001011[线性代数] 天津大学机考题库答案
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
线性代数参考答案(部分)
解：将行列式按第一列展开得
Dn = x (−1)1+1
x 0 0
y x 0
0 y 0
L L L
0 0 x
L L L L L
+ y (−1) n +1
y x 0
0 y 0
L L L
0 0 x
0 0 y
L L L L L
= x n + ( −1) n +1 y n
说明：请注意这种形式的行列式！ 2. 含参数行列式的计算
x
yபைடு நூலகம்
0
L
0
0
0 x y L 0 0 Dn = L L L L L L 0 y 0 0 0 0
3
L L
x 0
y x
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1+ a 1 1 1 a + 10 a + 10 a + 10 a + 10 2 2+a 2 2 2 2+a 2 2 解： D4 = = 3 3 3+ a 3 3 3 3+ a 3 4 4 4 4+a 4 4 4 4+a
= ( a + 10) 1 1 2 2+a 3 4
3
1 2 3+ a 4
1 2 3 4+a
−2 λ +1 −2
2 λ +3
1 1
−2 −2
2 −k λ +3
=
k −4
− k = (λ − 1) 0 λ + 1
= (λ − 1) 0 λ + 1
天津大学线性代数答案
x4 , x1 1 1 x2 2 2 x4 , x 1 1 x , 3 2 2 4
故方程组的全部解为
[ x1 , x2 , x3 , x4 ]T [0, 1 , 1 ,0]T k[ 1, 1 , 1 ,1]T , k P . 2 2 2 2
(3) 对方程组的系数矩阵作初等行变换，有
3 1 2 1 0 2 . 有限次 A 1 2 4 初等行变换 0 1 1 3 8 2 0 0 0
) 2 3 ，所以方程组有无穷多解. 其同解方程组为 由于 r ( R) r ( R
0 0 3 2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0 r2 r1 0 r4 2 r3 3 1 1
0
1 1 7 3
0 0 2 0
0 1 0 1 3 0 1 0
0 0 0
0 0 1 0 0 1 0 1
2 1
0 0 0 2
习 题 一
1/4
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3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 2 r2 2 r1 1、解 (1) [ A, E3 ] 2 2 1 0 1 0 r3 3r1 0 2 5 2 1 0 3 4 3 0 0 1 0 2 6 3 0 1 1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 3 2 r 2 r 1 3 0 2 0 3 6 5 r2 5 r3 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
天津大学2021年《线性代数》期末试题A及答案
一、填空题（共75 分每空3分）1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3 1 10 2 10 0 1A ，则=-A - 6 ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-11/3 1/6- 1/6 - 0 1/2 2/10 0 1 1A ，=2A 36 .2．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2 10 23 22102111 0 0010101,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12 58 54 1 3 224 3 2 1.3．行列式6 3 3 2 12 1 1 1 = 18 ，行列式=22 02- 1 000 2____12_______. 4． 两个向量)1 ,2 ,1(),0 ,1 ,1(21='='αα的内积为： 3 ， 夹角为：6/π; 把21αα，用施密特正交化方法得: 0,2/1,2/1 '211）（，-==βαβ5．若向量)3,2(),2,1(),7,4(21='='='ααβ，则β用21,αα组合的表达式是212ααβ+=.6．向量组)3,1,3('),0 ,1 ,0(),1 , 1- ,1(),0 ,0 ,2(4321=='='='αααα的线性相关性为： 线性相关，它的秩是 3 .7．已知向量组α1=(1,0,0),α2=(2,5,2),α3=(1,5,k)线性相关,则k =___2__________. 8．若3阶方阵A 的三个根分别是1，2，3，则 方阵A 的行列式6=A9． 设矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0 00000 101000101，则矩阵A 的秩为 2 ，线性方程组OX A =的基础解系的向量个数为 3 . 10．给定线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=++232132132111λλλλx x x x x x x x x ）（,得分则：当λ≠1且λ≠0 时，方程组有唯一解；当λ= 1 时方程组有无穷解； 当λ= 0 时方程组无解.11．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1 0 11 2 100 2A 的特征值为： 2 、1，对应于特征值1=λ的特征向量为：0,110≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅k k .12． 设A 设方阵A 满足E A A =',则=A ____1±________.13．二次型23322221213212222),,(x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵的系数矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2 1 01 2 10 1 1A ，该二次型为 正 定二次型.