集合的概念和表示法
上节知识点: 1. 集合的概念 2. 集合的表示 3 集合之间的关系 4 空集和全集 5 幂集(power set)
A-B
E B
A
集合与关系 >集合的运算
• 绝对补 定义3-2.4 设E为全集,任一集合A关于E的补 E-A, 称为集合A的绝对补,记作~A。
即 ~ A={ x| xE ∧ xA}
集合与关系 >集合的运算
(3) 集合的补(complement) 定义3-2.3 设A、B为任意两个集合,所有属于A而 不属于B的一切元素组成的集合S称为B对于A的 补集,或相对补,记作A-B。 即 A-B={ x| xA ∧ xB} 或 xA-B xA但 xB
例如 A={2, 5, 6} B={1, 2, 4, 7, 9} A-B={5, 6} B-A={1,4,7,9} E - A?
离散数学第二章(第3讲)
2、规则使用说明
（1）用US,ES在推导中去掉量词，用UG,EG使结论量化 （加上量词）。 （2）在使用ES,US时,要求谓词公式必须是前束范式
（3）推导中既用ES，又用US， 则必须先用ES ，后 用US方可取相同变元，反之不行。
xP(x) P(c) xQ(x) Q(c)
（4）推导中连续使用US规则可用相同变元 xP(x) P(c) xQ(x) Q(c)
（x）(M(x)D(x))，M(s) D(s)
(1) x(M(x)D(x))
P
(2) M(s) D(s)
US(1)
(3) M(s)
P
(4) D(s)
T(2)(3)I
（2）CP 规则证明
例 证明: x (P(x)Q(x)) x P(x) xQ(x)
(1) x P(x)
附加前提
(2) x (P(x)Q(x))
x(P(x)(Q(x)S(x))),x(P(x)T(x))，Q(c)T(c)P(c)S(c)
推理形式如下：
(1) P(c)
附加前提
(2) x(P(x)(Q(x)S(x)))
P
(3) P(c)(Q(c)S(c))
US (2)
(4) Q(c)S(c)
T(1)(3) I
(5) Q(c)T(c)
P
(6) Q(c)
T (6)(10) I
T(1) E
(3) xP(x)
T (2) I
(4) P(a)
ES (3)
(5) xQ(x)
T(2) I
(6) Q(a)
US (5)
(7) x( P(x) Q(x) )
P
(8) P(a) Q(a)
US(7)
《离散数学》课件-第3章集合的基本概念
17
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
18
3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
27
德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
例题
计算以下幂集：
，{}；{，{}}
解：
P()={} P({})={，{}} P({，{}})= {, {}，{{}},{，{}}}
18
3.3 集合的运算
集合的运算 并，交，补（绝对补），差（相对补－），和对称差等。
19
集合的并运算
• 定义3.3.1 设A，B为集合，由A和B的所有元素组成的集 合称为A与B的并集， 可表示为： AB={x|xAxB} 其文氏图：
其文氏图如下：
~E = ， ~ = E， ~（~A）= A A ~A = ， A ~A = E
27
德.摩根定律
• 定理3.3.5 设A，B为任意二个集合，则有： • （1） （AB）= A B • （2） （A B）= A B • 证明 设E为全集，显然有AE=A，AE=E成立。 • （1） （AB）= {x | xEx（AB）}= {x |
据的增加、删除、修改、排序，以及数据间关系的描述。
集合论在计算机语言、数据结构、编译原理、数据库与
知识库、形式语言及人工智能等许多领域得到广泛的应
用。
2
3.1 集合及其表示
• 集合是由一些对象聚集在一起构成的。 例如，全体整数 全体中国人 26个英文字母
• 构成集合的对象可以是各种类型的事物。 • 定义3.1.1 集合中的对象叫集合的元素，或成员。
• 集合中的元素可以具有共同性质，也可以表面上看起来不相干。
• 如{2，Tom，计算机，广州}
• 在集合论中，规定元素之间是彼此相异的，并且是没有次序关 系的。
例如，{3,4,5},{3,4,4,5,5},{5,3,4}都是同一个集合。
• 例如，A={3,4,5},
《离散数学》第3章集合
(5) A B (6) ~ (A B)
{2, 4,5} {3}
