线性代数综合练习题电子教案
线性代数电子教案
线性代数电子教案一、引言1.1 课程介绍线性代数的定义和意义课程目标和学习内容1.2 电子教案的特点互动性和趣味性自主学习和协作学习1.3 软件使用说明软件安装和运行功能介绍和操作指南二、行列式2.1 行列式的定义和性质行列式的概念行列式的计算规则2.2 行列式的计算方法按行(列)展开拉普拉斯展开2.3 克莱姆法则克莱姆法则的原理克莱姆法则的应用三、矩阵3.1 矩阵的定义和运算矩阵的概念和表示矩阵的加法和数乘3.2 矩阵的逆矩阵的逆的定义和性质矩阵的逆的计算方法3.3 矩阵的特殊类型单位矩阵对角矩阵零矩阵四、向量空间4.1 向量空间的概念向量空间的基本性质向量空间的子空间4.2 向量的线性相关性线性相关的定义和判定线性无关的性质和应用4.3 基底和坐标基底的概念和选择向量的坐标表示和转换五、线性方程组5.1 线性方程组的解法高斯消元法克莱姆法则5.2 齐次线性方程组齐次线性方程组的解集自由变量和特解5.3 非齐次线性方程组非齐次线性方程组的解法常数变易法和待定系数法六、特征值和特征向量6.1 特征值和特征向量的定义矩阵的特征值和特征向量的概念特征多项式的定义和求解6.2 特征值和特征向量的计算特征值和特征向量的求解方法矩阵的对角化6.3 特征值和特征向量的应用矩阵的相似对角化实对称矩阵和正交矩阵七、二次型7.1 二次型的定义和标准形二次型的概念二次型的标准形7.2 配方法和正定性配方法的应用二次型的正定性判定7.3 惯性定理和二次型的几何意义惯性定理的表述和证明二次型在几何上的意义八、向量空间的同构8.1 向量空间的同构概念同构的定义和性质同构的判定条件8.2 线性变换和矩阵线性变换的概念和性质线性变换与矩阵的关系8.3 线性变换的图像和核线性变换的图像线性变换的核（值域）九、特征空间和最小二乘法9.1 特征空间的概念特征空间的定义和性质特征空间的维数9.2 最小二乘法原理最小二乘法的定义和目标最小二乘法的应用9.3 最小二乘法在线性回归中的应用线性回归问题的最小二乘解回归直线的性质和分析十、线性代数在实际应用中的案例分析10.1 线性代数在工程中的应用结构力学中的矩阵方法电路分析中的节点电压和回路电流10.2 线性代数在计算机科学中的应用计算机图形学中的矩阵变换机器学习中的线性模型10.3 线性代数在其他学科中的应用物理学中的旋转和变换经济学中的线性规划十一、矩阵分解11.1 矩阵分解的概念矩阵分解的意义和目的矩阵分解的类型11.2 LU分解LU分解的定义和算法LU分解的应用和优点11.3 QR分解QR分解的定义和算法QR分解的应用和优点十二、稀疏矩阵12.1 稀疏矩阵的定义和性质稀疏矩阵的概念稀疏矩阵的存储和运算12.2 稀疏矩阵的应用稀疏矩阵在科学计算中的应用稀疏矩阵在数据挖掘中的应用12.3 稀疏矩阵的优化算法稀疏矩阵的压缩技术稀疏矩阵的快速运算算法十三、线性代数在图像处理中的应用13.1 图像处理中的线性代数概念图像的矩阵表示图像变换和滤波13.2 图像增强和复原图像增强的线性方法图像复原的线性模型13.3 图像压缩和特征提取图像压缩的线性算法图像特征提取的线性方法十四、线性代数在信号处理中的应用14.1 信号处理中的线性代数概念信号的矩阵表示和运算信号处理的基本算法14.2 信号滤波和降噪信号滤波的线性方法信号降噪的线性模型14.3 信号的时频分析信号的傅里叶变换信号的小波变换十五、线性代数的现代观点15.1 向量空间和线性变换的公理化向量空间和线性变换的公理体系向量空间和线性变换的分类15.2 内积空间和谱理论内积空间的概念和性质谱理论的基本原理15.3 线性代数在数学物理中的作用线性代数在微分方程中的应用线性代数在量子力学中的应用重点和难点解析本文档详细地介绍了线性代数的主要知识点，旨在帮助学生更好地理解和掌握线性代数的基础理论知识和应用能力。
线性代数教案(正式打印版)
第（1）次课授课时间（）基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab-,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。
同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba-,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式243122421----=D.(-14)例3. 求解方程094321112=xx（32==xx或）例4. 解线性方程组.5573422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-zyxzyxzyx解先计算系数行列式573411112--=D069556371210≠-=----+-=第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）基本内容备注第六节行列式按行（列）展开定义在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式，称为ija的余子式，记为ijM；而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即：nnnjnijnjaaaaaaaD11111=.则：ijijAaD=.