二、计算题（共5分）设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 112, 求矩阵X, 使E A AX 2+= 解 由AX = A +2E 得)2(1E A A X +=- 2’()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5 2- 1 02- 3 0 1~3 1 1 11 4 12 2 E A A 3’ 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5 2-2-3 X三、计算题（共6 分）已知向量组.1222,1343,1121,11114321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=＝ ＝ ＝ αααα业:……线……………………………………得分得分求向量组4321αααα，，，的一组极大线性无关组,并把其余向量用此组向量表示出来.解 ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0 0 0 01 0 0 00 1 1 0 0 2 0 1~1 1- 1 1-2 3 1 12 4 2 1 2 3 1 14321r αααα，，，由此可知, 421,ααα，为一组极大线性无关向量组, 2132ααα+=四、计算题（共6 分）求非齐次线性方程组⎩⎨⎧=-+--=+--222243214321x x x x x x x x 的通解．解 增广矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2 1- 1 0 00 0 0 1- 1~2 1- 1 222- 1111r B 2’还原成线性方程组⎩⎨⎧+==24321x x x x 1’可得方程组通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020011000011214321c c x x x x ,21,c c 为任意常数. 2’五、限选题（共8分）（经管类学生可选做第1、2小题中的一题，理工类学生仅限做第2小题）(1) (理工类学生不做此小题)已知二次型312322212)(x x x x x x f -++=， a ） 出二次型所对应的矩阵Ab ）用配方法将二次型化为标准型， C)写出相应的可逆线性变换矩阵。
2010-2011天津科技大学线性代数答案pdf版解读
2 1. 2 x12 − 6 x3 + 2 x1 x2 − 6 x1 x3 + 8 x2 x3 ；2. 2 2 − x12 + 3x2 + 2 x3 + 2 5 x1 x2 −4 x2 x3 . 二．计算题⎛⎜0 ⎜ 3 解：(1 二次型 f 的矩阵为 A = ⎜⎜2 ⎜⎜ −3 ⎜⎝⎛3 ⎜2 0 ⎜ 3 A→⎜0 ⎜ 2 ⎜⎜0 −1 ⎜ 2 ⎝⎛ −5 ⎜⎜0 ⎜ (2 二次型 f 的矩阵为 A = ⎜⎜0 ⎜⎜⎜0 ⎝⎛ −5 0 ⎜⎜0 1 ⎜ 2 A→⎜⎜0 0 ⎜⎜0 0 ⎝ 0 ⎞ −3 ⎟⎟ 1 0 − ⎟，对其施行初等行变换，得 2⎟⎟ 1 − −3 ⎟⎟ 2 ⎠ 1⎞ − ⎟ 1⎞⎛3 2 0 − ⎟⎟⎜ 2 2 ⎟， r ( A = 3 ，故 f 的秩为3. −3 ⎟ → ⎜⎟⎜ 0 1 −2 ⎟⎟⎜⎟⎝ 0 0 −5 ⎠ −4 ⎟⎟⎠ 3 2 0 1 2 0 ⎞⎟ 5 − ⎟ 0 2⎟⎟，对其施行初等行变换，得1 2 −5 ⎟ 2 ⎟⎟ 5 − −5 0 ⎟⎠ 2 0 0 ⎞⎛ −5 0 0 0 ⎞⎟⎜⎟ 1 2 −5 ⎟⎜ 0 2 −5 ⎟⎟⎜⎟ 2 ， r ( A = 3 ，故 f 的秩为 3. → 1 5⎟⎜ 1 5⎟ − ⎟⎜0 0 − ⎟ 2 2⎟⎜ 2 2⎟⎜0 0 0 0 ⎟ 5 −25 ⎟⎠⎠⎝天津科技大学线性代数检测题 5-2 参考答案一．填空题 1. n ；2 2. y12 − y2 ；2 2 3. λ1 y12 + λ2 y2 + λ3 y3 . 二．选择题 1. (A； 2. (C ； 3. (A. 三．计算题⎛2 1⎞ λ − 2 −1 1. 解：二次型 f 的矩阵为 A = ⎜⎟，由λ E − A = −1 λ − 2 = (λ − 1(λ − 3 ，知特征值为λ1 =1 ，⎝1 2⎠2 λ2 =3 ，故二次型 f 的标准形为 f = y12 + 3 y2 . ⎛ −1 −1⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎛ −1⎞对于λ = λ1 = 1 ，解方程组( E − A X = 0 ，即⎜⎟⎜⎟ = ⎜⎟，得到特征向量 p2 = ⎜⎟；⎝ −1 −1⎠⎝ x2 ⎠⎝ 0 ⎠⎝1⎠⎛ 1 −1⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎛ 1⎞对于λ = λ2 = 3 ，解方程组(3 E − A X = 0 ，即⎜⎟⎜⎟ = ⎜⎟，得到特征向量 p2 = ⎜⎟ . ⎝ −1 1 ⎠⎝ x2 ⎠⎝ 0 ⎠⎝ 1⎠单位化，得 e1 = 1 ⎛ −1⎞ 1 ⎛ 1⎞⎜⎟， e2 = ⎜⎟. 1 2⎝⎠ 2 ⎝ 1⎠ 16⎛ 1 ⎜− 2 令P =⎜⎜ 1 ⎜⎝ 2 1 ⎞⎛ 1 − ⎟⎛ x1 ⎞⎜ 2⎟ 2 ⎜，则所求正交变换为 X = PY 即⎜⎟ = 1 ⎟⎝ x2 ⎠⎜ 1 ⎟⎜ 2⎠⎝ 2 1 ⎞⎟ 2 ⎟⎛ y1 ⎞⎜⎟ . 1 ⎟⎝ y2 ⎠⎟ 2⎠⎛ 2 0 0⎞ λ −2 0 0 ⎟，由 = 2. 解：二次型 f 的矩阵为 A = ⎜ λ 0 − 1 − 1 = (λ − 2 2 λ ，知特征值为λE − A ⎜0 1 1⎟⎜0 1 1⎟ 0 −1 λ − 1 ⎝⎠ 2 λ1 = λ2 =2 ，λ3 = 0 ，故二次型 f 的标准形为 f = 2 y12 + 2 y2 . ⎛1⎞⎛ 0⎞⎛ 0 0 0 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟对于λ = 2 ，解方程组(2 E − A X = 0 ，即⎜ 0 1 −1⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟，得到特征向量 p1 = ⎜ 0 ⎟， p2 = ⎜ 1 ⎟；⎜ 0 −1 1 ⎟⎜ x ⎟⎜ 0 ⎟⎜ 0⎟⎜1⎟⎝⎠⎝ 3 ⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛0⎞⎛ −2 0 0 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎟⎜ x ⎟ = ⎜⎟，得到特征向量 p = ⎜ −1⎟ . 对于λ = 0 ，解方程组− AX = 0 ，即⎜ 3 ⎜⎟⎜ 0 −1 −1⎟⎜ 2 ⎟⎜ 0 ⎟⎜ 0 −1 −1⎟⎜ x ⎟⎜ 0 ⎟⎜1⎟⎝⎠⎝ 3 ⎠⎝⎠⎝⎠⎛0⎞⎛0⎞ 1⎜⎟ 1 ⎜⎟标准正交化，得 e1 = p1 ，e2 = −1⎟ . 