(7) (A B) ~ C
{1, 3, 5}
(8) (A B) (A C) {1, 4}
二、文氏图 (John Venn)。
1、文氏图。
(1) 用大矩形表示全集 E，
(2) 矩形内的圆表示集合， (3) 除特殊情形外，一般表示两个集合的圆是相交的， (4) 圆中的阴影的区域表示新组成的集合。
其中 A, B 分别表示 A、B的元数．
把包含排斥定理推广到n个集合的情况可用如下定
理表述：
设A1, A2 , A为n 有限集合，其元数分别为 A1 , A2 ,, An ，则
n
A1 A2 An Ai Ai Aj
Ai Aj Ak
i 1
1i jn
解： P(A) ,{,2},{2}, A
第二节 集合的运算
内容： 集合的运算，文氏图，运算律。 重点：(1) 掌握集合的运算
A B, A B, A B, ~ A, A B
(2) 用文氏图表示集合间的相互 关系和运算，
(3) 掌握基本运算律的内容及运用。
一、集合的运算。
例1、 ，A 0,1, B a,b,c
求 A B，B A，A A，A， B。
解：A B 0, a , 0,b , 0, c , 1, a , 1,b , 1,c
(1) A 解： P(A) {}
(2) A {} 解： P(A) {, A}
(3) A ,{}
解：P(A) ,{},{}, A
(4) A 1,{2,3}
解：P(A) ,{1},{2,3}, A
(5) A {, 2},{2}
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2013-7-4 计算机学院 26
基本要求
1、深刻理解等价式的定义，知道公式之间 的等价关系具有自反性、对称性、传递性； 2、牢记基本等价式的名称及它们的内容； 3、熟练地应用基本等价式及置换规则进行 等价演算 4、理解对偶原理及在等价演算中的应用 5、理解逻辑联结词功能完备集和最小功能 完备集的概念
2013-7-4
计算机学院
25
根据定义,我们知道{↑}、{↓}是最小的功 能完备集，那么{～，∨，∧}是不是最小功能 完备集？由于P∨Q～(～P∧～Q)，可见∨可 由{～，∧}表达；同理, P∧Q～(～P∨～Q) , 因而∧可由{～，∨}表达，这说明{～，∨，∧} 不是最小功能完备集，但是 在实际应用中，普 遍采用的功能完备集却是{～,∨,∧},这也是逻 辑系统中最主要的3个常用联结词。
2013-7-4
计算机学院
5
替换定理
定理1.2设G1是G的子公式(即 G1是公式G的一
部分)，H1 是任意的命题公式，在G中凡出现G1
处都以H1 替换后得到新的命题公式H，若G1
H1，则G H。
替换定理是经常使用的重要定理。
定理1.3公式G、H等价的充分必要条件是公 式 GH是永真公式。 此定理是从另一角度来看待等价性
2013-7-4 计算机学院 9
例1-3.2（续）
所以该电路图可简化为：
P Q R
2013-7-4
计算机学院
10
例1-3.3
证明P∨┐((P∨┐Q)∧Q) 是永真公式。
证：P∨┐((P∨┐Q)∧Q) P∨┐(P∨┐Q)∨┐Q (De Morgan定律) (P∨┐Q)∨┐(P∨┐Q) (交换律) (结合律) T ■（矛盾律）
2013-7-4
计算机学院
11
对偶式
E3 ～E18 ，E23 ～E24 都是成对出现的，它是逻辑系 统对偶性的反映，即对偶式。利用对偶式可以 扩大等价式的个数，也可减少证明的次数。
定义1.13：设A和A*是两个包含、∨、∧的命题 公式。如果把A中的联结词∨换成∧，把∧换成 ∨，把Ｔ换成Ｆ，把Ｆ换成Ｔ后得到的正是A* ， 则称A*是A的对偶公式。 如公式（P∨Q）∧R的对偶式为（P∧Q）∨R ～P∨（Q∧R）的对偶式为～P∧（Q∨R）
2013-7-4
计算机学院
19
这些等价式告诉我们，↑可由∧和～表
示出来，↓可由∨和～表示出来，反过
来，↑和↓都可以单独表示出所有已知
联结词，它们的这一性质使得在逻辑电 路设计中只用一种门式电路元件就能实 现任何电路功能，当然，元件的数量通 常也显得更多。
2013-7-4 计算机学院 20
还有一个二元联结词“ ”,称为条件否定， 可以用下面的真值表定义： P 1 1 Q 1 0 P Q
冯伟森
Email：fws365@ 2013年7月4日星期四
1.3 命题公式的等价
定义1.12 设G、H是公式，如果在任意解释Ｉ 下，G与H的真值相同，则称公式G、H是等价的 ， 记作GH。
等价式的性质: 1）自反性：A A 2）对称性：若 A B，则 B A 3）可传递性:若 A B，B C，则A C