证先证简单情形：nnnnnaaaaaaaD212222111=再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行：()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211按列：()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiii=+++=例1：335111243152113------=D.解:例2:21122112----=nD解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r1+=n D n .从而解得 1+=n D n .例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=n nn n nnn x x x x x x x x x D()1i j n i j x x ≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证 用归纳法因为 =-==1221211x x x x D ()21i j i j x x ≥>≥-∏ 所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n 时成立，要证对n 时也成立.为此，设法把nD 降阶；从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有()()()()()()213112213311222221331111110000n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x ---------=---（按第一列展开，并提出因子1x x i -）行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应第（ 4 ）次课授课时间（）第（5）次课授课时间（）基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211为nm⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯；其中ij a表示A中第i行，第j列的元素。
线性代数(含全部课后题详细答案)4-3PPT课件
目
CONTENCT
录
• 课程介绍与教学目标 • 向量空间与线性变换 • 行列式与矩阵运算 • 特征值与特征向量 • 课后习题详解 • 课程总结与拓展延伸
01
课程介绍与教学目标
线性代数课程简介
线性代数是数学的一个分支， 研究线性方程组、向量空间、 矩阵等概念和性质。
简要介绍数值计算中常用的迭代法、插值 法、逼近法等基本方法，培养学生运用计 算机解决实际问题的能力。
简要介绍数学建模的基本思想和方法，通 过实例展示数学建模在解决实际问题中的 应用和价值。
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05
课后习题详解
习题类型及解题思路
计算题
主要针对线性代数中的基本运算，如矩阵的加减、数乘和乘法等。解题思路通常是按照运算规则逐步进行，注意保持 矩阵的维度一致。
证明题
主要考察学生对线性代数基本定理和性质的理解和掌握。解题思路一般是从已知条件出发，结合相关定理和性质进行 推导，最终得出结论。
应用题
行列式性质
行列式具有线性性、交换性、倍加性 等基本性质，这些性质在行列式的计 算和证明中起到重要作用。
矩阵运算规则
矩阵加法
两个矩阵相加，要求它们具有相同的行数和列数， 对应元素相加。
矩阵数乘
一个数与矩阵相乘，将该数与矩阵中的每一个元素 相乘。
矩阵乘法
两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个 矩阵的行数，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行 数，列数等于第二个矩阵的列数。
将线性代数的知识应用于实际问题中，如求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等。解题思路是首 先建立数学模型，将实际问题转化为线性代数问题，然后利用相关知识进行求解。
线性代数电子教案3.3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
r3 3r2
1 0
6 4
4 3
1 1
4 1
r4 4r2
0 0
0 0
0 0
4 8 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) 3.
求 A 的一个最高阶子式 . R( A) 3, 知A的最高阶非零子式为3阶 .
A 的 3 阶子式共有 C43 • C53 40 个 .
考察A的行阶梯形矩阵，
记A (a1,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ),则矩阵B (a1,a2 ,a4 )的行
对情形 (3)，
Dr ri krj ri k rj Dr kDˆ r ,
若Dˆ r 0, 因 Dˆ r 中不含第 i 行知 A 中有不含第i 行的 r 阶 非零子式, R(B) r.
若Dˆ r 0, 则 Dr Dr 0,也有 R(B) r. 若A经一次初等行变换变为B，则 R( A) R(B).
对于 AT， 显有 R( AT ) R( A).
例1
求矩阵
A
1 2
2 3
3 5
的秩.
4 7 1
解
在 A 中，1
2 0.
23
又 A的 3 阶子式只有一个 A，且 A 0，
R( A) 2.
2 1 0 3 2
例2
求矩阵
B
0 0
3 0
1 0
2 4
5 3
的秩.