1 ⎟， e3 = 2⎜ 2⎜⎜1⎟⎜1⎟⎝⎠⎝⎠⎛1 ⎜⎜0 令P =⎜⎜⎜0 ⎜⎝ 0 ⎞⎛1 ⎜⎟ x ⎛⎞ 1 ⎟ 1 ⎜ − ⎜⎟ 0 2 2 ⎟，则所求正交变换为 X = PY 即⎜ x2 ⎟ = ⎜⎟⎜x ⎟⎜ 1 1 ⎟⎝ 3 ⎠⎜0 ⎜⎟ 2 2 ⎠⎝ 0 1 0 1 2 1 2 0 ⎞⎟ 1 ⎟⎛ y1 ⎞ − ⎜⎟ 2 ⎟⎜ y2 ⎟ . ⎟⎟ 1 ⎟⎜⎝ y3 ⎠⎟ 2 ⎠⎛3 0 0⎞ λ −3 0 0 ⎜⎟ 3. 解：二次型 f 的矩阵为 A = ⎜ 0 2 1 ⎟，由λ E − A = 0 λ − 2 −1 = (λ − 3 2 (λ − 1 ，知特征值为⎜ 0 1 2⎟ −1 λ − 2 0 ⎝⎠ 2 2 λ1 = λ2 = 3 ，λ3 = 1 ，故二次型 f 的标准形为 f = 3 y12 + 3 y2 . + y3 ⎛1⎞⎛ 0⎞⎛ 0 0 0 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟对于λ = 3 ，解方程组(3 E − A X = 0 ，即⎜ 0 1 −1⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟，得到特征向量 p1 = ⎜ 0 ⎟， p2 = ⎜ 1 ⎟；⎜ 0 −1 1 ⎟⎜ x ⎟⎜ 0 ⎟⎜ 0⎟⎜1⎟⎝⎠⎝ 3 ⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛0⎞⎛ −2 0 0 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟对于λ = 1 ，解方程组( E − A X = 0 ，即⎜ 0 −1 −1⎟⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟，得到特征向量 p3 = ⎜ −1⎟ . ⎜ 0 −1 −1⎟⎜ x ⎟⎜ 0 ⎟⎜1⎟⎝⎠⎝ 3 ⎠⎝⎠⎝⎠⎛0⎞⎛0⎞ 1 ⎜⎟ 1 ⎜⎟标准正交化，得 e1 = p1 ， e2 = 1 ⎟，e3 = −1⎟ . 2⎜ 2⎜⎜1⎟⎜1⎟⎝⎠⎝⎠⎛1 ⎜⎜0 令P =⎜⎜⎜0 ⎜⎝ 0 ⎞⎛1 ⎟ x ⎛ 1⎞⎜ 1 ⎟ − ⎜⎟⎜0 2 2 ⎟，则所求正交变换为 X = PY 即⎜ x2 ⎟ = ⎜⎟⎜x ⎟⎜ 1 1 ⎟⎝ 3 ⎠⎜0 ⎜⎟ 2 2 ⎠⎝ 0 1 0 1 2 1 2 0 ⎞⎟ 1 ⎟⎛ y1 ⎞ − ⎜⎟ 2 ⎟⎜ y2 ⎟ . ⎟⎟ 1 ⎟⎜⎝ y3 ⎠⎟ 2 ⎠天津科技大学线性代数自测题 5 参考答案 17一．填空题 1. 0 ； 2. 2 . 二．选择题 1. (C. 三．计算题⎛ 6 12 ⎞ λ − 6 −12 = (λ + 10(λ − 15 ， 1. 解：二次型 f 的矩阵为 A = ⎜由λE − A = 知特征值为λ1 = −10 ，⎟，−12 λ + 1 − 12 1 ⎝⎠ 2 λ2 = 15 ，故二次型 f 的标准形为f = −10 y12 + 15 y2 . ⎛3⎞⎛ −16 −12 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜− 4⎟； p = = 对于λ = −10 ，解方程组(−10 E − A X = 0 ，即⎜，得到特征向量⎟⎜⎟⎜⎟ 1 ⎜⎜ 1 ⎟⎟⎝ −12 −9 ⎠⎝ x2 ⎠⎝ 0 ⎠⎝⎠⎛4⎞⎛ 9 −12 ⎞⎛ x1 ⎞⎛ 0 ⎞⎜ 3⎟. = p = 对于λ = 15 ，解方程组(15 E − A X = 0 ，即⎜，得到特征向量⎟⎜⎟⎜⎟ 2 ⎜ x − 12 16 0 ⎜1⎟⎟⎝⎠⎝ 2 ⎠⎝⎠⎝⎠⎛3 ⎜− 5 − 3 4 1⎛⎞ 1⎛⎞单位化，得 e1 = ⎜⎟， e2 = ⎜⎟ . 令 P = ⎜ 5⎝ 4 ⎠ 5 ⎝3⎠⎜ 4 ⎜⎝ 5 ⎛ 3 − ⎛ x1 ⎞⎜ 5 ⎜⎟=⎜⎝ x2 ⎠⎜ 4 ⎜⎝ 5 4⎞ 5⎟⎟，则所求正交变换为 X = PY 即 3⎟⎟ 5⎠ 4⎞⎛ −10 0 ⎞ 5 ⎟⎛ y1 ⎞ T ⎟⎜⎟，且P T AP = Λ = ⎜⎟，于是A = P Λ P ， 3 ⎟⎝ y2 ⎠⎝ 0 15 ⎠⎟ 5⎠ T 10 A10 = ( P Λ P ⎛ 3 ⎜−5 =P Λ10 P T = ⎜⎜ 4 ⎜⎝ 5 4⎞⎛ 3 − 10 ⎟⎛⎞ 0 ⎜ 5 5 ( −10 ⎟⎜⎜⎟ 3 ⎟⎜ 4 0 1510 ⎟⎠⎜⎟⎝⎜ 5⎠⎝ 5 4⎞ 10 10 12(1510 − 1010 ⎞ 5 ⎟ 1 ⎛ 9 × 10 + 16 × 15 ⎟= ⎜⎟. 3 ⎟25 ⎝ 12(1510 − 1010 16 × 1010 + 9 × 1510 ⎠⎟ 5⎠ 2. * (此题型不要求学生掌握5 −1 3 ⎛ 5 −1 3 ⎞⎜⎟解：(1二次型 f 的矩阵为 A = ⎜ −1 5 −3 ⎟，由 r ( A = 2 ，知 A = −1 5 −3 = 24(a − 3 = 0 ，故 a = 3 . ⎜ 3 −3 a ⎟ 3 −3 a ⎝⎠ λ −5 1 −3 (2 λ E − A = 1 λ −5 3 = λ (λ − 4(λ − 9 ，知特征值为λ1 = 0 ，λ2 = 4 ，λ3 = 9 ，−3 2 1 2 2 3 2 3 λ −3 2 2 故二次型f = 5 x + 5 x + 3x − 2 x1 x2 + 6 x1 x3 − 6 x2 x3 可经正交变换 X = PY 化为标准形为 f = 4 y2 + 9 y3 ，于是 2 2 曲面方程变为 4 y2 + 9 y3 = 1 .由于正交变换相当于坐标旋转，因此并不改变曲面的形状，从而所求曲面为椭圆柱面. 18。
001011[线性代数] 天津大学考试题库及答案
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线性代数复习题（特别提示：该课程可以参照答疑视频进行复习）一、单项选择题1、设3阶方阵A的3个特征值为24 5-，，，则A*的3个特征值为（ D）。
A. 24 5-，，B.111245-，， C. 2010 8-，，D.20 108--，，2、设1200470000250013A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭，则1A-=（ C ）。
A.7200410000350012-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭B.7200410000350012-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭C.7200410000350012-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭D.7200410000350012-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭3、设1300250000210074A⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪⎝⎭，则1A-=（ C ）。