PQ ～Q ～P
P 1
1 0 0
Q 1
0 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0
Ｐ∨Q P→Q PQ
式。
其次，如果要求用计算机来判断命题公式G、
H是否逻辑等价，即GH那是办不到的，然而计
算机却可“计算”公式GH是否是永真公式。
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等价式的判定
1.真值表法 2.公式推演（等价变换） 例1-3.1：试证 P→Q ～Q→～P 证：P→Q ～P∨Q 蕴涵 E2 ～P∨～～Q 双重否定 E19 ～～Q∨～P 交换律 E5 ～Q→～P 蕴涵 E2
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问题：如果两个公式等价，那么它们的对偶式是否也是 等价的？ 定理1.4 ：设P1,P2,…Pn 是公式A和A* 中的所有命题变元， 则 ～A（P1,P2,…Pn）A*（～P1,～P2,…,～Pn） 证：∵由 De Morgan定律可知 ～（P∨Q） ～P∧～Q， ～（P∧Q） ～P∨～ Q ～T F， ～F T ∴对公式的否定可以直接作用到原子本身，并且把公式 中的∧变成∨，把∨变成∧，即得 ～A（P1,P2,…Pn）A*（～P1,～P2,…,～Pn）
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基本等价式——命题定律
1. Ｅ1: GH (G→H)∧(H→G) 2. Ｅ2：(G→H) (～G∨H) 3. Ｅ3：G∨G G Ｅ4：G∧G G 4. Ｅ5：G∨H H∨G Ｅ6：G∧H H∧G 5. Ｅ7：G∨(H∨S) (G∨H)∨S Ｅ8: G∧(H∧S) (G∧H)∧S 6. Ｅ9：G∨(G∧H) G Ｅ10：G∧(G∨H) G
Q P
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0
1 0 1
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1
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显然公式1是永真式，2代表矛盾式，3代表 Ｐ∨Q，4代表Q→P,5代表P→Q，6代表P↑Q， 7 是P，8是Q，9代表PQ，10代表PQ，11代表～Q ，12代表～P，13代表P↓Q，14代表Q 表P P,15代
0
1
0
0
1
0
0
0 Q～(P→Q)
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显然，P
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至此我们定义了9个联结词，其中1
个一元联结词，8个二元联结词。那么，
还能不能定义出新的联结词呢？下面是 含两个命题变元的所有公式的真值表所 能取得的情况：
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P↑Q
P↓Q P
Q
P∧Q
T F
Q→P
P Q
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“” 与“”的区别
首先，双条件词“”是一种逻辑联结词，
公式GH是命题公式，其中“”是一种逻辑运
算，GH的结果仍是一个命题公式。 而逻辑等价“”则是描述了两个公式G与H 之间的一种逻辑等价关系，GH表示“命题公式 G等价于命题公式H”，GH 的结果不是命题公
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习题一
5（1）（3）、6、 8(1)（3）、9、10、
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1.4
联结词的完备集
前面我们已经介绍了最常见的6种逻辑联结 词。他们都和自然语言中使用的联结词紧密相关， 易于理解。不同联结词产生的真值表是互不相同
的，根据对含两个命题变元的公式的解释方式看，
共有2*2=4种不同的解释，因而公式的真值表相
应有2*2*2*2=16种可能结果。对其中每一种真值
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(等价律) (蕴涵律) (幂等律)