0 0 0 0 0
性质3: 若A B, 则R(A) = R(B);
线性代数电子教案LA4-3B
2．等价向量组：设向量组r T ααα,,,:211 , s T βββ,,,:212 若),,2,1(r i i =α可由s βββ,,,21 线性表示, 称1T 可由2T 线性表示；若1T 与2T 可以互相线性表示, 称1T 与2T 等价．(1) 自反性：1T 与1T 等价(2) 对称性：1T 与2T 等价⇒2T 与1T 等价(3) 传递性：1T 与2T 等价, 2T 与3T 等价⇒1T 与3T 等价 定理8 向量组与它的最大无关组等价． 证 设向量组T 的秩为r , T 的一个最大无关组为r T ααα,,,:211 ．(1) 1T 中的向量都是T 中的向量⇒1T 可由T 线性表示；(2) 任意T ∈α, 当1T ∈α时, α可由1T 线性表示； 当1T ∉α时, αααα,,,,21r 线性相关, 而r ααα,,,21 线性无关 由定理2知, α可由1T 线性表示．故T 可由1T 线性表示． 因此, T 与1T 等价．推论 向量组的任意两个最大无关组等价． 定理9 向量组r T ααα,,,:211 , 向量组s T βββ,,,:212 ． 若1T 线性无关, 且1T 可由2T 线性表示, 则s r ≤． 证 不妨设i α与j β都是列向量, 考虑向量组 易见, 秩≥)(T 秩r T ≥)(1．构造矩阵 因为1T 可由2T 线性表示, 所以 于是可得 ≤r 秩s A T ≤=rank )(．推论1 若1T 可由2T 线性表示, 则 秩≤)(1T 秩)(2T ．证 设 秩r T =)(1, 且1T 的最大无关组为r αα,,1 ； 秩s T =)(2, 且2T 的最大无关组为s ββ,,1 , 则有 1T 可由2T 线性表示⇒r αα,,1 可由2T 线性表示⇒r αα,,1 可由s ββ,,1 线性表示 ⇒ s r ≤ （定理9） 推论2 设向量组1T 与2T 等价, 则 秩=)(1T 秩)(2T ．[注] 由“秩=)(1T 秩)(2T ”不能推出“1T 与2T 等价”！ 正确的结论是：⇒⎭⎬⎫=)()(2121T T T T 秩秩线性表示可由1T 与2T 等价⇒⎭⎬⎫=)()(2112T T T T 秩秩线性表示可由1T 与2T 等价 例8 设l m A ⨯,n l B ⨯, 则 A AB rank )rank(≤, B AB rank )rank(≤．证 设()l m ij a A ⨯=, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=l b b B 1, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==m c c C AB 1Δ, 则即m c c ,,1 可由l b b ,,1 线性表示, 故 B C rank rank ≤． 根据上述结果可得§4.4 向量空间1．向量空间：设V 是具有某些共同性质的n 维向量的集合, 若 对任意的V ∈βα,, 有V ∈+βα； （加法封闭） 对任意的V ∈α, R ∈k , 有V k ∈α． （数乘封闭） 称集合V 为向量空间．例如：}R ),,,,({R 21∈==i n n x xξξξξ 是向量空间 }R ),,,,0({20∈==i n x xV ξξξ 是向量空间 }),,,,1({21R x x V i n ∈==ξξξ 不是向量空间 12)0,,0,0(),,,1(0V n ∉=⋅ ξξ, 即数乘运算不封闭． 例9 给定n 维向量组)1(,,1≥m m αα , 验证 是向量空间．称之为由向量组m αα,,1 生成的向量空间, 记作 ),,(1m L αα 或者 },,sp an{1m αα 证 设V ∈βα,, 则 m m k k ααα++= 11, m m t t ααβ++= 11, 于是有 由定义知, V 是向量空间．2．子空间：设1V 和2V 都是向量空间, 且21V V ⊂, 称1V 为2V 的子空间． 例如：前面例子中的0V 是n R 的子空间． 例9中的),,(1m L αα 也是n R 的子空间．3．向量空间的基与维数：设向量空间V , 若(1) V 中有r 个向量r αα,,1 线性无关；(2) V ∈∀α可由r αα,,1 线性表示． 称r αα,,1 为V 的一组基, 称r 为V 的维数, 记作r V =dim 或者r V ．[注] 零空间}{θ没有基, 规定0}{=θdim ． 由条件(2)可得：V 中任意1+r 个向量线性相关．（自证） 若r V =dim , 则V 中任意r 个线性无关的向量都可作为V 的基． 例10 设向量空间V 的基为r αα,,1 , 则),,(1r L V αα =．证 V ∈∀αL k k r r ∈++=⇒ααα 11L V ⊂⇒4．向量在基下的坐标：设向量空间V 的基为r αα,,1 , 对于V ∈∀α, 表示式r r x x ααα++= 11唯一（定理2）, 称T ),,(1r x x 为α在 基r αα,,1 下的坐标（列向量）．[注] α为n 维向量, α在V 的基r αα,,1 下的坐标为r 维列向量． 因为线性无关的“n 维向量组”最多含有n 个向量, 所以由 n 维向量构成的向量空间的基中最多含有n 个向量, 故n r ≤． 例11 设向量空间3V 的基为T )1,1,1,1(1=α, T )1,1,1,1(2-=α, T )1,1,1,1(3--=α 求T )1,1,2,1(=α在该基下的坐标． 