A.5300210000410072-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭B.5300210000410072-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭C.5300210000410072-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭D.5300210000410072-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭4、设n 阶方阵,,A B C 则()TABC =（ B ）。
A. T T T A B CB.T T T C B AC.T T T B A CD.T T T A C B 5、设3阶方阵A 的3个特征值为1 24-，，，则A *的3个特征值为（ A ）。
A. 8 4 2--，， B.8 4 2-，， C.1 2 4-，， D.111 24-，， 6、设111111111a A a a +⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为2，则下列答案正确的是（ A ）。
A. 3a =-B. 0a =C. 3a =-或0a =D. 3a ≠-且0a ≠ 7、设五元齐次线性方程组0AX =，若()1r A =，则其基础解系含有解向量的个数为（ D ）。
A. 1B. 2C. 3D. 48、设111111a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的秩为1，则a =（ D ）。
线性代数(专) 天津大学网考复习题库及答案
有无穷多解
同 其中
3、求非齐次线性方程组 的全部解（用其特解与导出组的基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为 导出组的基础解系为 ，
全部解为 其中
4、求非齐次线性方程组 的全部解（用基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为 导出组的基础解系为 ，
全部解为 其中
（2）写出 对应的二次型 ，并判定 的正定性。
解：
（1）
对于 解 得 ，
已正交单位化
对于 解 得
单位化 令 则
（2）
正定从而 正定
4、设 求正交矩阵 ，使 为对角形。
解：
对于 解 得 ，
已正交单位化
对于 解 得
单位化 令 则
七、1、设 为 阶方阵且满足 ，证明 可逆。（证明略）
2、设 阶方阵 若 ，证明 不可逆。（证明略）
极大无关组为
5、求向量组 ， ， ， 的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：
令
极大无关组为
6、求向量组 ， ， ， 的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令
极大无关组为
五、解线性方程组
1、求齐次线性方程组 的基础解系及通解。
解：
有无穷多解
同解方程组 基础解系为
通解为 其中
2、求齐次线性方程组 的基础解系及通解。
A、 B、 C、 或 D、
三、解矩阵方程
1、设 ，求矩阵 ，使得 。
解：由 ， 可逆
2、设 ，求矩阵 ，使得 。
解：由 ，
可逆
3、设 ，求矩阵 ，使得
解：由 ，
可逆
4、设 ，求矩阵 ，使得 。
天津科技大学线性代数检测题答案（最新）
1. 3 -， 2 ；2. (1)2(1)n n --， 120 .二．选择题1. (A).三．计算题1. 解：原式232(1)(5)4(5)(5)(6)(5)1130x x x x x x x x x x =------=--=-+.天津科技大学线性代数检测题§1.2~1.3参考答案一．填空题1. D -；2. 2或3 ；3. 20 -；4. 0 a b ==；5. 11112222()()a d b c a d b c --.二．选择题1. (D).三．计算题(1) 解：原式3132414212021202 4011701171801240033102022200006r r r r r r r r -+=----+----； (2) 解：111111111111111112340123012301231136100259001300131410200391903100001====. (3) 解：24243223212321232102000122(1)(1)430130133013310101010101r r ++-=-=-=； (4) 解：将第二、三、四列加到第一列上，得 原式10234102341131131034101131022210044104120222111004101230111---===⨯--=⨯----------10(4)(4)160=⨯-⨯-=； (5) 解：1212323242352108216382161602021105110541241213130412617205224130617r rr r r rr r r r --------=----+--+---------1620(8040)4025-=-=--+=-.(6) 解：1111111111112314013222225=0320132013201212121212121---+性质.1. 0 ， 0 .二．选择题1. (C).三．计算题1. 解：齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式等于零，即有1111110(1)(1)111101211211210a ab a a b b a b b b a b -===-=------故1a =或0b =.2. 解：1230121001D ==，10230121101D ==，21030022011D ==-，31200101001D ==故1x =，2y =-，1z =.天津科技大学线性代数第一章自测题参考答案一．填空题1. 02x x ≠≠且；2. 0；3. 10-；4. 5-；5. 0；6. 3；7. 4abcdef .二．计算题1.222213213513306(2)(6)(1)(2)(6)13200x x x x x x x x x x x x -=-=+--=-+-++-. 2. (1)11111111111102228111100221111002-==-----. (2)12341234123413410113011312142102130033112301110004--===-------. (3) 原式31128461642804616221101020112051627202516027---------==--=-=-----40=.