(交换律) (结合律)
(吸收律)
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基本等价式（续）
7. Ｅ11：G∨(H∧S) (G∨H)∧(G∨S) (分配律） Ｅ12：G∧(H∨S) (G∧H)∨(G∧S) 8. Ｅ13：G∨F G (同一律) Ｅ14：G∧T G 9. Ｅ15：G∨T T (零律) Ｅ16：G∧F F 10.Ｅ17：G∨～G T (矛盾律) Ｅ18：G∧～G F
1 1 0 0
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Q
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P↑Q
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P 1
1 0 0
Q 1
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P↓Q 0
0 0 1
由真值表可以看出
P↑Q～（P∧Q）,
P↓Q ～（P∨Q）
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根据联结词↑和↓的定义，不难证明下面的 等价式。 ① P↑P～（P∧P）～P ② ( P↑Q)↑( P↑Q) ～( P↑Q) P∧Q ③ ( P↑P)↑(Q↑Q) ～P↑～Q ～（～P∧～Q）P∨Q ④ P↓P～（P∨P）～P ⑤ ( P↓Q) ↓( P↓Q) ～( P↓Q) P∨Q ⑥ ( P↓P) ↓(Q↓Q) ～P↓～Q ～（～P∨～Q）P∧Q
Q，16代表P∧Q，可见，已定义的9个联
结词就是全部可以定义的联结词。
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定义 1.15
设S 是由某些联结词构成的集合，
如果每个逻辑联结词的功能都能够由S中的联结
词实现，则称S是逻辑联结词的一个功能完备集；
进一步，如果去掉S中的任何一个联结词后，至 少有一个联结词的功能不能由S中剩余的联结词 实现时，则称S是逻辑联结词的一个最小功能完 备集。
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对偶原理（定理1.5）
设A和B是两个命题公式，若A B， 则 A* B*
例1-3.4 证明（a）～(P∧Q)→(～P∨(～P∨Q) ～P∨Q （b）(P∨Q) ∧(～P∧(～P∧Q)) ～P∧Q 证明:（a） ～(P∧Q)→(～P ∨(～P∨Q)) (P∧Q)∨(～P∨(～P∨Q)) （蕴涵） (P∧Q)∨～P∨Q (幂等律) ((P∨～P)∧(Q∨～P))∨Q (结合律) （分配律） ～P∨Q∨Q （矛盾律）(同一律) 该式正好是右端的对偶式 ～P∨Q (幂等律) （b） 该式正好是（b）左端的对偶式, 由（a）及对偶原 理得证
表都应该存在相应的联结词。下面从真值表取值
基本要求
1、深刻理解等价式的定义，知道公式之间 的等价关系具有自反性、对称性、传递性； 2、牢记基本等价式的名称及它们的内容； 3、熟练地应用基本等价式及置换规则进行 等价演算 4、理解对偶原理及在等价演算中的应用 5、理解逻辑联结词功能完备集和最小功能 完备集的概念
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根据定义,我们知道{↑}、{↓}是最小的功 能完备集，那么{～，∨，∧}是不是最小功能 完备集？由于P∨Q～(～P∧～Q)，可见∨可 由{～，∧}表达；同理, P∧Q～(～P∨～Q) , 因而∧可由{～，∨}表达，这说明{～，∨，∧} 不是最小功能完备集，但是 在实际应用中，普 遍采用的功能完备集却是{～,∨,∧},这也是逻 辑系统中最主要的3个常用联结词。
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5
替换定理
定理1.2设G1是G的子公式(即 G1是公式G的一
部分)，H1 是任意的命题公式，在G中凡出现G1
处都以H1 替换后得到新的命题公式H，若G1
H1，则G H。
替换定理是经常使用的重要定理。
定理1.3公式G、H等价的充分必要条件是公 式 GH是永真公式。 此定理是从另一角度来看待等价性
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例1-3.2（续）
