线性代数综合练习zhongkai

线性代数综合练习一. 填空题1. 1.设,1352132411115312-=A 1352132*********-=B 则41424344A A A A +++= ，=+++44434241B B B B 。

41424344423A A A A +++= ，41424344235B B B B +-+= 。

详解： 41424344A A A A +++=414243441111A A A A ⨯+⨯+⨯+⨯21351111042311111-==4142434421351111423042314231A A A A -+++== 4142434421351112235042312135B B B B -+-+==- 2.设行列式2235007022220403--=D 则第4行各元素代数余子式之和为 。

4142434424232135213511120001423142311111111121321321(1)423009(1)9911111111B B B B ++--+++==--=-==-⨯=-详解：4142434430402222007001111A A A A +++==- 3、设A 的特征值为：1，─2，3，则2A 的特征值是1A -的特征值 详解： 2，─4，611123-，，4、正交矩阵A 的行列式的绝对值等于 1 解答：对，,(,)()()0,0T T T T T T T A A A A A A A A A E αλαααααααααααααα=⇒=====>≠22,(,)(,)(,)T A A A αλαααλαλαλααλαα=⇒=== 21λ∴= 二. 选择题1. 设1200221011011k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则k =(A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4 详解：选Ａ .2. 设A =2145⎛⎫ ⎪⎝⎭，0319B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭则AB =(A) 18； (B) 18-； (C) 13 ； (D) 15. 详解：B3. 设非齐次线性方程组Ax = b ，其中A m ⨯n 且R(A )=m<n ，则(A) 方程组Ax = b 仅有唯一解. (B) 方程组Ax = b 仅有零解. (C) 方程组Ax = b 有无穷多解. (D) 方程组Ax = b 无解. 详解：选C;4．设A 是n 阶可逆阵，λ是非零常数，则下列等式错误的是(A) ()T T A A λλ=； (B) 111()A A λλ---=； (C) A A λλ=； (D) 1*A A A -= 详解：选C5．若1A =，则n 阶方阵A 的秩是(A) 2 (B) 1； (C) n ； (D) 不能确定 详解：选C6．已知x ),0,2,5,1(),9,7,5,3(-==βα满足23X αβ+=,则X =(A)1(7,5,4,6)3----； (B) 1(7,5,12,18)3----；(C)(7,5,4,6)----； (D) (7,5,12,18)---- 详解：选B7．行列式30453221--中元素2-的代数余子式等于 (A) 9-； (B) 9； (C) 29-； (D) 29 详解：选D8．设A 为n 阶方阵，如果T AA O =，则A =(A) T A ； (B) A ； (C) E ； (D) O 详解：选D9．设,A B 均为n 阶方阵，下列各式正确的是：(A) 22()()A B A B A B +-=-； (B) 222()2A B A AB B +=++； (C) ()A B C BA CA +=+； (D) ()A B C AB AC +=+ 详解：选D10. 设A =101λ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则3A =(A) 101λ⎛⎫ ⎪-⎝⎭ ； (B)1021λ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (C) 1031λ⎛⎫ ⎪⎝⎭； (D) 101λ⎛⎫ ⎪⎝⎭详解：选C11．设A 是n 阶可逆阵，λ是非零常数，则(A) ()T T A A λλ=； (B) 11()A A λλ--=；(C) A A λλ=； (D) 1*A A -= 详解：选A12．齐次线性方程组(1)203(2)0x y x y λλ--=⎧⎨-+-=⎩ 存在非零解，则λ =(A) 1,4- ； (B) 2,3-； (C) 1,4； (D) 2,3-13．设四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3，已知123,,ηηη是它的三个解向量，则该方程组的通解为(A) 2312ηηη+- (B) 2311(2)k ηηηη+-+ (C) 2311(2)k ηηηη+-+ (D) 1k η 详解：选C14．设非齐次线性方程组Ax b =，其中m n A ⨯且()R A r =，()R A b R = ，则 (A) r = m 时方程组Ax b =无解； (B) m = n 时方程组Ax b =有无穷多解； (C) r = R = n 时方程组Ax b =有唯一解；(D) r = n 时方程组Ax b =有唯一解. 详解：选C15．向量组α= (1，1，1)T ，β= (1，2，3)T ，γ= (1，3，6)T 的秩等于 (A) 1； (B) 2； (C) 3； (D) 4 详解：选C16．若2A =，则3阶方阵A 的秩等于(A) 3 (B) 2； (C) n ； (D) 不能确定 详解：选A17．设A ，B 是n 阶方阵，则(A) A B A B +=+ (B) A B A B -=- (C) AB BA = (D)AB BA =详解：选C18．已知向量组α= (1，1，1)T ，β= (1，2，3)T ，γ= (1，3，t )T 的秩是2，则t =(A) 1 (B) 3； (C) 5； (D) 7 详解：选C19. A 满足2A －2A ＋E ＝0则A 逆（）A 不存在;B E;C (2E －A);D (A －2E) 详解：由定义选C20. .如果0333231232221131211≠=a a a a a a a a a D ，则=------=333323133232221231312111434343a a a a a a a a a a a a M 。