(4)31010100100110(1)1011010010a aa a a a a a a a a a a a=+=+或221223310010010110101(1)(1)10101011010010a a a a a a a a a a a a a a+++--=-=+拉普拉斯定理.天津科技大学线性代数检测题§2.1~2.2参考答案一．填空题1. 1 1⎛⎫ ⎪⎝⎭；2. 0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ，1052010⎛⎫ ⎪--⎝⎭，0000⎛⎫ ⎪⎝⎭或 O ；3. 200 010003nn ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；4. 1269 846201015--⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭； 5.=AB BA .二．选择题1. (C)；2. (D)；3. (D)；4. (B).三．计算题1. 解：100223032101414541010⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 2. 解：2111130212103⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，2()37f =--A E A A 1011307737012103147--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.四．证明题证：由2=A A ，2=B B ，知222()+=+++=+++A B A B AB BA A B AB BA . 故2()+=+A B A B 的充要条件是+=AB BA O ，即=-AB BA .天津科技大学线性代数检测题§2.3参考答案一．填空题1. 111432-⎛⎫⎪⎝⎭； 2. 8 -.二．选择题1. (B)；2. (D).三．计算题1. 解：(1) 101110212214235121133253028920T -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭AB ； (2) 3101(3)27214270.3325-=-=-=--A A天津科技大学线性代数检测题§2.4~2.5参考答案一．填空题1. 1 2； 2. 2 ； 3. ()* TA .二．选择题1. (A)；2. (C)三．计算题1. 解：(1)cos sin 1sin cos αααα=--，*cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭， 故 1cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα-⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭. (2) 0016423110=-，*001312423314110600--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故 111100131226314233141126263110600100-⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭. (3) 1212342541-=--，*121420342136154132142--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故 1210121420113134213613222541321421671--⎛⎫--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝⎭.2. 解：2=A ，1111112-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ，3=B ，1300120131230-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，因此1157153113316---⎛⎫== ⎪-⎝⎭X A CB . （注：应先判断矩阵,A B 的可逆性，再得出11--=X A CB ）四．证明题证：由 223(4)(2)5=+-=+-+O A A E A E A E E ，知 1(4)(2)5⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭A E E A E ，故4+A E 可逆，且 11(4)(2)5-+=--A E A E .天津科技大学线性代数检测题§2.6参考答案一．填空题1. 0 ；2. D -.二．选择题1. (D).三．计算题1. 解：(1)()121100121100100210342 010021310021310|54100101465010011671---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E100210100210131020136101032200116710011671-⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→→---- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭--⎝⎭，故A 可逆，且1210131.3221671--⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A(2)()2311000721102151100113 5 010026011026011|151100115110010721102---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E 151100102601173000122⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭，故B 不可逆. (3)()10210102100102100101000020 010020010|211103001005101001055⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭C E 321000551010*********55⎛⎫- ⎪⎪⎪→ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，故C 可逆，且1604105010202C --⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭. 