所以该电路图可简化为：
P Q R
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例1-3.3
证明P∨┐((P∨┐Q)∧Q) 是永真公式。
证：P∨┐((P∨┐Q)∧Q) P∨┐(P∨┐Q)∨┐Q (De Morgan定律) (P∨┐Q)∨┐(P∨┐Q) (交换律) (结合律) T ■（矛盾律）
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对偶式
E3 ～E18 ，E23 ～E24 都是成对出现的，它是逻辑系 统对偶性的反映，即对偶式。利用对偶式可以 扩大等价式的个数，也可减少证明的次数。
定义1.13：设A和A*是两个包含、∨、∧的命题 公式。如果把A中的联结词∨换成∧，把∧换成 ∨，把Ｔ换成Ｆ，把Ｆ换成Ｔ后得到的正是A* ， 则称A*是A的对偶公式。 如公式（P∨Q）∧R的对偶式为（P∧Q）∨R ～P∨（Q∧R）的对偶式为～P∧（Q∨R）
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这些等价式告诉我们，↑可由∧和～表
示出来，↓可由∨和～表示出来，反过
来，↑和↓都可以单独表示出所有已知
联结词，它们的这一性质使得在逻辑电 路设计中只用一种门式电路元件就能实 现任何电路功能，当然，元件的数量通 常也显得更多。
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还有一个二元联结词“ ”,称为条件否定， 可以用下面的真值表定义： P 1 1 Q 1 0 P Q
冯伟森
Email：fws365@ 2013年7月4日星期四
1.3 命题公式的等价
定义1.12 设G、H是公式，如果在任意解释Ｉ 下，G与H的真值相同，则称公式G、H是等价的 ， 记作GH。
等价式的性质: 1）自反性：A A 2）对称性：若 A B，则 B A 3）可传递性:若 A B，B C，则A C
PQ ～Q ～P
P 1
1 0 0
Q 1
0 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0
Ｐ∨Q P→Q PQ
式。
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H是否逻辑等价，即GH那是办不到的，然而计
算机却可“计算”公式GH是否是永真公式。
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等价式的判定
1.真值表法 2.公式推演（等价变换） 例1-3.1：试证 P→Q ～Q→～P 证：P→Q ～P∨Q 蕴涵 E2 ～P∨～～Q 双重否定 E19 ～～Q∨～P 交换律 E5 ～Q→～P 蕴涵 E2
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问题：如果两个公式等价，那么它们的对偶式是否也是 等价的？ 定理1.4 ：设P1,P2,…Pn 是公式A和A* 中的所有命题变元， 则 ～A（P1,P2,…Pn）A*（～P1,～P2,…,～Pn） 证：∵由 De Morgan定律可知 ～（P∨Q） ～P∧～Q， ～（P∧Q） ～P∨～ Q ～T F， ～F T ∴对公式的否定可以直接作用到原子本身，并且把公式 中的∧变成∨，把∨变成∧，即得 ～A（P1,P2,…Pn）A*（～P1,～P2,…,～Pn）
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基本等价式——命题定律
1. Ｅ1: GH (G→H)∧(H→G) 2. Ｅ2：(G→H) (～G∨H) 3. Ｅ3：G∨G G Ｅ4：G∧G G 4. Ｅ5：G∨H H∨G Ｅ6：G∧H H∧G 5. Ｅ7：G∨(H∨S) (G∨H)∨S Ｅ8: G∧(H∧S) (G∧H)∧S 6. Ｅ9：G∨(G∧H) G Ｅ10：G∧(G∨H) G
Q P
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0
1 0 1
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显然公式1是永真式，2代表矛盾式，3代表 Ｐ∨Q，4代表Q→P,5代表P→Q，6代表P↑Q， 7 是P，8是Q，9代表PQ，10代表PQ，11代表～Q ，12代表～P，13代表P↓Q，14代表Q 表P P,15代