解 设332211ααααx x x ++=, 比较等式两端的对应分量可得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000211002101010011111111121111111 , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21211321x x x [注] α是4维向量, α在3V 的基321,,ααα下的坐标为3维列向量．5．正交基：设向量空间V 的基为r αα,,1 , 若)(0],[j i j i ≠=αα, 称r αα,,1 为V 的正交基；若还有),,2,1(1r i i ==α, 称r αα,,1 为V 的标准正交基． 例如：n R 的标准正交基为n e e ,,1 ． 特点：向量空间V 的正交基为r αα,,1 , 对于V ∈∀α, 有r r x x ααα++= 11：),,2,1(],[],[r i x i i i i ==αααα 当r αα,,1 为标准正交基时, 有 r r x x ααα++= 11：),,2,1(],[r i x i i ==αα6．Schmidt 正交化过程：设向量空间V 的基为r αα,,1 , 令 11αβ=, 01≠β12122βαβk +=, 02≠β （否则21,αα线性相关） 13123233ββαβk k ++=, 03≠β （否则321,,ααα线性相关） ………………1111,ββαβr r r r r r k k +++=-- , 0≠r β （否则r αα,,1 线性相关） 结论：r βββ,,,21 两两正交且非零⇒r βββ,,,21 线性无关 ⇒r βββ,,,21 是V 的正交基 ⇒令j j j u ββ1=, 则r u u u ,,,21 是V 的标准正交基例12 已知向量空间3V 的基为 )0,0,1,1(1=α, )0,1,0,1(2=α, )1,0,0,1(3-=α 求3V 的一组正交基．解 )0,0,1,1(11==αβ故3V 的一组正交基为321,,βββ． 课后作业：习题四 6, 10, 11, 12。
线性代数教案(正式打印版)
第（1）次课授课时间（）基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式 ,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b ,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab-,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。
同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba-,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式 243122421----=D .(-14)例3. 求解方程094321112=x x （32==x x 或）例4. 解线性方程组 .55730422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-z y x z y x z y x解 先计算系数行列式573411112--=D 069556371210≠-=----+-=第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）1.教学内容：行列式按行（列）展开；2.时间安排：2学时；3.教学方法：讲授与讨论相结合；4.教学手段：黑板讲解与多媒体演示.基本内容备注第六节行列式按行（列）展开定义在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式，称为ij a的余子式，记为ijM；而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即：nnnjnijnjaaaaaaaDΛΛMMMΛΛMMMΛΛ11111=.则：ijijAaD=.证先证简单情形：nnnnnaaaaaaaDΛMMMΛΛ212222111=再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行：()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211Λ按列：()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211Λ证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnnniniinaaaaaaaaaDΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiiiΛΛ=+++=例1：335111243152113------=D.解:例2:21122112----=OOOOnD解:21122112----=OOOOnD2112211121---=+++OOOOΛn rr1+=nDn.从而解得1+=nDn.