2. 解：()121011************ 120211102111|5412301462200155--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B100101001002044010220015500155⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，故A 可逆，且1102255-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭X A B .天津科技大学线性代数检测题§2.7参考答案一．填空题1. n E ；2. 3 .二．选择题1. (D)；2. (A)；3. (B)；4. (B).三．计算题1. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得121121363000242000--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A ，故()1r =A .2. 解：对A 进行初等行变换化为行阶梯形，得 21314112321123214436320565622101405656550327010121212r r r r r r ----⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪---⎪ ⎪=- ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A 324234123210565620002000000r r r r r r --⎛⎫- ⎪-- ⎪=- ⎪⎪↔ ⎪⎝⎭ B 故()3r =A .3. 解：241121121212150122101212110610105101510c c λλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫↔ ⎪ ⎪ ⎪=→---++-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ A 1210121200393λλλλλ-⎛⎫ ⎪→+-- ⎪ ⎪--⎝⎭，从而当3λ≠时，()3r =A ；当3λ=时，()2r =A .天津科技大学线性代数第二章自测题参考答案一．填空题1. 359411⎛⎫ ⎪---⎝⎭； 2. E ； 3. 0或1 .二．选择题1. (B)；2. (D)；3. (A)；4. (C).三．计算题1. 解：由 135100112010222( )02 1 100111010222001011001011⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎪ ⎪→-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭行A E ， 故A 可逆，且 1135222111222011-⎛⎫--- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A .2. 由2=+AX A X ，得(2)-=A E X A . 再由() 101100301522110 010 110 4322 012001014223⎛⎫⎛--⎫⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭初等行变换A E A知2-A E 可逆，且1522(2)432223---⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭X A E A . 四．证明题1.证：由1*-=A A A ，故(1) 1111n n n ---*-====A A A A A A A A ；(2) ()()()()111211111nn -*-----***--==⋅=⋅=A A A A A A A A A A A A A(2n ≥).2. 证：“⇒”若()0r =A ，则=A O ，记100m ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ B ，()100n ⨯= C ，则显然=A BC ；若()1r =A ，则存在可逆矩阵P 、Q 使得()100100001000000m n ⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ PAQ ，或()11101000--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A P Q ，记112100m b b b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B P ，()()112100n c c c -== C Q ，则=A BC . “⇐”由()1r ≤B ，知()()()1r r r =≤≤A BC B .天津科技大学线性代数检测题§3.1参考答案一．填空题1. ()(|) r r <A A b ；2. ()(|) r r n =<A A b ；3. () r n =A ；4. 1-.二．选择题1. (C)；2. (C).三．计算题1. 解：对增广矩阵施行初等行变换：3314243411113111311131113 3 3 0110011001100110(|)1120003300330011422112031400440000r r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪÷++----⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪--+-⎪ ⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b 2313121001 010*********r r r r r r ⎛⎫+ ⎪⎪- ⎪⎪-⎝⎭()(|)3r r ==A A b ，故方程组有唯一解：111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x .2. 