A.D 3- B.D 4-C.D 12-D.T D 4-21 .行列式D 非零的充分条件是 。

A.D 所有元素都不为零B.至少有n n -2个元素不为零C.D 的任意两列元素之间不成比例D.以D 为系数行列式的线性方程组有唯一解 详解：选D22.设非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+12120z y kx z ky x z kx有唯一解，则 。

A.0≠kB.1-≠kC.2≠kD.2-≠k 详解：选C23. 对于同一n 阶矩阵A ,关于非齐次线性方程组=Ax b (≠0b )和齐次线性方程组=0Ax ,下列说法中正确的是 ( )(A ) =0Ax 无非零解时,=Ax b 无解 (B ) =0Ax 有无穷多解时,=Ax b 有无穷多解 (C ) =Ax b 无解时,=0Ax 无非零解 (D ) =Ax b 有唯一解时,=0Ax 只有零解 详解：选D24. 设12,αα是齐次线性方程组=0Ax 的两个解向量,12,ββ是非齐次线性方程组=Ax b 的两个解向量,则 ( )(A ) 12+αα是=Ax b 的解 (B ) 11+αβ是=0Ax 的解 (C ) 12-ββ是=0Ax 的解 (D ) 11-αβ是=Ax b 的解 详解：选C25. 设123,,ααα都是非齐次线性方程组=Ax b 的解向量,若123()k +-ααα是导出组 AX=0的解向量,则k = ( )(A ) 3 (B ) 2 (C ) 1 (D ) 0 详解：选B,对式子左乘一个Ａ后，令其等于零，即可得26. 方程组1231233202640x x x x x x -+=⎧⎨-+-=⎩的基础解系由几个解向量组成?( )(A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 详解：选D ，3-1＝227. 已知A 是96⨯矩阵,齐次线性方程组=0Ax 有4个自由变量,则 秩(A )= ( )(A ) 2 (B ) 3 (C ) 4 (D ) 5 详解：选A ，自由变量的个数与秩之和等于未知数的个数28. 设n 元线性方程组=Ax b 的增广矩阵为()A b ,秩(A )1r =,秩()A b 2r =,问:在下列何种情况下,方程组必定有解( )(A ) 1r n = (B ) 2r n = (C ) 12r r = (D ) 12,r n r n << 详解：选C ，此为有解的充要条件29. 设A 是108⨯矩阵,秩(A )r =,则齐次线性方程=0Ax 有非零解的充分必要条件是 ( )(A ) 8r < (B ) 810r ≤≤ (C ) 10r < (D ) 0=A 解：选A ，有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于方程组中未知数的个数30 若方程组12323232132(3)712x x x x x x λλλλλ⎧-+=-⎪-+=-⎨⎪-=-+⎩有无穷多解,则λ=( )(A ) 1 (B ) 2 (C ) 3 (D ) 4 详解：选C ，满秩⇔行列式不为零⇔AX=0只有零解⇔AX=b 有唯一解，当系数矩阵的秩小于3时，即系数矩阵的行列式等于零，31设线性方程组=Ax b 的增广矩阵经初等行变换化为()→A b 202301000a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则此方程组 ( )(A ) 有唯一解或有无穷多解 (B ) 一定有无穷多解 (C ) 可能无解 (D ) 一定无解详解：选D ，当a=0，时第三个方程为矛盾，当不等于零时，第二个为矛盾方程 32. 对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换,如果能将某一行的全部元素变为0,则该方程组 ( )(A ) 有唯一解 (B ) 无解 (C ) 有无穷解 (D ) 有多余方程 详解：选D ，33、设n 阶矩阵A 的行列式为A ,则kA (k 为常数)的行列式为( )(A).;(B);(C).;(D).n k A k A k A k A -详解：选B ，参阅行列式的性质34、线性方程组123232320042000222006x x x x x x x ++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩一定( )(A)有无穷多解 (B)有唯一解 (C)只有零解 (D).无解 详解：选D ，35、线性方程组123232320042000222006x x x x x x x ++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩一定( )(A)有无穷多解 (B)有唯一解 (C)只有零解 (D).