例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=nnnnnnnxxxxxxxxxDΛΛΛΛΛΛΛΛ()1i jn i jx x≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证用归纳法因为=-==1221211xxxxD()21i ji jx x≥>≥-∏所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n时成立，要证对n时也成立.为此，设法把nD降阶；从第n行开始，后行减去前行的1x倍，有()()()()()()21311221331122222133111111nn nnn n nn nx x x x x xx x x x x x x x xDx x x x x x x x x---------=---LLLL L L LL（按第一列展开，并提出因子1xxi-）第（ 4 ）次课授课时间（）第（5）次课授课时间（）基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表mnmmnnaaaaaaaaaΛΛΛΛΛΛΛ212222111211为nm⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaAΛΛΛΛΛΛΛ212222111211或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯；其中ij a表示A中第i行，第j列的元素。
[理学]线性代数电子教案
理学线性代数电子教案第一章：线性代数概述1.1 线性代数的定义与意义解释线性代数的概念强调线性代数在理学领域的重要性1.2 向量空间与线性算子介绍向量空间的基本概念解释线性算子的概念及其应用1.3 矩阵与线性方程组介绍矩阵的定义与基本运算解线性方程组的方法和技巧第二章：线性方程组的求解2.1 高斯消元法解释高斯消元法的原理与步骤通过例题演示高斯消元法的应用2.2 矩阵的逆介绍矩阵逆的概念与性质讲解矩阵逆的求法及应用2.3 克莱姆法则解释克莱姆法则的原理通过例题演示克莱姆法则的应用第三章：向量空间与线性变换3.1 向量空间介绍向量空间的基本概念讲解向量空间的基本性质与运算3.2 线性变换解释线性变换的概念及其性质讲解线性变换的矩阵表示法3.3 特征值与特征向量介绍特征值与特征向量的概念讲解特征值与特征向量的求法及应用第四章：矩阵的特征值与特征向量4.1 特征值与特征向量的概念解释特征值与特征向量的定义强调特征值与特征向量在解决问题中的重要性4.2 特征值与特征向量的求法讲解特征值与特征向量的求法通过例题演示特征值与特征向量的应用4.3 矩阵的对角化介绍矩阵对角化的概念讲解矩阵对角化的方法及应用第五章：二次型与正定矩阵5.1 二次型的定义与基本性质解释二次型的概念讲解二次型的基本性质5.2 二次型的标准形讲解二次型的标准形的求法通过例题演示二次型的标准形的应用5.3 正定矩阵与二次型的几何意义解释正定矩阵的概念讲解正定矩阵与二次型的几何意义第六章：线性空间与线性映射6.1 线性空间的定义与性质深入探讨线性空间的概念解释线性空间的对称性和基的概念6.2 线性映射介绍线性映射的定义和性质解释线性映射的图像和核6.3 线性变换的谱解释谱的概念探讨谱的性质和线性变换的关系第七章：特征值与特征向量的应用7.1 特征值和特征向量在几何中的应用解释特征值和特征向量在几何中的意义通过实例展示特征值和特征向量在几何中的应用7.2 特征值和特征向量在物理中的应用探讨特征值和特征向量在物理中的运用解释其在量子力学和力学中的应用7.3 特征值和特征向量在其他领域的应用探讨特征值和特征向量在其他学科领域的应用例如在数据压缩和图像处理中的应用第八章：二次型的应用8.1 二次型在几何中的应用解释二次型在几何中的意义通过实例展示二次型在几何中的应用8.2 二次型在物理中的应用探讨二次型在物理中的运用解释其在电磁学和经典力学中的应用8.3 二次型在其他领域的应用探讨二次型在其他学科领域的应用例如在统计学和经济学中的应用第九章：线性代数与其他学科的交叉9.1 线性代数与微分方程的交叉解释线性代数在微分方程中的应用探讨线性代数与微分方程的关系9.2 线性代数与图论的交叉解释线性代数在图论中的应用探讨线性代数与图论的关系9.3 线性代数与其他学科的交叉研究探讨线性代数在其他学科领域的研究例如在生物信息和中的应用第十章：线性代数的进一步研究10.1 线性代数的进一步研究方向介绍线性代数的研究方向和热点问题激发学生对线性代数研究的兴趣10.2 线性代数的现代方法和工具介绍线性代数在现代数学和工程中的应用例如在数值分析和优化方法中的应用10.3 线性代数的展望展望线性代数在未来数学和科学研究中的应用强调线性代数对科学发展的意义重点和难点解析重点环节一：矩阵的定义与基本运算矩阵是线性代数中的核心概念，理解矩阵的定义及其基本运算至关重要。
《线性代数》电子教案-第五章
= arccos
,0
若[, ] = 0, 即 = /2, 则称与正交.
第五章 相似矩阵及二次型
§5.1 向量的内积、长度与正交性
例. 设, Rn, 且与线性无关, 求常数k 使 +k与正交.
பைடு நூலகம்
[ , ] ||||
|| || = ||||cos = ||||
第五章 相似矩阵及二次型
§5.2 特征值与特征向量
三. 性质
性质1. 设A = (aij)nn的特征值为1, …, n, 则 (1) 1 + … + n = tr(A). (2) 1…n = |A|. 推论. A 可逆1, …, n全不为零. 性质2. |E–A| = |E–AT|.