解：233132104081040810408 (|)0251100251100100011112015110005110r r r r r r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭A b31341000155010004100125r r r ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭由()(|)34r r ==<A A b ，故方程组有无穷多解. 由 142344050125x x x x x ⎧+=⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎩ 得142344445 0125x x x x x xx ⎧=-⎪⎪=⎪⎨⎪=+⎪⎪=⎩，其中4x 为自由未知量，所以方程组的通解为40001250k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，k ∈R .3. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得121121120247009001--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A由()2r =A ，故方程组有非零解，由123200x x x +=⎧⎨=⎩知该方程组的通解为：210k -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭x ，k ∈R .4. 解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换，得11111111111111101001011111011001λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 由方程组只有零解，故()3r =A ，从而1λ≠，即仅当1λ≠时方程组只有零解.天津科技大学线性代数检测题§3.2参考答案一．填空题1. 1122 n n a a a +++ εεε.二．选择题1. (A)；2. (D).三．计算题1. 解：()1231116111611161037014130141311250231100515---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααβ1116110310020141301010101001300130013--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→→---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为12323=-+βααα.2. 解：()1231230100123140101312200111225000TT T T⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭αααβ行故β能由向量组123,,ααα线性表示，且表示法唯一，其表示式为123=+-βααα.天津科技大学线性代数检测题§3.3参考答案一．填空题1. 有非零解 ；2. 0；3. 无关 ；4. 4 -；5. 120k k ==.二．选择题1. (B)；2. (C).三．计算题解：由12412431901312800045700⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ，知()23r =<A ，故向量组123,,ααα线性相关. 四．证明题1. 证：设11232123323()(2)()k k k +++++++=αααααααα0， 则12112321233()(2)()k k k k k k k k +++++++=ααα0由向量组123, , ααα线性无关，知12123123 0200k k k k k k k k +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解方程组得1230k k k ===，故向量组123++ααα，1232++ααα，23+αα线性无关.2. 证：设1122s s k k k +++= A αAαAα0，则1122()s s k k k +++= A ααα0. 由A 为可逆矩阵，知11122s s k k k -+++== αααA 00. 再由12,,,s ααα线性无关，知120s k k k ==== ，即向量组12,,,s A αAαAα线性无关.天津科技大学线性代数检测题§3.4~3.5参考答案一．填空题1. 2或3 ；2. 1m -；3. 1n -；4. 1 .二．选择题1. (B).三．计算题1. 解：对()12345TT T T T =A ααααα进行初等行变换，得1031210312103011301103303011012172501101000114214060224200000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪=→→⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A 于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 3123=+ααα，5124=++αααα.2. 对()12345=A ααααα进行初等行变换，得31002112451124524255406311161010122412400051000012⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→----- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭A 于是向量组的秩为3，它的一个极大无关组为124, , ααα，且有 3123122=+ααα，512422=--+αααα.3. 解：对()1234=A αααα进行初等行变换，得11241124112413610243024315106061220028311004620007a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-+-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A由于向量组线性相关，即()4r <A ，必有2a =.或由112411241124136102430243014(2)15106061220028311004620007a a a a a a a --------====-=------+-+--A 得2a =.4. 解：()1234125312531010311301240120531100010001147100000000TTT T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪----⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα， 34r =<，故向量组线性相关，124, , ααα为一个极大无关组，并且3122=+ααα。
