线性代数练习题
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线性代数练习题 第二章 矩 阵
系专业班 姓名学号
§2.4 逆矩阵
一．选择题 1
．
设
*
A 是n 阶矩阵
A
的伴随矩阵，则
[ B ]
（A ）1-*=A A A （B ）1
-*
=n A
A （C ）**=A A n λλ)( （D ）0)(=**A
2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵 （B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵 （C ）AB 是n 阶可逆矩阵 （D ）|A +B | = |A |+|B | 3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ）A A λλ= （B ）A A λλ=
（C ）A A n λλ= （D ）A A n λλ=
4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 二、填空题：
1．已知A B AB =-，其中⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=1221B ，则=A
2．设⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛12643152X ，则X = 3．设A ，B 均是n 阶矩阵，2=A ，3-=B ，则1
2-*
B
A = 46
n
-
4．设矩阵A 满足042
=-+E A A ，则=
--1
)(E A 22
A E
+ 三、计算与证明题：
1． 设方阵A 满足022
=--E A A ，证明A 及E A 2+都可逆，并求1
-A 和1
2-+)(E A
答案：
2． 设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=14524
3121A ，求A 的逆矩阵1-A 答案：
3． 设⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=321011330A 且满足B A AB 2+=，求 B
答案：A E A B 1)2(--=
线性代数练习题 第二章 矩 阵
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§2.5 转置矩阵与对称矩阵
一\选择题 1、设)2
1
,0,0,21(
=C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ] （A ）C C E T
+ （B ）E （C ）E - （D ）0 2．设
A
为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是
[ B ]
（A ）T
A A + （
B ）T
A A - （C ）T
AA （D ）A A T
3．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ] （A ）E C
A B A T
T
T
T
= （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =2
二、设对称矩阵113122320A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，123x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，计算T
x Ax ．
三、已知()111,2,3 1,,23αβ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，设T
A αβ=，计算n A ．
四、证明任意的方阵A 可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
,,2
2T
T A A A A B C A B C B C ⎛⎫⎛⎫
+-===+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
解：设则，显然是对称阵，是反对称阵。
五、设A ,B 都是n 阶方阵且A 为对称矩阵，证明T
B AB 也是对称矩阵。
(),T
T T T T B AB B A B B AB ==证明：因为则命题成立。
六、设A 是反对称矩阵，B 是对称矩阵，证明：(1)2
A 是对称矩阵；(2)A
B BA -是对称矩阵；(3)AB 是反对称矩阵的充要条件是AB BA =．
()()()()()()()()222,.
(1),(2),(3)().
T T T
T
T T T T T
T T T T T
T T A A B B A AA A A A A A A AB BA AB BA B A A B BA AB AB BA AB AB B A AB B A AB BA AB =-====--=-=-=-=-+-=-⇔=-⇔-=-⇔=证明：根据题意有因为则是对称阵；
由于则是对称阵；
线性代数练习题 第二章 矩 阵
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§2.6 初等变换与初等矩阵
一、选择题
1．设⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=3332
31
232221
131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+++=133312
321131
131211
23
2221
a a a a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=1000010101P ，
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=1010100012P ，则必有=B [ C ]
（A ）21P AP （B ）12P AP （C ）A P P 21 （D ）A P P 12
二、把矩阵1
13433
3541223203
34
21A --⎛⎫
⎪
--
⎪
= ⎪-- ⎪
---⎝⎭
化为行最简形矩阵然后再化成标准形
三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-----=12102
321122
01023A