无解详解：选D 方程一和方程三为矛盾方程36、设向量组,,αβγ线性无关，则关于向量组,,αββγγα+++，下列说法正确的是：（ ）A 、线性无关B 、线性相关C 、无法判断D 、秩为2详解：选A,注意,因为变换矩阵的行列式不为零,所以秩相同37、设四元非齐次线性方程组AX=b 的三个解分别为：123212090,,091490ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又知R(A)=2，则此方程级的通解为： （ ） A 、1212212090,(,)091490X k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B 、1212102900,(,)910544X k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 、1212221009,(,)019409X k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D 、1212122900,(,)910904X k k k k R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭详解：选B,非齐次的两个解之差为对应齐次方程组的解，先作两个差，作为基，再加上其中一个作为特解38、设有向量组123126041,,001000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则向量组的秩为：（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 详解：选C39．若1A =，则n 阶方阵A 的秩是（ ）(A) 2 (B) 1； (C) n ； (D) 不能确定 详解：选C, 满秩⇔行列式不为零⇔AX=0只有零解⇔AX=b 有唯一解40、行列式30453221--中元素1的代数余子式等于：（ ） A 、4 B 、－4 C 、8 D 、0详解：选D, 3330(1)050+--= 41、设1231231222005522200610542007x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，则方程组：（ ）A 、无解B 、有无穷多解C 、只有零解D 、有唯一的非零解 详解：选D, 因系数矩阵的行列式不为零,所以只有零解42、设000x y z x y z x y z λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，问λ为下列哪种情况下有非零解：（ ）A 、只有当1λ=B 、只有当2λ=-C 、只有当1,2λλ≠≠-D 、当1λ=或2λ=-详解：选D,只有满足此条件,系数矩阵的行列式才为零,才有非零解43、设A 为n 阶方阵，如果线性方程组AX=b 有唯一解，则下列说法不正确的是（ ）A 、|A|＝0;B 、|A|不为零;C 、A 可逆D 、R(A)＝n 详解：选A, 有唯一解的充要条件是系数矩阵的秩等于未知数的个数44、21200110kk=-的充分条件是： （ ） A 、k = 2; B 、k = 0; C 、k =-2 D 、k = 3详解：选C45、如果1112131111121321222321212223313233313132334231,423(),423a a a a a a aD a a a D a a a aa a a a a a a-===-=-的充分条件是：（）A、k = 2;B、k = 0;C、k =-2D、k = 3详解：选C46、如果A为三阶矩阵，|A|＝a ≠0，*A为A的伴随矩阵，那么|*A|＝（）A、1a; B、a; C、2a; D、3a详解：因为***||,||nAA A E AA A E A A A=⇒=⇒=，三阶时*3*2a A a A a=⇒=，所以选C47、设A，B是n阶方阵，则（）A、A或B可逆，必有AB可逆;B、A或B不可逆，必有AB不可逆;C、A和B都可逆，必有A＋B可逆;D、A和B都不可逆，必有A＋B不可逆;详解：A、A或B可逆(即其中之一可逆,若另一矩阵的秩小于n)，不一定有AB 可逆，R(AB)≤min{R(A),R(B)}<n,所以AB不一定可逆B、A或B不可逆(即其中之一不可逆,即其秩小于n)，R(AB)≤min{R(A),R(B)}<n,所以AB不一定可逆C、A和B都可逆，如单位矩阵E与-E都可逆，但必有E＋（-E）不可逆;D、A和B都不可逆，100000100010,000,010000001001A B A B⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==+=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;A，B都不可逆，但A+B可逆。