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4、设 阶方阵 满足 ，证明： 的特征值只能是 或者 。（证明略）
解：
（1） 的
对于 得 已正交 单位化
得
对于 得 单位化，得
令正交矩阵
则正交变换 化
（2） 为正定二次型
26、设
（1）求一正交变换化 为标准形
（2）判定 的正定性
解：
（1） 的矩阵
对于 得 已正交 单位化
得
对于 得 单位化，得
令正交矩阵
则正交变换 化
（2） 不正定
27、设
（1）求一正交矩阵 ，使得 为对角形。
19、设 为 阶可逆矩阵，则 （ ）。
20、设 阶方阵 的秩为 ，则 （ ）。
21、行列式 （4）。
22、设矩阵 的线性无关的特征向量为（2）。
23、设 阶方阵 的行列式 ， 的两个二重特征值 ，则 的第三个特征值 （-3）。
24、行列式 （-360）。
25、行列式 （-4）。
三、解答下列各题
1、设 ，求矩阵 ，使得 。
当 或 时 线性相关
14、求向量组 ， ， ， 的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令
极大无关组为
15、求解线性方程组 的基础解系及通解。
解：
方程组有唯一解
为所求
16、求齐次线性方程组 的基础解系及通解。
解：
有无穷多解
同解方程组为
基础解系为 ，
通解为 其中
17、求解线性方程组 。
解：
有唯一解 为所求
解：由 ，
可逆
2、设 ，求矩阵 ，使得 。
解：由 ，
可逆
3、设 ，求矩阵 ，使得 。
解：由 ，
可逆
4、设 ，求矩阵B，使得AB-2A=2B。
解：由 ， 可逆
5、设 ，求矩阵 ，使得 。
解：由 ，
可逆
6、问 取何值时，向量组 ， ， 线性相关，又为何值时线性无关。
解：令
当 或 时 线性相关
当 且 时 线性无关
解：
令
向量组的秩 极大无关组为
11、求向量组 ， ， ， 的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令
极大无关组为
12、问 取何值时，向量组 ， ， 线性无关，又为何值时线性相关。
解：令
当 且 时 线性无关；
当 或 时 线性相关。
13、问 取何值时，向量组 ， ， 线性无关，又为何值时线性相关。
解：令
当 且 时 线性无关
解： 的矩阵
对于 得 已正交单位化
得
对于 得 单位化，得
令正交矩阵
则正交变换 化
30、问 取何值时，向量组 ， ， 线性相关，又为何值时线性无关。
解：令
当 或 时 线性相关；
当 且 时 线性无关。
四、证明题
1、设 阶方阵 ，满足 ，证明 可逆，并求 。
（证明略）
2、设 矩阵 且 ，证明 。（证明略）
7、问 取何值时，向量组 ， ， 线性无关，又为何值时线性相关。
解：令
当 且 时 线性无关
当 或 时 线性相关
8、问 取何值时，向量组 ， ， 线性相关，又为何值时线性无关。
解：
令
当 或 时 线性相关
当 且 时 线性无关
9、求向量组 ， ， ， 的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：令
极大无关组为
10、求向量组 ， ， ， 的秩，并求出它的一个极大无关组。
解：
当 时 有无穷多解
同解方程组为
特解为 导出组的基础解系为 ，
全部解为 其中
24、设
（1）求一正交变换化 为标准形
（2）判定 的正定性
解：
（1） 的矩阵
对于 得 已正交，单位化
得
对于 得 单位化，得
令正交矩阵
则正交变换 化
（2） 不正定
25、设
（1）求一正交变换化 为标准形；
（2）判定 的正定性。
线性代数复习题
（特别提示：该课程可以参照答疑视频进行复习）
一、单项选择题
1、设 阶方阵 的 个特征值为 ，则 的 个特征值为（ D）。
A. B. C. D.
2、设 为3阶方阵且 ，则 （ C）。
A、 B、 C、 D、
3、设 ，则 果 则基础解系含有（ D）个向量。
A.5B.4C.3D.2
5、设 阶方阵 的 个特征值为 ，则 的3个特征值为（A）。
A. B. C. D.
6、设 ，则 （C）。
7、设 的秩为 ，则 （ D ）。
A. 且 B. 或 C. D.
8、设 是非齐次线性方程组 的解向量，则（C）是非齐次 的解向量。
二、填空题
1、行列式 （ ）。
2、行列式 （ ）。
18、求非齐次线性方程组 的全部解（用特解与导出组的基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为 导出组的基础解系为 ，
全部解为 其中
19、求非齐次线性方程组 的全部解（用基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为 导出组的基础解系为 ，
全部解为 其中
20、求齐次线性方程组 的基础解系及通解。
3、设 ， ，则 （ ），
（ ）。
4、行列式 （24）。
5、设 是非齐次线性方程组 的两个解向量，则
（ ）。
6、设 阶方阵 的秩为 ，则 （-4）。
7、设 阶方阵 的行列式 ，则 （ ）。
8、行列式 （ ）。
9、行列式 （1）。
10、若行列式 ，则 （ ）。
11、设 阶方阵 的秩为 ，则 （ 且 ）。
（2）写出 对应的二次型 ，并判定 的正定性。
解：
（1）
对于 解 得 ，
已正交单位化
对于 解 得
单位化 令 则
（2）
不正定
28、设 求一正交矩阵 ，使得 为对角形。
写出 对应的二次型 ，并判定 的正定性。
解：（1）
对于 解 得 ，
已正交单位化
对于 解 得
单位化 令 则
（2）
正定从而 正定
29、设 ，求一正交变换化 为标准形。
12、设 是齐次线性方程组 的两个解向量，则 （0）。
13、设 阶方阵 的行列式 ， 的两个二重特征值 ，则 的第三个特征值 （-3）。
14、设 是齐次线性方程组 的两个解向量，则 （0）。
15、行列式 （4）。
16、行列式 （-180）。
17、设 是非齐次线性方程组 的两个解向量，
则 （ ）。
18、设 阶方阵 的行列式 ，则 （ ）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
基础解系为 ，
通解为 其中
21、求非齐次线性方程组 的全部解（用基础解系表示）。
解：
有无穷多解
同解方程组为
特解为 导出组的基础解系为 ，
全部解为 其中
22、求解线性方程组 。
解：
方程组有唯一解
为所求
23、问 取何值时线性方程组 有解？有解时，求出全部解（特解及导出组的基础解系表示）。