§5.1 向量的内积、长度与正交性
定义：若P是正交阵，则线性变换y=Px成为正交变换。 设y=Px为正交变换，则有如下性质 经正交变换后向量的长度保持不变
y y y
T
x P Px
T T
x x x
T
第五章 相似矩阵及二次型
§5.2 特征值与特征向量
§5.2 特征值与特征向量 一. 定义
第五章 相似矩阵及二次型
§5.1 向量的内积、长度与正交性
3. 对于n维实向量, 称 范数, 记为||||, 即 |||| = 4. 长度的基本性质
[, ] 为 的长度或
[, ]
n = ai2 i =1
(1) 非负性: |||| 0; 且|||| = 0 = ; (2) 齐次性: ||k|| = |k|·|| (kR); ||
x1 + x2 = 0 x1 + x2 = 0
x1 1 (0 k R). =k x2 1 k (0kR). k
大学课程《线性代数》综合练习题集及答案
03D(1)R、；2,用3,>4)=2;向量组的一个极大无关组为、辽，、；4；
：'1 =2(、七亠'：：4),■?23如
(2)R( ：-1^-2, ：-3, ：-4, ：-5) =3；向量组的一个极大无关组为：■1, ：3 >5；
「2=「1：'5,「4 = ：^'：^'：'5 ;
,其中k为任意常数.
当•=1时，有解，解为
(1)当“且•时，方程组有唯一解；
5
<0A
-1
+k
1
丿
当’=1时，其通解为
，其中k为任意实数；
当，二-4时，原方程组无解；
5
广1、
—4
04F (1) C 3, (CER);
7
/ >
2
-22
1
0
+k2
0
15
5
I2」
,(k1,k^R);
(2) k1
J2、
0
十k!
a =b =0时,r (A) =0;当a = b才0时,r( A) =1;
a-'b,且
a-'b,且
a亠(n -1) b =0时,r (A) =n -1;
a • (n _1) b =0时，r(A) =n.
05G
05H
* *
r[(A )]
05K
05M
05O
06A
n ,如果r(A)=n,
0,如果r(A)cn.
011
排列的逆序数为
k2;
当k为偶数时,
排列为偶排列，当k为奇数时，排列为奇排列.
[理学]线性代数电子教案
线性代数电子教案一、引言1.1 课程介绍线性代数的定义和意义电子教案的特点和优势1.2 教学目标了解线性代数的基本概念和运算学会使用电子教案进行自主学习和复习1.3 教学方法讲授与互动相结合自主学习与协作学习相结合二、线性方程组2.1 线性方程组的定义线性方程组的含义和特点线性方程组的表示方法2.2 高斯消元法高斯消元法的原理和步骤高斯消元法的应用实例2.3 矩阵的逆矩阵的逆的定义和性质矩阵的逆的求法三、矩阵及其运算3.1 矩阵的定义矩阵的含义和表示方法矩阵的元素和矩阵的规模3.2 矩阵的运算矩阵的加法和数乘矩阵的乘法3.3 特殊矩阵单位矩阵零矩阵四、线性空间与线性变换4.1 线性空间线性空间的定义和性质线性空间的例子4.2 线性变换线性变换的定义和性质线性变换的表示方法4.3 特征值和特征向量特征值和特征向量的定义特征值和特征向量的求法五、线性代数的应用5.1 线性规划线性规划的定义和特点线性规划的应用实例5.2 最小二乘法最小二乘法的定义和原理最小二乘法的应用实例5.3 线性代数在其他领域的应用线性代数在工程和科学计算中的应用线性代数在计算机科学中的应用六、向量空间与线性映射6.1 向量空间向量空间的定义和性质向量空间的例子6.2 线性映射线性映射的定义和性质线性映射的例子6.3 线性映射的矩阵表示线性映射矩阵的定义线性映射矩阵的求法七、行列式及其应用7.1 行列式的定义行列式的概念和计算行列式的性质7.2 行列式的计算方法按行(列)展开计算行列式利用矩阵的性质计算行列式7.3 行列式的应用求解线性方程组判断线性方程组的解的情况八、特征值与特征向量8.1 特征值和特征向量的定义特征值和特征向量的概念特征值和特征向量的求法8.2 特征值和特征向量的应用简化线性变换解决线性方程组的特殊情况8.3 特征多项式及特征值和特征向量的求解特征多项式的定义和性质特征值和特征向量的求解方法九、二次型9.1 二次型的定义和标准形二次型的概念和性质二次型的标准形9.2 二次型的配方法和惯性定理二次型的配方法惯性定理的定义和应用9.3 二次型的判定定理和最小二乘法二次型的判定定理最小二乘法的应用十、线性代数的进一步应用10.1 线性代数在工程中的应用线性代数在结构力学中的应用线性代数在电路分析中的应用10.2 线性代数在计算机科学中的应用线性代数在图像处理中的应用线性代数在机器学习中的应用10.3 线性代数在其他科学领域中的应用线性代数在物理学中的应用线性代数在生物学中的应用十一、线性代数的软件工具11.1 MATLAB简介MATLAB的安装与使用MATLAB在线性代数中的应用实例11.2 Python与NumPy库Python语言简介NumPy库在线性代数中的应用实例11.3 其他线性代数软件工具Mathematica简介Maple简介十二、线性代数的证明与推导12.1 逻辑与证明基础命题与定理证明的方法与技巧12.2 线性代数的证明方法矩阵运算的证明线性空间与线性变换的证明12.3 线性代数的重要定理与推导克莱姆法则的证明特征值与特征向量的性质证明十三、线性代数的案例分析13.1 线性代数在经济学中的应用线性规划模型的建立与分析最小二乘法在数据分析中的应用13.2 线性代数在生物学中的应用种群动力学的线性模型基因表达数据的线性分析13.3 线性代数在其他领域的案例分析线性代数在通信系统中的应用线性代数在化学工程中的应用十四、线性代数的学习策略与技巧14.1 学习线性代数的方法基础知识的学习实践与应用相结合的学习14.2 线性代数的解题技巧题目的分析与策略解题步骤与方法14.3 线性代数的复习与考试技巧复习计划的制定考试策略与时间管理十五、总结与展望15.1 线性代数的重要性和应用领域线性代数在科学研究中的作用线性代数在工程技术中的应用15.2 线性代数的发展趋势线性代数与其他学科的融合线性代数在新的领域的应用15.3 对未来学习的展望深入研究线性代数的意义持续学习与探索的态度重点和难点解析本文档为您提供了一整套完整的线性代数电子教案，涵盖了线性代数的主要知识点和应用领域。
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线性代数综合练习题时间：120分钟一、选择题（每小题3分，共15分）:1．设A 是三阶矩阵，将A 的第一列与第二列交换得B ，再把B 的第二列加到第三列得C ，则满足AQ=C 的可逆矩阵Q 为（ ）。