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0 Q～(P→Q)
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显然，P
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至此我们定义了9个联结词，其中1
个一元联结词，8个二元联结词。那么，
还能不能定义出新的联结词呢？下面是 含两个命题变元的所有公式的真值表所 能取得的情况：
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P↑Q
P↓Q P
Q
P∧Q
T F
Q→P
P Q
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“” 与“”的区别
首先，双条件词“”是一种逻辑联结词，
公式GH是命题公式，其中“”是一种逻辑运
算，GH的结果仍是一个命题公式。 而逻辑等价“”则是描述了两个公式G与H 之间的一种逻辑等价关系，GH表示“命题公式 G等价于命题公式H”，GH 的结果不是命题公
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1.4
联结词的完备集
前面我们已经介绍了最常见的6种逻辑联结 词。他们都和自然语言中使用的联结词紧密相关， 易于理解。不同联结词产生的真值表是互不相同
的，根据对含两个命题变元的公式的解释方式看，
共有2*2=4种不同的解释，因而公式的真值表相
应有2*2*2*2=16种可能结果。对其中每一种真值
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(等价律) (蕴涵律) (幂等律)
(交换律) (结合律)
(吸收律)
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基本等价式（续）
7. Ｅ11：G∨(H∧S) (G∨H)∧(G∨S) (分配律） Ｅ12：G∧(H∨S) (G∧H)∨(G∧S) 8. Ｅ13：G∨F G (同一律) Ｅ14：G∧T G 9. Ｅ15：G∨T T (零律) Ｅ16：G∧F F 10.Ｅ17：G∨～G T (矛盾律) Ｅ18：G∧～G F
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由真值表可以看出
P↑Q～（P∧Q）,
P↓Q ～（P∨Q）
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根据联结词↑和↓的定义，不难证明下面的 等价式。 ① P↑P～（P∧P）～P ② ( P↑Q)↑( P↑Q) ～( P↑Q) P∧Q ③ ( P↑P)↑(Q↑Q) ～P↑～Q ～（～P∧～Q）P∨Q ④ P↓P～（P∨P）～P ⑤ ( P↓Q) ↓( P↓Q) ～( P↓Q) P∨Q ⑥ ( P↓P) ↓(Q↓Q) ～P↓～Q ～（～P∨～Q）P∧Q
Q，16代表P∧Q，可见，已定义的9个联
结词就是全部可以定义的联结词。
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定义 1.15
设S 是由某些联结词构成的集合，
如果每个逻辑联结词的功能都能够由S中的联结
词实现，则称S是逻辑联结词的一个功能完备集；
进一步，如果去掉S中的任何一个联结词后，至 少有一个联结词的功能不能由S中剩余的联结词 实现时，则称S是逻辑联结词的一个最小功能完 备集。
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对偶原理（定理1.5）
设A和B是两个命题公式，若A B， 则 A* B*
例1-3.4 证明（a）～(P∧Q)→(～P∨(～P∨Q) ～P∨Q （b）(P∨Q) ∧(～P∧(～P∧Q)) ～P∧Q 证明:（a） ～(P∧Q)→(～P ∨(～P∨Q)) (P∧Q)∨(～P∨(～P∨Q)) （蕴涵） (P∧Q)∨～P∨Q (幂等律) ((P∨～P)∧(Q∨～P))∨Q (结合律) （分配律） ～P∨Q∨Q （矛盾律）(同一律) 该式正好是右端的对偶式 ～P∨Q (幂等律) （b） 该式正好是（b）左端的对偶式, 由（a）及对偶原 理得证
表都应该存在相应的联结词。下面从真值表取值