（A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101001010； （B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100101010； （C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110001010； （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001110。
2．设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有（ ）。
（A ）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （B ）A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关； （C ）A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关； （D ）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关。
3．下列向量集按R n 的加法和数乘构成R 上一个线性空间的是（ ）。
（A ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量； （B ）R n 中，坐标是整数的所有向量；（C ）R n 中，坐标满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量；（D ）R n 中，坐标满足x 1=1，x 2，…， x n 可取任意实数的所有向量。
4．设λ=2是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵（31A 2）-1有一个特征值等于（ ）。
（A ）34； （B ）43； （C ）21； （D ）41。
5．任一个n 阶矩阵，都存在对角矩阵与它（ ）。
（A ）合同； （B ）相似； （C ）等价； （D ）以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）1．设矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100021012，矩阵B 满足：ABA *=2BA *+E ，其中A *为A 的伴随矩阵，E 是三阶单位矩阵，则|B|= 。
2．已知线性方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+21232121a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛031321x x x 无解，则a = 。
3．若A=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100021021b a 为正交矩阵，则a = ，b = 。
4．设A 为n 阶矩阵，且|A|≠0，A *为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵。
若A 有特征值λ，则（A *）2+E 必有特征值 。
5．若二次型f = 2x 12+x 22+x 32+2 x 1 x 2+t x 2 x 3是正定的，则t 的取值范围是。
三、（15分）设有齐次线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++0)4(44403)3(33022)2(20)1(4321432143214321x a x x x x x a x x x x x a x x x x x a 试问a 取何值时，该方程组有非零解？并用一基础解系表示出全部的解。
四、（10分）设R 3的两组基为：T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ξξξ和T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===ηηη，向量α=（2，3，3）T（1）求基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵； （2）求α关于这两组基的坐标。
五、（15分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为λ1 = -2，λ2 = 1（2重），α1=（1，1，1）T 是属于λ1 = -2的特征向量。
试求：（1）属于λ2 = 1（2重）的特征向量； （2）A 的伴随矩阵A *。
六、（10分）设二次型323121232221222x bx x x x ax x x x f +++++=通过正交变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y P x x x 化为：23222y y f +=，求a 、b 。
七、（10分）已知A ，B 为n 阶可逆方阵，且满足2A -1B=B-4E ，其中E 是n 阶单位矩阵，试证：A-2E 可逆。
并求出（A-2E ）-1=？八、（10分）设A 为n 阶矩阵，且1,1)(2211=+⋯++-=nn A A A n A r ，其中ii A 是A 中元素ii a 的代数余子式（i =1，2，…，n ）。
试证：A 的伴随矩阵A *的特征值是0和1，并说明各个特征值的重数。
线性代数综合练习参考答案一、选择题：1．（D ）；2（A ）；3．（A ）；4．（B ）；5．C ）； 二、填空题：1．91；2．-1；3． ±21，μ21；4．1||2+⎪⎭⎫ ⎝⎛λA ；5．-22<<t三、解：A=B a a a a a a aa a a a =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++00400300211114444333322221111行 （1）当a =0时，r(A)=1<4，故齐次线性方程组有非零解，其同解方程组为：x 1+x 2+x 3+ x 4=0由此得一基础解系为：TT Ty y y )1,0,0,1()0,1,0,1()0,0,1,1(321-=-=-=， 故全部解为：332211y C y C y C X ++= （其中321,,C C C 为任意常数）……（7分）（2）当a ≠0时，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---+→100401030012000101004010300121111a a B 当a =-10时，r （A ）=3<4，故齐次线性方程组也有非零解，其同解方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-040302413121x xx x x x ，解之，可得一个基础解系为： y=（1，2，3，4）T ，故全部解为：X=ky （其中k 为任意常数）……（15分）备注：此题也可另解 ∵|A|=（a +10）a 3∴当|A|=0时，即a =0或a =-10时，齐次线性方程组有无穷解。
四、解：（1）记B=（321,,ξξξ）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101110011，C=（321,,ηηη）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121211111则有：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112110010210100121001121101211110111011 从而，由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵为：A=B -1C=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡112110210121………………………（5分） （2）设α关于基321,,ηηη的坐标为（321,,y y y ）即：0332211=++ηηηy y y由此可得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++32322321321321yy y y y y y y y ，解之得：1,1,0321===y y y ， 故α关于基321,,ηηη的坐标为（0，1，1），又∵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y A x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡112110210121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡211110即α关于基321,,ξξξ的坐标为（1，1，2）…………………………（10分） 五、解：（1）设A 的属于特征值λ2=1（2重）的特征向量为（x 1，x 2，x 3）T ， 则∵A 是实对称矩阵，∴（x 1，x 2，x 3）T 与α1正交，即有：（x 1，x 2，x 3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111=0， 也即：x 1+x 2+x 3=0， 解之：α2=（-1，1，0）Tα3=（-1，0，1）T∴A 的属于λ2=1的全部特征向量为：k 1α2+ k 2α3（k 1，k 2不同时为0）………………（5分）（2） ∵A *=|A|A -1∴A *的特征值为：|A|·（-21），|A|·1（2重） 又∵|A|=-2∴A *的特征值为：1，-2（2重）………………………………（10分）A *（α1，α2，α3）=（α1，α2，α3）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--221A *=（α1，α2，α3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--200020001（α1，α2，α3）-1 =1101011111200020001101011111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-- =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--323131313231313131200020001101011111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3333333333121112111120102122131 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---111111111……………………………………………（15分） 六、解：f 的正交变换前后的矩阵分别为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111b b a a A 和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000B于是，A 、B 相似，从而有相同的特征多项式即：|λE-A|=|λE-B|…………（5分）也即：λ3-3λ2+（2-a 2-b 2）λ+（a -b ）2=λ3-3λ2+2λ，比较上式等号两边的λ各幂次项系数有：⎩⎨⎧=--=-220)(222b a b a ∴⎩⎨⎧==00b a ………………………………………………………（10分）七、证明：∵2A -1B=B-4E左乘A ，得：2B=AB-4A …………………………………………（5分） 即：AB-2B-4A=0 ∴（A-2E ）（B-4E ）=8E 故A-2E 可逆，且（A-2E ）-1=81（B-4E ）……………………………………（10分）八、证明：∵r （A ）=n-1∴r （A *）=1………………………………………………………（2分）又∵齐次线性方程组（0E-A *）X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量， ∴0是A *的特征值，其重数不小于n-1…………………………………（5分） 另外，tr （A *）= A 11+A 22+…A nn=λ1+λ2+…λn-1+λn=1…………………………………………………………（8分）故有：1是A *的单特征值；0是A *的n-1重特征值。
………………………………………（10分）。